广东省梅州市2022-2023学年高二下学期数学期中试卷 (1)（含答案）

广东省梅州市2022-2023学年高二下学期数学期中试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选题1．函数f(x)=x3+1A．1 B．2 C．7 D．92．某校为了丰富课后服务活动，提高学校办学水平和教育质量，开设近20门选修课供学生自愿选择.甲、乙2名同学都对其中的合唱、足球、篮球、机器人课程感兴趣，若这2名同学从这4门课程中各自任选一门课程参加，则不同的选法有（）A．4种 B．6种 C．8种 D．16种3．已知函数f(x)的导函数为f'(x)，A．f'(xC．f'(x4．已知函数f(x)=sin2x−x，则在下列区间上，A．(−π3，0) B．(0，π5．某五面体木块的直观图如图所示，现准备给其5个面涂色，每个面涂一种颜色，且相邻两个面所涂颜色不能相同.若有6种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（）A．1080种 B．720种 C．660种 D．600种6．已知直线x=a(a>0)与函数f(x)=16x，g(x)=−x2的图象分别交于点A，A．8 B．10 C．12 D．167．2022年卡塔尔世界杯是第二十二届国际足联世界杯，于当地时间2022年11月20日至12月18日在卡塔尔境内5座城市中的8座球场举行.本届世界杯的赛制规定：从小组赛晋级的16支球队将被自动分成8组，每组的2支球队比赛一场，获胜的球队晋级1/4决赛.若从小组赛晋级的16支球队中选出4支球队，且恰有2支球队来自同一组，则不同的选择方法有（）A．672种 B．728种 C．764种 D．800种8．已知三棱锥S−ABC的四个顶点都在球O的球面上，且SA=BC=2，SB=AC=7，SC=AB=5，则球A．83π B．3223π 二、多选题9．已知(3−2x)9A．aB．aC．aD．展开式中所有项的二项式系数的和为210．由数字0，1，2，3组成一个没有重复数字的四位数，下列结论正确的是（）A．可以组成18个不同的数B．可以组成8个奇数C．可以组成12个偶数D．若数字1和2相邻，则可以组成8个不同的数11．已知函数f(x)=axA．∀a，b，B．若a<0，且f(x)有极小值点x0，则f(x)在(−∞C．若a≠0且b2>3ac，则D．若a≠0，则f(x)的图象是中心对称图形12．已知a=32e，b=ln(1+3A．d>a>c B．c>a>b C．d>a>b D．c>b>d三、填空题13．已知函数f(x)=x+2f'14．甲、乙、丙、丁四位同学约好周末去某公园游玩，准备当天在公园门口集合后一起入园游玩，假设这四位同学没有同时到达的情况，则他们先后到达的情况有种.15．一个装有水的圆柱形水杯水平放在桌面上，在杯内放入一个圆柱形铁块后，水面刚好和铁块的上底面齐平，如图所示．已知该水杯的底面圆半径为6cm，铁块底面圆半径为3cm，放入铁块后的水面高度为6cm，若从t=0  s时刻开始，将铁块以1cm/s的速度竖直向上匀速提起，在铁块没有完全离开水面的过程中，水面将（填“匀速”或“非匀速”）下降；在t=3  s时刻，水面下降的速度为cm/s．16．广州国际金融中心大楼，简称“广州IFC”，又称“广州西塔”，位于广东省广州市，为地处天河中央商务区的一栋摩天大楼，东面珠江公园，南邻珠江和广州塔，西近广州大道，北望天河体育中心与白云山.小胜为测量其高度，在点M处测得广州国际金融中心大楼顶端P处的仰角为π6，在点N处测得广州国际金融中心大楼顶端P处的仰角为π4，在点Q处测得广州国际金融中心大楼顶端P处的仰角为π3，其中M，N，Q三点共线且与广州国际金融中心大楼底部在同一水平高度，已知MN=NQ=145四、解答题17．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2+a（1）求{a（2）求数列{1Sn}的前18．已知函数f(x)=2x（1）求曲线y=f(x)在(0，（2）求f(x)在区间[0，19．从1，2，3，4，5，6中任取5个数字，随机填入如图所示的5个空格中.（1）若填入的5个数字中有1和2，且1和2不能相邻，试问不同的填法有多少种？（2）若填入的5个数字中有1和3，且区域A，B，C中有奇数，试问不同的填法有多少种？20．已知函数f(x)=e（1）求f(x)的极值；（2）若f(x)≥x3621．已知椭圆C：x2a2（1）求C的标准方程；（2）已知直线y=kx−k与C交于A，B两点，P(14，0)，22．定义：若函数y=f(x)在定义域内存在实数x0，使得f(x0+k)=f(x0)+f(k)成立，其中k（1）判断函数g(x)=xln（2）若函数h(x)=ax2+xlnx

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】根据平均变化率的定义可知，f(2)−f(1)2−1所以函数f(x)=x3+1故答案为：C

【分析】根据平均变化率的定义可求出答案.2．【答案】D【解析】【解答】由题设，甲乙两人均有4种选课方法，所以2名同学从这4门课程中各自任选一门课程参加的方法有42故答案为：D

【分析】根据题意甲乙两人均有4种选课方法，利用分步乘法计数原理即可求得答案.3．【答案】B【解析】【解答】依次作出函数f(x)在x1根据导数的几何意义及图形中切线的斜率可知，f'故答案为：B.

【分析】根据导数的几何意义及图形中切线的斜率可得答案.4．【答案】B【解析】【解答】因为f(x)=sin2x−x，所以令f'(x)=2cos又x∈(−π3，π2)，则所以f(x)的单调递增区间为(−π因为(0，π6)⊆(−π故答案为：B

【分析】由题意利用导数求出函数的增区间，从而得答案.5．【答案】A【解析】【解答】若使用五种颜色，即每个面一种颜色，则有A6若使用四种颜色，即面AED与面FBC同色，则有A6故不同涂色方案有720+360=1080种.故答案为：A

【分析】分两类：用五种颜色，四种颜色涂在5个面上，再利用排列数公式，即可求出不同涂色方案.6．【答案】C【解析】【解答】由题设，A(a，16a所以|AB|=16当且仅当8a=a综上，|AB|的最小值为12.故答案为：C

【分析】求解距离|AB|的表达式，利用基本不等式求出|AB|的最小值.7．【答案】A【解析】【解答】因为小组赛晋级的16支球队自动分成8组，从中选4支，2支球队来自同一组，所以要先从8组中选一组，有C8再从剩余7组中选2组，每一组选1支球队，这2支球队来自不同组，有C7所以不同的选择方法有C8故答案为：A.

【分析】根据组合数公式结合分步计数原理即可求出答案.8．【答案】D【解析】【解答】将三棱锥放入长方体中，设长方体的长宽高分别为a，则a2+b2=5a2故体积为43故答案为：D

【分析】将三棱锥放入长方体中，设长方体的长宽高分别为a，b，9．【答案】A,B,D【解析】【解答】令x=0，得a0(3−2x)9展开式的通项为T令k=1，得a1令x=1，得a0+a所以a1展开式中所有项的二项式系数的和为C9故答案为：ABD.

【分析】根据已知条件，结合二项式定理以及赋值法，逐项进行判断，可得答案.10．【答案】A,B,D【解析】【解答】A：千位的选法有C31，其它三位任意排有A3B：奇数个数：先把1或3安排到个位有C21种，则千位有C21种，其它数位有C：由B知：偶数有18−8=10个，错误；D：当千位为3，将1和2全排有A22种，作为整体与0全排有A2当千位、百位为1和2有A22种，再将0和3作全排有A2所以可以组成8个不同的数，正确.故答案为：ABD

【分析】先排千位，再排其它三位可判断A；利用分步计数原理求出奇数个数，即可得偶数个数可判断B、C；分千位为3，千位、百位为1和2两种情况求个数，结合排列、组合数公式求四位数的个数，可判断D.11．【答案】B,C,D【解析】【解答】A：当a=b=c=0，d≠0时，f(B：由f'(x)=3a由f(x)有极小值点x0，则f'(综上，结合二次函数的性质知：f'所以x0左侧f'(x)C：f'(x)中Δ=4b2−12ac=4若x1<x2，当a>0，则x1为极大值点，x2为极小值点；当D：a≠0，由f'(x则f=−2bx所以f(x)关于(−故答案为：BCD

【分析】利用导数的运算法则可得f'12．【答案】B,C【解析】【解答】构建f(x)=ln(1+x)−x(x>0)，则f'则f(x)在(0，+∞)上单调递减，可得令x=34e，则且32e−3故ln(1+34e∵3<e，则3又∵1=lne<ln∴32e<1∵1+e<e2，则ln(1+e)<2又∵e2−2e−1=(e−1)故ln(1+e)2<1<综上所述：b<a<c<d.∴B、C符合题意，A、D不符合题意.故答案为：BC.

【分析】求出函数的导数，利用导函数的符号判断函数的单调性，然后判断函数值的大小可得答案.13．【答案】−【解析】【解答】由解析式知：f'(x)=故答案为：−1

【分析】求导函数f'14．【答案】24【解析】【解答】由题意，甲、乙、丙、丁四位同学在不同的时间到达公园门口，所以，4个人按任意顺序依次到达即可，故共有A4故答案为：24

【分析】利用排列数公式，根据题意将四人做全排列，即可得答案.15．【答案】匀速；1【解析】【解答】设在铁块没有完全离开水面的过程中，水面高度为H，铁块离开水面的高度为h，则水和铁块的体积为π×62×6=π×6铁块距离杯底的高度为6+t=H+h②．由①②可得H=−13t+6．令函数f(t)=−故水面将匀速下降，下降的速度为13故答案为：匀速；13

【分析】由圆柱形铁块竖直向上匀速提起，可得水面匀速下降；根据已知得出水面高度H与时刻t的函数关系式，通过导数求顺时速度.16．【答案】435【解析】【解答】如图O是塔底，PO显然与OM，ON，∠PMO=π6，∠PNO=π设PO=h，则OM=3h，ON=h，由余弦定理得cos∠ONM=NM因为NQ=NM=1456，∠ONM+∠ONQ=π，即cos所以NM即(1456)故答案为：435.【分析】作出图形，设PO=h，由余弦定理求出cos∠ONM和cos∠ONQ，利用17．【答案】（1）解：由题设a42=3a1a4令{an}公差为d，所以a所以an（2）解：由Sn=n所以T=3【解析】【分析】(1)由等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，进而得到{an}的通项公式；

(2)运用等差数列的求和公式，可得Sn，118．【答案】（1）解：由题意，函数f(x)的定义域为R，f'所以f'(0)=12，f(0)=0，即切线的斜率为12，切点坐标为所以曲线y=f(x)在(0，f(0))处的切线方程为（2）解：由（1）知，f'得x=1或x=2，当0<x<1或2<x<3时，f'当1<x<2时，f'所以函数f(x)在(0，1)和(2，所以函数f(x)的极大值为f(1)=2−9+12=5，极小值为f(2)=2×2又因为f(0)=0，f(3)=2×3所以函数f(x)的最大值为9，最小值为0，所以函数f(x)在区间[0，3]上的值域为【解析】【分析】（1）求出导数，求出切线的斜率和切点坐标，再由点斜式方程，即可求出切线方程；

（2）求出单调区间得到极值，求出端点处的函数值即可得到最值，可得在区间[0，19．【答案】（1）解：首先从其它4个数中任选3个并作全排有A43个数中共有4个空，将1和2插入其中两个空有A4所以共有24×12=288种填法.（2）解：若区域A，B，C中无奇数，则其它三个数只能为2、4、6且在区域A，B，C上，所以，共有A3从2、4、5、6任选3个数有C43种，再把5个数全排有A5综上，填入的5个数字中有1和3且区域A，B，C中有奇数，共有480−12=468种.【解析】【分析】（1）首先从其它4个数中任选3个并作全排，再将1和2插入其中两个空，利用分步计数原理可求出不同的填法种数；

（2）利用间接法先求出有1和3且区域A、B、C中无奇数的填法数，再求出所有可能的填法数，然后作差即可.20．【答案】（1）解：由题意可知，f(x)的定义域为(−∞，所以f'令f'(x)=0，则ex当x变化时，f'(x)，x(−∞0(0f−0+f(x)单调递减极小值为1单调递增由此表可知，当x=0时，f(x)取得极小值为f(0)=1，无极大值.（2）解：f(x)≥x36令g(x)=ex−x−令h(x)=g'(x)=令φ(x)=h由（1）知，φ(x)在(−∞，0)上单调递减，在φ(x)=h所以h(x)在(−∞，所以g'(x)在(−∞，当x>0时，g'当x<0时，g'所以g(x)在(−∞，0)上单调递减，在当x=0时，g(x)取到最小值为g(0)=e0−0−所以a的取值范围为(−∞，【解析】【分析】（1）首先对函数求导，根据导数符号得函数的单调性，进而求出f(x)的极值；

（2）f(x)≥x36+a恒成立等价于(ex−x−x36)min≥a即可，令g(x)=21．【答案】（1）解：上顶点为(0，b)，右焦点为所以b=c=1，则a2=b2+（2）解：联立x2+2y2=2所以xA+x而AB中点D(2k21+2k2所以kPDk=−1，则−k21+2【解析】【分析】（1）根据已知条件，求出b，c，再根据a2=b2+c2，可得C的标准方程；

（2）联立x2+2y222．【答案】（1）解：函数g(x)=xln(x+1)，x>−1，存在的2