2025年高考数学重难点专项复习：导数常考经典压轴小题全归类【十大题型】原卷版

重难点08导数常考经典压轴小题全归类【十大题型】

【新高考专用】

导数是高考数学的重要内容，是高考必考的重点、热点内容，主要涉及导数的运算及几何意义，利用

导数研究函数的单调性、极值和最值，函数零点问题、不等式恒（能）成立问题等，考查分类讨论、数形

结合、转化与化归等思想.

从近几年的高考情况来看，导数的运算和几何意义是高考命题的热点，多以选择题、填空题形式考查,

难度较小；利用导数研究函数的单调性、极值、最值多在选择题、填空题靠后的位置考查，难度中等偏上,

属综合性问题，解题时要灵活求解.

►知识梳理

【知识点1导数的运算的方法技巧】

1.导数的运算的方法技巧

(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.

(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.

(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.

【知识点2切线方程的求法】

1.求曲线“在"某点的切线方程的解题策略：

①求出函数y次0在x=xo处的导数，即曲线y=/(x)在点(xo於0))处切线的斜率；

②在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为ro+/Go)(X-Xo).

2.求曲线“过”某点的切线方程的解题通法：

①设出切点坐标?(xo加()))(不出现为)；

②利用切点坐标写出切线方程：y=/(xo)+/7(xo)(^-^o)；

③将已知条件代入②中的切线方程求解.

【知识点3导数中函数单调性问题的解题策略】

1.确定函数单调区间的步骤；

(1)确定函数於)的定义域；

⑵求於)；

(3)解不等式f(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间；

(4)解不等式f(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.

2.含参函数的单调性的解题策略：

(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.

(2)若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因

式分解，则需讨论判别式△的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内.

3.根据函数单调性求参数的一般思路：

(1)利用集合间的包含关系处理：尸危)在(。必上单调，则区间(。,6)是相应单调区间的子集.

(2依)为增(减)函数的充要条件是对任意的x€(a,6)都有小巨0(戊加0)，且在(。⑼内的任一非空子区间上,

/(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解.

(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.

【知识点4函数的极值与最值问题的解题思路】

1.运用导数求函数Kx)极值的一般步骤：

(1)确定函数作)的定义域；

(2)求导数/(X)；

⑶解方程了(x尸0,求出函数定义域内的所有根；

(4)列表检验/(x)在/(x)=0的根X。左右两侧值的符号；

(5)求出极值.

2.根据函数极值求参数的一般思路：

已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方

程组，利用待定系数法求解.

3.利用导数求函数最值的解题策略：

（1）利用导数求函数｛x）在可上的最值的一般步骤：

①求函数在（a,b）内的极值；

②求函数在区间端点处的函数值八°）,啊;

③将函数人x）的各极值与八.）,人6）比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.

（2）求函数在无穷区间（或开区间）上的最值的一般步骤：

求函数在无穷区间（或开区间）上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和

极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.

【知识点5导数的综合应用】

1.导数中函数的零点（方程的根）的求解策略

（1）利用导数研究方程根（函数零点）的技巧

①研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等.

②根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极（最）值的位置.

③利用数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现.

（2）已知函数零点个数求参数的常用方法

①分离参数法：首先分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，根据题设条件构建

关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围.

②分类讨论法：结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意,

将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围.

2.导数中恒成立、存在性问题的求解策略

恒成立（或存在性）问题常常运用分离参数法，转化为求具体函数的最值问题.

如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论，利用函数性质求解，常见的是利用函数

单调性求解函数的最大、最小值；当不能用分离参数法或借助于分类讨论解决问题时，还可以考虑利用函

数图象来求解，即利用数形结合思想解决恒成立（或存在性）问题，此时应先构造函数，结合函数图象，

利用导数来求解.

3.导数中的双变量问题

导数中的双变量问题往往以双参数不等式的形式呈现，要想解决双变量问题，就需要掌握破解双参数

不等式的方法：

一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的

不等式；

二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；

三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.

►举一反三

【题型1导数的运算】

【例1】（2024•湖北•一模）已知函数f（久）=9一r（1）居则（）

A./（1）=-fB.r⑴=-］

C.f（2）=e2-eD.f（2）=e2-e

【变式1-1］（2024•全国•模拟预测）已知函数久久）的定义域为R,若/（2久-1）+3,广（%-2）都是奇函数，且

「2025

广（1）=-2f（一1）,则乙=尸）=（）

A.6B.-9C.3D.-12

【变式1-2］（2024・山东,二模）已知f（x）为定义在R上的奇函数，设r（x）为/（久）的导函数，若/（%）=/（2-x）

+4x-4,贝，（2023）=（）

A.1B.-2023C.2D.2023

【变式1-3］（2024•山西晋中•模拟预测）已知函数/⑺=2%（比一2）（尤—22）（%_23）（＞—24）（x—25）Q—26）,则

尸（0）=（）

A.220B.221C.222D.223

【题型2函数的切线问题】

【例2】（202«江西景德镇・一模）过点4（0,1）且与曲线/。）=/+2尤-1相切的直线方程是（）

A.y-5x+1B.y=2x+l

C.y=%+1D.y=-2x+1

【变式2-1］（2024•山东•模拟预测）若过点（1即）可以作y=（x+1）9的三条切线，则实数小的取值范围是

（）

A.（-4e-2,0）B.（-6e-3,0）C.（-6e-3,2e）D.（e,2e）

【变式2-2］（2024•广东佛山•一模）若直线y=kx与曲线y=lnx+《相切，则/c=.

【变式2-3］（2024•四川成者B•模拟预测）己知函数丫=正的图象与函数y=aln久的图象在公共点处有相同的

切线，则公共点坐标为.

【题型3导数中函数的单调性问题】

【例3】（2024•黑龙江佳木斯•模拟预测）若函数久久）=32_3久-41nx,则函数久久）的单调递减区间为（）

A.(4,+oo)B.(0,1)C.(0,4)D.(1,4)

【变式3-1](2024•湖北•一模)已知函数/(%)=。%2_]口％+2%是减函数，则a的取值范围为()

A.(-oo/O]B.(-00,-1]C.(-ooj]D.(-00,-1]

、.IQ1

【变式3-2](2024•吉林长春•模拟预测)已知a=sin§力==3一"贝|()

A.c<b<aB.a<c<b

C.a<b<cD.b<a<c

(QX——%2+3a0V]<2

2

【变式3-3](2024・河南•模拟预测)若函数f(%)=|ex+£x2_2aA>2'在(。,+8)上单调递增，则实数

a的取值范围是()

A-[-f'e]B,[_p°]c-[_f-°]D-[-pf]

【题型4导数中函数的极值问题】

【例4】(2024•辽宁•模拟预测)已知函数f(x)=x•宇一c)2在“处有极大值,则c=()

A.1B.2C.3D.4

【变式4-1](2024・吉林•模拟预测)若函数/(x)=alnx+g-x既有极大值也有极小值，则实数a的取值范围

为()

A.(0,2旬B.(-co-2V3)U(2V3,+oo)

C.(—8,—2A/^)D.(2^/3^,+8)

【变式4-2](2024•陕西铜川•模拟预测)已知函数聂2一3一42恰有两个极值点，则。的取值范

围是()

A.[0,1]B.(0,1)C.[1,+oo)D.(1,+oo)

【变式4-31(2024•江西宜春•模拟预测)已知函数/'(久)=e*+e2f+a(x-l)2有3个极值点灯,尤2,刀3,则无i+

x2+x3=()

A.2aB.3aC.2D.3

【题型5导数中函数的最值问题】

【例5】(2024•陕西西安•二模)函数/(久)=品在[-3,3]上的最大值和最小值分别是()

【变式5-1](2024•陕西渭南•模拟预测)已知函数f(x)=xex+a在区间[0,1]上的最小值为1,则实数a的

值为()

A.-2B.2C.-1D.1

【变式5-2](2024•宁夏固原•一模)函数/(%)=5也%-(％+2)8$%-1在区间[0,2司上的最小值、最大值分别

为()

A.—2ir-3,H+1B.-2TC—3,—3C.-3,n+1D.-3,2

【变式5-3](2024•福建•三模)函数/(%)的定义域为(0,+8),r(x)为/(幻的导函数，满足2(〃>)+/)=乂

(广(久)+x),/(1)=-|，则/(%)的最小值为()

A.-eB.eC.—e2D.——

【题型6利用导数解不等式】

【例6】(2024•四川泸州•一模)已知函数/'(%)=e*+x,则满足/(久)>的x的取值范围是()

A.(—8,—1)B.(—8,1)C.(-1,+8)D.(1,+8)

【变式6-1](2024•吉林长春•一模)已知定义在(0,+8)上的函数/(久)/Q)是/(久)的导函数，满足x/

(x)-2/(x)<0,且/(2)=4,则不等式/(2，)—平>。的解集是()

A.(0,1)B.(0,2)C.(1,+8)D.(-oo,l)

【变式6-2](2024•广东佛山•一模)设尸(%)是函数f(x)的导数,/(l-x)+/(l+x)=0,f(2)=0,当x>1

时，>0,则使得/(尤)<0成立的x的取值范围是()

A.(0,1)U(1,2)B.(0,1)U(2,+oo)C.(-oo,0)U(1,2)D.(-00,0)U(2,+00)

【变式6-3](2024•海南海口•模拟预测)已知定义在[-3,3]上的函数/(久)=9一6一，-2%+1,若/(62)+/

(6-2)W2,则m的取值范围是()

A.[-2,1]B.[—1,2]

c.[-1,V3]D.[-1,1]

【题型7导数中的函数零点(方程根)问题】

【例7】(2024•黑龙江大庆•三模)已知函数f(x)=|ln久|-依-2有2个零点，则实数k的取值范围是()

A-(-e淄)B.[O,?C.(-1,0]u{1}D.(-e.0]U{±}

【变式7-1](2024•河北衡水•模拟预测)已知函数/(%)=ln%+l-a%有两个零点久1,久2，且％i<%2，则下列

命题正确的是()

2

A.a>1B.%i+%2

C.x1-x2<1D.次-

f13—2x|+l,x>0,「

【变式7-2]（2024・四川•模拟预测）已知函数/（%）=区县,xwo,若函数y=[/（为产一好（久）有5个不

Iexf—,

同的零点，贝la的取值范围是（）

A.（0,1]B.（1,4]C.（1,4）D.（1,+oo）

【变式7-3]（2024•四川南充・一模）已知函数/（*）=1nx—1+2卜m（0<小<3）有两个不同的零点灯，x2

（%1<X2），下列关于久1，%2的说法正确的有（）个

①爵<e2m②%1>高③谭<%2④%62>1

A.1B.2C.3D.4

【题型8导数中的不等式恒成立问题】

【例8】（2024•陕西铜川•模拟预测）已知函数/（%）=?—InQ—l）—Ina+1,若/（%）20对任意的％e（1,+8）

恒成立，贝M的取值范围是（）

A.(0,加B.(0,e]C.0卢D.(0,e2]

【变式8-1]（2024•河南•模拟预测）已知0,对任意的%>1,不等式e2双-（lne3）ln%>0恒成立，则实

数a的取值范围为（）

A.1,+8)B.2,+8)

C.[2e,+oo)D.[e,+8)

【变式8・2】（2024•陕西商洛•三模）已知4>0,对任意的久>1,不等式e2初—穿20恒成立，贝U的取值范

围为（）

A.[2e,+8)B.长，+8)C.[e,+8)D.2，+8)

13

【变式8-3]（2024•甘肃兰州•三模）已知函数/（%）=%,对于任意的xe（1,2],不等式/（合）+f

ex+l

t+1<1恒成立，则实数t的取值范围为（）

(%—l)2(x—6)

A.(1,+co)B.[-1,1]C.(-00,-1]D.(-00,-1)

【题型9导数中的能成立问题】

【例9】（2024•全国•模拟预测）若关于x的不等式（6-1）（11^+以）2m收一1在％69,1]内有解，则正实数a

的取值范围是（）

A.(0,2+21n2]B.住,e]c.(0,4]D,袅〕

LVe」

【变式9-1］（2024・重庆・模拟预测）已知函数/（%）=工,g（x）=axe-a。若存在句e（0,1）,久26（-8,0）使得

，（比1）=9（^2），则实数a的取值范围为（）

A.(—8,—2)B.(—2,—1)C.(―1,+oo)D.(0,+oo)

【变式9-2］（2024•吉林延边•一模）若对任意XE（e,+8）,存在实数九使得关于x的不等式In。-e）

+1>0成立，则实数a的最小值为.

【变式9-3］（2024•浙江•模拟预测）已知函数/（%）=2+2%2,=2m-lnx,若关于久的不等式/（%）4工g

（%）有解，则血的最小值是.

【题型10双变量问题】

【例10】（23-24高二下•福建福州•期末）已知居y为正实数，Inx+lny=^-x,则（）

A.x>yB.x<yC.%+y>1D.%+y<1

【变式10-1】（2024•四川广安•模拟预测）已知0<%<yVn,且eYsin%=e'siny,其中e为自然对数的底

数，则下列选项中一定成立的是（）

A.cosx+cosy<0B.cosx+cosy>0

C.cosx>sinyD.sin%>siny

【变式10-2］（23-24高二下•四川遂宁•期中）已知函数/'（%）=lnx,g（x）=/+1,若/（犯）=。（功），则久1一

久2的最小值为.

【变式10-3］（2024•湖南郴州•模拟预测）已知函数/⑺=聂2+（1一或式一比In*有两个极值点处,工2（>1<x2）,

则实数a的取值范围为；若3勺>x2,贝！|ln%i+lnx2+2a的最大值为.

►课后提升练（19题

一、单选题

1.（202+河南新乡・一模）函数/（久）=乂3-2^-1+5的图象在点（1）（1））处的切线方程是（）

A.y-5x—1B.y—x+\C.y——x+5D.y—x+3

2.（2024・山西吕梁•二模）已知可导函数/（x）的定义域为R/C-1）为奇函数，设9（%）是fO）的导函数，若

g（2x+l）为奇函数，且g（0）=：,则>kg（2k）=（

3.（2024•山东•模拟预测）“a21”是“函数/（久）=。2『之容打,n在R上单调递增''的（）

Ia人Lc।乙，人u

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

4.(2024・四川眉山・一模)若函数高节在x=2时取得极小值，则/(久)的极大值为()

13

A.-B.1C.PgD.e

e8

5.(2024•河北邯郸•模拟预测)已知f(x)在(1,+8)上单调递增，若f(x+l)为偶函数，a=f(e，，b=f

A.a>c>bB.a>b>cC.c>b>aD.c>a>b

o_|_y

6.(2024洞南・模拟预测)已知/0)=久3]11了:？贝!]/'(%+2)>/'(3%-2)的解集为()

A.(-3,3)B.C.(0,2)D.(0,1)

7.(2024•黑龙江大庆•一模)已知函数f(K)=21n久一ax+6-1,若对任意的％6(0,+8),/(%)<0,则匕一2a

的最大值为()

A.21n2-lB.3-21n2C.l-21n2D.21n2-3

8.(2024•湖南郴州•模拟预测)已知/(X)=meE-lnxO20),若/'(x)有两个零点，则实数小的取值范围为

()

A.(。，9B.(0,1)

Cg，+8)D.g,+8)

9.(2024・陕西安康•模拟预测)若存在xe(0,+8),使得不等式02/+久20数2+1112万成立，则实数a的取

值范围为()

A-£+8)B.匕，+8)C.(一8,1D.(―8,1

10.(2024•四川成都•模拟预测)已知函数/(%)=%3一%+1,则()

A./(乃有三个极值点B./(%)有三个零点

C.点(0,1)是曲线y=/(%)的对称中心D.直线y=2%是曲