2025年高考数学三招解决极值点偏移问题（解析版）

三招解决极值点偏移问题

极值点偏移问题简介：

极值点偏移问题是咱们高中非常常见的导数问题，其中解法与题型也非常非常多，比如比值

换元，差值换元，对称化构造，同构方程，对数均值不等式，切线夹，割线放缩，零点差一次拟合，

飘带函数放缩，泰勒二次拟合，零点差一次拟合等等。

很多学生看了题不知道从哪里入手，在此总结了三大类题型，包括了大部分方法，看起来更

加清晰明了，这三类题型也是必须掌握的题型，前两种较基础要掌握，最后一种难度偏高可以选择

性记忆。

一.最常见的方法——构造函数

(左右对称，无偏移，如二次函数；若/(±)=/(三)，则通+为=24)(左陡右缓，极值点向左偏移；若/(w)=/(为)，则不+为>2%)

考点1.利用韦达定理，进行构造函数

1.已知函数/(久)=|%2+alnx—4x(a>0).

⑴当a=3时，试讨论函数f(x)的单调性；

(2)设函数f(x)有两个极值点<久2)，证明：/(%1)+/(%2)>Ina-10.

【答案】⑴/(%)在区间(0,1),(3,+8)上单调递增，/O)在区间(1,3)单调递减(2)证明见解析

【分析】(1)求导，利用导函数的符号讨论即可；

(2)由函数f(x)有两个极值点可得尸(久)=0在(0,+8)上有两个根，从而求得a的取值范围，再结合韦达定

理可知/(久J+f(久2)=alna-a-8,则原不等式转化为证明(1—a)lna+a-2<0,利用导数研究单调性

进而证明即可.

【详解】(1)当a=3时，/(x)=:/+31nx-4x定义域为x6(0,+8),

a,«、.3.%2—4%+3(x—1)(%—3)

._=——

r(x)=x+4x

令r(x)=0解得％=1或3,且当0<%<1或久>3时,/'(%)>0,当1<%V3时,/'(%)<0,

所以当0VX<1或%>3时，/(%)单调递增，当IV%<3时，/(%)单调递减，

综上f(%)在区间(0,1),(3,+8)上单调递增，/(%)在区间(1,3)单调递减.

(2)由已知/(%)=|%2+alnx—4x,可得/'(%)=%+|—4=-―燮*，

函数/(%)有两个极值点<%2)，即%2-4%+a=。在(0,+8)上有两个不等实根,

令九(%)=%2_4%+a,只需[/*—"二八，故0Va<4,

又％i+型=4,=a，

x

所以f(%i)+/(x2)=(~i+aln%i—4%J+Q%2+aln%2—4x2)

=—4(%i+x2)+a(ln%i+lnx2)+1(%i+媛)=alna—a—8,

要证f(%i)+/(x2)>Ina—10,即证alna—a—8>Ina—10,

只需证(1—a)lna+a—2<0,

令zn(a)=(1—a)lna+a—2,aE(0,4),

贝!=—InaH----F1=—]na,

aa

令n(a)=zn'(a),则几'(a)=<0恒成立，

aza

所以?n'(a)在aG(0,4)上单调递减，

又W(l)=1>0,M⑵=|-ln2<0,

由零点存在性定理得，3a0e(1,2)使得血'(劭)=0,

即Ina。=—,

劭

所以aE(O,Qo)时,m'{a)>0,m(a)单调递增,

Q£(QO,4)时,mr(a)<0,m(a)单调递减,

则?71(a)max=血(劭)=(1一00)1口(10+CLQ—2=(1—CLQ)---FCLQ—2=CLQH-----3,

a°a。

又由对勾函数知y=a0+工一3在a。e(1,2)上单调递增，

a0

所以a。+~—3V2H----3=-V0

CLQ22

所以m(a)<0,即f(%i)+/(%2)>Ina-10得证.

2.已知函数/(%)=Inx+x2—ax(aER).

(1)若a=1,求函数f(%)图象在点处的切线方程；

(2)设/(%)存在两个极值点%L型且%1<犯，若。VV；，求证：/(%i)-/(%2)>：一1n2.

24

【答案】(l)2x-y-2=0；(2)证明见解析.

【分析】(1)把a=1代入，利用导数的几何意义求解即得.

(2)先求出/(久1)一/(冷)=1112+2111/-/2+品，构造函数，求出函数的导数，得到函数的单调区间,

求出函数的最小值，从而证明结论.

【详解】(1)若a=l,贝仔(久)=Inx+/一久，求导得尸(久)=(+2久一L贝！]尸(1)=2,而/(I)=0,

于是y-0=2(%—1),即2%—y—2=0,

所以函数/(%)图象在点(1)(1))处的切线方程为2%-y-2=0.

(2)函数/(%)=In%+/一求导得弱(%)=：+2%—a=>0,

由函数/(%)存在两个极值点%1，%2,得方程2--ax+1=0存在两个互异的正实根%1，%2，

即有/+久2,久2=:，贝卜2=・，§=孕=2好，

ZZ%2---

因此/(%i)—/(%)=In%1+x2—ax—lnx—x2+ax=\n—+[x1—x1—2(/+x)(xi-%2)]

2rr222~x2乙2、一

=ln£+(—xf+xf)=]n2+2\nx1—淄+

令g(%)=ln2+21n%-%2+£，0<%<求导得g，(%)=：-2%-芯=一^^V0，

于是函数g(%)在(0,；)上单调递减，则g(%)>g(；)=；-ln2,而0<%i<=，从而g(;q)>；-ln2,

22424

所以f(xi)-/3)>>ln2.

考点2.利用分析法，进行对称构造

3.已知函数/(%)=Inx+£—1.

⑴若存在实数%,使/(久)<-1成立，求实数机的取值范围；

⑵若/(%)有两个不同零点%1，%2，求证：%1+x2>2.

【答案】(1所〈工

e

⑵证明见解析

【分析】(1)根据题意，转化为租<-%山%在(。,+8)有解，求导得最值，即可得到结果；

(2)根据题意，由函数g(%)=%(1-In%)的单调性可得0<?n<1,再构造函数九(%)=g(%)-g(2-x)(0<

%<1),由其单调性可得g(%DVg(2-％J,即可得%I+%2>2,再由函数式%)=g(%)-(一久+e)的单调

性，即可证明.

【详解】(1)由f(%)<—1得In%+?<0即m<—在(0,+8)有解，

令9(%)=-x\nx,只需m<W(%)max，

(p'(x)=—1—Inx,当0<%V1时，(p'(x)>04(%)递增，

当%时，“(久)<0,0(%)递减，

•••隼(x)w0c...m<

(2),・,/(%)有两个不同零点%1/2••・m=%(1-In%)有两个不同实根%1，%2,

令g(%)=%(1—In%),则g(%i)=g(%2)=M，又=-In%,

当XE(0,1)时，"(%)>0,g(%)递增，当%£(1,+8)时,"(%)<0,g(%)递减，

又g(l)=1>0,g(e)=0,/.0<m<1,不妨设0<%]<1<型<e，

令h(%)=g(%)—g(2—x)(0<x<1),

”(%)="(%)+gr(2—%)=—ln[—(%—l)2+1]>0,

・•・h(%)在(0,1)递增，・・・/i(x)</i(l)=0,g(%)<g(2-x),即g(%i)<g(2-xj,

又gOi)=g(%2)"・g(%2)<g(2-%D，

x2>1,2一%1>1,・,•x2>2—xr,

・,・+%2>2.

4.已知函数/(%)=In%—a(x—2)(。eR).

⑴讨论f(%)的单调性；

⑵若/(%)有两个零点久i，%2(%1<%2)，证明：%I+3%2>：+2.

【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析

【分析】(1)首先求函数的导数，讨论a<0和a>0两种情况下函数的单调性；

(2)首先结合(1)的结果,结合/(2)>0,将不等式转化为%+x2>~,再构造函数F(x)=f(x)-/(j-x),

利用导数证明不等式/弓―KJ>/OI)=0,再根据/(/)=/(%2)，结合函数的单调性，即可证明.

【详解】(1)函数/(%)=In%--2)(。WR)定义域为(0,+8)且尸(%)=：-a,

当a<0时，Xfxe(0,+oo),/(%)=：—a20,恒成立，

此时/(%)在区间(0,+8)单调递增，

当a>0时，令尸(%)=--a=上伫=0,解得汽=

xxa

当Xe(0,3时，f'M>0,/(久)在区间(o,£)上单调递增，

当比G弓,+8)时，f'M<o,/(久)在区间+8)上单调递减，

综上所述，当awo时，/(%)在区间(0,+8)单调递增，

当a>0时，/O)的单调递增区间是(0,£),单调递减区间是+8)；

(2)若/(%)有两个零点%2(%1<%2)，

由(1)知Q>O时，/(%)在区间(o,£)上单调递增，在区间+8)上单调递减，

且/(1)>0，/(%1)=/(%2)=0，0<%1<1V%2，

且当久时，/(%)>0，当％e(0,汽1)u(%2，+8)时，/(%)<0,

因为/(2)=ln2>0,所以2e(%i，%2)，所以乃>2,

又因为第2>所以2%2>亍+2,

所以只需证明％1+%2>j即有+3%2>|+2,

下面证明％1+%2>:，

设F(%)=f(x)―/(：—%)=In%—a(x-2)—In弓一%)+a[Q—-2],

=Inx—2ax-In(|-%)+2,%E(0,|),

设G(x)=P(z)=：2a+士，则G，(x)=弓+战=

令G，(%)=0,解得：X=：,

当xe(o,£)时,G'(X)<0,GO)=F<x)在区间(0,5上单调递减,

当xeGt)时，G'(x)>0,G(x)=F'(x)在区间G，£)上单调递增，

所以F'(x)>F'Q=0,则F(x)=/(%)-/g-x)在区间(0,£)上单调递增，

又因为％G(0,1),所以F(x】)=/(x1)-/g-x1)<Fg)=/g)-/g-i)=0,

即/d一>"'J=0,

因为/(%1)=/(%2)，所以/(：一％1)>/(%2)，

而一第1<；,&>5/(%)在(1,+8)上单调递减，

所以1一%1<%2，即%1+%2>:，命题得证.

5.已知函数/(%)=21nx+ax(aGR)

⑴若f(x)<0在(0,+8)上恒成立，求a的取值范围；

(2)设g(%)=%3一/⑺,%一%2为函数g(x)的两个零点,证明：X1%2<1-

【答案】(1)(一8,-|]⑵证明见解析

【分析】(1)分离参数，利用导数求解函数最值可得答案；

(2)构造函数，利用导数判断单调性，结合零点所在区间及函数单调性可证结论.

【详解】(1)函数的定义域为(0,+8),因为“久)W0,所以aw—?；

令h(x)=-等，〃(©=一言廿，

当％E(0,e),»(%)<0,h(%)为减函数；

当i6(e,+oo),h，(x)>0,h(%)为增函数；

所以h(x)有最小值h(e)=-|,所以a<-|,即a的取值范围为(一8,

(2)证明:令g(%)=0,此时％2——。=0；

不妨设h(%)=x2--a,函数定义域为(0,+8).

2-21nx_2(x3+lnx-l)

h'(x)=2x—

令(p(x)=x3+Inx—1,可得“(%)=3x2+|>0,

所以函数？(%)在(0,+8)上单调递增，

又9(1)=0,当0<%<1时，9(%)<0,九(%)单调递减;

当%>1时，0(%)>0,以%)单调递增；

不妨设第1<%2，

此时0<久1<1<刀2，0<—<1;

X2

因为八(%1)=/l(%2)=0，

所以八(久1)-he)=h(久2)-h(J=(^2-笺£-a)一(算---守一

=12+9色—5―21厘)

令尸(x)=x—1—21nx(%>1),F'(x)=1+|j||=，*；；)>0在(1,+8)上恒成立,

所以FQ)为增函数，F(X2)>F(l)=0,所以依Ji«)>0,即/I®)>八③；

又因为八(久)在(0,1)上单调递减，所以0</<工<1,故久62<1―

X2

二.对数均值不等式

飘带函数模型：

考点1.同构方程，利用比值换元构造函数

1.已知函数/(%)=(%—2)(ex—ax)(a6R).

⑴若a=2,讨论/(=的单调性.

⑵已知关于％的方程/(%)=(x-3)ex+2a%恰有2个不同的正实数根第i，%2・

(i)求a的取值范围；

(ii)求证：/+g>4.

【答案】⑴/(%)在(一8,1),(21n2,+8)上单调递增，在(l,21n2)上单调递减

(2)(i)备,+8)；(ii)证明见解析

【分析】(1)求导后，根据/'(%)的正负可确定/(%)的单调性;

(2)(i)将问题转化为y=a与9(无)=捺(>>0)有两个不同交点的问题，利用导数可求得g(x)的单调性和

最值，从而得到g(x)的图象，采用数形结合的方式可确定a的范围；

(ii)设久2>久i>0,根据：e》i=a就，e，2=a螃，采用取对数、两式作差整理的方式可得转=2,通

X2

过分析法可知只需证In坦〈隼»即可，令±=辽6(0,1),构造函数九(t)=lnt—*(0<t<l),利用导

%2x--2F1%2L+1

数可求得h(t)单调性，从而得到以。<以1)=0,由此可证得结论.

【详解】(Q当a=2时,/(%)=(%—2)(ex—2%),则尸(%)=ex—2x+(%—2)(ex-2)=(x—l)(ex—4)；

令尸(x)=0,解得：x=1或％=ln4=21n2,

・•・当％C(―8,1)u(21n2,+8)时,/z(x)>0；当％W(l,21n2)时,((%)<0；

・•・/(%)在(一8,1),(21n2,+8)上单调递增,在(l,21n2)上单调递减.

(2)(i)由/(%)=(%—3)ex+2a%得：e"—ax2=0,

・・,/(%)=(x-3)ex+2a%恰有2个正实数根%L%2，••・e%=a/恰有2个正实数根%

令g(%)=(x>0),贝！Jy=。与g(%)有两个不同交点，

...g<x)=(%；?，,,・.当%G(0,2)时,g，(x)<0；当久e(2,+8)时,g'(x)>0；

・•・g(%)在(0,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增，又g⑵=%

当％从0的右侧无限趋近于0时，g(%)趋近于+8；当久无限趋近于+8时，e%的增速远大于/的增速，则g(%)

趋近于+8;

则g(x)图象如下图所示，

.•・当时，y=a与g(%)有两个不同交点,

4

X1X2

(ii)由(i)知：e=axf,e=a好，(xx>0,x2>0)

・••xr=Ina+21n%i,x2=Ina+21nx2，

•••x—x=21n%i—21nx=21n—,

r“2X22

不妨设尤2>与>0,则普=2,

要证％1+冷>%只需证第i+%2>宗),

%2

•.•久2>%>0,,0<也<1，；Jn也<0,则只需证ln^〈兹0=隼9,

X

%2%22%1+%2^+1

令£=殛6(0,1),则只需证当te(o,l)时，lnt<富恒成立，

%2t+1

令h(t)=Int—2；")(0<t<1),

.h，(C=12—+1)-2(£-1)—("1)2-4［二(-1)2

2>U，

••九⑷一七(/1)2_t(t+l)2t(t+l)

・•・九(£)在(0,1)上单调递增，・・.h(t)</i(l)=0,

・•・当te(0,1)时,Int<2；：；)恒成立,.,・原不等式%i+x2>4得证.

2.已知函数/(%)=21nx—ax2+2%—1,g(%)=/(%)—2ax+3(aeR).

⑴若f(1)=-1,求函数y=/(%)的极值；

⑵若关于无的不等式g(%)<0恒成立，求整数a的最小值；

⑶当0Va<l时，函数g(%)恰有两个不同的零点％1，冷，且%/<%2，求证：

【答案】⑴有极大值=无极小值(2)2⑶证明见解析

【分析】(1)先求出a=2,再利用导数求出/(%)的单调增区间；

(2)先利用分离参数法得到a>2(1：：：；”对%e(0,+8)恒成立.构造九(%)=2。：窘；1)和0(%)=21nx+x,

求导结合零点存在性定理判断出e(pl)，

九(%)max=go)=工，得到a>—e(1,2).由aGZ,求出整数a的最小值；

(3)用分析法证明：当0<a<1时，先整理化简得到2=(，”?)+：(「)只需证/+x2>

a(lnx1-lnx2)+(Xi-X2)

号F)令t=ae(0,1),构造函数G⑴=Int-"长，利用导数证明出Int<过长.即证.

【详解】(1)当f(l)=—1时，/(I)——CL+2—1=—1,所以Q=2,

则/(%)=21nx—2x2+2%—1,定义域为(0,+8).

-2(x-l)(2x+l)解得：。<久<i.

令((%)=>

X

所以/(%)的单调增区间为(0,1)，单调减区间为(L+8);

则当久=1时，y=/(%)有极大值/(I)=-1,无极小值;

(2)依题意g(%)=f(x)-2ax+3<。对久E(0,+8)恒成立，等价于。>四菱言工对％E(0,+8)恒成立.

2(lnx+x+l)-2(x+l)(21nx+x)

令九(%)则九'(%)=

X2+2X(X2+2X)2

令0(x)=21nx+居则w(%)=21nx+%在(0,+8)上是增函数,

9(1)=1>0,“J=1+21n|=i(l-41n2)<0

0

所以E&1),使9(%o)=0即21n&+%0=

对V%E(0,%o),(p(x)<0,hf(x)>0,所以无(%)在(0,久0)上单调递增;

对V%e(&,+8),(p(x)>0,h'(x)<0,所以h(%)在(%o，+8)上单调递减.

2(lnx+x+l)%o+21

所以九(%)max=/l(%0)=00

x0(x0+2)x0(x0+2)

所以a>—G(1,2).

%o

又aez,所以整数。的最小值2

—2(x+1)(tix-1)

(3)当0<a<1时，“(%)=

x

令g'(x)=-2(x+?g)>O^X<1,故g(x)在jo,£)上单调递增，在6，+8)上单调递减且gQ=21n]+

>0,%T0时，g(%)T—8;%->+8时，g(%)T—8;

依题意存在%L%2e(0,+8)使得g(%i)=g(%2)，

已知第1<%2可得0V1V%2，要证%1+%2>A成立，

lnx=|ax1+(a—l)%i+1

因为“%2是g(x)的零点，所以[职;二:nt

lnx2=|a%2+(a-1)%2+1

两式相减得：In/-lnx2=-好)+(a-1)(/-x2)»

即2=(久］-%.)+2(久］一%2)

-

a(lnx1-lnx2)+(^i^2)

….2(若一珍+20「%2)

要证％1+%2>£只需证％1+牝>-

(lnx1-lnx2)+(^i-^2)'

又因为久i<%2只需证就—熠+(%i+x2)ln—<—%2+2(乙—%2)，

一x2

即证In包<及片,

%2%1+%2

令t=£e(O,l),则G(t)=lnt-爷所以我(。=黑与>0,

z

x21+tt(l+t)

所以G(t)在(0,1)增函数，所以G(t)<G(l)=OBPlnt<等.

即In卫<亚3成立.

X2%1+*2

所以原不等式得证.

考点2.和积转化(差积转化)

3.已知函数/(久)=xex—ax+l,xG(―1,+oo),(a>0),g(%)=bx—等，

⑴当b=l,/(%)和g(%)有相同的最小值，求a的值；

(2)若gO)有两个零点%1，型，求证：xix2>e-

【答案】(1)1⑵证明见解析

【分析】(1)分别求出/(%)和g(%)的最小值，列方程即可求出结果；

(2)问题转化为2从=Int有两个零点，证明匕力2>02,进而只需要证明只需要证明InCi+lnt：2>2,也即是

In，>,从而令=：>i,构造函数s(m_)=Inm>1)求出最值即可证出结论，

[J7n

【详解】(1)由b=l,所以9(%)=%-9，所以“(%)=立詈匚，

令九(%)=/+in%—1,则九(%)为(0,+8)上的增函数，且九(1)=0,

所以g(x)在(0,1)上单调递减，(1,+8)上单调递增，所以9min(l)=1，

又/(%)=xex—ax+1,所以/'(%)=(%+l)ex—a,

令zn(%)=(%+l)ex—a,则m'(%)=(%+2)ex>0

所以r(%)为(-1,+8)上的增函数，又尸(一1)=一。v。，

令(x+l)ex-a=0,因为7i(%)=(%+l)e%在(-1,+8)上单调递增，且几(一1)=(-1+l)e-1=0,

而a>0,因此函数九(%)=(%+l)e*与直线y=a有唯一交点，

故方程(久+l)ex-a=0在(-1,+8)上有唯一解，

x

所以存在唯一%。£(一1,+8),使得尸(而)=0,BP(x0+l)e°-a=0,故a=(沏+l)e%。,

所以f(%)在(-1,%。)上单调递减，在(q,+8)上单调递增，

xX

所以启in(%)=/(%0)=Xoe°-ax0+1=-XQQ°+1=1,

所以久o=0,故而a=1,

(,In%1

bX\=(ok2_/力丫2

(2)由题意g(x)有两个零点Xi，%2,所以1，即:：v；一彳，

bx2=g12b炫=Inxi

I%2

所以等价于：2bt=Int有两个零点，证明Gt2>e2,

不妨令…>。,由匿:二黑今如=铛，

要证1也>e?,只需要证明Inti+lnt2>2,

即只需证明：Inti+lnt2=2b(ti+t2)=Qi+可也”脸>2,

只需证明：Inh—1m2>皿口，即也区〉号口，

令zn=r>l,只需证明：Inm>2^-1)(m>1),

t2m+l

令s(zn)=Inm—(m>1),则s'(zn)=(：T)>0,即s(?n)在(1,+8)上为增函数,

又s(l)=0,所以s(m)>s(l)=0,

综上所述，原不等式成立，

考点3.消参减元

4.己知函数/(“ua^-inx+igeR).

(1)讨论函数极值点的个数；

⑵若函数在定义域内有两个不同的零点七，%，

①求a的取值范围；

②证明：Xl+x2>—.

a

【答案】(1)当a40时，/(无)无极值点；当4>0时，/(无)有一个极小值点

(2)①1°，.；②证明见解析

【分析】(1)求出函数的导函数，再对。分aWO和。>0两种情况讨论，分别得到函数的单调性，即可求出

函数的极值点；

(2)①依题意参变分离可得。=吗」在(。,+⑹有两个不等实根，设g(x)=处二，利用导数得到函数的

单调性，求出函数的极大值，再根据函数值的取值情况，求出a的取值范围；

lnx-lnx2pL-1]*

②不妨设0<玉<工2,贝心=坐心^，依题意即证In2<上一令"%(0<f<D,构造函数，利

玉一工2%2巧_+1%

%2

用导数说明函数的单调性，即可证明；

【详解】(1)解：,3的定义域为(。，+8),尸(x)=2依-'=犯=

XX

当aWO时，［(无)＜0,/(x)在(0,+8)上单调递减，无极值点;

当。＞0时，令/'(x)=0,得彳=返.

2a

当xe0,等时，f'(x)＜0,/⑴在、号］上单调递减；

、、

当,+00时，f(x)>0,/(九)在,+8上单调递增,

77

故尤=叵时，"X)取得极小值.

2a

综上，当a«0时，/(九)无极值点；当〃〉0时，/(尤)有一个极小值点.

(2)解：①由题意，方程ax?_］nx+l=0在(0,+8)有两个不等实根,

即。=生?在)有两个不等实根，设

(0,+8g(x)=W4XG(0,+oo),过点(e,0),

3—2Inx3

则g'(x)=,令g'(x)=。得，r_ei,

(3\(3、

XG0,e，时,g〈x)＞。，g(x)单调递增，XGe2,+co时,grM<0,g(x)单调递减,

\)\/

(3、

3r_Ln1

且当时，当冗时，。2

Xf0g(%)--00,3+8g(%)―x=e时，ge=彳

\7

故实数〃的取值范围为

②不妨设。＜玉＜工2，由已知得，ax；_in%+1=0,axl-lnx2+1=0

两式相减得，a=22~，

石~X2

要证西+X,>叵，只需证(占+马)2>2，只需证&+>>：(*1二)，

(2QInXy—Inx?

2(尤「%)x2H

只需证111演-111%<-^―」，即证ln&<q_L

尤i+N%A+i

令仁&(0<t<l),上述不等式变形为(f+l)lnr<2(〜l),

x2

令力⑺=«+l)ln-2Q-l),0<^<1

则=lnt+--l,"⑺=1一\=尊<0,

tttt

所以〃⑺在(0,1)上单调递减，又〃(1)=0,所以〃")＞0恒成立,

所以/7⑺在（0,1）上单调递增，又因为力（1）=。，故〃⑺＜0,

gp（z+W＜2（z-l）,原不等式得证.

三.零点差—放缩法

筷子夹汤圆模型：

考点L零点差，切线夹

1.已知函数/（x）=3x—e*+l,其中e=2.71828是自然对数的底数.

⑴设曲线y=/（x）与X轴正半轴相交于点p（x0,o）,曲线在点p处的切线为/,求证：曲线y=〃x）上的点

都不在直线/的上方；

（2）若关于x的方程=（加为正实数）有两个不等实根药,32（%＜々），求证：.

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析

【分析】（1）先利用导数的几何意义求出点尸处的切线方程/：y=（2-3x0）（x-%）,再令

8（司=（2-3%）（尤-/）-（3%-/+1）,然后求出其单调区间和最小值，从而可证得结论；

（2）先求出/（元）的单调区间的最值，可得0〈加＜3山3-2,由（1）得点尸处的切线方程，再求出y=f（x）

在点（0,0）处的切线方程，设丁=机与y=2%y=（2-3%）（x—%）的交点的横坐标分别为毛,%,表示出毛,％,

,IImmm1nA3m

则％2-玉＜%4-%3=%。+丁^---不，然后证明/+丁瓦---不＜2一~/即可.

2-3%o22-3x024

x%

【详解】（1）证明：由题意可得：3xo-e°+l=O,e°=3xo+l,

xx

f\x)=3-e,f\x0)=3-e°=3-3x0-l=2-3x0,

可得曲线在点P处的切线为/：丫=（2-35）（*一%）.

令g(x)=(2-3%)(x-%)-(3x-e"+l),g(Xo)=O,

g'(x)—2—3%0—3+e*=—1—3Xg+e“；g'(网)=—3%+—1—0,

当x</时，g,(x)<0,当时，g'(x)>0

回函数g(x)在(-oo,不)上单调递减，在(七,”)上单调递增，

.•.g(x)..ga)=0,.•.曲线y=〃x)上的点都不在直线/的上方.

(2)证明：由(1)可得/'(x)=3-e'=0,

解得x=ln3,

当x<ln3时，f\x)>0,当x>ln3时，f\x)<0,

所以/(x)在上递增，在(in3,+00)上递减，

所以广⑴的最大值为/(ln3)=31n3-3+1=31n3-2,

/.0<m<31n3-2,

曲线在点P处的切线为/：y=(2—3x0)(x-x。)，

由(1)得e&=3x0+l,

令g(x0)=e演-3%-1,

g(l)=e-3-l<0,8出=62-7>0,

回由零点的存在性定理知与«1,2),

同理可得曲线y=/(x)在点(。,。)处的切线为y=2x,

设y=m与y=2x,y=(2-3%0)(x-x0)的交点的横坐标分别为七,迎

mm

贝I]%=],无4=X()+^7，

IImm

•,-|^2-Xl|<X4-X3二/+7；~~~-.

，3x()，

m1nA3m

下面证明：xo+-----------<2-------

2-3%o24,

3(2-尤。)=(2f).⑵。+3〃T

=2—x—m-

04(2-3%)4(3x「2)

x0G(1,2),/.2-X0>O,3XO-2>1,12x0-8+3m>4+3m>0,

mm_3m_3

H----------------<2-------,.t-X]<2—m

21

°2-3x0244

2.已知函数〃%)=(%+9伫-4)(“0)在点(-1,7(T)处的切线方程为(e—l)x+ey+e—1=0.

(1)求。、b；

(2)设曲线y=/(x)与x轴负半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为了=以力，求证：对于任意的实数x,

都有危)泌(必

⑶若关于x的方程/(*)=讯根＞0)有两个实数根々、X”且不＜々，证明：/_孙,]+制1—26).

1-e

【答案】(1)1,1;(2)证明见解析；(3)证明见解析.

【分析】(1)根据切线求出力-1),再根据/(-1)=-+土，进而得出。、b.

e

⑵令〃x)=0,求出P，求出在P处切线y=/7(x).构造函数尸(x)=〃x)-〃(x),利用导数研究其单调性证

明其最小值大于或等于零即可.

⑶根据(2)得“网丝/7(毛)，令为卜')=加=〃％)可得为'=-1+匿，根据〃⑴单调性可得44不同理可求

出/(%)在(0,0)处切线，得出相同结论，求出巧的范围，从而可求元2-%的范围.

【详解】(1)将代入切线方程(e—l)x+ey+e-1=。中，有y=0,

0/(-1)=0,gpf(-l)=(&-l)Q-^=0,

又/'(%)=炉(x+/7+1)-々,

团=——a=——~~-=—1+—.

eee

若〃=L贝!Jb=2-e<0,与匕>。矛盾，

e

故a=Z?=1.

(2)由(1)可知〃x)=(x+D(e-l),r(x)=e"(x+2)-l,/(-1)=-1+1,

令〃x)=。，有了=-1或x=0,

故尸为(—1,0).

曲线在点P(TO)处的切线方程为y=h(x),

则/7(x)=/(-l)(x+l),

令F(x)=/(x)-/z(x),

则尸(x)=〃x)-1f(—l)(x+l),

回F(x)=〃x)-r(-l)=e，(x+2)T，

令g(x)=〃(x),则g'(x)=e'(x+3)>0,(xeR),团尸'(x)在R上单调递增,

0F(-1)=O,

团当x<-l时，F(x)<0,*x)单调递减，

当x>—1时，F(x)>0,尸(x)单调递增.

EF(X)>F(-1)=0,即/(X)N/I(X)成立.

(3)由(2)知〃x)在(—1,0)处的切线方程为Mx)=[-lj(x+l),且作)泌(力,

则〃%)2无(%)，

设为卜；)=m=/(xJ,则占'=一1+^^,

故〃(占)=/(%"/7(网)，皿⑺单调递减，回用’4菁，

设y=/(x)在(0,0)处的切线方程为y=[无)，易得t(x)=x,

令T(x)=f(*)—(x)=(x+l)(e[l),

则7(x)=(x+2)e=2,

令H(x)=F(x)=(x+2)eA-2,则H'(x)=(x+3)eA,

当3)时，H'(x)<O,”(x)单调递减，H(x)<0,

当工«-3,”)时,"(x)>0,"(x)单调递增,

又国T'(0)=0,

团当xe(F0)时,r(x)<0,T(x)单调递减，

当xe(O,+8)时,r(x)>0,T(x)单调递增，

0T(x)>T(O)=O,即/⑺0/(x2)>r(x2),

设r(")=〃z=/(x2)，则"=机，

故)="％)型(々)，画⑴单调递增，故"2%，

Eme]4mil-Ze

贝U%2-X]—尤2—石=m——1H------=1H-------------.

-I1-e)1-e

考点2.割线放缩

3.已知/(x)=xlnx与y=。有两个不同的交点4,8,其横坐标分别为为,％(占<々).

(1)求实数。的取值范围；

(2)求证：ae+\<x2—.

【答案】(1)[-J。>(2)证明见解析

【分析】(1)根据函数的单调性以及当xf0+时/(x)f0,尤—时/(x)一”，即可确定实数。的取值

范围；

(2)g(x)=-x-xlnx,XG(0,-),^-x>x\nx;xe\0,-|；

eke)

^h(x)=-^—(x-l)-x]nx,xe(-,I),-(x-1)>xlnx,xe|-,1|,设直线,=y=-^—(兀-1)与y=〃

e-1ee-1\eJe-1

从左到右交点的横坐标依次为％3=-〃，%4=〃(eT)+l