2025年高考数学重难点复习：正弦定理（原卷版）

第05讲正弦定理

T模块导航AT素养目标A

模块一思维导图串知识1.通过阅读课本知识的学习弄懂余弦定理的形式

模块二基础知识全梳理(吃透教材)与证明方法，提升公式变形技巧，灵活掌握余弦

模块三核心考点举一反三定理

模块四小试牛刀过关测2.在熟练学习基础知识的基础上，会运用余弦定

理解决两类基本的解三角形问题,并能够灵活应

用

3模块一思维导图串知识

6模块二基础知识全梳理

知识点1正弦定理

(1)正弦定理的描述

①文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.

②符号语言：在AABC中，若角A、3及C所对边的边长分别为。，b及c,则有，二=上=

smAsinBsinC

（2）正弦定理的推广及常用变形公式

在A4BC中，若角A、3及C所对边的边长分别为。，b及c,其外接圆半径为R,贝!]

cabCi

-=----=--=2R

sinAsinBsinC

®asmB=bsinA；bsinC=csinB；asinC=csmA；

（§）sinA:sinB:sinC=<2:/?:c

abca+b+ca+ba+cb+c入门

④-----=-----=-----=-------------------=------------=------------二------------=2R

sinAsinBsinCsinA+sinB+sinCsinA+sinBsinA+sinCsinB+sinC

⑤④a=2RsinA,b=2RsinB9c=2RsinC（可实现边到角的转化）

cihc

⑥⑤sinA=——，sinB=——，sinC=——（可实现角到边的转化）

2R2R2R

知识点2解决几何问题的常见公式

三角形面积的计算公式：

①S=^x底x高；

2

（2）S=­a&sinC=-acsinB=-Z?csinA；

222

③S=；（a+人+c）厂（其中，。，仇c是三角形ABC的各边长，厂是三角形ABC的内切圆半径）；

nhr

④S=（其中，”,仇。是三角形ABC的各边长，R是三角形ABC的外接圆半径）.

6模块三核心考点举一反三------------------------------

考点一：已知两角及任意一边解三角形

I'产1.（2024高三•全国•专题练习）在VABC中，角A,B,C所对的边分别为“，b,c,若c=l,

a=y/3fC=£，贝!|sinA=（）

6

A.—B.1C.1D.也

223

【变式1-1]（24-25高三上•山西吕梁•阶段练习）在VABC中，已知a=石，b=y/2,A=60,则角B的

值为（）

A.45或135B.45C.135D.30°或150

【变式1-2］（23-24高一下•山东临沂•期末）记VABC内角A,B,C所对的边分别是“，b,c,已知〃=有,

b=2,A=f,贝!Jsin3=()

C.逅

3

IT

【变式1-3］（24-25高三上•重庆•阶段练习）在VASC中内角AB,C所对的边分别为。I,c,且A=?,a=l,

c=V3,贝!JcosC=.

考点二：三角形解的个数

例2.（2024高三•全国•专题练习）在VABC中，已知匕=40,c=20,C=60°,则此三角形的解的情况

A.有一解B.有两解

C.无解D.有解但解的个数不确定

【变式2-11（23-24高一下•福建南平•期中）在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,a已知

a=2,b=25A=J,则此三角形（）

A.无解B.一解C.两解D.解的个数不确定

【变式2-2］（多选）（23-24高一下•江苏扬州•期末）在VA5c中，角A氏C所对的边为a6、c,根据下列

条件解三角形，其中仅有一解的有（）

A.a=4,Z?=5,c=6B.A=30,5=45,c=5

C.a="b=2,A=45D.a=3,Z?=2,C=60

【变式2-3］（23-24高一下•广西•阶段练习）在VABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,若c=2百，

B=7＞且VABC有两解，贝!|力的取值范围为.

O

考点三：已知两边和其中一边的对角解三角形

j'：例3.（24-25高二上•甘肃武威•开学考试）在VABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,C=30。，

c=5,a=8,贝!|cosA=（）

3334

A.-B.±-C.--D.-

5555

【变式3-1］（23-24高一下•江苏宿迁•期中）已知VABC中，0=26，b=2,B=g则角A的值是（）

O

jr

【变式3-2］（24-25高二上•江苏常州•阶段练习）VABC中，角A,B,C所对的边分别为。，4c,已知C=：,

4

6=C，c=2,则角8大小为.

【变式3-3］（23-24高一下•天津河北•期中）已知VABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则a=2,

JI］

B=—,cosA=—,则Z?=.

考点四：判断三角形的形状

'、例4.（23-24高一下•湖南张家界•期中）在VA3C中，2csiMg=c-6（a,b,c分别为角A,民C的对边），

则VABC的形状可能是（）

A.正三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形

【变式4-1］（23-24高一下•重庆•期中）已知a,6,c分别是VA3C三内角A,aC的对边，且满足

asinC+acosC=b+c,则VA2C的形状是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰或直角三角形D.等腰直角三角形

【变式4-2］（23-24高一下•江苏无锡•阶段练习）在VABC中，若asinB=JOcosA,+c2^b2+ac,

那么VABC一定是（）

A.等腰直角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等边三角形

【变式4-3］（24-25高一下•全国•随堂练习）在VABC中，若炮（5皿4+5111。）=2心皿3-炮6皿。—$1114）,

则此三角形是三角形（填“锐角”“直角”或“钝角”）.

考点五：利用正（余）弦定理求范围或最值

j':例5.（2024高三上•河南•专题练习）在VABC中，AC=b,AB^c,ZBAC=120°,若。为2C的中

点，且AD=3,贝！|6+c的最大值为.

【变式5-1］（23-24高一下•重庆•期末）在锐角VA3C中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知

c-cosA=（2Z7-tz）cosC.

（1）求NC的值；

⑵求:的取值范围.

b

【变式5-2］（23-24高一下•吉林长春•阶段练习）已知VABC的内角AB,C的对边分别为a/,c,且满足

2a—c=2bcosC.

⑴求5的大小；

（2）若a=2,AD是VABC的中线，求AD的最小值.

【变式5-3］（23-24高三上•浙江嘉兴•期末）在VABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,其中sin3=2sinA,

c=2a+1.

（1）若〃=3,求VABC的面积；

⑵若VABC为钝角三角形，求”的取值范围.

考点六：综合运算正（余）弦定理解三角形

例6.（24-25高三上•上海•阶段练习）在VABC中，角A、B、C的对边分别为“、b、c.已知

2ccosA=2b—a.

⑴求角c的大小；

（2）设M为AB边的中点,若c=6a-6=1,求的大小.

ITQ

【变式6-1］（24-25高三上•天津•阶段练习）在VABC中内角A,8,C所对边分别为a,b,c,^B=-,b2=^ac,

则sinA+sinC=（）

B.V2c.昱D,显

22

【变式6-2］（2024高二下•安徽•学业考试）VABC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,VABC的面

积为±8,且6=1,C=W，则边。=（）

43

A.7B.3D.屈

【变式6-3］（24-25高三上•天津•期中）在VABC中，角A,B,C所对的边分别是。，b,c,已知

bcosC=(2。一c)cosB.

⑴求角2的大小;

(2)设a—2,c=3

（i）求6的值;

（ii）求sin（2A—B）的值.

【变式6-4］（24-25高三上•甘肃白银•期中）在VABC中，内角A,B,C所对的边分别为b,c,且

asmB=bsin2A.

⑴求角A的大小；

⑵若〃-02=：/,求cosC.

考点七：求三角形面积

例7.（2024•广东•模拟预测）在VABC中，内角A民C的对边分别为a,4c.已知

cos2A=cosBcosC-sinBsinC.

（1）求角A的大小；

⑵已知a=6,c=2上.求VABC的面积.

【变式7-1］（24-25高二上•江苏南京•期中）记VABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知

tzcosC+ccosA=2Z?cosA.

⑴求A;

⑵若a=2,b+c=4,求VABC的面积.

【变式7-2］（24-25高三上•贵州•期中）在VABC中，内角A,8,C的对边分别是“，b,c.已知a=3,b=5,

sinC+A/3COSC=0.

⑴求c；

⑵求sinA+sin3的值；

（3）求VABC的面积.

【变式7-3］（2024•陕西宝鸡•二模）已知VA2C的内角A,B,C所对的边分别为a,6,。，且

A/3sinA+cosA=2.

⑴求角A；

⑵若“=D为边BC边上一点,AD为一B4C的平分线，且AD=1,求VA3C的面积.

考点八：根据三角形面积求参数

|'产8.（24-25高三上•湖北•阶段练习）在VABC中，内角A,B,C的对边长分别为a,b,c,

_.B+C7i—A...

2（。一c）sin---cos---=/?sin6—csinC.

（1）若6=2,求VA2C面积的最大值；

71

（2）若A=§,在VABC边AC的外侧取一点。（点。在VABC外部），使得DC=1,ZM=2,且四边形ABC。

的面积为36+2,求NADC的大小.

4

【变式8-1］（24-25高二上•北京平谷•期中）在VABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足

bcosA+acosB=\/2ccosC>VABC的面积为4.

⑴求角C的大小；

⑵若a=2,求边长c.

【变式8-2］（24-25高三上•四川成都♦期中）已知在VABC中，accosB-^bc=a2-b2,

⑴求A;

⑵若a=2,则三角形ABC的面积为由，求be

【变式8-3］（2024高三•全国•专题练习）记VA2C的内角A,氏C的对边分别为a,6,c,已知

2yfiasinBcosA+Z?cos2A=b.

⑴求A.

⑵若VABC的面积为m，也—及=3,求2C边上的高.

2

【变式8-4］（2024•全国•模拟预测）已知VABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且

Z.22_2

12Z72sinA+labH----------------=0.

cosC

（1）求sinAcosC

⑵若sinA=J,VABC的面积为述二叵，求a的值.

34

考点九：求三角形周长

例9.（24-25高二上•广西南宁•期中）在VABC中，2ccosC=6acosB+屉cosA

⑴求NC；

⑵若人=6,且VABC的面积为66,求VABC的周长.

【变式9-1］（24-25高二上•贵州铜仁•阶段练习）在VABC中，角A,B,C所对的边分别为。，b,c,

sin2C=As/SsinC.

⑴求角C的大小；

⑵若6=8,且VABC的面积为8囱，求VABC的周长.

【变式9-2］（24-25高三上•浙江•期中）如图，VABC的内角A,B,C的对边分别为“，b,c,直线/与

VABC的边A5,AC分别相交于点£>,E,ZADE=0,满足acos（B-，）+6cos（A+，）=；c.

⑴求角。的大小；

（2）若AE=&G,VADE的面积为3石，求VADE的周长.

【变式9-3］（24-25高三上•安徽六安•阶段练习）设三角形ABC的内角AB、C的对边分别为a,6,c且

LA

sin（B+C）=2V3sin2-.

⑴求角A的大小；

⑵若6=3,BC边上的高为:有，求三角形ABC的周长.

考点10：求三角形周长、面积最值范围

a_2b-c

10.（24-25高二上•贵州•期中）在VA3C中，角A,8,C的对边分别为。,b,c,=\,

acosAcosC

⑴求角A;

⑵若。是线段BC的中点，且AD=1,求

⑶若VABC为锐角三角形，求VABC的周长的取值范围.

【变式10-1】（2024高三•全国•专题练习）已知在VABC中，sin（A-B）+sinB=sinC.

⑴求A；

⑵若VA3C是锐角三角形，且3c=2,求VABC周长的取值范围.

【变式10-2］（2024高三•全国•专题练习）在VABC中，角A,B,C所对的边分别为a/,c,已知

（2"-462）COSC=a2-b2-c2.

⑴求C；

⑵若VABC为锐角三角形，且〃=8,求VABC面积的取值范围.

【变式10-3］（23-24高一下•辽宁•期中）已知函数〃x）=2sirucosx+2>/^sin2x-A/^.

⑴求函数/（x）的最小正周期及其单调递增区间，

⑵若A为锐角VA2C的内角，且〃A）=石,°=26，求VABC面积的取值范围.

6模块四小试牛刀过关测-------------------------------

一、单选题

3兀

1.（24-25高二上•贵州六盘水•期中）在VA3C中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=8,A=—,

4

则VA5C外接圆的半径为（）

A.4夜B.8四C.8D.

2.（24-25高三上•海南•阶段练习）在VABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且

acosB-bcosA-c=Q,贝!|A=（）

A.45°B.60°C.90°D.135°

3.（23-24高三上•四川南充•阶段练习）在VABC中，内角A5,C所对的边分别为〃，瓦c,若

（7CosB+teosA=2sinC,则VABC的外接圆的面积为（）

A.4兀B.3兀C.2兀D.兀

77r

4.（23-24高一下•福建龙岩•期中）在ZUBC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若6=20,A=—,

C=3贝!Jc=（）

6

A.1B.2C.y/2D.石

5.（2024高三•全国•专题练习）在VABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且馍054+085。=2°,

若a=b,贝！JsinB等于（）

A.姮B.-C.也D.3

4442

6.（2024高三•全国•专题练习）在VABC中，已知A=60°,0=273,6=2,则3=（）

A.30°或150°B.60°C.30°D.60°或120°

7.（2024高三•全国•专题练习）在VABC中，角A,B,C的对边分别为。，b,c,若B=—b=拒,a=3,

o

贝1|c=（）

A.6或26B.273C.V3D.3

8.（24-25高三上•江西抚州•期中）在VABC中，若BCsin=^=ACsinA,则角3=（）

,71〜兀一兀一兀

A.—B.—C.—D.—

4623

二、多选题

9.（23-24高一下•河南溪河•阶段练习）在VA5c中，根据下列条件解三角形，其中恰有一解的是（）

一兀71

A.6=7,c=3,C=—B.b=5,c=6,C=—

64

C.a=6,b=3>/3,B=-^D.a=20,b=15,B=

10.（24-25高三上•黑龙江绥化•阶段练习）对于V