中考数学-图形的变化(章节测试)(含答案)

Page章节综合训练七图形的变化（考试时间：120分钟试卷满分：120分）一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（2024·山西·中考真题）1949年，伴随着新中国的诞生，中国科学院（简称“中科院”）成立．下列是中科院部分研究所的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（

）A．山西煤炭化学研究所 B．东北地理与农业生态研究所C．西安光学精密机械研究所 D．生态环境研究中心2．（2024·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系中，点P(1,2)关于原点的对称点P'的坐标是（

A．(1,2) B．(−1,2) C．(1,−2) D．(−1,−2)3．（2024·宁夏·中考真题）用5个大小相同的小正方体搭一个几何体，其主视图、左视图如图2，现将其中4个小正方体按图1方式摆放，则最后一个小正方体应放在（）A．①号位置 B．②号位置 C．③号位置 D．④号位置4．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，小杰从灯杆AB的底部点B处沿水平直线前进到达点C处，他在灯光下的影长CD=3米，然后他转身按原路返回到点B处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是（

）A．4.5米 B．4米 C．3.5米 D．2.5米5．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）由5个形状、大小完全相同的小正方体组合而成的几何体，其主视图和左视图如图所示，则搭建该几何体的方式有（

）A．1种 B．2种 C．3种 D．4种6．（2024·湖北·中考真题）如图，点A的坐标是−4,6，将线段OA绕点O顺时针旋转90°，点A的对应点的坐标是（

）A．4,6 B．6,4 C．−6,−4 D．−4,−67．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在△ABC中，O是边AB的中点．按下列要求作图：①以点B为圆心、适当长为半径画弧，交线段BO于点D，交BC于点E；②以点O为圆心、BD长为半径画弧，交线段OA于点F；③以点F为圆心、DE长为半径画弧，交前一条弧于点G，点G与点C在直线AB同侧；④作直线OG，交AC于点M．下列结论不一定成立的是（）A．∠AOM=∠B B．∠OMC+∠C=C．AM=CM D．OM=8．（2024·四川广元·中考真题）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，点B，C的对应点分别为点D，E，连接CE，点D恰好落在线段CE上，若CD=3，BC=1，则AD的长为（

）A．5 B．10 C．2 D．29．（2024·山东淄博·中考真题）如图所示，在矩形ABCD中，BC=2AB，点M，N分别在边BC，AD上．连接MN，将四边形CMND沿MN翻折，点C，D分别落在点A，E处．则tan∠AMN的值是（

A．2 B．2 C．3 D．510．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，小好同学用计算机软件绘制函数y=x3−3x2+3x−1的图象，发现它关于点1,0中心对称．若点A10.1,y1，A20.2,y2，A3A．−1 B．−0.729 C．0 D．1二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（2024·山东东营·中考真题）如图，将△DEF沿FE方向平移3cm得到△ABC，若△DEF的周长为24cm，则四边形ABFD的周长为12．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知∠AOB=50°，点P为∠AOB内部一点，点M为射线OA、点N为射线OB上的两个动点，当△PMN的周长最小时，则∠MPN=．13．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，在△ABC中，点A的坐标为0,1，点B的坐标为4,1，点C的坐标为3,4，点D在第一象限（不与点C重合），且△ABD与△ABC全等，点D的坐标是．14．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，等腰△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=120°，将△ABC沿其底边中线AD向下平移，使A的对应点A'满足AA'15．（2024·四川广元·中考真题）已知y=3x与y=kxx>0的图象交于点A2,m，点B为y轴上一点，将△OAB沿OA翻折，使点B恰好落在y=k

16．（2024·山东济宁·中考真题）如图，△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，AD是△ABC的角平分线．（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点E，F．（2）以点A为圆心，BE长为半径画弧，交AC于点G．（3）以点G为圆心，EF长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点H．（4）画射线AH．（5）以点B为圆心，BC长为半径画弧，交射线AH于点M．（6）连接MC，MB，MB分别交AC，AD于点N，P．根据以上信息，下面五个结论中正确的是．（只填序号）①BD=CD；②∠ABM=15°；③∠APN=∠ANP；④AMAD=3三．解答题（共9小题，满分72分，其中17、18、19题每题6分，20题、21题每题7分，22题8分，23题9分，24题10分，25题13分）17．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A−1,1，B−2,3，(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B(2)画出△ABC绕点A逆时针旋转90°后得到的△AB2C(3)在（2）的条件下，求点B旋转到点B2的过程中所经过的路径长（结果保留π18．（2024·吉林·中考真题）图①、图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A，B，C，D，E，O均在格点上．图①中已画出四边形ABCD，图②中已画出以OE为半径的⊙O，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．(1)在图①中，面出四边形ABCD的一条对称轴．(2)在图②中，画出经过点E的⊙O的切线．19．（2024·四川自贡·中考真题）为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法．

(1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长EF恰好等于自己的身高DE．此时，小组同学测得旗杆AB的影长BC为11.3m(2)如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度DE=1.5m，小李到镜面距离EC=2m，镜面到旗杆的距离(3)小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：

如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上．如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线PQ始终垂直于水平地面．如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线DA与标高线交点C，测得标高CG=1.8m，DG=1.5m．将观测点D后移24m到D'处，采用同样方法，测得C'20．（2024·山东日照·中考真题）如图，以▱ABCD的顶点B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点E，再分别以点A，E为圆心，大于12AE的长为半径画弧，两弧交于点F，画射线BF，交AD于点G，交CD的延长线于点(1)由以上作图可知，∠1与∠2的数量关系是_______(2)求证：CB=CH(3)若AB=4，AG=2GD，∠ABC=60°，求△BCH的面积．21．（2024·江苏无锡·中考真题）【操作观察】如图，在四边形纸片ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BC=8，AB=12，AD=13．折叠四边形纸片ABCD，使得点C的对应点C'始终落在AD上，点B的对应点为B'，折痕与AB，【解决问题】(1)当点C'与点A重合时，求B(2)设直线B'C'与直线AB相交于点F，当∠AF22．（2024·四川雅安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象l与反比例函数y=kx的图象交于M1(1)求反比例函数及一次函数的表达式；(2)求△OMN的面积；(3)若点P是y轴上一动点，连接PM，PN．当PM+PN的值最小时，求点23．（2025·上海普陀·一模）在平面直角坐标系xOy中（如图）．已知抛物线y=ax2+bx−3a≠0的顶点A的坐标为(1,−2)，与y轴交于点B．将抛物线沿射线BA方向平移，平移后抛物线的顶点记作M，其横坐标为m．平移后的抛物线与原抛物线交于点N，且设点(1)求原抛物线的表达式；(2)求m关于n的函数解析式；(3)在抛物线平移过程中，如果∠NBM是锐角，求平移距离的取值范围．24．（2023·辽宁阜新·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=−x2+bx−c的图象与x轴交于点A(−3,0)和点B(1,0)，与y

(1)求这个二次函数的表达式．(2)如图1，二次函数图象的对称轴与直线AC:y=x+3交于点D，若点M是直线AC上方抛物线上的一个动点，求△MCD面积的最大值．(3)如图2，点P是直线AC上的一个动点，过点P的直线l与BC平行，则在直线l上是否存在点Q，使点B与点P关于直线CQ对称？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．25．（2024·内蒙古通辽·中考真题）数学活动课上，某小组将一个含45°的三角尺AEF利一个正方形纸板ABCD如图1摆放，若AE=1，AB=2．将三角尺AEF绕点A逆时针方向旋转α0°≤α≤90°【初步探究】如图2，连接BE，DF并延长，延长线相交于点G,BG交AD于点M．问题1BE和DF的数量关系是________，位置关系是_________．【深入探究】应用问题1的结论解决下面的问题．问题2如图3，连接BD，点O是BD的中点，连接OA，OG．求证OA=OD=OG．【尝试应用】问题3如图4，请直接写出当旋转角α从0°变化到60°时，点G经过路线的长度．章节综合训练七图形的变化（考试时间：120分钟试卷满分：120分）一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（2024·山西·中考真题）1949年，伴随着新中国的诞生，中国科学院（简称“中科院”）成立．下列是中科院部分研究所的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（

）A．山西煤炭化学研究所 B．东北地理与农业生态研究所C．西安光学精密机械研究所 D．生态环境研究中心【答案】A【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．【详解】解：A．是中心对称图形，故此选项符合题意；B．不中心对称图形，故此选项不符合题意；C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选：A．2．（2024·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系中，点P(1,2)关于原点的对称点P'的坐标是（

A．(1,2) B．(−1,2) C．(1,−2) D．(−1,−2)【答案】D【分析】本题考查了关于原点的对称点的坐标．根据关于原点的对称点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数即可求解．【详解】解：∵关于原点的对称点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，∴点P(1,2)关于原点的对称点P'的坐标是(−1,−2)故选：D．3．（2024·宁夏·中考真题）用5个大小相同的小正方体搭一个几何体，其主视图、左视图如图2，现将其中4个小正方体按图1方式摆放，则最后一个小正方体应放在（）A．①号位置 B．②号位置 C．③号位置 D．④号位置【答案】B【分析】本题考查了由三视图判断几何体，掌握简单组合体三视图的画法和形状是正确解答的关键．根据题意主视图和左视图即可得到结论．【详解】据主视图、左视图可知，最后一个小正方体应放在②号位置．故选：B4．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，小杰从灯杆AB的底部点B处沿水平直线前进到达点C处，他在灯光下的影长CD=3米，然后他转身按原路返回到点B处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是（

）A．4.5米 B．4米 C．3.5米 D．2.5米【答案】D【分析】本题考查相似三角形的应用举例，设回过程中小杰身高为FH，连接AF并延长交BC于点G，根据题意得到CE∥FH∥AB，证明△DCE∽△DBA,△GHF∽【详解】解：设回过程中小杰身高为FH，连接AF并延长交BC于点G，根据题意得到CE∥∴△DCE∽∴CEAB∵CE=FH∴CDBD∵BD>GB，∴CD>GH，∵CD=3米，∴GH<3，∴返回过程中小杰在灯光下的影长可以是2.5米，故选：D．5．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）由5个形状、大小完全相同的小正方体组合而成的几何体，其主视图和左视图如图所示，则搭建该几何体的方式有（

）A．1种 B．2种 C．3种 D．4种【答案】C【分析】本题考查了三视图，解题的关键是理解三视图的定义．根据小正方体一共5个，以及主视图和左视图，画出俯视图即可．【详解】解：由主视图可知，左侧一列最高一层，右侧一列最高三层，由左视图可知，前一排最高三层，后一排最高一层，可知右侧第一排一定为三层，可得该几何体俯视图如图所示，故选：C．6．（2024·湖北·中考真题）如图，点A的坐标是−4,6，将线段OA绕点O顺时针旋转90°，点A的对应点的坐标是（

）A．4,6 B．6,4 C．−6,−4 D．−4,−6【答案】B【分析】本题主要考查了坐标与图形变化−旋转，全等三角形的判定和性质，熟知图形旋转的性质是解题的关键．根据题意画出旋转后的图形，再结合全等三角形的判定与性质即可解决问题．【详解】解：如图所示，分别过点A和点B作x轴的垂线，垂足分别为M和N，由旋转可知，OA=OB，∠AOB=90°，∴∠AOM+∠BON=∠A+∠AOM=90°，∴∠A=∠BON．在△AOM和△OBN中，∠A=∠BON∠AMO=∠ONB∴△AOM≌△OBN(AAS∴BN=MO，ON=AM．∵点A的坐标为(−4,6)，∴BN=MO=4，ON=AM=6，∴点B的坐标为(6,4)．故选：B．7．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在△ABC中，O是边AB的中点．按下列要求作图：①以点B为圆心、适当长为半径画弧，交线段BO于点D，交BC于点E；②以点O为圆心、BD长为半径画弧，交线段OA于点F；③以点F为圆心、DE长为半径画弧，交前一条弧于点G，点G与点C在直线AB同侧；④作直线OG，交AC于点M．下列结论不一定成立的是（）A．∠AOM=∠B B．∠OMC+∠C=C．AM=CM D．OM=【答案】D【分析】本题主要考查了作一个角等于已知角，平行线的性质和判定，平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握相关的性质，先根据作图得出∠AOM=∠B，根据平行线的判定得出OM∥BC，根据平行线的性质得出∠OMC+∠C=180∘，根据平行线分线段成比例得出【详解】解：A．根据作图可知：∠AOM=∠B一定成立，故A不符合题意；B．∵∠AOM=∠B，∴OM∥∴∠OMC+∠C=180C．∵O是边AB的中点，∴AO=BO，∵OM∥∴AMCM∴AM=CM一定成立，故C不符合题意；D．OM=18．（2024·四川广元·中考真题）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，点B，C的对应点分别为点D，E，连接CE，点D恰好落在线段CE上，若CD=3，BC=1，则AD的长为（

）A．5 B．10 C．2 D．2【答案】A【分析】此题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，由旋转得AC=AE，∠CAE=90°，DE=BC=1，推出△ACE是等腰直角三角形，CE=4，过点A作AH⊥CE于点H，得到HD=1，利用勾股定理求出AD的长．【详解】解：由旋转得△ABC≌△ADE，∴AC=AE，∠CAE=90°，DE=BC=1，∴△ACE是等腰直角三角形，CE=CD+DE=3+1=4，过点A作AH⊥CE于点H，∴AH=1∴HD=HE−DE=2−1=1，∴AD=A故选：A．9．（2024·山东淄博·中考真题）如图所示，在矩形ABCD中，BC=2AB，点M，N分别在边BC，AD上．连接MN，将四边形CMND沿MN翻折，点C，D分别落在点A，E处．则tan∠AMN的值是（

A．2 B．2 C．3 D．5【答案】A【分析】连接AC交MN于点F，设AB=2m，则BC=2AB=4m，利用勾股定理求得AC=AB2+BC2=25m，由折叠得到AM=CM，MN垂直平分AC，则AF=CF=【详解】解：连接AC交MN于点F，设AB=2m，则BC=2AB=4m，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，∴AC=∵将四边形CMND沿MN翻折，点C，D分别落在点A，E处，∴点C与点A关于直线MN对称，∴AM=CM，MN垂直平分AC，∴BM=BC−CM=4m−AM，∠AFM=90°，AF=CF=1∵AB∴2m∴AM=5∴MF=∴tan∠AMN=故选：A．【点睛】此题考查矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．10．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，小好同学用计算机软件绘制函数y=x3−3x2+3x−1的图象，发现它关于点1,0中心对称．若点A10.1,y1，A20.2,y2，A3A．−1 B．−0.729 C．0 D．1【答案】D【分析】本题是坐标规律题，求函数值，中心对称的性质，根据题意得出y1+y2+y3【详解】解：∵这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1，∴0.1+1.92∴y1∴y1+y2+∵y=x当x=0时，y=−1，即0,−1，∵0,−1关于点1,0中心对称的点为2,1，即当x=2时，y20∴y1故选：D．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（2024·山东东营·中考真题）如图，将△DEF沿FE方向平移3cm得到△ABC，若△DEF的周长为24cm，则四边形ABFD的周长为【答案】30【分析】本题主要考查了平移的性质、三角形周长等知识点，掌握平移的性质及等量代换成为解题的关键．由平移的性质可得AD=BE=3cm,DE=AB,再根据△DEF的周长为24cm可得【详解】解：∵将△DEF沿FE方向平移3cm得到△ABC∴AD=BE=3cm,DE=AB∵△DEF的周长为24cm∴DE+EF+DF=24,即AB+EF+DF=24，∴四边形ABFD的周长为AB+BF+DF+AD=AB+BE+EF+DF+AD=AB+EF+DF故答案为：30．12．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知∠AOB=50°，点P为∠AOB内部一点，点M为射线OA、点N为射线OB上的两个动点，当△PMN的周长最小时，则∠MPN=．【答案】80°/80度【分析】本题考查了轴对称−最短路线问题，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用；作点P关于OA，OB的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．则当M，【详解】解：作P关于OA，OB的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．则当M，N是∵P、P1关于∴∠P同理，∠P2OP=2∠NOP∴∠P1O∴△P∴∠OP∴∠MPN=∠MPO+∠NPO=∠O故答案为：80°．13．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，在△ABC中，点A的坐标为0,1，点B的坐标为4,1，点C的坐标为3,4，点D在第一象限（不与点C重合），且△ABD与△ABC全等，点D的坐标是．【答案】1,4【分析】本题考查坐标与图形，三角形全等的性质．利用数形结合的思想是解题的关键．根据点D在第一象限（不与点C重合），且△ABD与△ABC全等，画出图形，结合图形的对称性可直接得出D1,4【详解】解：∵点D在第一象限（不与点C重合），且△ABD与△ABC全等，∴AD=BC，AC=BD，∴可画图形如下，由图可知点C、D关于线段AB的垂直平分线x=2对称，则D1,4故答案为：1,4．14．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，等腰△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=120°，将△ABC沿其底边中线AD向下平移，使A的对应点A'满足AA'【答案】439【分析】本题考查平移的性质，相似三角形的判定和性质，三线合一，根据平移的性质，推出△A'EF∽△A'【详解】解：∵等腰△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=120°，∴∠ABC=30°，∵AD为中线，∴AD⊥BC，BD=CD，∴AD=12AB=1∴BC=23∵将△ABC沿其底边中线AD向下平移，∴B'C'∴△A∴EFB∵AA∴DA∴EFB∴EF=2∴S阴影故答案为：4315．（2024·四川广元·中考真题）已知y=3x与y=kxx>0的图象交于点A2,m，点B为y轴上一点，将△OAB沿OA翻折，使点B恰好落在y=k

【答案】0,4【分析】本题考查了反比例函数的几何综合，折叠性质，解直角三角形的性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得出A2,23以及y=43xx>0，根据解直角三角形得【详解】解：如图所示：过点A作AH⊥y轴，过点C作CD⊥x轴，

∵y=3x与y=k∴把A2,m代入y=3x∴A2,2把A2,23代入解得k=2×23∴y=4设Cm在Rt△AHO∴∠1=30°，∵点B为y轴上一点，将△OAB沿OA翻折，∴∠2=∠1=30°，OC=OB，∴∠3=90°−∠1−∠2=30°，则CDOD解得m=23∴C2∴OB=OC=2∴点B的坐标为0，故答案为：0，16．（2024·山东济宁·中考真题）如图，△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，AD是△ABC的角平分线．（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点E，F．（2）以点A为圆心，BE长为半径画弧，交AC于点G．（3）以点G为圆心，EF长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点H．（4）画射线AH．（5）以点B为圆心，BC长为半径画弧，交射线AH于点M．（6）连接MC，MB，MB分别交AC，AD于点N，P．根据以上信息，下面五个结论中正确的是．（只填序号）①BD=CD；②∠ABM=15°；③∠APN=∠ANP；④AMAD=3【答案】①②⑤【分析】本题为尺规作图几何综合题，涉及到了等腰三角形的性质即判定，矩形的判定，含30°角的直角三角形的定义，锐角三角函数的比值关系，相似三角形的判定及性质等知识点，灵活运用角的等量代换是解题的关键．根据等腰三角形的性质即可判断出①；过M作MK⊥BC于点K，证出四边形ADKM为矩形，即可通过边的比值关系求出∠MBK=30°，即可求出∠ABM判断②；利用三角形外角和分别求出两个角的值进行比较即可判断③；设AP=x，则PD=AD−x，用含x的式子分别表达出AM和AD的长度后即可判断④；判定出△BMC∽△CMN即可判断⑤．【详解】解：∵AB=AC，∠BAC=90°，∴三角形ABC为等腰直角三角形，∠ABD=∠ACD=45°，又∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠CAD=1∴∠ABD=∠ACD=∠BAD=∠CAD=45°，∴BD=AD=DC，故①正确；根据题意作图可得：∠MAC=∠ABD=45°，BM=BC，过M作MK⊥BC于点K，则∠MKB=90°，如图所示：∵AD是△ABC的角平分线，由三线合一可得：AD⊥BC，即∠ADC=90°，∵∠DAM=∠DAC+∠MAC=45°+45°=90°，∴∠DAM=∠MKB=∠ADC=90°，∴四边形ADKM为矩形，∴MK=AD=1∴∠MBK=30°，∴∠ABM=∠ABD−∠MBK=45°−30°=15°，故②正确；∵∠APN=∠ABM+∠BAD=15°+45°=60°，∠ANP=∠MBK+∠DAC=30°+45°=75°，∴∠APN≠∠ANP，故③错误；设AP=x，则PD=AD−x，∵AM∥∴∠AMB=∠MBC=30°，∴tan∠AMB=tan30°=APAM=x∴AMAD∵∠BMC=∠BCM=180°−∠MBC∵∠MNC=∠ANP=75°，∴∠MNC=∠BCM，又∵∠BMC=∠CMN，∴△BMC∽△CMN，∴MCMB∴MC综上所述，正确的有：①②⑤；故答案为：①②⑤．三．解答题（共9小题，满分72分，其中17、18、19题每题6分，20题、21题每题7分，22题8分，23题9分，24题10分，25题13分）17．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A−1,1，B−2,3，(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B(2)画出△ABC绕点A逆时针旋转90°后得到的△AB2C(3)在（2）的条件下，求点B旋转到点B2的过程中所经过的路径长（结果保留π【答案】(1)作图见解析，B(2)作图见解析，B(3)5【分析】本题考查了利用旋转变换作图，轴对称和扇形面积公式等知识，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．（1）根据题意画出即可；关于y轴对称点的坐标横坐标互为相反数，纵坐标不变；（2）根据网格结构找出点B、C以点A为旋转中心逆时针旋转90°后的对应点，然后顺次连接即可；（3）先求出AB=5，再由旋转角等于90°【详解】（1）解：如图，△A1B1C（2）如图，△AB2C（3）AB=1点B旋转到点B2的过程中所经过的路径长90×18．（2024·吉林·中考真题）图①、图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A，B，C，D，E，O均在格点上．图①中已画出四边形ABCD，图②中已画出以OE为半径的⊙O，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．(1)在图①中，面出四边形ABCD的一条对称轴．(2)在图②中，画出经过点E的⊙O的切线．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，矩形的性质与判定，切线的判定，画对称轴等等：（1）如图所示，取格点E、F，作直线EF，则直线EF即为所求；（2）如图所示，取格点G、H，作直线GH，则直线GH即为所求．【详解】（1）解：如图所示，取格点E、F，作直线EF，则直线EF即为所求；易证明四边形ABCD是矩形，且E、F分别为AB，（2）解：如图所示，取格点G、H，作直线GH，则直线GH即为所求；易证明四边形OGTH是正方形，点E为正方形OGTH的中心，则OE⊥GH．19．（2024·四川自贡·中考真题）为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法．

(1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长EF恰好等于自己的身高DE．此时，小组同学测得旗杆AB的影长BC为11.3m(2)如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度DE=1.5m，小李到镜面距离EC=2m，镜面到旗杆的距离(3)小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：

如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上．如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线PQ始终垂直于水平地面．如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线DA与标高线交点C，测得标高CG=1.8m，DG=1.5m．将观测点D后移24m到D'处，采用同样方法，测得C'【答案】(1)11.3(2)旗杆高度为12m(3)雕塑高度为29m【分析】本题考查平行投影，相似三角形的应用．（1）根据同一时刻物高与影长对应成比例，进行求解即可；（2）根据镜面反射性质，可求出∠ACB=∠ECD，得出△ACB∽△DCE，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案；（3）BG=xm，由题意得：△DGC∽△DBA，△【详解】（1）解：由题意得DE=DF，由题意得：DEAB∴AB=BC=11.3m故答案为：11.3；（2）解：如图，由题意得，DE=1.5m根据镜面反射可知：∠ACB=∠ECD，∵AB⊥BE，DE⊥BE，∴∠ABC=∠DEC=90°，∴△ACB∽△DCE，∴ABDE=∴AB=12，答：旗杆高度为12m（3）解：设BG=xm由题意得：△DGC∽△DBA，△D∴CGAB=DG即1.8AB=1.5∴1.8AB整理得3.61.5+x解得x=22.5，经检验符合他∴AB=1.8×1.5+22.5答：雕塑高度为29m20．（2024·山东日照·中考真题）如图，以▱ABCD的顶点B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点E，再分别以点A，E为圆心，大于12AE的长为半径画弧，两弧交于点F，画射线BF，交AD于点G，交CD的延长线于点(1)由以上作图可知，∠1与∠2的数量关系是_______(2)求证：CB=CH(3)若AB=4，AG=2GD，∠ABC=60°，求△BCH的面积．【答案】(1)∠1=∠2(2)证明见解析(3)9【分析】本题考查了角平分线定义，平行四边形的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键．（1）根据作图可知，BF为∠ABC的角平分线，即可得到答案；（2）根据平行四边形的性质可知∠1=∠H，结合∠1=∠2，从而推出∠2=∠H，即可证明；（3）过点H作BC的垂线交BC的延长线于点M，根据平行四边形的性质AB=CD=4，∠HCM=∠ABC=60°，ABDH=AGGD，结合AG=2GD，推出DH=12AB，从而得到CH【详解】（1）解：由作图可知，BF为∠ABC的角平分线∴∠1=∠2故答案为：∠1=∠2（2）证明：∵四边形ABCD为平行四边形∴AB∥CD∴∠1=∠H∵∠1=∠2∴∠2=∠H∴CB=CH（3）解：如图，过点H作BC的垂线交BC的延长线于点M∵四边形ABCD为平行四边形，AB=4∴AB∥CD，AB=CD=4∴∠HCM=∠ABC=60°，△ABG∽△DHG∴又∵AG=2GD∴∴∴DH=∴CH=DH+CD=6∴BC=CH=6∴HM=CH⋅∴S21．（2024·江苏无锡·中考真题）【操作观察】如图，在四边形纸片ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BC=8，AB=12，AD=13．折叠四边形纸片ABCD，使得点C的对应点C'始终落在AD上，点B的对应点为B'，折痕与AB，【解决问题】(1)当点C'与点A重合时，求B(2)设直线B'C'与直线AB相交于点F，当∠AF【答案】(1)10(2)285或【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，正切的相关应用，结合题意画出图形是解题的关键．（1）过点C作CH⊥AD，则CH=AB=12，AH=BC=8，再求出HD，根据勾股定理求出CD，当点C'与点A重合时，由折叠的性质可得出MN垂直平分AC，N与D则有AM=MC，设B'M=MB=x，则AM=MC=12−x，再利用勾股定理即可得出（2）分两种情况，当点F在AB上时和当点F在BA的延长线上时，设AF=5x，AC'=12x，则C【详解】（1）解：如图1，过点C作CH⊥AD，则CH=AB=12，AH=BC=8，∴HD=AD−AC∴CD=Ctan∠ADC=当点C'与点A重合时，由折叠的性质可得出MN垂直平分AC，N与D则有AM=MC，设B'M=MB=x，则∵∠ABC=90°∴在Rt△MBC中x解得：x=10故B（2）如图2，当点F在AB上时，如下图：由(1)可知tan∠ADC=∵∠AF∴tan∠AF设AF=5x，AC'=12x根据折叠的性质可得出：B'C'∵∠B∴tan∠∵∠ABC=90°∴在Rt△BFM中，FM=13则5x+12解得：x=7A如图3，当点F在BA的延长线上时，同上tan∠AF在Rt△AF设AF=5x，AC'=12x，F在Rt△MFFM=135则FB=5x+12=解得x=13则AC综上：AC'的值为：28522．（2024·四川雅安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象l与反比例函数y=kx的图象交于M1(1)求反比例函数及一次函数的表达式；(2)求△OMN的面积；(3)若点P是y轴上一动点，连接PM，PN．当PM+PN的值最小时，求点【答案】(1)一次函数的表达式为y=−2x+5，反比例函数表达式为y=(2)15(3)P【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键．（1）依据题意，由M12,4在反比例函数y=kx上，可得k（2）依据题意，设直线l交x轴于点A，交y轴于点B，由直线l为y=−2x+5，可得A52,0,B(0,5)，故OA=5（３）依据题意，作点M关于y轴的对称点M'，连接M'N交y轴于点P，则PM+PN的最小值等于M'N的长，结合M12,4)与M'关于y轴对称，故M'为−1【详解】（1）解：由题意，∵M12,4∴k=1∴反比例函数表达式为y=2又Nn,1在反比例函数y=∴n=2．∴N2,1设一次函数表达式为y=ax+b，∴12∴a=−2，b=5．∴一次函数的表达式为y=−2x+5．（2）解：由题意，如图，设直线l交x轴于点A，交y轴于点B，又直线l为y=−2x+5，∴A52,0∴OA=52，∴S△OMN=S△AOB−（3）解：由题意，如图，作点M关于y轴的对称点M'，连接M'N交y轴于点P，则PM+PN=P∵M12,4与M∴M'为−又N2,1，设M'N则−12c+d=4∴直线M'N为令x=0，则y=17∴P0,23．（2025·上海普陀·一模）在平面直角坐标系xOy中（如图）．已知抛物线y=ax2+bx−3a≠0的顶点A的坐标为(1,−2)，与y轴交于点B．将抛物线沿射线BA方向平移，平移后抛物线的顶点记作M，其横坐标为m．平移后的抛物线与原抛物线交于点N，且设点(1)求原抛物线的表达式；(2)求m关于n的函数解析式；(3)在抛物线平移过程中，如果∠NBM是锐角，求平移距离的取值范围．【答案】(1)y=−(2)m=2n(3)2【分析】（1）根据顶点的坐标为(1,−2)，列出方程−b（2）先求出直线AB的表达式为y=x−3，根据题意求出点M的坐标为(m,m−3)，点N的坐标为n,−n（3）分类讨论求出临界情况，即可得出取值范围．【详解】（1）解：由原抛物线y=ax2+bx−3可得−b解得a=−1，b=2．所以，原抛物线的表达式是y=−x（2）解：由点A的坐标为(1,−2)，点B的坐标为(0,−3)设直线AB的表达式为y=kx−3，将点A的坐标(1,−2)代入可得−2=k−3，解得：k=1，∴直线AB的表达式为y=x−3．由抛物线沿射线BA方向平移，可得顶点M始终落在射线BA上，得点M的坐标为(m,m−3)．得平移后抛物线的表达式为y=−(x−m)∵平移后的抛物线与原抛物线交于点N，其横坐标为n，点N的坐标为n,−n∴−n化简得m2−2mn−m+2n=0，得∵m−1≠0，∴m−2n=0，解得：m=2n，所以m关于n的函数解析式为m=2n．（3）解：过点B作BG⊥MB，交原抛物线于点G，那么∠GBM=90°．当点N在AG之间的抛物线上运动时，∠NBM是锐角．当点N与点A重合时，N1,−2，M平移距离=1−2当点N与点G重合时，过点N作NE⊥y轴，垂足为点E，过点A作AF⊥y轴，垂足为点F．∴点N的坐标为n,−n2+2n−3，点B的坐标为(0,−3)，点A∴AF=BF=1，EN=n，BE=n∵∠ABF=∠BNE=90°−∠NBE,∠BFA=∠BEN=90°，∴△ABF∽△BNE，∴BFNE∴n2−2n=n，可得∵n≠0，∴解得：n=3．∴点M的坐标为(6,3)，∴AM=52∵点N位于原抛物线对称轴的右侧，∴当∠NBM是锐角时，平移距离的取值范围是2<AM<5【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，平移的性质，相似三角形的性质和判定，解一元二次方程，一次函数的性质等，掌握二次函数的性质是解题的关键．24．（2023·辽宁阜新·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=−x2+bx−c的图象与x轴交于点A(−3,0)和点B(1,0)，与y

(1)求这个二次函数的表达式．(2)如图1，二次函数图象的对称轴与直线AC:y=x+3交于点D，若点M是直线AC上方抛物线上的一个动点，求△MCD面积的最大值．(3)如图2，点P是直线AC上的一个动点，过点P的直线l与BC平行，则在直线l上是否存在点Q，使点B与点P关于直线CQ对称？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=−x(2)S△MCD(3)Q1−5，【分析】（1）根据抛物线的交点式直接得出结果；（2）作MQ⊥AC于Q，作ME⊥AB于F，交AC于E，先求出抛物线的对称轴，进而求得C，D坐标及CD的长，从而得出过M的直线y=x+m与抛物线相切时，△MCD的面积最大，根据x+m=−x2−2x+3的△=0求得m的值，进而求得M的坐标，进一步求得CD（3）分两种情形：当点P在线段AC上时，连接BP，交CQ于R，设P(t，t+3)，根据CP=CB求得t的值，可推出四边形BCPQ是平行四边形，进而求得Q点坐标；