广西壮族自治区贵港市2023-2024学年高二下学期4月期中教学质量检测数学试题（含答案）

广西壮族自治区贵港市2023-2024学年高二下学期4月期中教学质量检测数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x∈Z||2x+1|<6}，B={x|x+1≥0}，则A∩B=（）A．{0,1,C．{−1,0,2．已知复数z=a+bi(a,b∈R)，若A．a>0，b>0 B．a>0，b<0 C．a<0，b>0 D．a<0，b<03．样本数据3，5，6，8，5，6，9，1，12，11，9的第60百分位数为（）A．9 B．8 C．7 D．64．已知向量a=(4,3)，b=(x,A．−9 B．9 C．−16 D．165．已知函数f(x)=loga[x(a−x)]（a>0，且a≠1）在A．(1,2] B．(1,4] C．6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bcosB=(ccosB+bcosA．π2 B．π3 C．π47．不透明的袋子中装有4个白球、3个红球和1个黄球，每个球除颜色外其他均相同，从袋子中随机摸出2个球，若摸出的球的颜色不同，则摸出的球中有红球的概率为（）A．528 B．1528 C．19288．已知F1，F2分别是椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，O是坐标原点，P是椭圆EA．59或58 B．53或104 C．34或1二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．在(xA．n=6 B．n=5C．展开式中x3的系数为160 10．将函数f(x)=2sin2(x2−A．g(x)的最小正周期为2πB．g(x)的图象关于直线x=−πC．g(x)在[−πD．g(x)的图象关于点(2π11．已知数列{an}的前n项和为Sn，A．{aB．使Sn≤2024成立的最大正整数C．SD．若数列{1an}的前n三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．随机变量X的分布列为X123P1m1−m则m=．13．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1−x)+f(5−x)=6，则f(2022)=．14．在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1=12，底面ABC是边长为6的正三角形，则三棱柱ABC−A1B1C1四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知数列{an}满足a（1）证明：数列{a（2）求{an}的前n16．如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC∩BD=O，AO=2DO，PA=PC=22，PB=PD=AD=（1）证明：平面PAC⊥平面PBD．（2）求二面角A−PC−B的余弦值．17．一个不透明盒子里装有7个大小相同、质地均匀的小球，其中白色小球3个（分别标有数字1，2，3），黑色小球4个（分别标有数字2，3，4，5）．现从盒子中一次性随机取出3个小球．（1）求取出的3个小球上的数字之和等于10的概率；（2）在取出的3个小球中有黑色小球的情况下，黑色小球上的数字的最大值为X（当只取到1个黑色小球时，该球上的数字即为X），求随机变量X的分布列．18．已知双曲线C:x2a2−y（1）求C的方程．（2）设C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(3,0)且斜率不为0的直线l与C相交于M，N两点，直线A1M与直线19．已知函数f(x)=aln（1）若a=1，求f(x)的图象在点(0,（2）∀x∈[0,π]，f(x)≤2e

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：由2x+1<6，解得-7<2x<5，即-72<x<52，故集合A={-3,-2,-1,0,1,2}，

由x+1≥0，解得x≥-1，则集合B={x|x≥-1}，故A∩B={−12．【答案】C【解析】【解答】解：由复数z=a+bi(a,b∈R)，可得iz=ia+bi=-b+ai，对应的点为-b,a，

因为iz在复平面内对应的点位于第三象限，所以-b<0,a<0，则b>0，a<0.

故答案为：C.

【分析】由题意，根据复数的乘法运算求得3．【答案】B【解析】【解答】解：样本数据从小到大为：1，3，5，5，6，6，8，9，9，11，12，11×60%=6.6，则第60百分位数为第7个数8.

故答案为：B.

【分析】根据百分数的定义求解即可.4．【答案】A【解析】【解答】解：因为向量a=(4,3)，b=(x,12)，且a⊥b，所以5．【答案】D【解析】【解答】解：当0<a<1时，则xa-x<0在(1,2)上恒成立，不符合条件；

当a>1时，因为函数f(x)=loga[x(a−x)]在(1,2)上单调递增，所以a-1≥0a2≥2，解得a≥46．【答案】A【解析】【解答】解：在△ABC中，bcosB=(ccosB+bcosC)cosA，

由正弦定理可得sinBcosB=(sinCcosB+sinBcosC)7．【答案】D【解析】【解答】解：设事件A为摸出的球的颜色不同；事件B为摸出的球中有红球，

则PA=C82-C428．【答案】B【解析】【解答】解：由|OP|=|OF1|，可得|OP|=12|F1F2|，则PF1⊥PF2，故△PF1F2~△OF1M，则PF1OF1=F1F2F1M，即PF1c=2c5a9．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：因为(x2+2x)n各项二项式系数的和为64，所以2n=64，解得n=6，故A正确，B错误；

二项式(x2+2x)8的展开式的通项为Tr+1=C6rx210．【答案】B,D【解析】【解答】解：f(x)=2sin2(x2−π4)+3sin(x+π6)−1=3sinx+π6-cosx-π2=12sinx+32cosx=sinx+π3，则gx=sin2x-π3+11．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：由an+1=an2−an+1，可得an+1-an=an2−2an+1=an-12；

A、因为a1=2，所以an+1>an>⋯>a1=2，所以{an}是递增数列，故A正确；

B、因为a1=2，a2=3，a3=7，a4=43，a5=1807，且12．【答案】1【解析】【解答】解：由题意，可得13+m3+1-m=1，解得m=1213．【答案】3【解析】【解答】解：因为f(1−x)+f(5−x)=6，所以f(x)+f(4+x)=6，则f(x+4)+f(8+x)=6，

所以fx=f(8+x)，即函数f(x)是周期为8的周期函数，故f(2022)=f253×8-2=f-2，

令x=3，可得f(-2)+f(2)=6，又因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以f2=3，

故f(2022)=314．【答案】192π；4【解析】【解答】解：因为三棱柱的底面ABC是边长为6的正三角形，

所以△ABC外接圆的半径为r1=62×32=23，内切圆的半径为r2=3，设三棱柱ABC−A1B1C1外接球的半径为R，因为AA1=12，所以R2=r12+AA122=48，

则三棱柱ABC−A1B1C15．【答案】（1）证明：因为(2所以an+1又a121（2）解：由（1）可得an2n令Tn则2T两式相减得−T则Tn令Hn则Sn【解析】【分析】（1）化简已知式子，结合等差数列的定义证明即可；

（2）由（1）得an16．【答案】（1）证明：因为底面ABCD是平行四边形，AC∩BD=O，所以AO=OC，BO=OD，又PA=PC，PB=PD，所以PO⊥AC，PO⊥BD，AC∩BD=O，所以PO⊥平面ABCD，设DO=t，则AO=2t，由PA2−AO2=PB2−B因为AD=5，所以AD2因为PO∩DO=O，所以AO⊥平面PBD，又AO⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面PBD．（2）解：由（1）可知，OA，OB，OP两两垂直，以O为坐标原点，直线OA，OB，OP分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(−2,0,0)，则BC=(−2,−1设平面BCP的法向量为m=(x则m→·BC→=−2x−y=0由图可知，n=(0,1设二面角A−PC−B的大小为θ，易知θ为锐角，则cosθ=【解析】【分析】（1）由题意，根据线面垂直以及面面垂直的判定定理证明即可；

（2）由（1）可知，OA，OB，OP两两垂直，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.17．【答案】（1）解：第一类，取出的3个小球上的数字为1，4，5，则取出的3个小球上的数字之和等于10的概率为1C第二类，取出的3个小球上的数字为2，3，5，因为黑色小球和白色小球上均有数字2，3，所以取出的3个小球上的数字之和等于10的概率为C2第三类，取出的3个小球上的数字为3，3，4，则取出的3个小球上的数字之和等于10的概率为1C故所求的概率为135（2）解：X的可能取值为2，3，4，5．设A=“取出的3个小球中有黑色小球”，则n(A)=C所以P(X=2)=1×C3P(X=4)=1×C5故X的分布列为X2345P33515【解析】【分析】（1）由题意，利用古典概型概率公式求解即可；

（2）由题意可知，X的可能取值为2，3，4，5，利用古典概型的概率公式求出相应的概率，列分布列即可.18．【答案】（1）解：根据双曲线的对称性可知，F到C的一条渐近线bx−ay=0的距离d=|10b|由c=10，解得b=6，则a2=c（2）解：点P在定直线x=4依题可设直线l的方程为x=ty+3，M(x1,联立方程组x24−由韦达定理可得y1+y2=−直线A1M的方程为y=y1x整理得x+2x−2=y故点P在定直线x=4【解析】【分析】（1）根据已知条件，结合点到直线的距离公式，双曲线的性质求得b，a的值，即可得双曲线方程；

（2）设直线l的方程为x=ty+3，联立直线与双曲线方程，消元整理由韦达定理可得y1+y2=−18t3t2−2，19．【答案】（1）解：因为a=1，所以f(x)=ln(x+1)+cosx，f'故f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程为y−1=x−0，即（2）解：f(x)≤2ex−1令g(x)=aln(x+1)+cos若a≤0，则g'(x)<0在[0,π]上恒成立，则g(x)在若a>0，令h(x)=ax+1−sinx−2ex，则h'(x)=−当a−2≤0，即a≤2时