新课标2025版高考数学二轮复习第三部分教材知识重点再现回顾7立体几何学案文新人教A版

PAGE1-回顾7立体几何[必记学问]空间几何体的表面积和体积几何体侧面积表面积体积圆柱S侧＝2πrlS表＝2πr(r＋l)V＝S底h＝πr2h圆锥S侧＝πrlS表＝πr(r＋l)V＝eq\f(1,3)S底h＝eq\f(1,3)πr2h圆台S侧＝π(r＋r′)lS表＝π(r2＋r′2＋rl＋r′l)V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h＝eq\f(1,3)π(r2＋r′2＋rr′)h直棱柱S侧＝Ch(C为底面周长)S表＝S侧＋S上＋S下(棱锥的S上＝0)V＝S底h正棱锥S侧＝eq\f(1,2)Ch′(C为底面周长，h′为斜高)V＝eq\f(1,3)S底h正棱台S侧＝eq\f(1,2)(C＋C′)h′(C，C′分别为上、下底面周长，h′为斜高)V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3空间线面位置关系的证明方法(1)线线平行：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥α,a⊂β,α∩β＝b))⇒a∥b，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))⇒a∥b，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β,α∩γ＝a,β∩γ＝b))⇒a∥b，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥b,a∥c))⇒c∥b.(2)线面平行：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(b⊂α,a⊄α,a∥b))⇒a∥α，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β,a⊂β))⇒a∥α，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,a⊥β,a⊄α))⇒a∥α.(3)面面平行：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊂α，b⊂α,a∩b＝O,a∥β，b∥β))⇒α∥β，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,a⊥β))⇒α∥β，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β,γ∥β))⇒α∥γ.(4)线线垂直：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊂α))⇒a⊥b.(5)线面垂直：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊂α，b⊂α,a∩b＝O,l⊥a，l⊥b))⇒l⊥α，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝l,a⊂α，a⊥l))⇒a⊥β，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β,a⊥α))⇒a⊥β，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a∥b,a⊥α))⇒b⊥α.(6)面面垂直：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊂β,a⊥α))⇒α⊥β，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥β,a⊥α))⇒α⊥β.[必会结论]把握两个规则(1)三视图排列规则：俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图一样；侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度和正(主)视图一样，宽度与俯视图一样．画三视图的基本要求：正(主)俯一样长，俯侧(左)一样宽，正(主)侧(左)一样高．(2)画直观图的规则：画直观图时，与坐标轴平行的线段仍平行，与x轴、z轴平行的线段长度不变，与y轴平行的线段长度为原来的一半．球的组合体(1)球与长方体的组合体：长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长．(2)球与正方体的组合体：正方体的内切球的直径是正方体的棱长，正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长，正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长．(3)球与正四面体的组合体：棱长为a的正四面体的内切球的半径为eq\f(\r(6),12)a(正四面体高eq\f(\r(6),3)a的eq\f(1,4))，外接球的半径为eq\f(\r(6),4)a(正四面体高eq\f(\r(6),3)a的eq\f(3,4))．空间中平行(垂直)的转化关系[必练习题]1．(2024·成都市其次次诊断性检测)已知a，b是两条异面直线，直线c与a，b都垂直，则下列说法正确的是()A．若c⊂平面α，则a⊥αB．若c⊥平面α，则a∥α，b∥αC．存在平面α，使得c⊥α，a⊂α，b∥αD．存在平面α，使得c∥α，a⊥α，b⊥α解析：选C.对于A，直线a可以在平面α内，也可以与平面α相交；对于B，直线a可以在平面α内，或者b在平面α内；对于D，假如a⊥α，b⊥α，则有a∥b，与条件中两直线异面冲突．2．(2024·江西南昌二模)设点P是正方体ABCD­A1B1C1D1的体对角线BD1的中点，平面α过点P，且与直线BD1垂直，平面α∩平面ABCD＝m，则m与A1C所成角的余弦值为()A.eq\f(\r(3),3) B.eq\f(\r(6),3)C.eq\f(1,3) D.eq\f(2\r(2),3)解析：选B.设正方体的棱长为1.由题意知m∥AC，所以直线m与A1C所成角(或其补角)等于∠ACA1，在Rt△ACA1中，cos∠ACA1＝eq\f(AC,A1C)＝eq\f(\r(2),\r(3))＝eq\f(\r(6),3).故选B.3．(2024·福建五校其次次联考)已知某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积是()A.eq\f(39π,4)＋3eq\r(3) B.eq\f(45π,4)＋3eq\r(3)C.eq\f(23π,2) D.eq\f(49π,4)解析：选A.由三视图知，该几何体为圆锥挖掉eq\f(1,4)圆台后剩余部分，其表面积S表＝eq\f(3,4)π×22＋eq\f(1,4)π×12＋eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)×2π×2))×4＋eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)×2π×1))×2＋eq\f(（1＋2）×\r(3),2)×2＝eq\f(39π,4)＋3eq\r(3).故选A.4．(2024·河南安阳调研四)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E∈平面AA1B1B，点F是线段AA1的中点，若D1E⊥CF，则当△EBC的面积取得最小值时，eq\f(S△EBC,S四边形ABCD)＝()A.eq\f(2\r(5),5) B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(5),5) D.eq\f(\r(5),10)解析：选D.如图所示，连接B1D1，取AB的中点G，连接D1G，B1G.由题意得CF⊥平面B1D1G，所以当点E在直线B1G上时，D1E⊥CF，设BC＝a，则S△EBC＝eq\f(1,2)EB·BC＝eq\f(1,2)EB·a，当△EBC的面积取最小值时，线段EB的长度为点B到直线B1G的距离，所以线段EB长度的最小值为eq\f(a,\r(5))，所以eq\f(S△EBC,S四边形ABCD)＝eq\f(\f(1,2)×\f(a,\r(5))×a,a2)＝eq\f(\r(5),10).故选D.5．(一题多解)(2024·南昌市第一次模拟测试)底面边长为6，侧面为等腰直角三角形的正三棱锥的高为________．解析：法一：由题意得，三棱锥的侧棱长为3eq\r(2)，设正三棱锥的高为h，则eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×3eq\r(2)×3eq\r(2)×3eq\r(2)＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×36h，解得h＝eq\r(6).法二：由题意得，三棱锥的侧棱长为3eq\r(2)，底面正三角形的外接圆的半径为2eq\r(3)，所以正三棱锥的高为eq\r(18－12)＝eq\r(6).答案：eq\r(6)6．设a，b是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，给出以下四个命题：①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若a⊥b，a⊥α，则b∥α；③若a⊥α，a⊥β，则α∥β；④若a⊥β，α⊥β，则a∥α.其中全部正确命题的序号是________．解析：①若a∥b，a⊥α，则b⊥α，故正确；②若a⊥b，a⊥α，则b∥α或b⊂α，故不正确；③若a⊥α，a⊥β，则α∥β，正确；④若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a⊂α，故不正确．答案：①③7．(2024·高考江苏卷)如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB＝BC.求证：(1)A1B1∥平面DEC1；(2)BE⊥C1E.证明：(1)因为D，E分别为BC，AC的中点，所以ED∥AB.在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB∥A1B1，所以A1B1∥ED.又因为ED⊂平面DEC1，A1B1⊄平面DEC1，所以A1B1∥平面DEC1.(2)因为AB＝BC，E为AC的中点，所以BE⊥AC.因为三棱柱ABC­A1B1C1是直棱柱，所以C1C⊥平面ABC.又因为BE⊂平面ABC，所以C1C⊥BE.因为C1C⊂平面A1ACC1，AC⊂平面A1ACC1，C1C∩AC＝C，所以BE⊥平面A1ACC1.因为C1E⊂平面A1ACC1，所以BE⊥C1E.8．(2024·贵州省适应性考试)如图，四棱锥P­ABCD的底面是矩形，侧面PAD为等边三角形，AB＝eq\r(3)，AD＝2eq\r(3)，PB＝eq\r(15).(1)求证：平面PAD⊥平面ABCD；(2)M是棱PD上一点，三棱锥M­ABC的体积为1，记三棱锥P­MAC的体积为V1，三棱锥M­ACD的体积为V2，求eq\f(V1,V2).解：(1)证明：由已知，得PA＝AD＝2eq\r(3).于是PA2＋AB2＝15＝PB2，故AB⊥PA.因