2025年高考数学二轮复习：高级应用函数的周期性、单调性、奇偶性及对称性特性以解析函数性质问题（讲义）（解析版）

专题04高级应用函数的周期性、单调性、奇偶性及对称性特

性以解析函数性质问题

自家

01考情透视•目标导航............................................................2

02知识导图•思维引航............................................................3

04真题研析•精准预测............................................................7

05核心精讲•题型突破...........................................................17

题型一：函数单调性的综合应用17

题型二：函数奇偶性的综合应用21

题型三：已知大幻=奇函数+M25

题型四：利用轴对称解决函数问题29

题型五：利用中心对称解决函数问题33

题型六：奇偶性对称偏移37

题型七：抽象函数的单调性'奇偶性'周期性、对称性41

题型八：双对称与周期性46

题型九：双函数与对称性51

题型十：类周期与倍增函数54

重难点突破：函数性质与导数63

差情;奏汨•日标旦祐

从近五年的高考情况来看，本节是高考的一个重点，函数的单调性、奇偶性、周期性是高考的必考内

容，重点关注单调性、奇偶性结合在一起，与函数图像、函数零点和不等式相结合进行考查，解题时要充

分运用转化思想和数形结合思想.

考点要求目标要求考题统计考情分析

预计2025年高考中，题目

将更倾向于以小题（如选择题

或填空题）的形式来考察学生，

这些小题将可能融合在解答题

2024年新高考I卷第8题，5分

的解答过程中，作为一个相对

2024年新高考II卷第11题，6分

独立的考察点。具体来说，可

2023年新高考H卷第4题，5分

掌握函数性质，熟2023年新高考I卷第4题，5分以预见的是：

函数的性质

练解题应用2022年乙卷第12题，5分（1）题目将采用选择题或填空

2022年新高考II卷第8题，5分题的形式，旨在检验学生的综

2021年甲卷第12题，5分

合逻辑推理和解析能力。

2021年新高考II卷第8题，5分

（2）考试的热点将聚焦于函数

的单调性、奇偶性以及对称性

这三个特性的综合应用和分

析。

般地,设函数/(.v)的定义域为■1,区间。SU：

如果对于Z)内的任意两个1rl变量的值MAv

当XRM都有/(xJv/CJ，则/C汪区间0上是增函数.

般地,设函数/(.v)的定义域为％区间DG：

如果对于D内的任意两个自变量的值

当巧〈三时，都有/(.vj,则/(.©在区间0上是减函数.

单调性

卜”里润区门的相如果函数产/W在区间/上单调递增或单调递减,

>产骑区㈣的足乂JI则函如-=/(.v)在这一区间具有单调性，区间/ml做＞♦=/(")的单调区间

复合函数的单调性遵从"同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增(减)函

《复合函数的单调性数,内层函数是熠(减)函数,复合函数是增函数；外层函数是增(减)函数,内层函

数是减(增)函数,复合函数是减函数.

"图像关门轴对称

奇偶性

图像关丁•原点对东:

对于函数/(2的定义域内任意一个M都有/(-.V)=-/(A)

对于函数『=/“),如果存在一个非零常数T,

使得与V取定义域内的任何值时，都有/(、•+r)=f(x),

那么就称函数r=/(、)为周期函数

高级应用函数的周期

性、单调性、奇偶性及f(x)=f(x+a)=^T=\a\

对称性特性以解析函数/(工)=./口+〃)=7=2|倒)

周期性

性质问题

/(•*很万

人忏五两S同

常用周期结论

人"")=逢=7=2间

叱小踹5■•同

/(.v+a)=l--=>T=3|

【(/(.v)=/(.v+a)+/(w〃)=T=6|a|J

若函即=/(K+Q)为偶函数,则函数尸/(.V)关『x=a对称

若函数尸/(.v+a)为奇函数，则函数*/(*)而痴a,0)对称

对称性

若/")=/(2℃),则函数/(x)关于x=a对称

若/(2/(2az)=2①则函数/(x)关于点(a,b)对称

㈤3

1、单调性技巧

（1）证明函数单调性的步骤

①取值：设百，X2是/'（X）定义域内一个区间上的任意两个量，且

②变形：作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；

③定号：判断差的正负或商与1的大小关系；

④得出结论.

（2）函数单调性的判断方法

①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值一变形一判断符号一下结论”进行判断.

②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性.

③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调

区间.

（3）记住几条常用的结论：

①若/（尤）是增函数，则-/（X）为减函数；若/（元）是减函数，则-/（X）为增函数；

②若/（元）和g（x）均为增（或减）函数，则在和g（x）的公共定义域上/（x）+g（x）为增（或减）函

数；

③若/（x）＞0且/（x）为增函数，则函数77而为增函数，一一为减函数；

/（x）

④若/（x）＞0且/（幻为减函数，则函数为减函数，,为增函数.

/（X）

2、奇偶性技巧

（1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.

（2）奇偶函数的图象特征.

函数/（幻是偶函数。函数了（幻的图象关于y轴对称；

函数/（x）是奇函数o函数/（X）的图象关于原点中心对称.

（3）若奇函数＞=/（元）在x=0处有意义，则有『（0）=0；

偶函数y=/（x）必满足/（x）=/（|x|）.

（4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称

的两个区间上单调性相同.

(5)若函数/(x)的定义域关于原点对称，则函数/(无)能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形

式・记g(x)=g"(x)+/(-x)],/z(x)=；"(x)-/(-x)],则/(x)=g(x)+〃(x)・

(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个(或多个)函数式通过加、减、乘、除四则运算所得

的函数，tnf(X)+g(x),f{x)-g(x),f(x)xg(x),f(x)4-g(x).

对于运算函数有如下结论：奇士奇=奇；偶±偶=偶；奇土偶=非奇非偶；

奇x(十)奇=偶;奇义(+)偶=奇；偶义(十)偶=偶.

(7)复合函数y=/[g(x)]的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.

(8)常见奇偶性函数模型

奇函数：①函数f(x)=制“+1)(XNO)或函数/(尤)=〃?("T).

(2-16/+1

②函数/(x)=±3-「).

③函数f(x)=log“三辿=logfl(l+3-)或函数f(x)=loga=log“(1一-—)

x—mx—mx+mx+m

④函数/(x)=log“(J-+1+x)或函数/(x)=log.(J/+1-x).

注意：关于①式，可以写成函数〃x)=m+2L(xwO)或函数/(x)=m-

ax-1优+1

偶函数：①函数〃x)=±3+「).

②函数/(x)=log.d+l)-三•

③函数/(I尤I)类型的一切函数.

④常数函数

3、周期性技巧

函数式满足关系(xeR)周期

/(x+T)=/(x)T

f(x+T)=-/(%)2T

/(x+T)=-3—;/(x+D=-一—

2T

fM/(尤)

f(x+T)=f(x-T)2T

f(x+T)=-f(x-T)4T

ff(a+x)=f(a-x)

2(。—〃)

\f(b+x)=f(b-x)

"(a+x)=/(a7)

2a

[/(尤)为偶函数

[/(a+无)=-/(a-x)

2(b-a)

f(b+x)=-f(b-x)

[/(«+x)=-f(a-x)

2a

/(x)为奇函数

[于(a+x)=f(a-x)

4(b—〃)

f(b+x)=-f(b-x)

\f{a+x)=f{a-x)

4a

[7(x)为奇函数

/(a+无)=-/(a-x)

4a

/(尤)为偶函数

4、函数的的对称性与周期性的关系

(1)若函数y=/(x)有两条对称轴兄=。，x=b{a<b),则函数/(兄)是周期函数，且T=2(b-a)；

(2)若函数y=/(x)的图象有两个对称中心(a,c),3,c)(a<b),则函数y=/(x)是周期函数，且

T=2(b-a)；

(3)若函数y=/(x)有一条对称轴x=a和一个对称中心(dO)(a<Z?),则函数y=/(%)是周期函数，且

7=4(/?一々).

5、对称性技巧

(1)若函数y=/(x)关于直线％=〃对称，则-.

(2)若函数y=/(%)关于点(Q,。)对称，IjliJf(a+x)+f[a-x)=2b.

(3)函数y=/(。+%)与丁=/(a-％)关于y轴对称，函数y=/(〃+%)与y=-/(々一%)关于原点对称.

0

〃真题班拚精御皿\\

1.(2024年新课标全国I卷数学真题)已知函数的定义域为R,7(x)>/(x-l)+/(x-2),且当x<3时

f{x)=x,则下列结论中一定正确的是()

A./(10)>100B./(20)>1000

C./(10X1000D./(20)<10000

【答案】B

【解析】因为当x<3时了(0=无，所以/⑴=1,〃2)=2,

又因为f(x)>/(x-l)+/(x-2),

则/(3)>/(2)+/(I)=3,/(4)>/(3)+/(2)>5,

/(5)>/(4)+/(3)>8,/(6)>/(5)+/(4)>13,/(7)>/(6)+/(5)>21,

/(8)>/(7)+/(6)>34,/(9)>/(8)+/(7)>55,/(10)>/(9)+/(8)>89,

/(11)>/(10)+/(9)>144,f(12)>/(11)+/(10)>233,f(13)>f(12)+/(11)>377

/(14)>/(13)+/(12)>610,/(15)>/(14)+/(13)>987,

/(16)>/(15)+/(14)>1597>1000,则依次下去可知f(20)>1000,则B正确;

且无证据表明ACD一定正确.

故选：B.

2.(多选题)(2024年新课标全国II卷数学真题)设函数〃x)=2尤3-3"2+1,则()

A.当时，/(x)有三个零点

B.当a<0时，*=0是/。)的极大值点

C.存在a,b,使得x=b为曲线y=/(x)的对称轴

D.存在a,使得点为曲线y=/(x)的对称中心

【答案】AD

【解析】A选项，/(X)=6/-6依=6x(尤-a),由于a>l,

故x《T»,0)u(a,+oo)时/'(尤)>0,故/Xx)在(-8,0),(a,+8)上单调递增，

xe(0,a)时，f\x)<0,/(x)单调递减，

则f(x)在x=0处取到极大值，在x=a处取到极小值，

由〃0)=1>。f(a)=l-a3<0,贝!|1/W(a)<0,

根据零点存在定理于(玲在(0,a)上有一个零点,

X/(-l)=-l-3«<0,f(2a)=4/+l>0,则/(-l)/(0)<0,/(a)/(2a)<0,

则/(x)在(-1,0),(a,2a)上各有一个零点，于是时，/(x)有三个零点，A选项正确；

B选项，y'(x)=6x(x-a),a<0时，xe(a,0),f'(x)<0,f(x)单调递减，

了€(0,内)时/(无)>0,f(x)单调递增，

此时/(x)在尤=0处取到极小值，B选项错误；

C选项，假设存在这样的。力，使得x=b为f(x)的对称轴，

即存在这样的a力使得Ax)=f(2b-x),

即2x3-3ax2+1=2(2b-x)3-3a(2b-x)2+1,

根据二项式定理，等式右边(2b-x)3展开式含有d的项为2C；(2b)°(-x)3=-2/,

于是等式左右两边d的系数都不相等，原等式不可能恒成立，

于是不存在这样的。力，使得x=b为f(x)的对称轴，C选项错误；

D选项，

方法一：利用对称中心的表达式化简

〃l)=3-3a,若存在这样的a,使得(L3-30为/(x)的对称中心，

5W/(x)+/(2-x)=6-6a,事实上，

f(尤)+/(2—x)=2x3—3cix"+1+2(2—尤y—3a(2—.x)2+1=(12—6a)x?+(12a—24)x+18—12a,

于是6-6。=(12-6a)尤2+(12a-24)x+18-12a

12-6a=0

即12"24=0,解得。=2,即存在a=2使得(LAD)是的对称中心，D选项正确.

18-12a=6-6a

方法二：直接利用拐点结论

任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，

f(x)=2x3-3ax2+1,f'{x)=6x2-6ax,f"(x)=12x-6a,

由/"(x)=0ox=£,于是该三次函数的对称中心为

由题意(LAD)也是对称中心，故■|=loa=2,

即存在a=2使得(1,/(1))是的对称中心，D选项正确.

故选：AD

3.(2023年高考全国乙卷数学(理)真题)已知/5)=力一是偶函数，则。=()

e^-l

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

「(

【解析】因为〃X)=?二为偶函数，则“X)一/(T)=dL一上半2xe'-e"*

-J=------------J=o,

e—1em—1—1em-l

又因为x不恒为0,可得)-e"=0，即e'=小山，

贝1|x=(q—l)x,即l=a—1,解得a=2.

故选：D.

4.(多选题)(2023年新课标全国I卷数学真题)已知函数〃x)的定义域为R,〃孙)=y2〃x)+f〃y),

则()•

A./(0)=0B.f(l)=0

C.〃尤)是偶函数D.x=。为“X)的极小值点

【答案】ABC

【解析】方法一：

因为/(孙)=y2f(x)+x2f(y),

对于A,令无=y=0,/(0)=0f(0)+0f(0)=0,故A正确.

对于B,令％=>=1,f(l)=1/(1)+1/(1),则/⑴=0,故B正确.

对于C,令x=y=-l,/(1)=/(-1)+/(-1)-2/(-1),则f(-l)=。，

令y=-1,/(-尤)=f(x)+尤2/(-1)=f(x),

又函数/(劝的定义域为R,所以/(尤)为偶函数，故C正确，

对于D,不妨令/(x)=0,显然符合题设条件，此时/(x)无极值，故D错误.

方法二：

因为/(孙)=y2/M+x2f(y),

对于A,令元=y=0,/(0)=0/(0)+0/(0)=0,故A正确.

对于B,令x=y=l,/(I)=1/(1)+1/(1),则/(1)=0,故B正确.

对于C,令x=y=-l,f(l)=/(-1)+/(-1)=2/(-1),则f(-l)=。，

令尸TJ(r)=/(x)+x2/(-l)=f(x),

又函数,(x)的定义域为R，所以f(x)为偶函数，故C正确，

对于D,当无、2片0时，对/(孙)=尸/(犬)+//()0两边同时除以炉>2,得至U[]”)=+，

故可以设坐^=比禺0力0),则y(x)=[：吗'X"°,

x[0,x=0

当x>0肘，/(x)=x21nx,则/r(x)=2xlnx+x2=x(21nx+l),

令(⑺<0,得令尸(x)>°，得x>e+；

故/(x)在1o,e」上单调递减，在（屋；+8］上单调递增,

上单调递增，在-oo,e5上单调递减,

7

显然，此时x=0是的极大值，故D错误.

故选：ABC.

5.（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）若/（尤）=（无一l『+or+sin［x+5］为偶函数，贝陷=

【答案】2

【解析】因为〉=/（》）=（犬-1）2+办+$山［》+］］=（了-1）2+以+（：05彳为偶函数，定义域为R,

Cl即［尸）一仔+COS7171

+—4+COS—

22

2

■^■—11=2兀，故〃=2,

止匕时/(x)=(x-l)2+2x+COSX=X2+1+COSX,

所以/(-X)=(-%)2+1+COS(-X)=X2+l+cosx=/(X),

又定义域为R,故/（%）为偶函数,

所以。=2.

故答案为：2.

6.（2022年新高考全国n卷数学真题）已知函数/。）的定义域为R,且

22

f(x+y)+f(.r-y)=/(x)/(y),/(I)=1,则工/伏)=()

k=l

A.-3B.-2C.0D.1

【答案】A

【解析】［方法一］:赋值加性质

因为」(x+y)+/(x—y)=/(x)/(y),令x=l,y=。可得，2/(l)=/(l)/(O),所以"0)=2,令尤=。可得，

/(y)+/(-y)=2/(y),即/(y)=〃—y),所以函数〃x)为偶函数，令y=l得，

/(x+l)+/(x-l)=/(x)/(l)=/(x),即有/(x+2)+/(x)=/(x+l),从而可知〃x+2)=—/(x—l),

=—4),故〃x+2)=〃x—4),即〃x)=/(x+6),所以函数的一个周期为6.因为

/(2)=/(1)-/(0)=1-2=-1,/(3)=/(2)-/(1)=-1-1=-2,/(4)=/(-2)=/(2)=-1,

/(5)=/(-1)=/(1)=1,/(6)=/(0)=2,所以

一个周期内的〃1)+/(2)+…+"6)=0.由于22除以6余4,

22

所以£/仅)=/(1)+〃2)+〃3)+〃4)=1-：1-2-1=-3.故选：A.

k=l

［方法二］:【最优解】构造特殊函数

由〃x+y)+/(x-y)=/(x)/(y)，联想到余弦函数和差化积公式

cos(x+y)+cos(x-y)=2cosxcosy,可设〃x)=acos(yx,则由方法一中〃0)=2,/⑴=1知a=2,“cos<y=1,

1jr

解得COSG=5，取口=可，

jr

所以"x)=2cos1尤，则

f［.x+y)+f［x-y')=2cos^x+^y^+2cos^x-^y^=4cos^xcos^y=f(x')f(y),所以/(x)=2cosgx

7卫=6

符合条件，因此Ax)的周期工一，/(0)=2,/(1)=1,且

3

"2)=—1J(3)=-2,/(4)=—1,/(5)=1,"6)=2,所以/⑴+/(2)+/(3)+/(4)+/(5)+/(6)=0,

由于22除以6余4,

22

所以£”左)=〃1)+〃2)+〃3)+〃4)=1-1一2-1=一3.故选：A.

k=l

【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法;

7.(2022年高考全国乙卷数学(理)真题)已知函数/(尤),g(尤)的定义域均为R,且

22

/(x)+g(2-X)=5,g(x)-/(X-4)=7.若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g⑵=4,则()

k=l

A.-21B.-22C.-23D.-24

【答案】D

【解析】因为，=g。)的图像关于直线x=2对称，

所以g(2-x)=g(x+2),

因为g(x)-"x-4)=7,所以g(x+2)-f(x-2)=7,即g(x+2)=7+f(x-2),

因为f(x)+g(2-x)=5,所以/(x)+g(x+2)=5,

代入得/(x)+[7+f(x—2)]=5,即f(x)+f(x-2)=-2,

所以“3)+/⑸+...+”21)=(-2)x5=TO,

/(4)+/(6)+....+/(22)=(-2)x5=-10.

因为f(x)+g(2—0=5,所以/(0)+g⑵=5,即40)=1,所以/(2)=-2-〃0)=-3.

因为g(尤)一/'(%—4)=7,所以g(x+4)-/(x)=7,又因为/(x)+g(2—x)=5,

联立得，g(2—x)+g(x+4)=12,

所以V=g。)的图像关于点(3,6)中心对称，因为函数g(x)的定义域为R,

所以g(3)=6

因为f(x)+g(尤+2)=5,所以7•⑴=5-g⑶=T.

22

所以S/W=/(l)+〃2)+"⑶+/(5)+…+〃21)[+[〃4)+"6)+...+"22)]=-1-3-1。-10=-24.

k=l

故选：D

8.(多选题)(2022年新高考全国I卷数学真题)已知函数/(%)及其导函数((%)的定义域均为R,记

g(x)=/'(x),若g(2+x)均为偶函数，则()

A./(0)=0B.=0C./(-I)=/(4)D.g(-l)=g(2)

【答案】BC

【解析】[方法一]:对称性和周期性的关系研究

对于7•(》)，因为/@一2尤］为偶函数，所以=即=+①，所以

〃3-x)=〃x),所以/(x)关于％对称，则/(一1)=〃4),故C正确；

对于g(x),因为g(2+x)为偶函数，g(2+x)=g(2-x),g(4-尤)=g。)，所以g(x)关于尤=2对称，由①求

导,和g(x)=/'(尤)，得+=f'［^+^^-g［^-x^=g［^+^所

以g(3-x)+g(x)=O,所以g(x)关于弓,0)对称，因为其定义域为R,所以g0=。，结合g(x)关于X=2对

称，从而周期7=4、(2-3=2,所以g［；)=g1,=0,g(_i)=g⑴=_g(2),故B正确，D错误；

若函数了。)满足题设条件，则函数f(x)+C(C为常数)也满足题设条件，所以无法确定Ax)的函数值，

故A错误.

故选：BC.

［方法二］:【最优解】特殊值，构造函数法.

由方法一知g(x)周期为2,关于x=2对称，故可设g(x)=cos(口)，贝ij〃x)='sin(7ix)+c,显然A,D错

71

误，选BC.

故选：BC.

［方法三］:

因为/g-2x］，g(2+x)均为偶函数，

所以电一2力=4+2：即呜T"(|+x),g(2+x)=g(2-x),

所以〃3r)=〃x),g(4-x)=g(x),则/(T)=f(4),故C正确;

3

函数/Xx),g(x)的图象分别关于直线％=不尤=2对称，

又g(x)=7'(x),且函数/(X)可导，

所以g0=O，g(3_x)=_g(x),

所以g(4-x)=g(x)=-g(3-x),所以g(x+2)=-g(x+l)=g(x),

所以g［-£|=g［£］=0，g(-l)=g6=-g⑵，故B正确，D错误；

若函数Ax)满足题设条件，则函数/(x)+C(C为常数)也满足题设条件，所以无法确定/(x)的函数值,

故A错误.

故选：BC.

【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的

通性通法；

方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解.

9.（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）若/（x）=lna+J-+6是奇函数，贝心=,b=.

【答案】［；M2.

【解析】［方法一］：奇函数定义域的对称性

若4=0,则/（x）的定义域为{x|XX1},不关于原点对称

aw0

若奇函数的/（幻=如。+」-1+）有意义，贝ijxwl且。+----。0

l—x1-x

「.XW1且"1+工，

a

•・・函数/（无）为奇函数，定义域关于原点对称，

1H■—=-1,解得Q=--，

a2

由/（。）=。得，lng+b=0,

/.b=ln2,

故答案为：-彳；Ini.

［方法二］:函数的奇偶性求参

乙、71I71a-ax+\\.Iax-a-1

f（x）=lna-\-----\+b=In］\---------\+b7=ln\-------------------Fb7

1-x111-x1।1-x

ax+a+1

f(~x)=In+/?

1+x

・・・函数/（九）为奇函数

J、-、［ax-a-\\7Iax+a+1〜C

/./(x)+/(-x)=In--------\+ln\--------+2b=0

1-x1+x

JCl2X2—(d!+1)27

:.ln-----9-----+2b=0

x2-l

/(a+i)21

/.——=------n2a+1=0=。=—

112

—2b=In—=—2ln2nb=ln2

4

a=——1,b7=m72C

2

［方法三］:

因为函数/（x）=ln。+丁匚+6为奇函数，所以其定义域关于原点对称.

i—X

由4可得，（1-力（。+1—依）*0,所以无=竺1=-1,解得：=即函数的定义域为

1-xa2

(-«-l)u(-l,l)u(l,+w),再由"0)=0可得，b=\n2.即〃尤)=ln-：+d+ln2=ln早，在定义域

L1—X1—X

内满足x）=-“X）,符合题意.

故答案为：-3；1n2.

10.（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）设函数“X）的定义域为R,f（x+l）为奇函数，“X+2）为偶

9

函数，当xe［l,2］时,/(x)=ax2+b.若/（0）+/（3）=6,则/()

A—D

4cI-I

【答案】D

【解析】［方法一］:

因为〃X+1)是奇函数，所以〃T+1)=-“X+1)①;

因为“X+2）是偶函数，所以/（x+2）=〃f+2）②.

令x=l,由①得：f(0)=-/(2)=-(4fl+^),由②得：f(3)=/(l)=«+/>,

因为〃0)+“3)=6,所以-(4a+/)+a+b=6=a=-2,

令x=0,由①得：/(1)=-/(1)^/(1)=0^&=2,所以/(耳=一2/+2.

思路一：从定义入手.

所以

［方法二］:

因为/(x+1)是奇函数，所以/(-X+1)=—/(X+1)①；

因为/(x+2)是偶函数，所以/(X+2)=/(T+2)②.

令尤=1,由①得：/(0)=-/(2)=-(4«+^),由②得：F(3)=f(l)=a+6,

因为/(°)+/(3)=6,所以一(4a+b")+a+b=6^>a=-2,

令x=0,由①得：/(1)=-/(1)^/(1)=0^&=2,所以了(司=-2/+2.

思路二：从周期性入手

由两个对称性可知，函数了(尤)的周期T=4.

故选：D.

11.(2021年全国新高考n卷数学试题)已知函数“X)的定义域为R,“X+2)为偶函数，〃2x+l)为奇

函数，则()

A.dB./(-1)=0C./(2)=oD./(4)=0

【答案】B

【解析】因为函数/(X+2)为偶函数，则〃2+X)=〃2T),可得/1+3)=〃1—尤),

因为函数〃2x+l)为奇函数，贝—2x)=-〃2x+l),所以，/(l-x)=-/(x+l),

所以，/(x+3)=-/(x+l)=f(x-l),即〃x)=〃x+4),

故函数是以4为周期的周期函数，

因为函数*x)=〃2x+l)为奇函数，则P(0)=〃1)=0,

故=⑴=。，其它三个选项未知.

故选：B.

1

12.(2021年全国高考甲卷数学(文)试题)设〃尤)是定义域为R