2025年高考数学一轮复习讲义：空间直线、平面的平行

第三节空间直线、平面的平行

课标解读考向预测

近几年空间直线与平面平行的有关知识，一直是

1.理解空间中直线与直线、直线与平面、

高考命题的热点，重点考查学生的空间想象能力、

平面与平面的平行关系，并加以证明.

计算能力、推理论证能力以及转化思想.预计2025

2.掌握直线与平面、平面与平面平行的判

年高考这一部分知识仍会考查，以解答题第(1)问

定与性质，并会简单应用.

的形式出现，难度中档.

必备知识——强基础

知识梳理

1.线面平行的判定定理和性质定理

文字语言图形语言符号语言

如果平面外一条直线与国

判定定理此平面内的一条直线平行，=。〃a

那么该直线与此平面平行I。4|〃〃8

一条直线与一个平面平行，

|。6|4〃/

如果过该直线的平面与此平&)/

性质定理>=>a//b

面国相交，那么该直线与

网油6=,

交线平行

2.面面平行的判定定理和性质定理

文字语言图形语言符号语言

如果一个平面内的两条

[HUus

两相交直线与另一个

判定定理问4n6=尸>^/3//a

平面平行，那么这两个

/7I13:〃a

平面平行

I14必〃a>

两个平面平行，如果另

回a〃6〕

一个平面与这两个平面7

性质定理一一,一118|an.=or=>a//b

同相交,那么两条国

71916rl.=〃

交线平行1

常用

L(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a_La,a±/3,则a〃4

(2)平行于同一个平面的两个平面平行，即若a〃人或〃则a〃/

(3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a_La,b_La,则。〃b.

(4)若a〃£,aua,贝〃/.

2.三种平行关系的转化

性质

।判定判定

线线平行线面平行萼^面面平行

性质

诊断自测

1.概念辨析(正确的打“守’，错误的打“X”)

(1)若直线a〃平面a,P£a,则过点尸且平行于直线。的直线有无数条.()

(2)若直线au平面a,直线6u平面£,a//b,贝lja〃£.()

(3)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.()

答案(l)x(2)x(3)4

2.小题热身

(1)(人教A必修第二册习题8.5T1改编)下列说法中，与“直线a〃平面a”等价的是()

A.直线a上有无数个点不在平面a内

B.直线a与平面a内的所有直线平行

C.直线。与平面a内无数条直线不相交

D.直线a与平面a内的任意一条直线都不相交

答案D

解析因为a〃平面a,所以直线。与平面a无交点，因此直线a与平面a内的任意一条直

线都不相交.故选D.

(2)已知不重合的直线a,6和平面a,则下列说法正确的是()

A.若a〃a,bua,则a〃b

B.若a〃a,b//a,则a〃6

C.若a〃6,bua,则a〃a

D.若a〃b,qua,则匕〃a或bua

答案D

解析若a〃a,bua,则a,b平行或异面，A错误；若a〃a,b//a,则a,。平行、异面或

相交，B错误；若。〃b,bua,则a〃a或aua,C错误；若a〃b,aua,则6〃a或bua,

D正确.故选D.

（3）（2024•福建宁德一中质检）已知a,仅是空间两个不同的平面，命题p：“a〃尸，命题q：“平

面a内有无数条直线与夕平行”，则p是《的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案A

解析若a〃6则平面a内的任意一条直线平行于另一个平面，故平面a内有无数条直线与

£平行，所以p可以推出0根据面面平行的判定定理，如果一个平面内的两条相交直线与另

一个平面平行，那么这两个平面平行.若平面a内有无数条直线与/平行，则a与6可能相

交，不一定平行，所以q不能推出p.故选A.

（4）如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFG”的形状为

答案平行四边形

解析•..平面〃平面DCGH,又平面EPG/in平面ABFE=EF,平面EFGHC平面DCGH

=HG,...EF〃//G.同理EH〃尸G,...四边形EFG/f是平行四边形.

考点探究一一^提素养

考点一空间中平行关系的基本问题

例1在下列判断两个平面a与夕平行的四个命题中，真命题的个数是（）

①a,夕都垂直于平面—那么a〃.；

②a,夕都平行于平面一那么a〃夕；

③a,夕都垂直于直线/,那么1〃夕；

④如果/,用是两条异面直线，且/〃1,mila,I//P，B，那么a〃及

A.0B.1

C.2D.3

答案D

解析如图，易知在正方体中相邻两个侧面都垂直于底面，故①是假命题；由平面平行的传

递性可知②是真命题；由线面垂直的性质可知③是真命题；过直线/作平面/与a,/分别交

于/i，h，过直线7"作平面力与a,£分别交于机1，侬，因为/〃a,I//P，所以/〃/i，I//12>

所以/1〃/2，因为/©或，/2U或，所以/1〃£,同理，机1〃£,又/,机是两条异面直线，所以/1，

预相交，且/ca,mi<=a,所以a〃£,故④是真命题.故选D.

【通性通法】

(1)判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是选

择题还是含有选择项的填空题，都可以先从中选出最熟悉、最容易判断的选项确定或排除，

再逐步判断其余选项.

(2)直线、平面间平行的判定方法

①关注是否符合判定定理与性质定理，并注意定理中易忽视的条件；

②结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断；

③利用实物进行空间想象，比较判断；

④熟记一些常见结论，如垂直于同一条直线的两个平面平行等.

【巩固迁移】

1.已知a,b,c为三条不重合的直线，a,夕为两个不重合的平面.

@a//c,b//c=>a//b；@a//J3,b//ga//b；

@a//c,c〃a=a〃a；@a//f）,a〃a=>a〃夕;

⑤aCa,bua,a//b=>a//a.

其中正确的命题是（）

A.①⑤B.①②

C.②④D.③⑤

答案A

解析对于①，由基本事实4,可知①正确；对于②，若。〃£,b//p,则a,6共面或异面,

故②错误；对于③，若a〃c,c//a,则。〃a或aua,故③错误；对于④，若a〃£,a//a,

则a,£平行或相交，故④错误；对于⑤，由aCa,bua,a//b,根据线面平行的判定定理,

可得a〃a,故⑤正确.故选A.

考点二直线与平面平行的判定与性质（多考向探究）

考向1直线与平面平行的判定

例2如图，在四棱锥尸一ABC。中，底面ABCD是平行四边形，E,尸分别是2C,的中

点.求证：

⑴P8〃平面ACP；

（2）EF〃平面PAB.

证明⑴如图，连接2。交AC于。,

连接OF,

HE

,：四边形ABCD是平行四边形,

0是BZ）的中点，

又尸是尸。的中点，

AOF//PB,

又OFu平面ACF,PBC平面AC尸，

.”8〃平面ACF.

⑵证法一：如图，取阴的中点G,连接GRBG.

是尸。的中点,

GF是△孙。的中位线，；.GF^AD,

•.•底面ABCD是平行四边形，E是BC的中点，

；.BE皓AD,：.GF^BE,

四边形8EFG是平行四边形，/〃3G,

又EEC平面PAB,BGu平面PAB,

；.E/〃平面PAB.

证法二：如图，取AD的中点”，

连接FH,EH.

•.•尸为PD的中点,

是AE4Z)的中位线，

：.FH^PA,

又Rlu平面PAB,FHU平面PAB,

〃平面PAB.

•〃为4D的中点，E为BC的中点，

：.EH//AB,又ABu平面叫B,平面以8,

.•.E”〃平面PAB,又FHHEH=H,

平面EFH〃平面PAB,

又EFu平面EFH,：.EF〃平面PAB.

【通性通法】

判断或证明线面平行的常用方法

(1)利用线面平行的定义(无公共点).

(2)利用线面平行的判定定理(aCa,bua,a//b=>a//a).

(3)利用面面平行的性质(a〃£,aua=a〃B).

(4)利用面面平行的性质(a〃尸，a<tp,a〃a=M〃用(客观题可用).

【巩固迁移】

2.如图所示，正方形ABC。与正方形ABEF所在的平面相交于48,在4E,8。上各有一点

P,Q,且AP=r>Q.求证：尸。〃平面BCE.

证明证法一：如图所示，作交于M,作QN〃AB交BC于N,连接MN.

D

•.•正方形ABC。和正方形AB所有公共边ASAP=DQ,：.PE=QB,

XPM//AB//QN,

.PMPEQBQN.PMQN

••府=瓦=丽=灰，*'AB=5c-

又AB=DC,:.PM=QN,

四边形PMNQ为平行四边形，

：.PQ//MN.

又MNu平面BCE,尸QC平面BCE,

；.尸。〃平面BCE.

证法二：如图，在平面ABEF内，过点P作交AB于连接QM,

平面BCE,PMC平面BCE,

；.尸河〃平面BCE,

..〃,APAM

.PM//BE,.MB,

又AE=BD,AP=DQ,：.PE=BQ,

.ApDQ.AM_DQ

••丽=丽’••丽=丽’

：.MQ//AD,

KAD//BC,

：.MQ//BC,

：8Cu平面BCE,MQC平面BCE,

〃平面BCE,

又PMHMQ=M,：.平面PMQ〃平面BCE,

又PQc平面PMQ,：.尸。〃平面BCE.

考向2直线与平面平行的性质

例3如图所示，在四棱锥P—ABC。中，四边形ABCD是平行四边形，M是尸C的中点，在

DM上取一点G,过G和孙作平面交于点H.

求证：PA//GH.

证明如图所示，连接AC交于点O,连接0M,

:四边形ABCD是平行四边形，

是AC的中点，

又M是尸C的中点，C.PA//OM,

又OMu平面BMD,E4C平面BMD,

；.阴〃平面BMD,

又B4u平面R4〃G,平面力HGA平面BMO=GH,

：.PA//GH.

【通性通法】

应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定

交线.

【巩固迁移】

3.如图，四边形ABCD是矩形，尸任平面ABCD,过3c作平面BCPE交AP于点E,交DP

于点P,£尸与AD不重合.求证：四边形BCFE是梯形.

证明•四边形ABCD为矩形，.,.台。〃?!。

平面以D,BCC平面E4D,

...3C〃平面PAD.

:平面BCrari平面外。=£F，BCu平面BCFE,

C.BC//EF.

"AD^BC,AD^EF,

J.BCtEF,

四边形BCFE是梯形.

考点三平面与平面平行的判定与性质

例4(2024•江西九江一中质检)在三棱柱ABC—A1BC1中,

(1)若E,F,G,71分别是AB,AC,A,Bi，4G的中点，求证：平面瓦①〃平面BCHG；

ATJ

(2)若D,D分别是AC,4G上的点，且平面〃平面ABA,试求皮的值.

解(1)证明：E分别是AB,AC的中点，

：.EF//BC,

；砂仁平面BCHG,BCu平面BCHG,

...EV〃平面BCHG,

'：AiG//EB,AiG=EB,

：.四边形4EBG是平行四边形，

：.AiE//GB,又4EU平面BCHG,GBu平面BC8G,，从石〃平面BC//G,

又AiEPlEF=E,AiE,EFu平面EfAi,

平面E曲i〃平面BCHG.

(2)如图,连接A],ABi,设48与A21相交于点O,连接OD,

由平面BGD〃平面AB1O1，

且平面AiBCC平面BCiD=BCi，

平面AiBCiA平面ABiDi=DiO,

：.BCx//DxO,同理可得

•,•评=%=1，即。1为线段4cl的中点，为线段AC的中点，即黑=1.

ZJlCiODL/C

【通性通法】

1.判定面面平行的四种方法

(1)利用定义：即证两个平面没有公共点(不常用).

(2)利用面面平行的判定定理(主要方法).

(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用).

(4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(客观题可

用).

2.面面平行的应用

(1)两平面平行，构造与之相交的第三个平面，可得交线平行.

(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行，可用于证明线面平行.

【巩固迁移】

4.如图，在三棱柱ABC—中，E,F,G分别为BCi,43,A3的中点.

⑴求证：平面4C1G〃平面

⑵若平面AiCiGflBC=8,求证：X为2C的中点.

证明(1)V£,尸分别为BiCi,4由1的中点,

：.EF//AxCi,

•；AiCiu平面A1C1G,EFC平面4GG,

〃平面4GG,

又F,G分别为AB1，AB的中点，

：.AiF=BG,又AiF〃BG,

四边形4GBF为平行四边形，

贝IBF//AiG,

：4Gu平面4C1G,B/y平面4C1G,

.♦.BP〃平面4GG,

又EFCBF=F,EF,BEF,

平面AiGG〃平面BEF.

(2)・.•平面ABC〃平面AiBiCi,

平面AiGGA平面AiBiCi=AiCi,

平面AiGGCl平面ABC=GH,

则AiCiZ/GH,

又4Ci〃AC,C.GH//AC,

•；G为AB的中点，为BC的中点.

考点四平行关系的综合应用

例5（2023・广东佛山高三模拟）在三棱锥S—ABC中，SAC,AS±SC,AB=1,AC

=巾,E为AB的中点，M为CE的中点，在线段S3上是否存在一点N,使MN〃平面SAC?

若存在，指出点N的位置并给出证明；若不存在，说明理由.

解存在点N为S3上的靠近S的四等分点，

即SN=；SB,使MN〃平面SAC.

证明如下：取AE的中点R连接—V,FM,则M/〃AC,

因为ACu平面SAC,KFC平面SAC,

所以MV〃平面SAC,

1

-

因为AF=^AE=^AB,4

所以MV〃&1,

又SAu平面SAC,PNC平面SAC,

所以FN〃平面SAC,

又MFCFN=F,MF,FNu平面MNF,

所以平面脑VF〃平面SAC,

又MNu平面MNF,所以MN〃平面SAC.

【通性通法】

三种平行关系的转化

性质

判定判定।

线线平行4性4质金线面平行面面平行

解决存在问题一般先假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条

件，若找到了使结论成立的充分条件，则存在；若找不到使结论成立的充分条件(出现矛盾),

则不存在.

【巩固迁移】

5.(2024•河北衡水月考汝口图1,菱形ABCD中，NA=60。，AB=4,于点将△AED

沿直线DE翻折到AVE。，使如图2.

图1图2

(1)求三棱锥C-A'BD的体积；

(2)在线段4。上是否存在一点R使EF〃平面4BC?若存在，求D金F的值；若不存在，说明

理由.

解(1)由题意可知，在菱形ABC。中,

ZA=60°,AB=BC=CD=DA=4,DELAB,

故AE=EB=2,ED=2小,

所以在四棱锥4—EBCD中，A'ELED,A'ELEB,

又EDCEB=E,

所以4E_L平面EBCD,且A'E=AE=2,

连接80,因为BC=CD=4,ZBCD=60°,

贝ISABC»=；X4X2小=4小，

所以VC-A'BD=VA'-BCD=^S^BCD-A'E=^x4-y[3'

故三棱锥C-A'BD的体积为驾3

⑵设线段4。的中点为R线段4c的中点为G,连接ERFG,GB,

因为P为4D的中点，

G为4c的中点，

所以FG〃OC,FG=^DC=2,

又由（1）得，EB//DC,£5=2,

所以FG〃EB,FG=EB,

所以四边形EBGF为平行四边形，

故EF〃BG,EF=BG,

又EFC平面4BC,BGu平面A3C,

DF

所以所〃平面A6C,此时尸为4。的中点，故五7=1.

r/\

课时作业

基础巩固练

一、单项选择题

1.下列命题中正确的是（）

A.若a,b是两条直线，且。〃6,那么。平行于经过6的任何平面

B.若直线a和平面a满足a〃a,那么a与a内的任何直线平行

C.平行于同一条直线的两个平面平行

D.若直线a,。和平面a满足。〃b,qua,b（ta,贝!]6〃a

答案D

解析对于A,a可以在经过6的平面内；对于B,。与a内的直线也可能异面；对于C,两

平面也可能相交；对于D,由直线与平面平行的判定定理知6〃a.故选D.

2.（2023•广东湛江模拟）设a,丑是两个不重合的平面，下列选项中，是“a〃夕”的充要条件的

是（）

A.a内存在无数条直线与£平行

B.存在直线/与a,£所成的角相等

C.存在平面y,满足y〃a且y〃尸

D.a内存在不共线的三个点到”的距离相等

答案C

解析对于A,如果a"=/,在a内与直线/平行的直线有无数条，但此时a不平行于.，

A不符合题意；对于B,如果在空间必存在直线/与根平行，此时直线/也与两个

平面平行，即直线/与a,4所成的角都等于0,B不符合题意；对于C,如果a〃夕，则一定

存在平面力满足y〃a且若/〃a且y〃£,则也一定有a〃£,则“存在平面小满足y

〃.且/〃.”是“a〃优的充要条件，C符合题意；对于D,当a〃/时，a内必存在不共线的三

个点到/的距离相等，但当a与/相交时，同样可以在a内找到不共线的三点到万的距离相

等，D不符合题意.故选C.

3.（2024•湖南岳阳一中阶段考试汝口图所示，在空间四边形A8CD中，E,尸分别为边AB,AD

上的点，且AE：ED=1：4,又H,G分别为BC,CD的中点，则（）

A.BD〃平面EFGH,且四边形EPGH是矩形

B.EF〃平面3CD,且四边形所G8是梯形

C.8G〃平面且四边形所G8是菱形

D.〃平面ADC,且四边形EFG8是平行四边形

答案B

解析由：E3=AP：田=1：4,知EF求BD,又取C平面BC。，所以£F〃平面3CD

又〃，G分别为BC,C。的中点，所以“G籍及8。，所以EF//HG且EF丰HG,所以四边形

EPG/Z是梯形.故选B.

4.（2023・杭州模拟）已知P为AABC所在平面外一点，平面a〃平面ABC,且a与线段PA,PB,

PC分别交于点4,B',C,若"：AA'=2:3,则SAAEO:SAABC=（）

A.2：3B.2：5

C.4：9D.4：25

答案D

22

解析•平面a〃平面ABC,：.A'C'//AC,A'B'//AB,B'C'//BC,：.S^B'c:S^ABC=PA'：PA,

又PA'：AA'=2:3,：.PA'：PA=2：5,：.S^B-C:SAABC=4:25.故选D.

5.（2023・福州检测）如图所示，正方体ABC。-AiBCiDi中,点E,F,G,P,。分别为棱

CiD,,D,Ai,DiD,CiC的中点，则下列叙述中正确的是（）

A.直线8。〃平面EFG

B.直线4B〃平面EFG

C.平面APC〃平面EPG

D.平面AiBQ〃平面EPG

答案B

解析过点E,F,G的截面为如图所示的六边形PG8E/Q（/1,/分别为A4i,BC的中点），

连接43,BQ,AP,AC,PC,易知8。与平面EFG相交于点。，故A错误；山〃HE,

AiBC平面EFG,HEu平面EFG,；.4山〃平面EFG,故B正确；APu平面ADOiA，HGu

平面AODiAi，延长HG与孙必相交，故C错误；易知平面48。与平面EFG有交点Q,故

D错误.故选B.

6.若平面a截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥中与平面a平行的棱有（）

A.。条B.1条

C.2条D.1条或2条

答案C

解析如图所示，平面a即平面EFG8,则四边形EFG8为平行四边形，则所〃GH：EFC

平面BCD,GHu平面BCD〃平面BCD.又EFu平面ACD,平面BCOCl平面ACD=CD,

尸〃CD又EEu平面EFGH,CDC平面EFGH,...CO〃平面EFG”.同理，AB〃平面EFGH,

所以与平面a（平面EFGH）平行的棱有2条.故选C.

7.（2024•河北承德模拟）如图所示，设正方体ABCD—AIBICLDI的棱长为“，点尸是棱上

一点，且AP=1,过3,Di,尸的平面交平面ABCD于尸。，点。在直线CD上，则尸。=（）

2.@

A.§4B.3。

「巫n2^3

C.2aD.3a

答案A

解析在正方体ABCD—AiBCiOi中，连接B。，BBtZ/DDi，BBi=DDt，.•.四边形。。出山

是平行四边形，又在正方体ABCO—AiSGOi中，平面AiBCQi〃平面4BCQ,

平面BQiPC平面AiBiCQi=BQi，平面BiDiPC平面ABC£)=PQ,...Bi5〃PQ,.•.尸Q〃BD

POPD

：.ZPQD=ZBDCf又NP£>Q=N3C£>=90°,：.APDQ^/\BCDf・••忘=反，又正方体

、］a2ar-PDBD

ABCD~A\B\C\D\的棱长为a,..BC—a,PD—AD—AP—a—^—~,BD=yj2a,；・PQ=~~^Q~

2ar-

W72a24

〃.故选A.

一Q—3

8.（2023・重庆联考）如图，四棱柱ABC。一A/iCiOi中，四边形ABC。为平行四边形，E,尸分

别在线段DB,皿上,且需=哥=/点G在CG上，且平面AEE〃平面MG则黑=

1

2-

A.

C2

3-

答案B

解析如图所示，延长AE交CD于”，连接切，则△DE”SABE4,所以筹=普=*因为

ADLLDZ

平面AEF〃平面BAG,平面AEFH平面CDDiG=FW,平面BDiGCl平面CDDCi=OiG,所

以修〃01G.又四边形CDdCi是平行四边形，所以△D/Tfs^GGOi，所以若=黑",因

Ci（_rC1Z>1

、[DHDH1匕「2DF1e、）DF1匕17—匕「CG1、小

为C]Z）i=AS=2,所以C]G=T因为FD]=亍所以尸D]=GG,DF=CG,所以=].故选

二、多项选择题

9.（2023・山东济宁期末）已知根，〃为两条不重合的直线，a,4为两个不重合的平面，则下列

说法正确的是（）

A.若加〃Q,几〃万且a〃尸，则相〃〃

B.若机〃〃，m^_a,〃_L夕，则a〃夕

C.若m〃n,〃ua,a//P，m邙,则相〃夕

D.若根〃〃，〃_La,a_L4，贝!Jm〃£

答案BC

解析若加〃a,〃〃夕且a〃夕，则可能加〃小m,〃异面或加，〃相交，A错误；若根〃几，

m.La,则〃_La,又〃_L尸，故a〃尸，B正确；若加〃九，nua,贝!]机〃a或机ua,又a〃£,

m邨,Wm〃B，C正确；若根〃小〃J_a,则m_La,又a_L£,则加〃£或加u夕，D错误.故

选BC.

10.（2023•江苏常州模拟）如图，在下列四个正方体中，A,8为正方体的两个顶点，D,E,F

分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面OEE平行的是（）

A

答案AC

解析对于A,易知AB〃OE,ABC平面DEF,DEu平面DEF,；.直线AB〃平面。EF,故

A符合题意；对于B,如图1,TAB〃脑V,MN与平面QEF相交，与平面。EF相交，

故B不符合题意；对于C,'：AB//DF,ABC平面DEF,。尸u平面。£尸，直线AB与平面

OEF平行，故C符合题意；对于D,如图2,连接AC,取AC的中点。，连接O。，则AB

//OD,与平面OEF相交.，直线4B与平面。EF相交，故D不符合题意.故选AC.

三、填空题

11.（2023・陕西安康模拟）如图，四边形ABCZ）是梯形，AB//CD,且〃平面a,M是A。的

中点，BC与平面a交于点N,AB=4,CD=6,则MN=.

答案5

解析因为〃平面a,ABc^WABCD,平面A3CZX1平面a=MN,所以又M是

的中点，所以MN是梯形ABC。的中位线，故MN=/（AB+CZ））=5.

12.（2024•河南信阳光山中学质检）正方体ABCD—A16CQ1中，与平面AC5平行的面对角

线有条.

答案3

解析如图，连接4G,AiB,BG.由正方体的性质，可得A4i〃CG,且A4i=CG,所以

四边形ACGAi是平行四边形，所以AC〃4G.因为ACu平面ACA,AC1C平面AC5,所以

4G〃平面AC5.同理可得,43〃平面ACZ）i,2Ci〃平面AC5.其余面对角线均与平面ACA

有交点，所以与平面AC。平行的面对角线有3条.

13.如图所示，在正四棱柱ABCD—AiSCQi中，E,F,G,X分别是棱CG，GDi，DiD,

DC的中点,N是BC的中点，点M在四边形EPG8及其内部运动，则M只需满足条件

就有〃平面（注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况）

答案点M在线段"/上（或点M与点H重合）

解析连接HN,FH,FN（图略），则EH〃DDi，HN//BD,；.平面加/N〃平面SB。。，只

需MEFH,则MNu平面FHN,；.〃平面BiBDDi.

14.（2024.江苏辅仁高级中学阶段考试）如图，在长方体ABCD—AiBiGDi中，AD=DDx=\,

AB=小,E,F,G分别是AB,BC,CQi的中点，点尸在平面ABC。内，若直线AP〃平

面匹G,则线段小尸长度的最小值是.

答案呼

解析如图，连接AA,AC,0c因为E,F,G分别为AB,BC,CQi的中点，所以AC〃

EF,又EFC平面AC5,ACu平面ACDi，则EF〃平面ACA.同理可得EG〃平面AC。，又

EFCEG=E,EF,EGu平面EFG,所以平面AC5〃平面EFG.因为直线OiP〃平面E尸G,

所以点尸在直线AC上.在AACni中，易得ADi=41,AC=2,CDi=2,所以&AC巧=£x也

______亚

x1)22—隹)=W‘故当OlP'AC时’线段D1P的长度最小’最小值为产-=坐.

2X2

四、解答题

15.如图，在正方体ABCD—4B1GO1中，E,F,G,H分别是BC,CCi，CQi，AAi的中

点，求证：

(l)BF〃HDi；

(2)EG〃平面BBDD；

⑶平面BDF〃平面BiDiH.

证明(1)取2山的中点连接HM,MCi,

•.•”是AAi的中点，

山健CQi，

：.HM^CiDi，

：.四边形HMCD是平行四边形，

'：M,E分别是BBj,CCi的中点，

：.四边形BMCiF是平行四边形，

：.MCi//BF,：.BF//HDx.

⑵取2。的中点0,连接OE,ODi,

则OE^DC,

又DiG%DC,：.OE^DiG.

：.四边形OEGDi是平行四边形，：.EG//DxO.

又OiOu平面BBtDiD,EGC平面BBQQ,

，EG〃平面BBiDD

(3)由(1)知B尸〃HQi，由题意易证

又Bid，"du平面Bid",BF,BDu平面BDF,且^^口血尸5，BDCBF=B,

平面BDP〃平面BiDiH.

16.(2023•广西柳州模拟)如图所示，在四棱锥尸一ABC。中，底面ABCD为平行四边形，侧面

为正三角形，M为线段尸。上一点，N为3c的中点.

⑴当M为尸。的中点时，求证：MN〃平面B4B；

(2)当尸B〃平面AMN时，求出点M的位置，并说明理由.

解(1)证明：取AP的中点E,连接EM,EB,

在AR4。中，M为尸。的中点，E为AP的中点，

：.EM//AD,EM^AD,

在平行四边形ABCD中，N为BC的中点，

J.BN//AD,BN=^AD,

：.BN//EM,BN=EM,

：.四边形BNME为平行四边形，

J.MN//BE,又MNC平面以2,BEu平面B42,

〃平面PAB.

(2)连接AN,BD,交于O,连接OM,

•・•尸5〃平面AMN,平面尸瓦加平面AMN=OM,PBu平面PBD,

：.PB//OM,

.PMOBBN1

••丽=历=砺=1，

即存在点M,M为P0上靠近点尸的三等分点.

素养提标

17.（2023・江西赣州统考二模）在棱长为4的正方体A3CD—A向CQ中，点P满足4t=4#,

E,尸分别为棱BC,C。的中点，点。在正方体ABC。一的表面上运动，满足4Q

〃平面EFP,则点。的轨迹所构成图形的周长为（）

A.B.2病

诋8^37

J33

答案D

解析延长ADAB,分别交EP的延长线于点/1,G,连接尸G,PH,分别交2S,DA于

点、R,T,过点人作4K〃尸G交于点K,过点4作4N/7PH交。d于点N,因为4KC

平面EFP,PGu平面EFP,所以4K〃平面EFP,同理可得4N〃平面EEP,因为AKClAiN

=Ai，所以平面EFP〃平面AiKN,过点N作NM〃AiK交CCi于点连接MK,则MK〃

AiN,则平行四边形4KMN（Ai点除外）为点。的轨迹所构成的图形.因为正方体的棱长为4,

E,歹分别为棱BC,C。的中点，筋1=4#,所以AP=1,BR=DT=*因为AF=KR=NT

12?

=3,所以SK=£）iN=4—3—过点N作N/_LCG于点J,则CV=£hN=§,JM=BiK

=|,由勾股定理，得AiK=4N=AW=MK=yA</2+加=4所以点。的轨

迹所构成图形的周长为率.故选D.

18.（多选X2024•湖南长郡中学月考）在直三棱柱ABC—ABiG中，A4i=AB=BC=