人教A版高中数学选择性必修三8.2第3课时 指数函数模型与幂函数模型-同步练习【含答案】

人教A版高中数学选择性必修三8.2第3课时指数函数模型与幂函数模型-同步练习1.某公司对某产品做市场调查，获得了该产品的定价x(单位：万元/吨)和一天的销量y(吨)的一组数据，根据这组数据制作了如图所示的统计表和散点图．eq\x\to(x)eq\x\to(y)eq\x\to(t)eq\i\su(i＝1,10,x)eq\o\al(2,i)eq\i\su(i＝1,10,t)eq\o\al(2,i)eq\i\su(i＝1,10,x)iyieq\i\su(i＝1,10,t)iyi0.331030.16410068350表中t＝eq\f(1,x).(1)根据散点图判断，eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))与eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(c,\s\up6(^))x－1＋eq\o(d,\s\up6(^))哪一个更适合作为y关于x的经验回归方程(给出判断即可，不必说明理由)；(2)根据(1)的判断结果，建立y关于x的经验回归方程；(3)若生产1吨该产品的成本为0.25万元，依据(2)的经验回归方程，预计每吨定价多少时，该产品一天的销售利润最大？最大利润是多少？(经验回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x))2．根据党的“扶贫同扶志、扶智相结合”精准扶贫、精准脱贫政策，中国儿童少年基金会为了丰富留守儿童的课余文化生活，培养良好的阅读习惯，在农村留守儿童聚居地区捐建“小候鸟爱心图书角”.2022年某村在寒假和暑假组织开展“小候鸟爱心图书角读书活动”，号召全村少年儿童积极读书，养成良好的阅读习惯，下表是对2018年以来近5年该村庄100位少年儿童的假期周人均读书时间的统计：年份20182019202020212022年份代码x12345每周人均读书时间y(小时)1.32.85.78.913.8现要建立y关于x的经验回归方程，有两个不同的经验回归模型可以选择，模型一eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))；模型二eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(c,\s\up6(^))x2＋eq\o(d,\s\up6(^))，即使画出y关于x的散点图，也无法确定哪个经验回归模型拟合效果更好，现用最小二乘法原理，已经求得模型一的经验回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝3.1x－2.8.(1)请你用最小二乘法原理，结合下面的参考数据及参考公式求出模型二的经验回归方程(计算结果保留到小数点后一位)；(2)用计算残差平方和的方法比较哪个模型拟合效果更好，已经计算出模型一的残差平方和为eq\i\su(i＝1,5,

)(yi－eq\o(y,\s\up6(^))i)2＝3.7.参考数据：eq\f(\i\su(i＝1,5,t)iyi－5\x\to(t)\x\to(y),\i\su(i＝1,5,t)\o\al(2,i)－5\x\to(t)2)≈0.52，其中ti＝xeq\o\al(2,i)，i＝1,2,3,4,5.参考公式：经验回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,

)xi－\x\to(x)2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x).3．中国茶文化博大精深，已知茶水的口感与茶叶类型以及水温有关．经验表明，某种绿茶用85℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感．某学习研究小组通过测量，得到了下面表格中的数据(室温是20℃)．泡制时间x/min01234水温y/℃8579747165(1)小组成员根据上面表格中的数据绘制散点图(图略)，并根据散点图分布情况，考虑到茶水温度降到室温(即20℃)就不能再降的事实，决定选择函数模型y＝kcx＋20(x≥0)来刻画．①令z＝ln(y－20)，求出z关于x的经验回归方程；②利用①的结论，求出y＝kcx＋20(x≥0，c>0)中的k与c.(2)你认为该品种绿茶用85℃的水大约泡制多久后饮用，可以产生最佳口感？参考数据：ln65≈4.2，ln59≈4.1，ln54≈4.0，ln51≈3.9，ln45≈3.8，log0.90.6≈4.8，e－0.1≈0.9，e4.2≈66.7，eq\f(400,667)≈0.6，参考公式：eq\o(z,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)zi－\x\to(z),\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(z)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x).4．某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入计划，收集了近6个月广告投入量x(单位：万元)和收益y(单位：万元)的数据如下表：月份123456广告投入量x/万元24681012收益y/万元14.2120.3131.831.1837.8344.67他们用两种模型①y＝bx＋a，②y＝aebx分别进行拟合，得到相应的经验回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值：eq\x\to(x)eq\x\to(y)eq\i\su(i＝1,6,x)iyieq\i\su(i＝1,6,x)eq\o\al(2,i)7301464.24364(1)根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；(2)残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据，需要剔除：①剔除异常数据后，求出(1)中所选模型的经验回归方程；②广告投入量x＝18时，(1)中所选模型收益的预测值是多少？附：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其经验回归直线eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))的斜率和截距的最小二乘估计分别为eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x).参考答案与详细解析1．解(1)根据散点图可知，eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(c,\s\up6(^))x－1＋eq\o(d,\s\up6(^))更适合作为y关于x的经验回归方程．(2)由t＝eq\f(1,x)，得eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(c,\s\up6(^))t＋eq\o(d,\s\up6(^))，所以eq\o(c,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,10,t)iyi－10\x\to(t)\x\to(y),\i\su(i＝1,10,t)\o\al(2,i)－10\x\to(t)2)＝eq\f(350－10×3×10,100－10×32)＝5，所以eq\o(d,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(c,\s\up6(^))eq\x\to(t)＝10－5×3＝－5，所以y关于t的经验回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝5t－5，故y关于x的经验回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\f(5,x)－5.(3)设一天的利润为W，W＝y(x－0.25)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,x)－5))(x－0.25)＝6.25－5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(0.25,x)))≤6.25－5×2eq\r(x×\f(0.25,x))＝6.25－5×2×0.5＝1.25，当且仅当x＝eq\f(0.25,x)即x＝0.5时等号成立，所以预计每吨定价为0.5万元时，该产品一天的销售利润最大，最大利润是1.25万元．2．解(1)令t＝x2，则模型二可化为y关于t的线性经验回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(c,\s\up6(^))t＋eq\o(d,\s\up6(^))，则eq\x\to(t)＝eq\f(1＋4＋9＋16＋25,5)＝11，eq\x\to(y)＝eq\f(1.3＋2.8＋5.7＋8.9＋13.8,5)＝6.5，则由参考数据可得eq\o(c,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,t)iyi－5\x\to(t)\x\to(y),\i\su(i＝1,5,t)\o\al(2,i)－5\x\to(t)2)≈0.52≈0.5，eq\o(d,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(c,\s\up6(^))eq\x\to(t)＝6.5－0.52×11≈0.8，则模型二的经验回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝0.5x2＋0.8.(2)由模型二的经验回归方程可得，eq\o(y,\s\up6(^))eq\o(,\s\up1((2)),\s\do2(1))＝0.5×1＋0.8＝1.3，eq\o(y,\s\up6(^))eq\o(,\s\up1((2)),\s\do2(2))＝0.5×4＋0.8＝2.8，eq\o(y,\s\up6(^))eq\o(,\s\up1((2)),\s\do2(3))＝0.5×9＋0.8＝5.3，eq\o(y,\s\up6(^))eq\o(,\s\up1((2)),\s\do2(4))＝0.5×16＋0.8＝8.8，eq\o(y,\s\up6(^))eq\o(,\s\up1((2)),\s\do2(5))＝0.5×25＋0.8＝13.3，∴eq\i\su(i＝1,5,)(yi－eq\o(y,\s\up6(^))eq\o(,\s\up1((2)),\s\do2(i)))2＝02＋02＋0.42＋0.12＋0.52＝0.42<3.7，故模型二的拟合效果更好．3．解(1)①由已知得出x与z的关系，如下表：泡制时间x/min01234z4.24.14.03.93.8设经验回归方程eq\o(z,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，由题意，得eq\x\to(x)＝eq\f(0＋1＋2＋3＋4,5)＝2，eq\x\to(z)＝eq\f(4.2＋4.1＋4.0＋3.9＋3.8,5)＝4，∴eq\i\su(i＝1,5,)(xi－eq\x\to(x))(zi－eq\x\to(z))＝(－2)×0.2＋(－1)×0.1＋1×(－0.1)＋2×(－0.2)＝－1，eq\i\su(i＝1,5,)(xi－eq\x\to(x))2＝(－2)2＋(－1)2＋12＋22＝10，则eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,)xi－\x\to(x)zi－\x\to(z),\i\su(i＝1,5,)xi－\x\to(x)2)＝eq\f(－1,10)＝－0.1，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(z)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝4＋0.1×2＝4.2，则z关于x的经验回归方程为eq\o(z,\s\up6(^))＝－0.1x＋4.2.②由y＝kcx＋20(x≥0)，得y－20＝kcx(x≥0)，两边取对数得，ln(y－20)＝lnk＋xlnc，利用①的结论得，lnc＝－0.1，lnk＝4.2，∴c＝e－0.1≈0.9，k＝e4.2≈66.7.(2)由(1)得，eq\o(y,\s\up6(^))＝66.7×0.9x＋20(x≥0)，令eq\o(y,\s\up6(^))＝60，得x＝log0.90.6≈4.8.∴