2025年中考数学总复习12 反比例函数与一次函数、几何结合

微专题12反比例函数与一次函数、几何结合

高频考点突破

考点1反比例函数与一次函数结合(6年3考)

方法解读

求几何图形面积：通常将坐标轴上的边或与坐标轴平行的边作为底边，再利用点

的坐标求得底边上的高，最后利用面积公式求解.

常见求三角形面积的示例如下：

①S△AOB＝OB·AD；

1

2

②S△ADB＝S△ACD＋S△BDC；

③S△AOB＝S△ACO＋S△BOC＝S△ADO＋S△BDO.

例1如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x＋b1(k1≠0)的图象与反比例

函数y＝(k2≠0)的图象分别交于点A(－1，－2)，B(，n).

�23

(1)求一次�函数与反比例函数的解析式；2

第1页共12页

(2)如图①，点C是反比例函数图象上一动点，过点C作y轴的垂线，交y轴于

点D，交一次函数图象于点E，当点C恰好是DE的中点时，求点C的坐标；

例1题图①

(3)核心设问如图②，连接OA，OB，求△AOB的面积；[2019广东23(2)题考查]

例1题图②

(4)核心设问如图③，点M是一次函数图象上一动点，当AM＝3BM时，求点M

的坐标.[2021广东21(2)题考查]

例1题图③

考点2反比例函数与几何结合(6年2考)

方法解读

一、坐标法

由y＝得到xy＝k，如：点A(xA，yA)，B(xB，yB)在反比例函数y＝的图象上，

��

则xA·yA＝x�B·yB＝k①，即反比例函数图象上的点的横、纵坐标积相等，�都等于k；

第2页共12页

①式变形为＝②，即反比例函数图象上两点横坐标的比值与纵坐标的比值互

����

为倒数.����

二、面积法

面积法的本质即利用“k”的几何意义，由xy＝k可以得到；反比例函数图象上

的点向x，y轴作垂线，得到的矩形面积都相等，均为｜k｜；进而得到下图中：

S△AOB＝S△COD＝｜k｜.

1

2

例2(北师九上习题改编)如图，已知双曲线y＝(x＞0)经过Rt△OAB斜边OB

�

的中点D，与直角边AB相交于点C，DE⊥OA于�点E，连接OC，若△OBC的面

积为3，则k等于.

例2题图

例3(2024东莞一模改编)如图，点A是反比例函数y＝(x＞0)的图象上任意一

6

点，AB∥x轴并交反比例函数y＝－(x＜0)的图象于点B，以�AB为边作菱形ABCD，

3

其中C，D在x轴上，则菱形ABC�D的面积为.

例3题图

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例4(人教九上习题改编)如图，△ABC的边AB在x轴上，边AC交y轴于点E，

AE∶EC＝1∶2，反比例函数y＝(x＞0)的图象过点C，且交线段BC于点D，

�

�

BD∶DC＝1∶3，连接AD，若S△ABD＝，则k的值为.

11

4

例4题图

真题及变式

命题点1反比例函数与一次函数结合(6年3考)

1.(2021广东21题8分)在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b(k＞0)的图

象与x轴，y轴分别交于A，B两点，且与反比例函数y＝图象的一个交点为P(1，

4

m).�

(1)求m的值；

(2)若PA＝2AB，求k的值.

2.(2019广东23题9分)如图，一次函数y＝k1x＋b的图象与反比例函数y＝的

�2

图象相交于A，B两点，其中点A的坐标为(－1，4)，点B的坐标为(4，n).�

(1)根据图象，直接写出满足k1x＋b＞的x的取值范围；

�2

(2)求这两个函数的表达式；�

(3)点P在线段AB上，且S△AOP∶S△BOP＝1∶2，求点P的坐标.

第2题图

命题点2反比例函数与几何结合(6年2考)

第4页共12页

3.(2020广东24题10分)如图，点B是反比例函数y＝(x＞0)图象上一点，过点

8

B分别向坐标轴作垂线，垂足为A，C.反比例函数�y＝(x＞0)的图象经过OB

�

的中点M，与AB，BC分别相交于点D，E.连接DE并延长�交x轴于点F，点G

与点O关于点C对称，连接BF，BG.

(1)填空：k＝；

(2)求△BDF的面积；

(3)求证：四边形BDFG为平行四边形.

第3题图

第5页共12页

高频考点

例解：将点－，－代入＝中，得＝－，

1(1)A(12)y(k2≠0)－2

�2�2

�1

解得k2＝2，

∴反比例函数的解析式为y＝，

2

将点B(，n)代入y＝中，得�n＝，

324

∴点B(2，)，�3

34

23

将点A(－1，－2)，B(，)分别代入y＝k1x＋b1(k1≠0)中，

34

－＋＝－23

得，

＋＝

�1�12

34

11

2�＝�3

解得4，

�1＝－3

2

1

∴一次�函数的3解析式为y＝x－；

42

(2)设点C的坐标为(x，)，33

2

∵点C是DE的中点，�

∴点E的坐标为(2x，)，

2

将点E(2x，)代入y＝�x－中，

242

得·2x－＝�，33

422

整理3得43x2－�x－3＝0，

解得x＝1或x＝－，

3

当x＝1时，y＝＝42，点C的坐标为(1，2)，

2

当x＝－时，y＝1＝－，点C的坐标为(－，－).

－

32838

3

44343

综上所述，点C的坐标为(1，2)或(－，－)；

38

第64页共132页

(3)由(1)可知点A(－1，－2)，点B(，)，

34

在一次函数y＝x－中，令y＝0，2得x3＝，

421

332

∴S△AOB＝××(＋2)＝；

1145

(4)设点M(2a，2b3)，当点6M在AB的延长线上时，

∵AM＝3BM，∴AB＝AM，

2

如解图①，过点M作x3轴的垂线，过点A作y轴的垂线，两线相交于点P，过点

B作BQ⊥AP于点Q，则BQ∥MP，

∴△ABQ∽△AMP，

∴＝＝＝，

𝐴𝐴��2

𝐴𝐴��3

∴3＝4＝，

2+13+22

解得�+1a＝�+2，b3＝3，

11

∴点M的4坐标为(，3)；

11

当点M在线段AB4上时，

∵AM＝3BM，∴AB＝AM，

4

如解图②，过点M作x3轴的垂线，过点A作y轴的垂线，两线相交于点P，过点

B作BQ⊥AP交AP的延长线于点Q，则BQ∥MP，

∴△ABQ∽△AMP，

∴＝＝＝，

𝐴𝐴��4

𝐴𝐴��3

∴3＝4＝，

2+13+24

解得�+1a＝�+，2b3＝，

71

∴点M的8坐标为2(，).

71

综上所述，点M的8坐2标为(，3)或(，).

1171

4第87页2共12页

图①

图②

例1题解图

例22【解析】∵DE⊥OA，BA⊥OA，∴DE∥AB，∵D是OB中点，∴OE

＝OA，DE＝AB，∴＝＝2，又∵点C，D都在y＝上，∴＝＝2，即

11���������

22��𝑂�����

DE＝2AC，∴AB＝4AC，∴BC＝3AC，∴S△OBC＝BC·OA＝·3AC·OA＝k＝3，

113

∴k＝2.222

一题多解法

∵点C，D都在y＝上，∴S△ODE＝S△OCA＝，由题意得△ODE∽△OBA，且相似

��

�2

比＝，∴＝，∴S△OBA＝4S△ODE＝2k，又∵S△OBA＝S△OBC＋S△OCA＝3＋k，

𝑂1�△�𝑂11

△���

∴2��k＝32＋k，�∴k＝42.2

1

例39【2解析】设点B的纵坐标为b，∴－＝b，解得x＝－，∵AB∥x轴，

33

��

∴点A的纵坐标为b，∴b＝，解得x＝，∴AB＝－(－)＝，∴S菱形ABCD＝·b

666399

＝9.������

例44【解析】设A(－a，0)(a＞0)，∵AE∶EC＝1∶2，∴点C(2a，)，∵BD∶DC

�

＝1∶3，∴点D的纵坐标为×＝，∴点D的坐标为(8a，)，2∴�B(10a，0)，

�1��

2�48�8�

第8页共12页

∴AB＝11a，∵BD∶DC＝1∶3，∴S△ABC＝4S△ABD＝4×＝11，∴S△ABC＝×11a×

111�

＝11，解得k＝4.422�

真题及变式

1.解：(1)∵P(1，m)为反比例函数y＝图象上一点，

4

∴当x＝1时，m＝＝4；(2分)�

4

(2)如解图，过点P1分别作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，

由(1)得P(1，4)，

∴PM＝4，PN＝1.

①当点B在y轴的正半轴时，

∵PA＝2AB，

∴＝，

�1�11

��12

易证△A1OB1∽△A1MP，

∴＝＝，

��1�1�11

𝐴�1�2

∴OB1＝2，

∴B1(0，2)，

将P(1，4)，B1(0，2)分别代入y＝kx＋b中，

＋

得，解得；(5分)

��=4�=2

②当点在轴的负半轴时，

�=2By�=2

∵PA＝2AB，

∴＝，

�2�21

��23

易证△B2A2O∽△B2PN，

∴＝＝，

��2�2�21

𝐴��23

∴OA2＝，

1

3第9页共12页

∴A2(，0)，

1

3

将P(1，4)，A2(，0)分别代入y＝kx＋b中，

1

＋3

得，解得.

＋＝－

��=4

1�=6

综上3�所述�，=k0的值为2�或6.2(8分)

第1题解图

2.解：(1)x＜－1或0＜x＜4；(2分)

(2)∵点A(－1，4)在反比例函数y＝的图象上，

�2

∴＝，分�

4－(3)

�2

1

解得k2＝－4，

∴反比例函数的表达式为y＝－.(4分)

4

∵点B(4，n)在反比例函数y＝－�的图象上，

4

∴n＝－＝－1，�

4

∴B(4，－41).

∵一次函数的图象过A，B两点，

－＋

∴，(5分)

＋＝－

�1�=4

1

解得4�＝�－，1

�11

∴一次函数的表达式为＝－＋；分

�=3yx3(6)

(3)如解图，连接OP，OA，OB，设一次函数y＝－x＋3与x轴交于点C，

第10页共12页

第2题解图

∵当y＝0时，x＝3，

∴点C的坐标为(3，0).

∵S△AOB＝S△AOC＋S△BOC，

∴S△AOB＝×3×4＋×3×1＝.(7分)

1115

∵S△AOP∶S2△BOP＝12∶2，2

∴S△BOP＝S△AOB＝×＝5.

2215

∵点P在线3段AB上3，2

∴设P的坐标为(m，－m＋3)，－1＜m＜4，

∵S△POB＝S△POC＋S△BOC，

∴S△BOP＝×3×(－m＋3)＋×3×1＝5，(8分)

11

解得m＝2，2

2

∴－m＋33＝－＋3＝，

27

∴点P的坐标为3(，3).(9分)

27

3.(1)2；(2分)33

【解法提示】如解图①，过点M分别向坐标轴作垂线，垂足为P，Q.由题意得S

矩形ABCO＝8，S矩形PMQO＝｜k｜.∵M是OB的中点，∴S矩形PMQO＝S