山东省潍坊2021-2022学年高一下学期期末测试数学试题 附解析

高一数学2022.7本试卷共4页．满分150分．考试时间120分钟．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在正方体中，与棱异面的棱有A.8条 B.6条 C.4条 D.2条【答案】C【解析】【分析】在正方体12条棱中，找到与平行的、相交的棱，然后计算出与棱异面的棱的条数.【详解】正方体共有12条棱，其中与平行的有共3条，与与相交的有共4条，因此棱异面的棱有条，故本题选C.【点睛】本题考查了直线与直线的位置关系，考查了异面直线的判断.2.下列命题正确的是（）A.若向量，，则B.模相等的两个平行向量是相等向量C.方向不同的两个向量不可能是共线向量D.若向量，则分别在x轴，y轴上的投影的数量之和为－9【答案】D【解析】【分析】根据平行向量、相等向量、向量投影的定义对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A，若，则A不正确；对于B，方向相同且模相等的两个向量是相等向量，故B不正确；对于C，与任意向量共线，故C不正确；对于D，若向量，则分别在x轴，y轴上的投影分别为，所以它们的数量之和为－9，故D正确.故选:D.3.下列各式化简结果为的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用和差角的三角函数公式、二倍角的正余弦公式逐项化简计算，判断作答.【详解】对于A，，A不是；对于B，，B不是；对于C，，C是；对于D，，D不是.故选：C4.定义域是复数集的子集的函数称为复变函数，就是一个多项式复变函数．给定多项式复变函数之后，对任意一个复数，通过计算公式，，可以得到一列值，，，，，．若，，当时，（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，计算，，，在时，确定数的性质，取对数探讨与的关系即可推理、计算作答.【详解】依题意，，当时，，由得：，而，则，当时，，显然也满足上式，所以当时，，.故选：A5.在中，若，，，则此三角形解的情况是（）A.有一解 B.有两解 C.无解 D.有解但解的个数不确定【答案】B【解析】【分析】由，根据作圆法结论可得结果.详解】，，有两解.故选：B.6.若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用二倍角余弦公式和正余弦齐次式的求法可分别求得和，相乘即可得到结果.【详解】，，.故选：A.7.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为线段AD，CD的中点，且，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由向量的线性运算，结合其几何应用求得、、、，即可判断选项的正误.【详解】，即A不正确；连接AC，知G是△ADC的中线交点，如下图示由其性质有∴，即B不正确；，即C正确；同理，即∴，即D不正确；故选：C.8.已知函数，若图像在区间上有且只有2个最低点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用辅助角公式化简为，根据的范围，可求出的范围，根据题意分析可得，计算可求出答案.【详解】由题意，因为，所以，，解得：故选：C.二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9.已知正四棱台上、下底面边长分别为，侧棱长为，则（）A.正四棱台的高为 B.正四棱台的斜高为C.正四棱台的表面积为 D.正四棱台的体积为【答案】BCD【解析】【分析】由正四棱台的结构特征可知其高即为对角面的等腰梯形的高，斜高即为侧面等腰梯形的高，由上下底长度和腰长可确定AB正误；根据棱台表面积和体积的求法可确定CD正误.【详解】对于A，正四棱台上下底面对角线长为，正四棱台的高，A错误；对于B，正四棱台的斜高，B正确；对于C，正四棱台侧面积为，上下底面面积分别为，正四棱台的表面积，C正确；对于D，正四棱台的体积，D正确.故选：BCD.10.设为复数，且，则下列命题正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】BD【解析】【分析】由反例可知AC错误；由可得，得到，知B正确；设，，根据共轭复数定义和复数乘法及模长运算可求得，知D正确.【详解】对于A，若，，则，此时，A错误；对于B，，，又，，即，B正确；对于C，若，则，若为虚数，则，C错误；对于D，设，，则，，，，，，D正确.故选：BD.11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.函数的最小正周期为B.函数的图象关于直线对称C.函数的图象关于点对称D.函数在上单调递减【答案】BCD【解析】【分析】根据余弦函数的性质一一判断即可；【详解】解：因为，所以函数的最小正周期，故A错误；，所以函数的图象关于直线对称，故B正确；，所以的图象关于点对称，故C正确；若，则，因为在上单调递减，所以在上单调递减，故D正确；故选：BCD12.在中，P，Q分别为边AC，BC上一点，BP，AQ交于点D，且满足，，，，则下列结论正确的为（）A.若且时，则，B.若且时，则，C.若时，则D.【答案】AD【解析】【分析】根据向量共线定理的推论，得到，，代入相应的变量的值，求出其他变量，从而判断AB选项，对上式变形得到，假设成立，推导出，得到矛盾，故C错误，根据向量共线定理的推论得到，，变形得到.【详解】由题意得：，，，，即即，所以，因为三点共线，所以，当且时，，解得：，，，，所以，即，即，所以，因为三点共线，所以，当且时，，解得：，故A正确；若且时，，，解得：，B错误；，变形为：，①若时，则，代入①式得：假设成立，则，解得：，此时，显然无解，故假设不成立，故C错误；同理可得：，，所以，，所以D正确.故选：AD【点睛】利用向量共线定理的推论得到关系式，然后解决向量的倍数关系，本题中要能在多个等式中进行适当变形，然后找到等量关系三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则______．【答案】##【解析】【分析】利用余弦定理及同角三角函数的基本关系计算可得；【详解】解：因为，所以，所以，所以，又，所以；故答案为：14.已知正三棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，则其外接球的表面积为______．【答案】【解析】【分析】首先利用正弦定理求出底面外接圆的半径，设正三棱柱外接球的半径为，则，最后根据球的表面积公式计算可得；【详解】解：因为正三棱柱的底面边长，侧棱长，所以底面外接圆的半径，设正三棱柱外接球的半径为，则，所以外接球的表面积；故答案为：15.如图所示，为测算某自然水域的最大宽度（即A，B两点间的距离），现取与A，B两点在同一平面内的两点C，D，测得C，D间的距离为1500米，，，，则A，B两点的距离为______米．【答案】【解析】【分析】在，中分别求出边AD，BD，再在中利用余弦定理求解作答.【详解】如图，在中，，而，则，因此，，在中，，则，由正弦定理得：，在中，由余弦定理得，所以A，B两点的距离为（米）.故答案为：16.在平面直角坐标系xOy中，给定，，假设O，A，B不在同一直线上，利用向量的数量积可以方便的求出的面积为．已知三点，，，则面积的最大值为______．【答案】【解析】【分析】分析给定面积公式的构成，再求出，利用给定公式列式，借助均值不等式求解作答.【详解】依题意，在中，，，则的面积为，当，，时，，则面积，显然面积取最大值时，必有，因此，当时，，当且仅当时取“=”，所以面积的最大值为.故答案为：四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知，，，是复平面内的四个点，其中，且向量对应的复数分别为，且．（1）求；（2）若复数，，在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）结合向量坐标表示可用表示出，根据复数运算和复数的相等可构造方程组求得，由此可得；（2）根据复数除法运算法则可化简得到，由此可得对应点坐标；根据点位于第四象限可构造不等式组求得的范围.【小问1详解】，，，，，则，解得：，，.【小问2详解】由（1）知：，则对应的复平面内的点为，又位于第四象限，，解得：，即实数的取值范围为.18.已知向量，，．（1）若，求t的值；（2）若与的夹角为锐角，求t的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求出的坐标，再由，可得，从而可求出t的值，（2）由于与的夹角为锐角，所以，且与不共线，从而可求出t的取值范围【小问1详解】因为，，，所以，因为，所以，解得【小问2详解】因为与的夹角为锐角，所以，且与不共线，由，得，解得，当与共线时，，解得，所以当且时，与的夹角为锐角，所以所求的t的取值范围为19.在中，点P在边BC上，，，记AC的长为m，PC的长为n，且．（1）求∠APB；（2）若的面积为，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由余弦定理得到方程组，即可求出、，从而得到，此时为等边三角形，从而可求．（2）由已知利用三角形的面积公式可求，的值，作交于，利用勾股定理求得的值，进而在中，由正弦定理可求的值．【小问1详解】解：在中，因，，又，，，由余弦定理可得：，即，所以，解得，则，此时为等边三角形，从而．小问2详解】解：由，可得，则，作交于，由（1）可知，在等边中，，，在中，，在中，由正弦定理可得，所以．20.某景区为提升游客观赏体验，搭建一批圆锥形屋顶的小屋（如图）．现测量其中一个屋顶，得到圆锥的底面直径长为，母线长为（如图）．（1）现用鲜花铺设屋顶，如果每平方米大约需要鲜花朵，那么装饰这个屋顶（不含底面）大约需要多少朵鲜花（参考数据：）；（2）若是母线的一个三等分点（靠近点），从点到点绕屋顶侧面一周安装灯光带，求灯光带的最小长度．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用圆锥侧面积公式可求得侧面积，由此可求得结果；（2）将圆锥侧面展开，可知所求最小长度即为，由扇形弧长公式可求得展开图圆心角，利用余弦定理可求得.【小问1详解】由题意知：圆锥的底面半径，母线长，圆锥的侧面积（），装饰屋顶大约需要朵鲜花.【小问2详解】将圆锥侧面沿母线展开，是侧面展开图为如图所示的扇形，则的长度即为灯光带的最小长度，，，在中，，，，解得：，即灯光带的最小长度为.21.已知函数．（1）求函数的单调递增区间；（2）若函数在区间上有且仅有两个零点，求实数k的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由三角恒等变换化简，再利用正弦函数的单调性即可得出答案.（2）函数在区间上有且仅有两个零点转化为曲线与直线在区间上有且仅有两个交点，即可求实数k的取值范围.【小问1详解】，令，所以，所以函数的单调递增区间为：【小问2详解】函数在区间上有且仅有两个零点，即曲线与直线在区间上有且仅有两个交点，由，当时，，设，则，当时，曲线与直线区间上有且仅有两个交点.22.已知函数，图像上相邻的最高点与最低点的横坐标相差，是的一条对称轴，且．（1）求的解析式；（2）将函数的图像向右平移个单位得到函数的图像，若存在，，，满足，且（，），求m的最小值；（3）令，，若存在使得成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）（2）12（3）【解析】【分析】（1）根据题意可得周期，代入可得或，再分