第1节 基本立体图形及几何体的表面积与体积

考试要求1.认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.知道球、棱(圆)柱、棱(圆)锥、棱(圆)台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题.3.能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合体)的直观图．【知识梳理】1．空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相______且_____多边形互相________且__________侧棱________相交于____，但不一定相等延长线交于________侧面形状________________梯形(2)旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线互相平行且相等，____于底面相交于________延长线交于________轴截面________________等腰梯形圆侧面展开图________________扇环2.直观图的斜二测画法(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为________________，z′轴与x′轴、y′轴所在平面________．(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别________坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度________，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的________．3．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝________S圆锥侧＝____S圆台侧＝____________4.简单几何体的表面积和体积公式几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝________锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝________台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝________V＝________[常用结论与微点提醒]1．与体积有关的几个结论(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等(祖暅原理)．2．直观图与原平面图形面积间的关系S直观图＝eq\f(\r(2),4)S原图形．【诊断自测】1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线．()(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．()(3)菱形的直观图仍是菱形．()(4)两个球的体积之比等于它们的半径比的平方．()2．(必修二P106T8改编)如图，长方体ABCD－A′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′∥FG，则剩下的几何体是()A．棱台 B．四棱柱C．五棱柱 D．六棱柱3．(2021·新高考Ⅰ卷)已知圆锥的底面半径为eq\r(2)，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为()A．2 B．2eq\r(2)C．4 D．4eq\r(2)4．(必修二P120T5改编)一个长方体的顶点都在球面上，且长方体的棱长分别为1，2，3，则球的表面积为________.考点一基本立体图形角度1结构特征例1(多选)下列说法中正确的是()A．以直角梯形垂直于底面的腰所在直线为旋转轴，其余边旋转一周形成的几何体是圆台B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱C．底面是正多边形的棱锥是正棱锥D．棱台的各侧棱延长后必交于一点________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升空间几何体结构特征的判断技巧(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．(2)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可．角度2直观图例2(1)对于用斜二测画法画水平放置的图形的直观图来说，下列描述不正确的是()A．三角形的直观图仍然是一个三角形B．90°的角的直观图一定会变为45°的角C．与y轴平行的线段长度变为原来的一半D．由于选轴的不同，所得的直观图可能不同(2)如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是()A．2＋eq\r(2) B．eq\f(1＋\r(2),2)C.eq\f(2＋\r(2),2) D．1＋eq\r(2)________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升1.在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段：“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半．”2．按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原平面图形面积的关系：S直观图＝eq\f(\r(2),4)S原图形．角度3展开图例3(2024·郴州模拟)已知圆台的上、下底面圆半径分别为10和5，侧面积为300π，AB为圆台的一条母线(点B在圆台的上底面圆周上)，M为AB的中点，一只蚂蚁从点B出发，绕圆台侧面爬行一周到点M，则蚂蚁爬行所经路程的最小值为()A．30 B．40C．50 D．60________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升在解决空间曲线或折线(段)最短问题时一般要考虑几何体的侧面展开图，采用化曲为直的策略，将空间问题平面化．训练1(1)(2024·枣庄调研)给出下列四个命题，正确的是()A．有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱B．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥C．侧面都是矩形的直四棱柱是长方体D．底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱(2)如图，一个水平放置的平面图形由斜二测画法得到的直观图A′B′C′D′是边长为2的菱形，且O′D′＝2，则原平面图形的周长为()A．4eq\r(2)＋4 B．4eq\r(6)＋4C．8eq\r(2) D．8(3)(2023·福州检测)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1＝2，F是线段A1B1上的动点，则AF＋FC1的最小值为________．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________考点二面积与体积角度1表面积与侧面积例4(1)(2024·潍坊模拟)如图，圆锥的底面半径为1，侧面展开图是一个圆心角为60°的扇形．把该圆锥截成圆台，已知圆台的下底面与该圆锥的底面重合，圆台的上底面半径为eq\f(1,3)，则圆台的侧面积为________．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)(2024·兰州诊断)攒尖是中国古建筑中屋顶的一种结构形式，兰州市著名景点三台阁(如图1)的屋顶部分是典型的攒尖结构．如图2所示是某研究性学习小组制作的三台阁仿真模型的屋顶部分，它可以看作是不含下底面的正四棱台和正三棱柱的组合体，已知正四棱台上底边、下底边、侧棱的长度(单位：dm)分别为2，6，4，正三棱柱各棱长均相等，则该结构的表面积为________________dm2.______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________角度2体积例5(1)(2023·新高考Ⅰ卷)在正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝eq\r(2)，则该棱台的体积为________．(2)(2024·南宁质检)木楔子在传统木工中运用广泛，它使得榫卯配合的牢度得到最大化满足．楔子是一种简单的机械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛、木片等．如图为一个木楔子的直观图，其中四边形ABCD是边长为2的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥CD，EF＝4，则该木楔子的体积为________．(3)(2020·新高考Ⅱ卷)棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱BB1，AB的中点，则三棱锥A1－D1MN的体积为________．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升1.空间几何体表面积的求法(1)旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用，并弄清底面半径、母线长与对应侧面展开图中边的关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．2．求空间几何体的体积的常用方法(1)公式法：规则几何体的体积问题，直接利用公式进行求解；(2)割补法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则的几何体；(3)等体积法：通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积．训练2(1)在我国瓷器