2025年高考数学一轮复习讲义：数列求和

第四节数列求和

课标解读考向预测

数列求和是高考考查的重点知识，预计2025年高考会

1.熟练掌握等差、等比数列的前“项

考查等差、等比数列的前〃项和公式以及其他求和公

和公式.

式，可能与通项公式相结合，也有可能与函数、方程、

2.掌握数列求和的几种常见方法.

不等式等相结合，综合命题，难度适中.

必备知识——强基础

知识梳理

数列求和的几种常用方法

1.公式法

(1)等差数列的前〃项和公式

①已知等差数列的第1项和第n项求前n项和S„=n(ai^an)；

vi(n—1)

②已知等差数列的第1项和公差求前n项和Sn=nai+2d.

(2)等比数列的前〃项和公式

当q=l时，S„=nai；当存1时，

①已知等比数列的第1项和第〃项求前n项和5"=1吆；

1一4

②已知等比数列的第1项和公比求前n项和Sn=~':

i—q

2.分组求和法与并项求和法

(1)若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和

法，分别求和后相加减.

(2)形如斯=(-1产式")类型，常采用两项合并求解.

3.裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.

4.错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列

的前“项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的.

5.倒序相加法

如果一个数列｛斯｝的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么

求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导

的.

常用

n(几+1)

1.1+2+3+4+...+〃=2~~

n(«+1)⑵+1)

2.l2+22+...+n2=

6

3.裂项求和常用的变形

(1)分式型：n笠+左)=3-市)'

⑵一)—(—一#)

________]1n(n+1)

n(n+1)(〃+2)=2]

_(n+1)(〃+2)_

2〃_____________1_1/+2________1

Q)指数型:(2〃+i—1)(2〃-1)=2"——n(〃+1)*几次1

(n+1)・2〃寸・

(3)根式型：5)等・

(4)对数型：log卷」=logm斯+1—log加z〃，斯＞0,加＞0且*1.

・诊断自测

1.概念辨析(正确的打y”，错误的打“X”)

(1)设数列｛斯｝的前力项和为％,若%=

则1.()

⑵层〈(〃一1)及一及一13)

⑶求a=。+2/+3〃+…+力〃时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求

和.()

(4)若数列为，勿一…，小—斯-1是首项为1,公比为3的等比数列，则数列｛斯｝的通项公

八口3"-1

式是an=-2--()

答案(l)x(2)x(3)x(4)1

2.小题热身

(1)(人教A选择性必修第二册4.4练习T2改编)数列｛诙｝的前w项和为Sn,若诙=〃(〃：i).，

则S5=()

5

A.1B.T

o

C工DX

-630

答案B

解析,:a.=“(“；］)=、一;，S5=ai+a2+…+/=1-3+>1+…故选

B.

(2)(人教A选择性必修第二册4.4练习T1改编)数列｛诙｝的通项公式斯=(-1)"(2〃-1),则该

数列的前100项和为()

A.-200B.-100

C.200D.100

答案D

解析Sioo=(—1+3)+(—5+7)+…+(-197+199)=2x50=100.故选D.

l

(3)(人教A选择性必修第二册习题4.3T3改编)若数列｛斯｝的通项公式an=2'+2n-],则数列

｛斯｝的前"项和为()

A.2"+层一1B.2/1+〃2—1

C.2n+1+n2-2D.2"+〃一2

答案C

解析S”=+“2+43+…+斯=(2]+2x1—1)+(22+2x2—1)+(23+2x3—1)+…+(2”+2〃

........................................................2(1-2"),n(〃+1),

-1)=(2+22+...+2,!)+2(1+2+3+...+«)-«=―:-T—+2x-------------一〃=2(2"—1)+

1—22

层+〃一〃=2"+1+〃2—2.故选C.

(4)在数列｛斯｝中，“1=1,〃〃以+1=—2,则Sioo=.

答案一50

解析根据题意，由。1=1,〃1。2=-2,得〃2=-2,又。2的=—2,得〃3=1,a3a4=-2,得

〃4=—2,…，所以｛斯｝中所有的奇数项均为1,所有的偶数项均为一2,所以S100=〃l+〃2+…

+。99+。100=1-2+…+1—2—50x(—1)=—50.

考点探究提素养

考点一拆项分组法求和

例1（2023•湖南岳阳统考三模）已知等比数列｛〃“｝的前”项和为S”，其公比存一1，义二”

〃7十〃8

畀且S4=〃3+93.

（1）求数列｛斯｝的通项公式;

f1,

\og^an'〃为奇数'

（2）已知仇=]3求数列｛d｝的前〃项和

an，〃为偶数,

解（1）因为｛%｝是等比数列，公比4，一1,

则Q4=〃iq3，〃5="iq3〃7=〃146,〃8=〃17，

次+/aiq3+aiq411

所以E=a/+a0=]=或，解仔4=3,

,ai(1—34)

由84=03+93,可/付a'z=9。1+93,

1—5

解得＜71=3,

所以数列｛〃“｝的通项公式为斯=3".

—w，〃为奇数，

⑵由(1)得b—

n3"，〃为偶数.

当n为偶数时，7.=匕1+历+…+6"=(6I+63+…+6"T)+(62+b4+…+%”)=—(1+3+…+〃

-1)+(32+34+...+3,!)

nU.

刊+(M-1)]9(1—9，)

2+-1-9

1）得；

一)_(〃+l)j」3"+U+l)2

当“为奇数时，T"=Tn+i—b,,+i1)4°8°84

综上所述,

13〃+】_,一为奇数，

T„=

9〃2

O(3"-1)—T，〃为偶数.

.O4

【通性通法】

拆项分组法求和的常见类型

求

拆

a项

数列

或等比

等差

｛%｝为

也｝,

土％，

的”为二几

分

前组

n

为等差

，旧

“

黛

嚼

项%=也求

和和

列

比数

或等

】

迁移

【巩固

为.

的值

和S〃

〃项

的前

£,…

1)+

(2〃-

，…，

，7自

,5E

，3《

列破

1.数

—/

层+1

答案

+

1)]

(2〃-

…+

5+

+3+

〃=[1

则S

^,

1)+

(2n—

a—

式为

项公

，通

可得

题意

由

解析

n

和

化法求

并项转

考点二

6.

18=3

2,4

。6=1

已知

｝中,

列｛斯

差数

在等

例2

式；

通项公

｛斯｝的

数列

(1)求

n

和S”.

n项

｝的前

列｛为

求数

s，

(—l)

bn=

(2)若

,

差为d

｝的公

列｛如

差数

设等

题意，

(1)由

解

2，

J〃i=

，

=12

+5d

J〃i

解得

2,

[d=

36,

l7d=

[〃i+

=2几

)x2

(〃1

=2+

••斯

〃・2%

-1)

・斯=(

-1)〃

由=(

⑴,得

(2)由

2〃，

-1产

…+(

+8—

4—6

—2+

2~\~

\-\~b

n—b

••S

6+8)

)+(—

2+4

〃=(—

1尸2

+(—

-...

6+8

+4—

=—2

+/

岳+…

=当+

,S〃

数时

为偶

当n

(i)

ri

；

2="

=gx

…+2

+2+

川=2

1)+2

2(〃-

+[—

偶数,

1为

，几一

奇数时

当〃为

(ii)

=

=

=

-1.

=-n