2024-2025学年河北省衡水市部分中学高二（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年河北省衡水市部分中学高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.观察下面数列的特点，1，1，2，3，___，8，13，21…用适当的数填空(

)A.3 B.4 C.5 D.62.若抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为23，则点P到抛物线的焦点FA.4 B.5 C.6 D.73.双曲线C：x29−y216=1的右支上一点P在第一象限，F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，I为△PA.24 B.12 C.323 D.4.若过点P(2,2)向圆C：x2+y2=1作两条切线，切点分别为A，B，则直线A.x+y=12 B.x+y=13 C.5.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2，C的左、右焦点分别为F1，F2，点P在C的右支上，PF1A.74 B.32 C.6.在三棱锥A−BCD中，AB⊥平面BCD，BC=BD=23，∠BCD=60°.若AB=3，A，B，C，D四点都在球O的表面上，则球O的表面积为(

)A.25π B.36π C.12π D.24π7.P为⊙C：x2+y2−2x−2y=0上一点，Q为直线l：x−y−4=0A.2 B.233 C.8.已知平面非零向量a,b,c，则“(a⋅A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列叙述不正确的是(

)A.1，3，5，7与7，5，3，1是相同的数列

B.1，3，1，3，…是常数列

C.数列0，1，2，3，…的通项公式为an=n

D.数列10.抛物线y2=4x的焦点为F，过焦点的倾斜角为θ的直线交抛物线于A，B两点，设A(x1,yA.x1⋅x2=2 B.y1⋅y211.已知圆锥PO的轴截面PAB是等边三角形，AB=4，M是圆锥侧面上的动点，满足线段PM与AM的长度相等，则下列结论正确的是(

)A.存在一个定点，使得点M到此定点的距离为定值

B.存在点M，使得PM⊥AM

C.存在点M，使得∠AMB=60°

D.存在点M，使得三棱锥P−AMB的体积为4三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知双曲线：x25−y24=1，若直线l交该双曲线于P，Q两点，且线段PQ13.已知平面向量a，b，c，|a|=1，(2b−a)⋅(b14.已知点A(1,0)，B(5,0)，若PA⋅PB≤4，则点P到直线3x−y+1=0四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

(1)求过三点A(1,0)，B(0,1)，C(2,3)的圆的一般方程；

(2)求过两点C(−1,2)和D(1,23)，且圆心在x16.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是菱形，PA=PD,∠DAB=60∘．(1)证明：AD⊥PB；(2)若PB=6,AB=PA=2，求直线PB与平面17.(本小题15分)

已知椭圆C1：x22+y2=1，抛物线C2：y=x2+2，点P是C2上的动点，过点P作抛物线C2的切线l，交椭圆C1于A，B两点，

(1)当l的斜率是2时，求18.(本小题17分)

已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长为22，且C1经过点(1,22).椭圆C2的对称中心为原点O，焦点在x轴上，且C2的离心率与C1的离心率相等，C2的短轴长与C1的长轴长相等．

(1)求椭圆C1与C2的标准方程．

(2)若H(x0,y0)(x0≠±2,y0≠±1)为C2上的点，过点H作19.(本小题17分)

已知双曲线C的离心率为2，右焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，双曲线C的左、右顶点分别为A，B，点M为第二象限内的动点，过点M作双曲线C左支的两条切线，分别与双曲线C的左支相切于两点P，Q，已知MA，MB的斜率之比为3：(−1)．

(1)求双曲线C的方程；

(2)直线PQ是否过定点？若过定点请求出定点坐标，若不过定点请说明理由；

(3)设△APQ和△BPQ的面积分别为S1和S2

参考答案1.C

2.A

3.C

4.A

5.A

6.A

7.A

8.B

9.ABC

10.BCD

11.BD

12.4513.12

514.1015.解：(1)由圆过三点A(1,0)，B(0,1)，C(2,3)，

可设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，

由题将三点代入得1+D+F=01+E+F=04+9+2D+3E+F=0，

解得D=−3E=−3F=2，

所以所求圆的一般方程为x2+y2−3x−3y+2=0；

(2)由题意圆过两点C(−1,2)和D(1,23)，且圆心在x轴上，

可设圆心为M(a,0)，

∵|MC|=|MD|16.解：(1)证明：取AD中点O，连接PO，BO，BD，

∵底面ABCD是菱形，且∠DAB=60°，

∴△ABD是等边三角形，∴BO⊥AD，

∵PA=PD，∴△PAD是等腰三角形，

∴PO⊥AD，

∵PO∩BO=O，PO，BO⊂平面PBO，

∴AD⊥平面PBO，

∵PB⊂平面PBO，∴AD⊥PB．

(2)∵AB=PA=2，

∴由(1)知△PAD，△ABD中边长为2的正三角形，则PO=3，BO=3，

∵PB=6，

∴PO2+BO2=PB2，即PO⊥BO，

又由(1)知，BO⊥AD，PO⊥AD，

∴以O为原点，OA，OB，OP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

则D(−1,0,0)，P(0,0,3)，C(−2,3,0)，B(0,3,0)，

PB=(0,3,−3)，DP=(1,0,3)，CD=(1,−317.解：(1)根据l的斜率为2，可知y′=2x=2，∴x=1，

所以P(1,3)，所以直线l的方程为y−3=2(x−1)，即2x−y+1=0．

与椭圆C1：x22+y2=1联立，可得9x2+8x=0，

∴x=0或−89，

∴|AB|=1+4⋅89=859；

(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，切点(x0,y0)，

∠AOB为锐角，针对本题它等价于OA⋅OB>0，

即x18.解：(1)对椭圆C1：因为椭圆长轴长为22，所以a=2，

又椭圆过点(1,22)，所以12+12b2=1，所以b=1，

所以椭圆C1的标准方程为：x22+y2=1，且离心率e=ca=22；

对椭圆C2：x2m2+y2n2=1(m>n>0)，

由n=2m2−n2m=22，可得n=2m=2，

所以椭圆C2的标准方程为：x24+y22=1；

(2)如图：

因为点H(x0,y0)在椭圆C2上，所以x024+y022=1，

又因为x0≠±2，y0≠±1，

所以过点H向椭圆C1作的切线一定存在斜率，且不为0，

设切线方程为：y−y0=k(x−x0)，即y=kx+(y0−kx0)，

代入椭圆C1的方程：x22+y2=1，

得x2+2[kx+(y0−kx0)]2−2=0，

整理得：(1+2k2)x19.解：(1)由题意知，双曲线C的焦点在x轴上，中心在原点，

可设其方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，

由双曲线C的离心率为2，可得e=ca=a2+b2a2=1+(ba)2=2，解得b=3a；

又双曲线C的右焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，抛物线y2=8x的焦点坐标为(2,0)，

即c=2，故a=1,b=3，双曲线C的标准方程为x2−y23=1；

(2)由双曲线方程x2−y23=1，可得A(−1,0)，B(1,0)，设M(x,y)(x<0,y>0)，

所以kMA=yx+1,kMB=yx−1，

因为MA，MB的斜率之比为3：(−1)，即3(x+1)=−(x−1)，

解得x=−12，所以点M在直线x=−12上，

设M(−12,m)，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，

则切线MP方程为：xx1−yy13=1，则切线MQ方程为：xx2−yy23=1，

因点M既在直线MP上又在直线MQ上，则有−