《有限元基础教程》-【MATLAB算例】4.7.2(1)基于4节点四边形单元的矩形薄板分析(Quad2D4Node)

【MATLAB算例】4.7.2(1)基于4节点四边形单元的矩形薄板分析(Quad2D4Node)如图4-21所示的一个薄平板，在右端部受集中力F作用，其中的参数为：。基于MATLAB平台，按平面应力问题计算各个节点位移、支座反力以及单元的应力。 (a)问题描述(b)有限元分析模型图4-21右端部受集中力作用的薄平板解答：对该问题进行有限元分析的过程如下。（1）结构的离散化与编号将结构离散为二个4节点矩形单元，单元编号及节点编号如图4-21(b)所示，连接关系见表4-6，节点的几何坐标见表4-7，载荷F按静力等效原则向节点1，2移置。表4-6结构的单元连接关系单元号节点号1235641342表4-7节点的坐标节点节点坐标/mxy123456212011100100节点位移列阵(4-186)节点外载列阵 (4-187)约束的支反力列阵(4-188)总的节点载荷列阵(4-189)其中，和分别为节点5和节点6的两个方向的支反力。（2）计算各单元的刚度矩阵(以国际标准单位)首先在MATLAB环境下，输入弹性模量E、泊松比NU、薄板厚度h和平面应力问题性质指示参数ID，然后针对单元1和单元2，分别两次调用函数Quad2D4Node_Stiffness，就可以得到单元的刚度矩阵k1(8×8)和k2(8×8)。>>E=1e7;>>NU=1/3;>>t=0.1;>>ID=1;>>k1=Quad2D4Node_Stiffness(E,NU,t,1,1,0,1,0,0,1,0,ID);>>k2=Quad2D4Node_Stiffness(E,NU,t,2,1,1,1,1,0,2,0,ID);（3）建立整体刚度方程由于该结构共有6个节点，则总共的自由度数为12，因此，结构总的刚度矩阵为KK(12×12)，先对KK清零，然后两次调用函数Quad2D4Node_Assembly进行刚度矩阵的组装。>>KK=zeros(12,12);>>KK=Quad2D4Node_Assembly(KK,k1,3,5,6,4);>>KK=Quad2D4Node_Assembly(KK,k2,1,3,4,2);（4）边界条件的处理及刚度方程求解由图4-21(b)可以看出，节点5和节点6的两个方向的位移将为零，即，因此，将针对节点1，2，3和4的位移进行求解。节点1，2，3和4的位移将对应KK矩阵中的前8行和前8列，则需从KK(12×12)中提出，置给k，然后生成对应的载荷列阵p，再采用高斯消去法进行求解。注意：MATLAB中的反斜线符号“\”就是采用高斯消去法。>>k=KK(1:8,1:8);>>p=[0;-50000;0;-50000;0;0;0;0];>>u=k\pu=0.8000-2.5333-0.8000-2.53330.6000-0.8667-0.6000-0.8667[将列排成行]由此可以看出，所求得的结果为：。（5）支反力的计算在得到整个结构的节点位移后，由原整体刚度方程就可以计算出对应的支反力。先将上面得到的位移结果与位移边界条件的节点位移进行组合(注意位置关系)，可以得到整体的位移列阵U(12×1)，再代回原整体刚度方程，计算出所有的节点力P(12×1)，按式(4-189)的对应关系就可以找到对应的支反力。>>U=[u;0;0;0;0];>>P=KK*UP=1.0e+005*-0.0000-0.50000.0000-0.50000.00000.0000[将列排成行]0.0000-0.0000-2.00000.50002.00000.5000[将列排成行]由式(4-189)的对应关系，可以得到对应的支反力为。（6）各单元的应力计算先从整体位移列阵U(12×1)中提取出单元的位移列阵，然后，调用计算单元应力的函数Quad2D4Node_Stress，就可以得到各个单元的应力分量。>>u1=[U(5);U(6);U(9);U(10);U(11);U(12);U(7);U(8)]u1=0.6000-0.86670000-0.6000-0.8667[将列排成行]>>stress1=Quad2D4Node_Stress(E,NU,1,1,0,1,0,0,1,0,u1,ID)stress1=1.0e+005*0.00000.0000-10.0000[将列排成行]>>u2=[U(1);U(2);U(5);U(6);U(7);U(8);U(3);U(4)]u2=0.8000-2.53330.6000-0.8667[将列排成行]-0.6000-0.8667-0.8000-2.5333[将列排成行]>>stress2=Quad2D4Node_Stress(E,NU,2,1,1,1,1,0,2,0,u2,