专题09 圆重难点题型专训（十大题型）（原卷版）

专题09圆重难点题型专训（十大题型）【题型目录】题型一圆的基本概念辨析题型二求圆中弦的条数题型三求过圆内一点的最长弦题型四圆的周长和面积问题题型五点与圆的位置关系题型六三角形的外接圆题型七确定圆的条件题型八圆中角度的计算题型九圆中线段长度的计算题型十求一点到圆上点距离的最值【知识梳理】【经典例题一圆的基本概念辨析】【例1】（2023秋·河北保定·九年级统考期末）下列说法：（1）长度相等的弧是等弧；（2）相等的圆周角所对的弧相等；（3）劣弧一定比优弧短；（4）直径是圆中最长的弦．其中正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式训练】1．（2023春·安徽·九年级专题练习）圆O的直径，点C是圆O上一点（不与点A、B重合），作于点D，若，则的长是（

）A． B． C．或 D．2．（2023春·山东济南·九年级校考开学考试）如图，正方形中，，E点沿线段由A向D运动（到D停止运动），F点沿线段由C向B运动（到B停止运动），两点同时出发，速度相同，连接，作于P点，则在整个运动过程中P点的运动轨迹长为．3．（2023春·广东河源·九年级校考阶段练习）如图所示，为的直径，是的弦，，的延长线交于点，已知，．求的度数．【经典例题二求圆中弦的条数】【例2】（2023·浙江·九年级假期作业）如图，点，，，点，，以及点，，分别在一条直线上，则圆中弦的条数为（

）

A．条 B．条 C．条 D．条【变式训练】1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）点A、O、D与点B、O、C分别在同一直线上，图中弦的条数为（）A．2 B．3 C．4 D．52．（2023秋·九年级课时练习）如图，圆中有条直径，条弦，圆中以A为一个端点的优弧有条，劣弧有条．3．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，是内接三角形，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图．（1）在图1中，画山一条与相等的弦；（2）在图2中，画出一个与全等的三角形．【经典例题三求过圆内一点的最长弦】【例3】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，点A，B的坐标分别是A（4，0），B（0，4），点C为坐标平面内一动点，BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（）A． B． C． D．【变式训练】1．（2023秋·浙江·九年级专题练习）、是半径为的上两个不同的点，则弦的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·全国·九年级专题练习）下列说法中正确的有（填序号）．（1）直径是圆中最大的弦；（2）长度相等的两条弧一定是等弧；（3）半径相等的两个圆是等圆；（4）面积相等的两个圆是等圆；（5）同一条弦所对的两条弧一定是等弧．3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图所示，为的一条弦，点为上一动点，且，点，分别是，的中点，直线与交于，两点，若的半径为7，求的最大值.【经典例题四圆的周长和面积问题】【例4】（2023春·山东泰安·九年级校考期中）如图两个半径都是的圆外切于点C，一只蚂蚁由点A开始依A、B、C、D、E、F、C、G、A的顺序沿着圆周上的8段长度相等的路径绕行，蚂蚁在这8段路径上不断爬行，直到行走后才停下来，则蚂蚁停的那一个点为（

）

A．D点 B．E点 C．F点 D．G点【变式训练】1．（2023春·四川·九年级专题练习）如图，在中，，，，的面积为，点M，N分别在、线段上运动，则长度的最小值等于（

）A． B． C． D．2．（2023秋·甘肃天水·八年级校考期末）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，BC，AB为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，S3，若S3＝9π，则S1+S2等于．3．（2023秋·上海徐汇·六年级上海市徐汇中学校考期末）某同学用所学过的圆与扇形的知识设计了一个问号，如图中阴影部分所示，已知图中的大圆半径为4，两个小圆的半径均为2，请计算图中阴影部分的周长和面积．【经典例题五点与圆的位置关系】【例5】（2023秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，，点在边上，，的半径长为，与相交，且点在外，那么的半径长可能是（

）

A． B． C． D．【变式训练】1．（2023·山东泰安·统考三模）如图，抛物线与轴负半轴交于点A，P是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，是线段PA的中点，连接，则线段的最小值是（）

A． B．2 C． D．2．（2023·河南南阳·统考一模）如图，点E是正方形边上一动点（点E不与点B、C重合），连接，过点A作交于F，垂足为P，连接，已知正方形的边长为2，则的最小值为．

3．（2023秋·江苏·九年级专题练习）在矩形中，，．(1)若以为圆心，8长为半径作，则、、与圆的位置关系是什么？(2)若作，使、、三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径的取值范围是．【经典例题六三角形的外接圆】【例6】（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图所示，的三个顶点的坐标分别为、、，则外接圆半径的长为（

）.A． B． C． D．【变式训练】1．（2023春·全国·九年级专题练习）如图，是等边三角形的外接圆，若的半径为2，则的面积为（

）A． B． C． D．2．（2023·广东东莞·模拟预测）如图，点D是等边内部一动点，，连接，若，则的长度最小值是．3．（2023秋·全国·九年级专题练习）[探索发现]有张形状为直角三角形的纸片，小俊同学想用些大小不同的圆形纸片去覆盖这张三角形纸片，经过多次操作发现，如图1,以斜边AB为直径作圆，刚好是可以把Rt△ABC覆盖的面积最小的圆，称之为最小覆盖圆.[理解应用]我们也可以用一些大小不同的圆覆盖锐角三角形和钝角三角形，请你通过操作探究解决下列问题(1)如图2.在中，∠A=105°，试用直尺和圆规作出这个三角形的最小覆盖圆(不写作法，保留作图痕迹).（2）如图3,在中，∠A=80°，∠B=40°，AB=，请求出△ABC的最小覆盖圆的半径[拓展延伸]（3）如图4,在中，已知AB=15，AC=12,BC=9，半径为1的在的内部任意运动，则覆盖不到的面积是【经典例题七确定圆的条件】【例7】（2023秋·九年级课前预习）下列说法中，真命题的个数是（

）①任何三角形有且只有一个外接圆；②任何圆有且只有一个内接三角形；③三角形的外心不一定在三角形内；④三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑤经过三点确定一个圆；A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】①根据圆的确定，进行判断即可；②根据三角形的定义进行判断即可；③直角三角形的外心在斜边上，锐角三角形的外心在三角形内部，钝角三角形的外心在三角形的外部，进行判断；④根据三角形的外心是三条边的中垂线的交点，进行判断即可；⑤不在同一条直线上的三个点确定一个圆．【详解】解：①任何三角形有且只有一个外接圆，是真命题；②任何圆有无数个内接三角形，原说法错误，是假命题；③三角形的外心不一定在三角形内，是真命题；④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，原说法错误，是假命题；⑤不在同一条直线上的三个点确定一个圆，原说法错误，是假命题；综上，真命题的个数为2个；故选B．【点睛】本题考查三角形的外接圆和圆的确定．熟练掌握不在同一条直线上的三个点确定一个圆，三角形的外心是三角形三边的中垂线的交点，是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·九年级课时练习）如图，、为⊙O的切线，切点分别为A、B，交于点C，的延长线交⊙O于点D．下列结论不一定成立的是（

）A．为等腰三角形 B．与相互垂直平分C．点A、B都在以为直径的圆上 D．为的边上的中线2．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在矩形中，为的中点，为边上的任意一点，把沿折叠，得到，连接．若，，当取最小值时，的值等于．3．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知等边的边长为8，点P是边上的一个动点（与点A、B不重合）．（1）如图1．当时，的面积为；（2）直线l是经过点P的一条直线，把沿直线l折叠，点B的对应点是点．①如图2，当时，若直线，求的长度；②如图3，当时，在直线l变化过程中．请直接写出面积的最大值．【经典例题八圆中角度的计算】【例8】1（2023·甘肃白银·校考三模）如图，A、B、C是圆O上的三点，且四边形是平行四边形，交圆O于点F，则等于（

）

A．15° B．30° C．45° D．60°【变式训练】1．（2023·四川广元·统考一模）如图，为的直径，是的弦，、的延长线交于点E，已知，，则的度数为（

）A． B． C． D．2．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在矩形中，，，M，N分别是，上的动点，连接，交于点E，且．（1）．（2）连接，则的最小值为．3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在中，，C为上一点，连接．(1)若，求的度数；(2)若的面积与的面积之比为，求的值．【经典例题九圆中线段长度的计算】【例9】（2023·全国·九年级专题练习）如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A、O两点皆在格线的交点上，今在此方格纸格线的交点上另外找两点B、C，使得的外心为O，求的长度为何（）A．4 B．5 C． D．【变式训练】1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，是的直径，弦于点．若，则的长为（）A． B． C．1 D．22．（2023春·贵州铜仁·九年级校考阶段练习）如图，在矩形中，，，M是边上的一点，将沿对折至，连接，当的长最小时，则的长是．

3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，，在射线上顺次截取，，以为直径作交射线于、两点．求：(1)圆心O到的距离．(2)求的长．【经典例题十求一点到圆上点距离的最值】【例10】（2023秋·江苏·九年级专题练习）在同一平面内，已知的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是（

）A．2 B．5 C．6 D．8【变式训练】1．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在平行四边形中，，，，是边的中点，是线段上的动点，将沿所在直线折叠得到，连接，则的最小值是（

）

A． B．6 C．4 D．2．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在矩形中，，动点P在矩形的边上沿运动．当点P不与点A、B重合时，将沿对折，得到，连接，则在点P的运动过程中，线段的最小值为．

3．（2023·河北衡水·统考二模）如图，和均为边长为的等边三角形，点在边上，是的中点，作点关于的对称点，连接和．(1)求证：四边形是菱形；(2)求的最小值；(3)若与垂直，求的长．【重难点训练】1．（2023秋·九年级课时练习）直角三角形的两条直角边长分别是，，则这个直角三角形的外接圆的半径是（）A． B． C． D．2．（2023春·山东泰安·九年级校考期中）如图中外接圆的圆心坐标是（）

A． B． C． D．3．（2023·吉林长春·统考一模）如图，点P是外一点，分别以O、P为圆心，大于长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，直线交于点C，再以点C为圆心，以长为半径作圆弧，交于点A，连接交于点B，连接．若，则的大小为（

）A． B． C． D．4．（2023·上海·模拟预测）如图，在中，，，，点在边上，，的半径长为3，与相交，且点B在外，那么的半径长r可能是（

）A．r＝1 B．r＝3 C．r＝5 D．r＝75．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，的半径为4，圆心的坐标为，点P是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，则的最大值为（）A．13 B．14 C．12 D．286．（2023秋·浙江·九年级专题练习）一个直角三角形的两条边长是方程的两个根，则此直角三角形的外接圆的直径为．7．（2023春·安徽安庆·九年级统考期末）中，、、，则外接圆圆心坐标为．8．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，E是边长为4的正方形的边上的一个动点，F是以为直径的半圆上的一个动点，连接，，则的最小值是．

9．（2023·河南焦作·统考二模）如图，在中，，，，正方形的边长为1，将正方形绕点C旋转一周，点G为的中点，连接，则线段的取值范围是．

10．（2023·上海徐汇·统考二模）如图，在直角坐标系中，已知点、点，的半径为5，点C是上的动点，点P是线段的中点，那么长的取值范围是．11．（2023·浙江衢州·校考一模）如图，为圆O的直径，点C，D在圆O上，与交于点E，，，连接，．求证：

(1)；(2)四边形是菱形．12．（2023秋·山西大同·九年级大同一中校考期末）工人师傅后在一个上表面是直角三角形的器具上面安装一块圆板，要求这个圆板刚好覆盖住三角形，该直角三角形的形状如图所示．

(1)请用尺规作图在图上作出该图；(2)测量直角三角形的两直角边，，如果这个圆是一个正方形板所截，请你帮助师傅计算出所需要正方形板的最小面积是多少?13．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在中，，点D、E在上，，过A，D，E三点作，连接并延长，交于点F．

(1)求证：；(2)若，求的半径长．14．（2023·上海