高等数学高职

《高等数学》书名：高等数学（下）ISBN：978-7-111-31288-8作者：陶金瑞出版社：机械工业出版社本书配有电子课件高等数学（下）高职高专ppt课件第九章无穷级数学习目标：理解无穷级数收敛与发散的基本概念，掌握正项级数和交错级数的审敛法；掌握简单幂级数收敛于的求法，会将简单的函数用间接展开法展开成幂级数；掌握将周期函数和奇、偶函数展开为傅里叶级数的方法。《高等数学》高等数学（下）高职高专ppt课件内容提要高等数学（下）高职高专ppt课件第一节无穷级数概念与性质重点：（1）级数及其收敛与发散（2）级数的基本性质（3）级数收敛的必要条件难点:用定义判断级数的敛散性

高等数学（下）高职高专ppt课件一、无穷级数的基本概念高等数学（下）高职高专ppt课件二、数项级数的收敛和发散

例1讨论级数

101解：这是以为公比的等比级数，分别取级数的前1项，

前2项，…前n项做和：

……

高等数学（下）高职高专ppt课件高等数学（下）高职高专ppt课件高等数学（下）高职高专ppt课件高等数学（下）高职高专ppt课件

判定下列级数的敛散性（1）（2）（3）（4）解：（1）级数的部分和为

所以级数发散。高等数学（下）高职高专ppt课件（2）

级数的部分和为

，

，

，

，……

即

，

所以

不存在，所以级数

发散。

（3）因为，

所以级数的部分和为

而

所以级数

收敛，其和为

。

（4）

因为

，

所以

而

所以级数

发散。

例3讨论等比级数（又称几何级数）

的敛散性。

解：此级数的部分和为

三、无穷级数的性质性质1若

，C为常数，则

。

性质2若

，

，则有

性质3一个级数增加或去掉有限项，不改变级数的敛散

性（但收敛级数的和要变）。

性质4收敛级数任意加括号后所形成的新级数仍收敛，其和不变。

注意：性质4的逆命题是错误的。

例4

判别级数

是否收敛，如果收敛，并求其和。

解：

是

的等比级数，收敛并且和为

。

同理

根据级数的性质1，2可知，

也收敛，其和为

四、级数收敛的必要条件

只是级数收敛的必要条件而不是充分条件；定理：若级数

收敛，则

。

注：1）

2）

若

不成立，则级数必定发散。我们经常用

这个结论来证明级数发散。

例5判别级数

的敛散性。

解：

所以

由级数收敛的必要条件得原级数是发散的。

第二节正项级数重点：正项级数收敛性的两个判别法难点：比较判别法中尺度的选择一、比较审敛法1.如果级数

的每一项

，则称

为正项级数

2.设正项级数

和

满足：

则

（1）

若级数

收敛，

也收敛，

（2）

若级数

收敛，

也收敛。

这个判别法称为正项级数的比较判别法。

例1

级数

叫作调和级数，试判别其

敛散性。

解：

当

时，有

（此不等式可用函数的

单调性来证明）

所以

例2

讨论

级数的敛散性。

由比较判别法知解：（1）

当

时，

级数为调和函数，故发散。

（2）

当

时，

，因此

，

发散。

（3）当

时，将级数改写成：

解：（1）

因为22121nnn<++，而å¥=121nn是12>=p

的p级数，故级数å¥=++1221nnn

是收敛的。

（2）

当0>x时，有)1ln(xx+>，

所以，

)1ln(nn+>，即nn1)1ln(1>+，

而å¥=11nn是发散的，故级数å¥=+1)1ln(1nn发散。

（4）

因为11122+=+>+nnnnnn，

而级数å¥=+111nn是发散的

故级数å¥=+121nnn发散。

（3）因为

而级数是公比为

54的等比级数，且收敛的。

故级数å¥=-1354nnnn收敛。

比较判别法的极限形式：

设å¥=1nnu和å¥=1nnv是两个正项级数，若avunnn=¥®lim，+ÎRa，

则这两个级数的敛散性相同。

å¥=11sinnn例1

判别级数的敛散性。

解：易知å¥=11sinnn是正弦级数，因为111sinlim=¥®nnn，

而å¥=11nn发散，故级数å¥=11sinnn发散。

二、比值审敛法例5

判断下列级数的敛散性

（1）

å¥=1nnna(0>a)(2)å¥=1!nnnn

(3)å¥=12nnn

解：

（1）

annananauunnnnnnn=+=+=¥®+¥®+¥®1lim1limlim11

因为0>a，所以当10<<a时级数收敛，当1>a时

级数发散。

第三节任意项级数重点：（1）交错级数审敛法（2）绝对收敛与条件收敛难点：绝对收敛与条件收敛一、交错级数例1判断下列级数的敛散性。

（1）

å¥=-11)1(nnn

（2）

å¥=--111)1(nnn

解：（1）

nun1=，111+=+nun

显然有

1+>nnuu，且

0lim=¥®nnu

故级数收敛。

（2）

nun1=，111+=+nun

显然有

1+>nnuu，且

01lim=¥®nn，

故级数收敛。

二、绝对收敛与条件收敛例2证明级数å¥=--121sin)1(nnnn收敛。

证明：

因为2211sin)1(nnnn£--，而级数å¥=121nn是2=p时

的p级数，它是收敛的，所以由比较判别法，级数

å¥=--121sin)1(nnnn

收敛，从而级数å¥=--121sin)1(nnnn是绝对收敛的。

故级数å¥=--121sin)1(nnnn收敛。

例3指出下列级数是绝对收敛还是条件收敛：

（1）

å¥=--111)1(nnn

（2）

å¥=--111)1(nnnn

解：（1）级数å¥=--111)1(nnn是交错级数，由交错级数审敛法可知

它收敛。而

åå¥=¥=-=-11111)1(nnnnn是1=p的p级数，是发散的，

故级数å¥=--111)1(nnn条件收敛。

（2）级数å¥=--111)1(nnnn的每项取绝对值得级数å¥=11nnn，它是23=p

的p级数，是收敛的，因此级数å¥=--111)1(nnnn绝对收敛。它本身一

定收敛。

第四节幂级数重点：（1）幂级数概念及收敛半径、收敛区间（2）幂级数的运算性质难点：利用幂级数的运算性质求幂级数的和一、幂级数的概念

例1求幂级数

LL++++++nxxxx321的收敛域及和函数)(xS.

x解：这是一个公比为的等比级数，因此当

，

即11<<-x时收敛，当1>x时发散，所以级数

LL++++++nxxxx321

的收敛域为)1,1(-，发散域为

。

由等比级数的求和公式知,它的和函数为xxS-=11)(，即

LL++++++=-nxxxxx32111

)1,1(-Îx

例1

求下列幂级数的收敛区间

（1）

å¥=0!nnnx

（2）

å¥=-11)(nnnx

（3）

å¥=-1)1(nnnnx

（4）

å¥=+0212nnnxn

解：收敛半径为

+¥=+=+==¥®¥®+¥®)1(lim)!1(1!1limlim1nnnaaRnnnnn

故幂级数å¥=0!nnnx的收敛区间为),(+¥-¥。

三、幂级数的运算性质性质1：

设幂级å¥=0nnnxa和å¥=0nnnxb的收敛半径分别为1R和2R，

和函数分别为)(1xS和)(2xS，),min(21RRR=，则幂级数

å¥=±1)(nnnnxba的收敛半径为R，且

)()()(21000xSxSxbaxbxannnnnnnnnn+=±=±ååå¥=¥=¥=，

RxR<<-

性质2：

若幂级数å¥=1nnnxa的收敛半径为0>R，和函数为)(xS，

则在区间),(RR-内和函数可导，且有

ååå¥=¥=-¥==¢=¢=¢0010)()()(nnnnnnnnnxnaxaxaxS

即幂级数在其收敛区间内可以逐项求导。

例3

求幂级数å¥=-11nnnx的收敛区间及和函数，并求数项级数

å¥=12nnn的和。

11limlim1=+==¥®+¥®nnaaRnnnn解：

因为

把代入幂级数后都不收敛，所以原级数的收敛区间为)1,1(-。设和函数为)(xS，

因为nxnxdtnt=ò-01，

所以，

xxxdtntdtntdttSnnnxnxnnx-====ååòòåò¥=¥=-¥=-1)()(11010110

例4

对幂级数

LL+-+-+-=+nnxxxx)1(1112

（11<<-x）

进行逐项求导和逐项积分。

2)1(1)11(xx+-=¢+解：由于，对幂级数逐项求导得：

LL+-+-+-=++nnnxxxx122)1(321)1(1

（11<<-x）

对幂级数逐项积分得：

LL+-+-+-=+òòòòòxnnxxxxdttdtttdttddtt002000)1(11

（11<<-x）

即

LL+-++-+-=+-nnxnxxxxx1)1(413121)1ln(1432

（11<<-x）

例5

求幂级数å¥=1!nnnx的和函数。

解：例2中已经求出它的收敛区间为),(+¥-¥，

设和函数为)(xS，

LL+++++=!!21)(2nxxxxSn即：

),(+¥-¥Îx

逐项求导得：)(!!21)(2xSnxxxxSn=+++++=¢LL

即

)()(xSxS=¢

解这个微分方程得：xCexS=)(

由于1)0(=S，所以1=C，于是xexS=)(

即

LL+++++=!!212nxxxenx

第五节函数的幂级数的展开重点（1）把函数展开为幂级数（2）求函数的收敛区间难点（1）幂级数的展开技巧（2）幂级数的简单应用一、函数的幂级数展开

问题：（1）

在（1）式中，系数0a，1a，2a，…，na…如何确定？

（2）

)(xf满足什么条件才能展开为x的幂级数？

我们来解决问题（1），不妨设展开式（1）成立，那么根据幂

级数的逐项求导法，对式（1）依次求出各阶导数：

)(xfå¥=0nnnxa对于一个给定的函数，如果能找到一个幂级数,使

（RxR<<-）

（1）

成立，那么就说函数)(xf可以展开为x

的幂级数,（1）式称为)(xf

的x的幂级数展开式。

把0=x代入（1）式及上述各式中得：

0)0(af=，1)0(af=¢，2!2)0(af=¢¢，…，nnanf!)0()(=，…

于是

)0(0fa=，!1)0(1fa¢=，!2)0(2fa¢¢=，

…，!)0()(nfann=，…

代入到（1）式中得

LL+++¢¢+¢+=nnxnfxfxffxf!)0(!2)0(!1)0()0()()(2（RxR<<-）

（2）

LL+++++=¢-1232132)(nnxnaxaxaaxf

…………

L+++++=++221)(2)!2()!1(!)(xanxananxfnnnn

…………

称式（2）为)(xf的麦克劳林展开式，（或称)(xf在0=x

处的泰勒展开式）。式（2)右端的级数称为)(xf的麦克劳林级数

（或称)(xf在0=x处的泰勒级数）。

并且我们可以得到：如果)(xf在包含点0=x在内的某一

区间),(RR-内有任意阶导数，且

（x在0和x之间，RxR<<-）

那么，)(xf在),(RR-区间内就可以展开为麦克劳林级数。用上述

方法把已知函数展开成x的幂级数叫做直接展开法。

例1

把函数xexf=)(展开为x的幂级数。

LL+++++!!2!112nxxxn），，，（...321=n解：由于xnexf=)()(，故得1)0()(=nf，

由公式（2）得，xe的麦克劳林级数为

由第四节的例2知，它的收敛半径为+¥=R，下面证明这

个级数在),(¥-¥内收敛于xe。

（

x在0和

x之间）

因为xee<x，故对任意给定的x，xe有界，而

)!1(1++nxn

是收敛级数的一般项，所以根据级数收敛的必要条件，对任意

的x

，都有

0)!1(lim1=++¥®nxnn

从而，

0)(lim=¥®xRnn，

RxÎ

这样，我们得到xe的麦克劳林级数为

LL+++++=!!2!112nxxxenx

（+¥<<¥-x）

例2

求正弦函数的麦克劳林级数。

解：

xysin=的各阶导数为

)2sin()()(pnxxfn+=

（

0,1,2,3n=L）

)0()(nf（n=0，1，2，3，…）依次循环地取0，1，0，-1，…，

于是得xsin的展开式为

LL++-+-+-+)!12()1(!5!31253nxxxxnn

（

0,1,2,3n=L）

容易求得此级数的收敛区间为),(¥-¥。而

11)()!1(]2)1(sin[)!1()()(+++++=+=nnnnxnnxnfxRpxx

（

x在0和

x之间）

例3

余弦函数xxfcos)(=的麦克劳林级数。

解：根据幂级数的运算性质，对xsin的展开式两边求导得：

LL+-+-+-=!2)1(!4!21cos242nxxxxnn

（+¥<<¥-x）

因为

所以由例1的讨论可得

0)(lim=¥®xRnn，

RxÎ

于是得：

LL++-+-+-=+)!12()1(!5!3sin1253nxxxxxnn

（+¥<<¥-x）

例4

求函数xxxf-+=11ln)(的麦克劳林级数。

解：

)1ln()1ln(11ln)(xxxxxf--+=-+=

可先求)1ln(x+和)1ln(x-的展开式：

LL++-+-+-=++1)1(32)1ln(132nxxxxxnn

（11£<-x）

把上式中的x换为x-，得：

LL-+-----=-+132)1ln(132nxxxxxn

（11<£-x）

两式相减便得：

)1253(211ln123LL+-++++=-+-nxxxxxxn

（11<<-x）

例5

把x1展开成2-x的幂级数。

解：

把x-11的展开式中的x换为22--x得：

)2)2(2)3(2)2(221(211443322L--+---+--=xxxxx

（1221<--<-x）

整理得：

)2)2()1(2)3(2)2(22211143322LL+--++---+--=+nnnxxxxx

（40<<x）

二、幂级数的应用举例例6

求o15sin的近似值（精确到410-）。

1215p=o解：

因为，由xsin的展开式得：

12153)12()!12(1)1()12(!51)12(!311212sin----+-+-»nnnpppppL

因为3112412<<p，所以

当取前两项为其近似值时，其误差不大于第三项，

所以，2588.0)12(!311212sin3»-»ppp

例7

计算积分ò10sindxxx的近似值（精确到

410-）

解：

被积函数的原函数不是初等函数，将被积函数按幂级数

展开，有

LL++-+-+-=)!12()1(!5!31sin242nxxxxxnn

（+¥<<¥-x）

两边积分得：

所以

若取前3项作为其近似值，则误差不大于第四项，

例8

利用幂级数证明欧拉公式

xixeixsincos+=

（*）

证明：在xe的展开式中，将x换为ix得：

LL++++++=!)(!3)(!2)(132nixixixixenix

12-=iii-=314=iii=5由于，，，，…所以

xixxxxixxxixxixixeixsincos)!5!3()!4!21(!5!4!3!2153425432+=-+-+-+-=-++--+=LLL

证毕。

第六节傅立叶级数重点：（1）三角函数系的正交性（2）把周期为的函数展开为傅立叶技术，并求出收敛于的范围难点：（1）收敛定理的理解（2）傅立叶系数的计算一、问题的提出在自然现象和科学技术中，常会遇到各种周期现象，这类周期

现象中的有关量在经过一定的时间T以后，又回到原来的初值。这

样的周期一般是可由周期为T的函数来描述。

)()(tfTtf=+

例如：弹簧的振动可用函数)sin(jw+=tAS来表示；

正弦交流电的电流强度可用函数

)sin(0jw+=tII来表示。

其中A和0I叫做振幅，w是角频率，j叫做初位相。它们

都是以wp2=T为周期的函数，它们所描述的周期现象称为简谐振动。

二、三角函数系的正交性如果级数（1）在某种条件下能收敛于一个函数)(xf，（DxÎ），则称函数)(xf能展开成傅立叶级数，或者说三角级数（1）在这种条件下收敛于函数)(xf，即

å¥=++=10)sincos()(nnnnxbnxaAxf，

DxÎ

三角级数（1）中出现的函数综合

称为三角函数系

å¥=++10)sincos(nnnnxbnxaA由正弦、余弦函数组成的形如

的级数，称为三角级数，又称傅立叶级数。

其中

都是常数。

设)(xf以p2为周期，并且可以展开成傅立叶级数（1），即

å¥=++=10)sincos()(nnnnxbnxaAxf

（2）

首先就要解决如下的两个问题：

（1）

展开式中的系数0A，na，nb，如何确定？

（2）

)(xf满足什么样的条件，展开式才收敛于)(xf呢？

下面先来解决问题（1）。假定函数)(xf在],[pp-上可积，并且它的展开

式可以逐项积分，则有

åòòòò¥=----++=10)sincos()(nnnnxdxbnxdxadxAdxxfpppppppp

由三角函系的正交性可得：

002)(AdxAdxxfppppp==òò--

200aA=dxxfa)(10ò-=ppp令，则

再用kxcos乘以（2）式右端，并在],[pp-上积分，有

åòòòò¥=----++=10)cossincoscos(coscos)(nnnkxdxnxbkxdxnxadxkxAkxdxxfpppppppp

由三角函数的正交性，得：

，从而求出na：

（n=1，2，3，…）

nanb由（3）式所确定的系数，称为)(xf的傅立叶系数，把它们代入

（2）式即得)(xf的傅立叶级数展开式

å¥=++=10)sincos(2)(nnnnxbnxaaxf

（5）

同理用kxsin乘以（2）式两端，并在],[pp-上积分，可得：

（n=1，2，3，…）

（3）

（4）

综上所述，)(xf的展开式的系数可以表示如下：

（n=1，2，3，…）

（n=1，2，3，…）例1

设)(xf以p2为周期，它在],[pp-上的表达式为

îíì-=,1,1)(xf

pp<£<£-xx00

将)(xf展开成傅立叶级数。

解：

计算傅立叶系数

（2）

写出傅立叶级数

])12sin(1215sin513sin31[sin4LL+--++++xnnxxxp

）

0211=+-（1）

讨论收敛性：

由于)(xf满足收敛定理的条件，它在pkx=（处不连续，其它地方都连续，由收敛定理知道，在pkx=时，

级数收敛于，

pkx¹)(xf在时，级数收敛于，即

])12sin(1215sin513sin31[sin4)(LL+--++++=xnnxxxxfp

（+¥<<¥-x，pkx¹，）

其和函数的图形如图。

例2

设îíì<<££-=ppxxxxf0,00,)(，以p2为周期，将)(xf展开为

傅立叶级数。

解：（1）

计算傅立叶系数

21)(100pppppp-===òò--xdxdxxfa

(2)写出傅立叶级数

L-++-++-++-)5sin515cos52(4sin41)3sin313cos32(2sin21)sincos2(422xxxxxxxxpppp

）不连续，(3)

讨论敛散性

)(xf满足收敛定理的条件，在p)12(+=kx

（

因此在这些点级数收敛于22)(02)0()0(pppp-=-+=++-ff在其它点处都

收敛于)(xf，因此

)3sin312sin21(sin)5cos513cos31(cos24)(22LL-+-+++++-=xxxxxxxfpp

（+¥<<¥-x，pkx¹，）

例3)(xf以p2为周期，在],[pp-上的表达式为xxf=)(，将)(xf

展开为傅立叶级数。

解：

（1）

计算傅立叶级数

ppppppp=+-==òòò--0001)(1xdxxdxdxxfa

第七节正弦与余弦级数周期延拓重点：（1）奇函数与偶函数分别展开为正弦级数和余弦级数（2）把已知函数进行奇延拓和偶延拓难点：函数的周期性延拓一、奇函数和偶函数的傅立叶级数这个定理说明，如果)(xf为奇函数，那么它的傅立叶级数是

只含有正弦项的正弦级数

如果)(xf为偶函数，那么它的傅立叶级数是只含有余弦项

的余弦级数

例1)(xf是周期为p2的函数，它在],[pp-上的表达式为xxf=)(，

将)(xf展开为傅立叶级数。

解：

所给函数满足收敛定理的条件，它在点p)12(+=kx处收敛于

02)(2)0()0(=-+=++-ppppff

在连续点处收敛于)(xf。其次，若不计p)12(+=kx，则)(xf是周期为p2的

奇函数。显然，)(xf的傅立叶级数是正弦级数。

）（,......3,2,1)1(2cos2]sincos[2sin2sin)(210200=-=-=+-===+òònnnnnnxnnxxnxdxxnxdxxfbnnppppppp

代入到正弦级数表达式并由收敛定理中得)(xf的傅立叶展开式

例2

将函数xExfsin)(=（0>E）展开为傅立叶级数。

解：

因为)(xf为偶函数，所以它的展开式为余弦级数，)(xf是在

),(+¥-¥内的连续函数，并且周期是p，当然p2也是它的周期。

ïîïíì--=--+++-=--+===òòò为偶数为奇数nnEnnxnnxnEdxxnxnEnxdxxEnxdxxfan,)1(4,0]1)1cos(1)1cos([])1sin()1[sin(cossin2cos)(220000ppppppppp

（1¹n）

补充1a，

0]2sin[2cossin2cos)(202001==×==òòppppppxExdxxExdxxfa

二、函数的周期性延拓例2将函数1)(+=xxf

（p££x0）分别展开成正弦级数和余弦级数。

解：先求正弦级数，为此对函数)(xf进行奇延拓，如图

将nb代入到正弦级数中并由收敛定理得

]4sin43sin322sin2sin)2[(21L+-++-+=+xxxxxppppp

（p<<x0）

再求余弦级数，为此对)(xf进行偶延拓，如图

++=]sincossin[202nnxnnxnnxxpp22+==òòcos)1(cos)(00xdxxdxnxxfanpppp

ïîïíì=-==-=LL,5,3,1,4,6,4,2,0]1[cos222nnnnnppp

2]2[2)1(20200+=+=+=òpppppxxdxxa

将na代入到余弦级数中并由收敛定理得：

（)5cos513cos31(cos412122L+++-+=+xxxxppp££x0）

第八节周期为2Ｌ的函数的傅立叶级数重点：把周期为2Ｌ的函数展开为傅立叶级数求出收敛于的范围难点：把函数展开为正弦级数和余弦级数

定理：设周期为l2的函数)(xf满足收敛定理的条件，则

它的傅立叶级数展开式为

å¥=++=10)sincos(2)(nnnlxnblxnaaxfpp

（1）

其中系数na，nb为

ïîïíì====òò--LL,3,2,1,sin)(1,2,1,0,cos)(1ndxlxnxflbndxlxnxflallnllnpp

(2)

当)(xf为奇函数时，

å¥==1sin)(nnlxnbxfp

（3）

其中ò=lndxlxnxflb0sin)(2p

（L,3,2,1=n）

当)(xf为偶函数时，

å¥=+=10