2024-2025学年北京市海淀区中关村中学高二（下）开学数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京市海淀区中关村中学高二（下）开学数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知直线过点A(1,0)，B(0,−3)，则直线的倾斜角为A.π6 B.π3 C.π42.圆心为(−1,2)且过原点的圆的方程是(

)A.(x+1)2+(y−2)2=5 B.(x−13.焦点为(0,2)的抛物线标准方程是(

)A.x2=8y B.x2=4y C.4.长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1A.30° B.45° C.60° D.90°5.已知α，β是两个不同的平面，直线l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.已知椭圆x22+y2=1上一点A和焦点F，AF⊥x轴，若双曲线x2aA.23 B.12 C.7.已知圆(x−2)2+(y+1)2=9，直线x+y+m=0，若圆上至少有3个点到直线的距离为2A.3 B.−3 C.2 D.−28.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2A.20242025 B.40504051 C.202540519.记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4A.13 B.45 C.65 D.13010.已知数列{an}的通项公式an=n2−2an，则根据下列说法选出正确答案是(

)

①若a=−12，则数列{1an}的前n项和Sn=1−1n+1；

②若a=A.①② B.②③ C.①③ D.①②③二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。11.双曲线C：x24−12.经过点P(1,0)，且与直线l：y=2x−1平行的直线方程是______．13.抛物线y2=2px(p>0)上一点M到焦点F(1,0)的距离等于3，则点M的坐标为______．14.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=−3，a3+15.生活中一些常见的漂亮图案不仅具有艺术美，其中也有数学的对称、和谐、简洁美.曲线C：4−|x|=4−y2，下面是关于曲线C的四个结论：

①曲线C关于原点中心对称；

②曲线C上点的横坐标取值范围是[−4,4]；

③曲线C上任一点到坐标原点的最小距离为2；

④若直线y=kx与曲线C无交点，则实数k的取值范围是(−∞,−三、解答题：本题共4小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题8分)

如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BB1，DD1的中点．求证：

(Ⅰ17.(本小题12分)

已知在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，E、F分别为PC、PD的中点，过EF的平面EFG交BC于点G，平面EFG/​/平面PAB．

(Ⅰ)证明：G为BC的中点；

(Ⅱ)取AD的中点O，连接OC，OE，OG，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：

(i)A到平面EFG的距离；

(ii)二面角G−OE−C的余弦值．

条件①：PC=42；

条件②：CD⊥平面PAD．

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．18.(本小题8分)

已知直线l过点P(3,0)，且与椭圆x24+y2=1相交于不同的两点M，N．

(Ⅰ)若M，N中点的纵坐标为22，求直线l的方程；

(19.(本小题12分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴的两个端点分别为A(0,2)，B(0,−2)，离心率为22．

(Ⅰ)求椭圆C的标准方程及焦点的坐标；

(Ⅱ)若直线y=kx+4与椭圆E交于不同的两点M，N参考答案1.B

2.A

3.A

4.C

5.A

6.C

7.D

8.C

9.C

10.A

11.1

12.y=2x−2

13.(2,±214.n−5

−10

15.①③④

16.证明：(Ⅰ)∵在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BB1，DD1的中点，

∴BE/​/DF，BE=DF，

∴四边形BEFD为平行四边形，

∴BD//EF，

又BD⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，

∴BD/​/平面AEF．

(Ⅱ)∵在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，

∴AA1⊥BD，

∵四边形ABCD为正方形，

∴AC⊥BD，

由(I)17.(Ⅰ)证明：因为平面EFG/​/平面PAB，平面PBC∩平面EFG=EG，平面PBC∩平面PAB=PB，

所以EG/​/PB，

又E是PC的中点，

所以G为BC的中点．

(Ⅱ)解：选择条件①：

因为PC=42，PD=CD=4，所以PD2+CD2=PC2，即PD⊥CD，

因为正方形ABCD，所以AD⊥CD，

又PD∩AD=D，PD、AD⊂平面PAD，

所以CD⊥平面PAD，

因为O，G分别为AD，BC的中点，所以OG/​/CD，

所以OG⊥平面PAD，

因为△PAD是正三角形，且O为AD的中点，所以OP⊥AD，

故以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则O(0,0,0)，A(2,0,0)，F(−1,0,3)，E(−1,2,3)，G(0,4,0)，C(−2,4,0)，

(i)EF=(0,−2,0)，EG=(1,2,−3)，AG=(−2,4,0)，

设平面EFG的法向量为m=(x,y,z)，则m⋅EF=−2y=0m⋅EG=x+2y−3z=0，

取z=1，则x=3，y=0，所以m=(3,0,1)，

所以A到平面EFG的距离为|AG⋅m||m|=|−23|2=3．

(ii)OE=(−1,2,3)，OC=(−2,4,0)，

设平面OEC的法向量为n=(a,b,c)，则n⋅OE=−a+2b+3c=0n⋅OC=−2a+4b=0，

取b=1，则a=2，c=0，所以n=(2,1,0)，

因为EF//CD//OG，所以O，G，E，F四点共面，

所以平面OEG的法向量为m=(3,0,1)，

所以cos<m，n>=m⋅n|m|⋅|n|=232×5=155，

由图知，二面角G−OE−C为锐角，

所以二面角G−OE−C的余弦值为155．

选择条件②：

因为O，G分别为AD，BC的中点，所以OG/​/CD，

又CD⊥平面PAD，所以OG⊥平面PAD，

因为△PAD是正三角形，且O为AD的中点，所以OP⊥AD，

故以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则O(0,0,0)，18.解：(Ⅰ)易知直线l的斜率存在且不为0，

设直线l的方程为y=k(x−3)，M(x1,y1)，N(x2,y2)，

联立y=k(x−3)x24+y2=1，消去y并整理得(1+4k2)x2−24k2x+36k2−4=0，

此时Δ=(−24k2)2−4(1+4k2)(36k2−4)>0，

解得k2<15，

由韦达定理得x1+x2=24k21+4k2，

所以y1+y2=k(x1+x2)−6k=24k31+419.解：(1)根据题意，椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴的两个端点分别为A(0,2)，B(0,−2)，

则b=2，

又由椭圆