2025届高考数学专题八平面向量精准培优专练理

PAGEPAGE1培优点八平面对量一、平一、平面对量的建系坐标化应用例1：在中，，边上的高为，则的最小值为．【答案】【解析】以所在的直线为轴，的中垂线为轴，建立如图所示平面直角的坐标系，则，，，即，，，故当时，取得最小值为，此时．二、平二、平面对量中三点共线问题例2：设，是两个不共线的单位向量，若满意，且，则当最小时，在与的夹角的余弦值为．【答案】【解析】作，，，∵，且，∴三点共线，∵，，∴如图所示，当时，最小，又∵，为单位向量，∴，即与的夹角的余弦值为．三、平三、平面对量与三角形的四心问题例3：已知，，是平面内不共线三点，是的外心，动点满意，则的轨迹肯定通过的（）A．内心 B．垂心 C．外心 D．重心【答案】D【解析】取边的中点，则，由，可得，所以，即点的轨迹为三角形中边上的中线，故选D．四、平四、平面对量与三角函数结合例4：已知向量，，设函数的图象关于直线对称，其中，为常数，且．（1）求函数的最小正周期；（2）的图象经过点，求函数在区间上的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由题意得，，∵直线是图象的一条对称轴，∴，解得，又∵，，∴，，即的最小正周期是．（2）∵图象过点，∴，即，故，∵，∴，即，可得，故函数在上的取值范围为．对点对点增分集训一、选择题1．已知向量，其中，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，∴，又∵，∴，即的最小值为．2．在中，为的重心，过作直线分别交直线，于点，，设，，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵为的重心，∴，∵，，∴，又∵，，三点共线，∴，解得．3．若为所在平面内一点，且满意，则的形态为（）A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形【答案】B【解析】∵，，∴原式化为，即对角线构成平行四边形为矩形，∴为直角三角形．4．已知向量，，若是实数，且，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，，∴∴，当时取等号．5．已知非零向量与满意且，则为（）A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形C．等腰非等边三角形 D．等边三角形【答案】D【解析】∵，∴的角平分线与垂直，即，又∵，∴，即，故三角形为等边三角形．6．在中，，线段上的一点，且，则的最小值时，的模为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，∴，∵，∴，∵三点共线，∴，即，当且仅当，即，时取等号，∴，可得．7．在平面内有和点，若，则点是的（）A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心【答案】D【解析】∵，，，∴，即，可得，故是的外心．8．是平面上定点，是平面内不共线三点，动点满意，，则的轨迹肯定通过的（）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【答案】B【解析】设为上的单位向量，为上的单位向量，则的方向为的角平分线的方向，又，所以与的方向相同，由，可得，所以点在上移动，故的轨迹肯定是通过的内心，故选B．9．已知点是平面上一个定点，、、是平面内不共线三点，动点满意，，则动点肯定通过的（）A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心【答案】D【解析】∵，∴，可得，即点在边的高上，故点的轨迹经过的垂心．10．在平行四边形中，分别是，的中点，交于点，记，，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图，分别是，的中点，∵三点共线，∴存在实数，使得，∵三点共线，∴存在实数，且，使得，即，解得，，，故．11．如图，在中，是的中点，，是上的两个三等分点，，，则的值是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】以为原点，为轴，的垂线为轴，建立坐标系，设，，，则，，，，，，，，∵，，∴，，解得，，即．12．已知是的外心，，，，若，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图，以所在直线为轴，过点作的垂线为轴，建立直角坐标系，则，，，的中垂线为，的中垂线为，求出两直线的交点坐标即圆心坐标，∴，，，∵，∴，，解得，，即（当且仅当，即时，取等号）．二、填空题13．设，向量，，若，则．【答案】【解析】∵向量，∴，又∵，∴，即．14．是所在平面上的一点，若，则是三角形．【答案】等腰【解析】∵，．∴为等腰三角形．15．设，，与的夹角为，则的最小值为．【答案】【解析】∵，∴，又∵与的夹角为，可作，，，如图所示，令，∵，∴三点共线，由图可知当时，的值最小，∵，∴的最小值为．16．如图，是半径为的圆的直径，是圆上异于的，一点，是线段上靠近的三等分点，且，则的值为．【答案】【解析】如图，以点为坐标原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，则圆：，设，，，∵是线段上靠近的三等分点，∴，解得，即，，∵，∴，解得，即，故的值为．三、解答题17．已知向量，，．（1）若，求向量、的夹角；（2）求函数的图象的对称中心与对称轴．【答案】（1）；（2）对称中心：，，对称轴：，．【解析】（1）设向量、的夹角为，∵当时，，，∴，又∵，∴，即向量、的夹角为．（2）由题意得．由，，得，；由，，得，．所以函数图象的对称轴为，，对称中心为，．18．已知向量，，且函数．（1）求函数的最大值以及取最大值时的取值集合；（2）在中，角，，的对边分别为，，，且，，，求的面积．