初中数学新定义题型练习题60道附解析

初中数学新定义题型练习题60道附解析一、选择题.定义运算,则的值是()

A. B. C. D.若规定表示不超过的最大整数,则等于()

A. B. C. D.定义,则的值是()

A. B. C. D.对有理数,定义,则()

A. B. C. D.若表示的绝对值,定义新运算,则()

A. B. C. D.定义:,则()

A. B. C. D.定义:若表示的倒数,则()

A. B. C. D.定义:,则()

A. B. C. D.定义:,则()

A. B. C. D.定义“平方差数”为两个连续整数的平方差,下列哪个数不是平方差数()

A.5 B.7 C.9 D.10定义“同心圆”为半径相差的圆.若小圆面积为,大圆周长为()

A. B. C. D.定义“黄金点”为满足的点,则以下哪个点不是黄金点()

A.(1,8) B.(3,4) C.(4,3) D.(5,0)定义:若方程的"影子方程"为,且原方程一根为2,则影子方程的根为()

A.和 B.和 C.和 D.和定义:方程的"影子方程"为,已知原方程有一根为,则影子方程必有根()

A. B. C. D.目:定义“平衡方程”为的解为,则与的关系是().

A. B. C. D.定义“同解方程”为与解相同的方程.以下哪个方程与不是同解方程()

A. B. C. D.定义“对称方程”为的两根互为倒数,则必有().

A. B. C. D.定义“黄金方程”为有实数根,则的取值范围是().

A.或 B. C. D.二、填空题对于实数和,定义运算,则.定义新运算,则.若规定(),则.定义函数,则.若规定,且,则______.定义函数,若且,则______,______.定义:,则.定义:表示的整数部分与小数部分乘积,如,则.定义:若表示与的平方差,则.定义运算,则______..对应点和定义“折线距离”为.若,,则______.定义“几何均值”为,若,,则几何均值为______.定义:表示的调和平均数,即,则的值为_______.定义:若关于的方程的"平衡系数"为,则当平衡系数为5时,.定义:对于方程,其"矛盾值"为使得方程无解的,则矛盾值是______.定义:若方程组的"和谐积"为,当解为时,和谐积是______.定义“双倍方程”为形如的方程.若其解为,则______.定义“倍式方程”为,若其解为,则______.定义:对于三次方程,定义其"镜像方程"为.已知原方程有一根为,则镜像方程必有一根为______.定义“立方方程”为,若是根,则______..三、解答题.定义:若一个数的平方等于它本身与1的和,则称它为“T数”.

①求所有“T数”;

②判断5是否为“T数”.定义:在平面直角坐标系中,若点满足,则称为“K点”.

①判断点是否为“K点”;

②若点是“K点”,求的值.定义:若直线与抛物线有且仅有一个公共点,则称该直线为抛物线的“切线”.

①若直线是的“切线”,求;

②一般地,推导抛物线的“切线”方程形式.定义“平衡点”为函数的解.已知.

①求平衡点;

②若将向右平移个单位后,平衡点为,求.定义:对于实数,若,且恒成立,求与的关系.题目:定义“阶梯函数”为.

①求和;

②求的解.定义“光点”为满足与的交点.

①求时的光点坐标;

②若光点在第一象限,求的范围.定义:对分式方程,定义其"危险值"为使方程产生增根的值.

①求该方程的"危险值";

②当时,求方程的解;

③若方程无解,求的取值范围.定义“差值方程”为.

①当,时,求方程的解集;

②若方程有唯一解,求的取值范围;

③若解集包含和,求和.定义“分段方程”为.

①求和;

②解方程;

③若有2个解,求的范围.定义“复合方程”为.

①将方程化简为,求;

②求方程的解;

③若方程改为,求.定义“超立方运算”为.

①计算;

②若,求;

③证明:对任意实数,.定义“旋转方程”为将直线绕原点顺时针旋转后的新方程.

①若原直线为,求旋转后的方程;

②若旋转后直线经过点,求原直线的和.定义“动态抛物线”为,其顶点在直线上.

①用表示顶点坐标;

②求与的关系式;

③若抛物线经过,求和.定义:称函数与的交点为"平衡点"

①求平衡点坐标

②求两直线与轴围成的三角形面积

③若平移直线使其经过原点,求新平衡点坐标.阅读材料:对于任何数,我们规定符号的意义是:．例如:．

①按照这个规定,请你计算的值．

②按照这个规定,当时,求的值．我们已经学习了“乘方”运算,下面介绍一种新运算,即“对数”运算．

定义:如果(a＞0,a≠1,N＞0),那么b叫做以a为底N的对数,

记作．

例如:因为,所以;因为,所以．

根据“对数”运算的定义,回答下列问题:

①填空:,________．

②如果,求m的值．

③对于“对数”运算,小明同学认为有“(a＞0,a≠1,M＞0,N＞0)”,他的说法正确吗？如果正确,请给出证明过程;如果不正确,请说明理由,并加以改正．阅读材料:求的值．

解:设,

将等式两边同时乘以2得:

将下式减去上式得

即

即

请你仿照此法计算:①;

(2)(其中为正整数).观察下列两个等式:,,给出定义如下:我们称使等式成立的一对有理数,为“共生有理数对”,记为(,),如:数对(,),(,),都是“共生有理数对”．

①数对(,),(,)中是“共生有理数对”的是;

②若(,)是“共生有理数对”,求的值;

③若(,)是“共生有理数对”,则(,)“共生有理数对”(填“是”或“不是”);

(4)请再写出一对符合条件的“共生有理数对”为

(注意:不能与题目中已有的“共生有理数对”重复)．定义:若,则称与是关于1的平衡数.

(1)3与是关于1的平衡数,

(2)与是关于1的平衡数(填一个含的式子);

(3)若,,判断与是否是关于1的平衡数,并说明理由.在平面直角坐标系中,将一点(横坐标与纵坐标不相等)的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“互换点”,如(-3,5)与(5,-3)是一对“互换点”．

①任意一对“互换点”能否都在一个反比例函数的图象上？为什么？

②M、N是一对“互换点”,若点M的坐标为,求直线MN的表达式(用含、的代数式表示);

③在抛物线的图象上有一对“互换点”A、B,其中点A在反比例函数的图象上,直线AB经过点P(,),求此抛物线的表达式．.我们规定,若关于的一元一次方程的解为,则称该方程为“差解方程”,例如:2=4的解为2,且2=4-2,则该方程2=4是差解方程．

请根据上边规定解答下列问题:

①判断3=4.5是否是差解方程;

②若关于的一元一次方程是差解方程,求的值．

初中数学新定义题型练习题60道解析一、选择题.定义运算,则的值是()

A. B. C. D.

解答:

,选.若规定表示不超过的最大整数,则等于()

A. B. C. D.

解答:

,,和为,选.定义,则的值是()

A. B. C. D.

解答:

,选.对有理数,定义,则()

A. B. C. D.

解答:

,,差为,选.若表示的绝对值,定义新运算,则()

A. B. C. D.

解答:

,选.定义:,则()

A. B. C. D.

解答:

,选.定义:若表示的倒数,则()

A. B. C. D.

解答:

,再次取倒数为,选.定义:,则()

A. B. C. D.

解答:

,选.定义:,则()

A. B. C. D.

解答:

,选.定义“平方差数”为两个连续整数的平方差,下列哪个数不是平方差数()

A.5 B.7 C.9 D.10

解答:

平方差为,必为奇数.

答案D.定义“同心圆”为半径相差的圆.若小圆面积为,大圆周长为()

A. B. C. D.

解答

小圆半径,大圆半径,周长,选A.

答案;.定义“黄金点”为满足的点,则以下哪个点不是黄金点()

A.(1,8) B.(3,4) C.(4,3) D.(5,0)

解答

验证选项:,选C.定义:若方程的"影子方程"为,且原方程一根为2,则影子方程的根为()

A.和 B.和 C.和 D.和

解答:

原方程代入得,影子方程为,因为,所以是影子方程的解.由韦达定理新根和为,积为,得根为和,选B.定义:方程的"影子方程"为,已知原方程有一根为,则影子方程必有根()

A. B. C. D.

解答:

将代入原方程得,影子方程代入得,与原式相加得,故必为根,选.目:定义“平衡方程”为的解为,则与的关系是().

A. B. C. D.

解答

将代入得,选B.定义“同解方程”为与解相同的方程.以下哪个方程与不是同解方程()

A. B. C. D.

解答:

原方程解为,选项D.

答案:D.定义“对称方程”为的两根互为倒数,则必有().

A. B. C. D.

解答

由韦达定理,两根乘积,选B.

答案:.定义“黄金方程”为有实数根,则的取值范围是().

A.或 B. C. D.

解答

判别式,解得或,选A.

答案:.二、填空题对于实数和,定义运算,则

解答:

.定义新运算,则

解答:

先算,则.若规定(),则

解答:

.定义函数,则

解答:

,,和为.若规定,且,则______.

解答:

由题意得,解得.

答案:.定义函数,若且,则______,______.

解答

由题意得方程组:

解得,代入得.

答案:,.定义:,则

解答:

.定义:表示的整数部分与小数部分乘积,如,则

解答:

,整数部分,小数部分,乘积为,故.定义:若表示与的平方差,则

解答:

,,差为.定义运算,则______.

解答

,故.

答案:.对应点和定义“折线距离”为.若,,则______.

解答

.

答案:.定义“几何均值”为,若,,则几何均值为______.

解答

.

答案:.定义:表示的调和平均数,即,求.

答案:.定义:若关于的方程的"平衡系数"为,则当平衡系数为5时,

解答:

,方程成立,.定义:对于方程,其"矛盾值"为使得方程无解的,则矛盾值是______.

解答:

化简得,当即时无解,故.定义:若方程组的"和谐积"为,当解为时,和谐积是______

解答:

代入得,,和谐积为.定义“双倍方程”为形如的方程.若其解为,则______.

解答:

将代入方程:

.

答案:.定义“倍式方程”为,若其解为,则______.

解答:

代入:.

答案:.定义:对于三次方程,定义其"镜像方程"为.已知原方程有一根为,则镜像方程必有一根为______

答案:.定义“立方方程”为,若是根,则______.

解答

代入:.

答案:.三、解答题.定义:若一个数的平方等于它本身与1的和,则称它为“T数”.

①求所有“T数”;

②判断5是否为“T数”.

解答:

①设,解得;

②,而,所以5不是T数.

答案:①;②不是.定义:在平面直角坐标系中,若点满足,则称为“K点”.

①判断点是否为“K点”;

②若点是“K点”,求的值.

解答:

①,所以不是;

②由定义,解得.

答案:①不是;②.定义:若直线与抛物线有且仅有一个公共点,则称该直线为抛物线的“切线”.

①若直线是的“切线”,求;

②一般地,推导抛物线的“切线”方程形式.

解答:

①联立方程得,判别式,解得;

②设切线为,联立得,令,得,故方程为.

答案:①;②.定义“平衡点”为函数的解.已知.

①求平衡点;

②若将向右平移个单位后,平衡点为,求.

解答

①令,解得;

②平移后函数为,令,代入得.

答案:①;②.定义:对于实数,若,且恒成立,求与的关系.

解答:

左边,右边,令二者相等得,即.题目:定义“阶梯函数”为.

①求和;

②求的解.

解答:

①,;

②时无解;时.

答案

①,;②.定义“光点”为满足与的交点.

①求时的光点坐标;

②若光点在第一象限,求的范围.

解答

①联立,解得,;

②分和讨论,解得且,综合为.

答案

①;②.定义:对分式方程,定义其"危险值"为使方程产生增根的值.

①求该方程的"危险值";

②当时,求方程的解;

③若方程无解,求的取值范围.

解答:

①增根为或.若代入化简方程得;若代入得(不成立),故危险值为

②方程化简为,解得,经检验是解,故

③当化简后方程无解或解为增根时:

化简方程,若无解,则不可能;

若解为增根,则或,解得或.结合①知时增根为,综上.定义“差值方程”为.

①当,时,求方程的解集;

②若方程有唯一解,求的取值范围;

③若解集包含和,求和.

解答

①或;

②唯一解当且仅当;

③由,.

答案

①;②;③,.定义“分段方程”为.

①求和;

②解方程;

③若有2个解,求的范围.

解答

①,;

②当时,;当时,;

③当时,方程有2个解.

答案

①,;②,;③.定义“复合方程”为.

①将方程化简为,求;

②求方程的解;

③若方程改为,求.

解答

①;

②;

③化简为,.

答案

①;②;③.定义“超立方运算”为.

①计算;

②若,求;

③证明:对任意实数,.

解答

①;

②方程化简为或;

③.

答案:①;②,;③证明见解答.定义“旋转方程”为将直线绕原点顺时针旋转后的新方程.

①若原直线为,求旋转后的方程;

②若旋转后直线经过点,求原直线的和;

解答

①旋转后斜率为,过点旋转为,方程为;

②设原直线旋转后为,代入得方程,结合原直线截距求解;

答案

①;②,.定义“动态抛物线”为,其顶点在直线上.

①用表示顶点坐标;

②求与的关系式;

③若抛物线经过,求和.

解答:

①顶点;

②代入直线方程得;

③代入得,.

答案①;②;③,.定义:称函数与的交点为"平衡点"

①求平衡点坐标

②求两直线与轴围成的三角形面积

③若平移直线使其经过原点,求新平衡点坐标

解答:

①解得,,故

②轴交点分别为和,面积

③平移后直线为,新交点解得,,故.阅读材料:对于任何数,我们规定符号的意义是:．例如:

①按照这个规定,请你计算的值．

②按照这个规定,当时,求的值．

解:①根据题中的新定义得:原式=-

②已知等式变形得:

.我们已经学习了“乘方”运算,下面介绍一种新运算,即“对数”运算．

定义:如果(a＞0,a≠1,N＞0),那么b叫做以a为底N的对数,

记作．

例如:因为,所以;因为,所以．

根据“对数”运算的定义,回答下列问题:

①填空:,________．

②如果,求m的值．

③对于“对数”运算,小明同学认为有“(a＞0,a≠1,M＞0,N＞0)”,他的说法正确吗？如果正确,请给出证明过程;如果不正确,请说明理由,并加以改正．

解:①填空:1,4;

②由题意,得

∴

解得

∴.

③略.阅读材料:求的值．

解:设,

将等式两边同时乘以2得:

将下式减去上式得

即

即

请你仿照此法计算:①;

(2)(其中为正整数).

解:①设

则

即

②设

则

即

.观察下列两个等式:,,给出定义如下:我们称使等式成立的一对有理数,为“共生有理数对”,记为(,),如:数对(,),(,),都是“共生有理数对”．

①数对(,),(,)中是“共生有理数对”的是;

②若(,)是“共生有理数对”,求的值;

③若(,)是“共生有理数对”,则(,)“共生有理数对”(填“是”或“不是”);

(4)请再写出一对符合条件的“共生有理数对”为

(注意:不能与题目中已有的“共生有理数对”重复)．

解:①(,);

②由题意得:

解