2025年高考数学二轮复习：指数函数+对数函数+函数与方程（共8大考点）（原卷版）

专题04指数函数+对数函数+函数与方程

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考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢

重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺

难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升

提升专练：真题感知+精选专练，全面突破

O>题型聚焦------------------------------------------

【考点1］求指数（对数）型复合函数的单调区间

【考点2］根据指数（对数）型复合函数的单调性求参数

【考点3】求指数（对数）型复合函数的值域（最值）

【考点4］比较指数黑的大小

【考点5】由指数（对数）型复合函数的单调性解不等式

【考点6】零点个数问题

【考点7】零点代数和问题

【考点8］新定义问题

重点专攻-----------------------------------------

知识点1:指数函数的定义域与值域

1、定义域：

（1）指数函数了=1（。〉0且awl）的定义域为H

（2）y=afM（a>0且a丰1）的定义域与函数V=/（%）的定义域相同

（3）y=/（优）的定义域与函数y=7（%）的定义域不一定相同.

2、值域

（1）指数函数v=a\a>0且a手1）的值域为（0,+oo）

（2）求形如y=a/⑺的函数的值域，先求/（幻的值域，然后结合y=/（a〉0且awl）得性质确定

y=afM的值域

(3)求形如y=/(优)的值域，转化为先求f=a'(a>0且awl)的值域，再将f的取值范围代入函数

y=/«)中.

知识点2：对数函数的图象及其性质

函数y=a\a>0,且aw1)的图象和性质如下表:

知识点3：函数零点的概念

对于一般函数y=/(x),我们把使/(x)=0的实数x叫做函数y=/(%)的零点.

几何定义:函数y=/(%)的零点就是方程/(%)=0的实数解,也就是函数y=/(x)的图象与x轴的公共点

的横坐标.

这样：方程于(x)=0有实数解o函数y=于(X)有零点o函数y=/(x)的图象与%轴有公共点

知识点4：函数零点存在定理及其应用

1、函数零点存在定理

如果函数y=/(x)在区间［a,切上的图象是一条连续不断的曲线，且有/(a)/S)<0,那么函数y=/(x)

在区间(。/)内至少有一个零点，即存在cc(a,»,使得/(c)=0,这个c也就是方程/(x)=0的解.

提升专练------------------------------------------

，题型归纳

【考点11求指数(对数)型复合函数的单调区间

1.（2024•河北•三模）函数"无）=log02（l-炉）的递增区间为（）

A.（-1,0]B.（-1,1）C.[0,1）D.[0,4w）

2.（23-24高三上•广西桂林•阶段练习）函数/（x）T°gJf+2犬-3）的单调递增区间是（）

3

A.（-8,-3）B.（-00,-1）

C.（1,+8）D.（3,+00）

3.（2024高三•全国•专题练习）函数y=l°gj（-/+4无+12）的单调递减区间是（）

3

A.（-8,2）B.（2,+co）C.（-2,2）D.（-2,6）

4.（24-25高一上•江西宜春•阶段练习）函数y=log2（6+x-2x2）的一个单调递减区间是（）

【考点2]根据指数（对数）型复合函数的单调性求参数

1.（24-25高一上•重庆•阶段练习）设函数=3虫田在区间（0,2）上单调递减,则实数a的取值范围是（）

A.（-oo,0]B.[T,0）C.（0,4]D.[4,+co）

/]\x（a-x）

2.（24-25高三上•黑龙江哈尔滨•期中）已知函数L在区间（-1,0）上单调递增，则。的取值范

围是（）

A.[0,+oo）B.[-2,+oo）C.（-℃,0]D.（-oo,-2]

3.（24-25高一上•广东东莞•期中）已知函数/'（x）=ln（7+2"-f）在区间[fl]上单调递减，则。的取值

范围为（）

A.-1B.aN—1C.―3<aW—1D.——1

4.（2024•全国•模拟预测）已知函数=log/d一依2+*_2勾（°>。且。x1）在区间（1,+8）上单调递减,

则”的取值范围是（）

A.^0,—B.。（1，2]D.[2,+1»）

【考点3】指数（对数）型复合函数的值域（最值）

1.（2024•宁夏银川•二模）已知函数〃司=4。2--1,xe[0,3],则其值域为.

2.（23-24高一上•广东广州）已知函数/工一.*+1（-1v*V1,°>0且°r1）.

（1）若a=2,左=1,求函数/（尤）的值域；

（2）若Me[-2,2],%使成立，求a的取值范围.

3.（23-24高一上•吉林）设函数门＞）=履，-叱（〃＞0且，awl,JteR）,若〃x）是定义在R上的奇函

数且了⑴弓3

⑴求左和a的值；

⑵判断其单调性（无需证明），并求关于f的不等式/'⑵-1）＜/（产-4）成立时，实数f的取值范围；

（3）函数g（尤）=02*+。0一4/（尤）,xetl,2],求g（x）的值域.

4.（24-25高一上•江苏南京•阶段练习）已知函数/。）=1哂》（“＞。,且。Q，若函数/（无）在区间[L4]上的

最大值与最小值之和为2.

⑴求函数fM解析式，并求出关于x的不等式〃士：）＜1的解集；

（2）求函数g（x）=/（：）"（2尤），xe[1,4]的值域，并求出取得最值时对应的x的值.

5.（23-24高一上•湖北恩施•期末）已知函数"x）=1号为奇函数.

⑴解不等式〃X）＞去

⑵设函数g（x）=log2”g2；+〃7,若对任意的一”[2,4],总存在.”[0,1],使得8（石）=/伍）成立，求实

数机的取值范围.

【考点4］比较指数幕的大小

1.（2024•四川雅安•一模）下列不等式成立的是（）

23I-

A.B.log25<log412C.log73>y-D.

2.（2024•北京顺义•二模）已知。=log42,b=,c=/，则（）

A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

0

3.（2024•福建宁德•模拟预测）设。=1唱0.3,二=1叱4,c=0.4\则a,3c的大小关系为（）

2

A.a<b<cB.c>a>bC.b<c<aD.a<c<b

4.（2024・天津河北・二模）若。=3°5,。=108053,°=0.32,则a,b,。的大小关系为（）

A.b<a<cB.c<b<a

C.c<a<bD.b<c<a

【考点5］由指数（对数）型复合函数的单调性解不等式

1.（24-25高一上•河北石家庄•阶段练习）已知函数“xhlogzlEj+l；g（x）=-2z

⑴求证：〃尤）为奇函数；

（2）解关于x的不等式g（x）-g（2-x）W2x-2

⑶若2伞）-左Ng（x）恒成立，求实数上的取值范围;

2.（24-25高一上•福建福州•期中）已知定义域为R的函数7'（》）=■+6是奇函数，且/⑴=

⑴求实数6的值；

（2）试判断的单调性，并用定义证明；

⑶解关于x的不等式〃2x-3）+〃x-1）<0.

3.（24-25高一上•山东淄博•期中）已知定义域为R的函数〃司=展11是奇函数.

⑴求实数。的值.

⑵试判断的单调性(无需证明)，并求〃x)的值域.

(3)解关于x的不等式f(4，)+f(4-5x2，)<0.

4.(24-25高三上•河南•期中)已知函数/(x)=log2(七为奇函数.

⑴求a的值；

(2)求满足f(x)<log?(x+2)-log也x的x的取值范围.

5.(24-25高一上•江苏苏州•期中)已知函数无)是定义在R上的奇函数，g("是定义在R上的

偶函数，当尤20时，g(x)=x2+x+l.

⑴求/⑺和g(x)的解析式，并判断在区间(-2,2)上的单调性(胃事证明)；

⑵若对Vxe[T,2],都有g(〃尤))<g(logc),求实数机的取值集合.

6.(22-23高一上•湖南长沙•期末)已知/(x)=log。资(«>0,且。wl).

⑴求函数〃尤)的定义域；

(2)当(其中年(-1,1),且，为常数)时，f(x)是否存在最小值，如果存在，求出最小值；如果不

存在，请说明理由；

⑶当a>1时，求满足不等式〃x-2)+〃4-3x)>0的实数x的取值范围.

【考点6]零点个数问题

1.(2024•全国•模拟预测)已知函数"%)=『:一;晒二。(0<“<1),函数g(x)=/(〃尤))一/(尤)一1,

则函数g(x)的零点个数为()

A.1B.2C.3D.4

2.(2024•广东湛江•一模)函数〃x)=lg(x+l)-,零点的个数为()

X

A.0B.1C.2D.3

【考点7】零点代数和问题

1.(2024・贵州六盘水•模拟预测)已知函数f(x)=2'+x,g(%)=log2x+x,/z(x)=%3+%的零点分另|J为a,b,

c,贝1)a+b+c=()

A.0B.2C.4D.6

2X+a,x<0,

2.(2024•广东珠海•一模)已知函数〃x)=log](尤+l)+a,x>o,(aeR)在R上没有零点，则实数a的取值

、2

范围是()

A.(fT)U｛。｝B.C.(-l,+oo)D.(0,+oo)

3.(2024•四川绵阳•一模)已知函数/(x)=|ln|x+2||-加，山为正的常数，则/(x)的零点之和为.

4.(2024•天津红桥•一模)设函数/(x)=11°g£T"'：C,若/(幻=4有四个实数根

[(x-4)2,x>3

1/\1

且％1<当<%4，贝!)^(玉+%4)再十不的取值范围.

5.(2024•河南•模拟预测)已知。＞1,函数f(x)=aAi+x-3,g(x)=logttx+x-2.

(1)若/(Xo)=g(xo)=—1，求/的值；

(2)若%,马分别为f(尤),g(x)的零点，求占+%的值.

6.(2024•河南•模拟预测)设a>0且awl,函数f(x)=log"(x—l),g(x)=log“(2x+f)QeR).

⑴当f=l时，求不等式2〃x)Vg(x)的解集；

⑵若函数"(x)=a/(x)+4+2f+2在区间(1,3］上有零点，求f的取值范围.

【考点8］新定义问题

1.(2024•上海•二模)对于函数f(x),若在定义域内存在实数%,满足/(-%)=-/(%),则称/(X)为"”类

函数

⑴已知函数"x)=2cos，-1］,试判断/(x)是否为类函数”？并说明理由；

(2)设/W=4T-m--3是定义域R上的"M类函数"，求实数m的取值范围；

⑶若“尤)=卜为其定义域上的类函数"，求实数"7取值范围.

-2,%<3

2.(2024高三・全国•专题练习)已知函数和g(x)的定义域分别为2和2,若对任意的尤…A都存在

〃个不同的实数看,程不，…/eA，使得g(G"(豌))(其中i=l,2,3,…",〃eN+),则称g(同为/(x)的“"

重覆盖函数

⑴试判断g（x）=|玳-2VXV2）是否为〃x）=l+sinx（xeR）的“2重覆盖函数”？请说明理由；

-1

（2）求证：g（%）=cosx（0<x<4兀）是f（x）=1^（%eR）的,4重覆盖函数〃；

+

（3）若g（尤）=H丁色二3）x+LxV1为/（%）=logj|^1的”重覆盖函数"，求实数0的取值范围.

[log2X,X>1]2+1

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一、单选题

1.（2024•贵州六盘水•模拟预测）声强级乙（单位：dB）由公式4=101g看给出，其中/为声强（单位:

W/m2）,若某人交谈时的声强级为60dB,则其声强约为（）

A.1018W/m2B.106W/m2

C.10^W/m2D.10-72W/m2

2.（2024•四川宜宾•一模）下列函数中，既是奇函数，又（。,+”）在是增函数的是（）

A./（x）=ex+e-xB./（x）=ex-e-xC.f（x）-x~3D.f（x）=xin\x\

x2-lax+a,x<0

3.（2024・湖南郴州•模拟预测）已知函数/（尤）=1在R上单调递减，贝！I”的取值范围是（）

——ln（x+l）,x>0

lex

A.（-8,0]B.[-1,0]

C.[-1,1]D.[1,4w）

4.（2024•广东湛江•一模）函数,/'（力=坨（犬+1）-1零点的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

5.（2024•吉林•模拟预测）已知3"'=4,4m-fl=4,2m-b=2,则下列说法正确的是（）

A.a<bB.a>b

C.a=bD.a=—b

6.（2024•四川眉山•一模）若。=1呜9口，4=1*02,。=4叫则（）

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.a>c>b

7.（2024•全国•模拟预测）已知函数〃力=/0，记a=〃log32）S=〃log53）・c=〃log75）,则（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a

8.（2024•江西景德镇•一模）函数/（x）的定义域为R,/（2x+l）是奇函数，x>l/（%）=log2（2^-1）,

则/（x）N0的解集是（）

A.[0』）u[2,+s）B.[0,l]u[2,+a>）

C.（-00,0）32,+8）D.（-oo,0]u[2,+oo）

9.（2024•河北石家庄•模拟预测）已知函数/（x）为定义在R上的奇函数，且在[0,行）上单调递减，满足

/（log?«）-/dogi«）<2/（3）,则实数a的取值范围为（）

2

A.（0，BB.1,8C.（0,8]D.[8,+co）

10.（2024•宁夏•模拟预测）已知定义在R上的奇函数“幻满足：/（x）=/（x-6）,且当0。43时，

/、Q+lOgn/x+1）,0<X<1

〃x）=/槃,不（“为常数），贝！1/（z2。23）+/（2025）的值为（）

A.-2B.0C.1D.2

二、多选题

11.（2024•陕西宝鸡•二模）已知函数〃x）=lnx+ln（2-x）,则（）

A./（x）在（0,1）单调递增B.y=f（尤）的图象关于点（1,0）对称

C.y=f（M）的图象关于直线尤=1对称D.函数有两个零点

12.（2024•贵州铜仁•模拟预测）设/（X）是定义在R上的偶函数，且对于VxeR恒有/（x+2）=/（x）,已

知当xe[0,l]时，〃x）=2i,则下列判断正确的是（）

A.〃x）的周期是2

B.在。,2）上递减，在（2,3）上递增

C.f（x）的最大值是2,最小值是1

D.当xe（3,4）时,f（x）=T-3

13.（24-25高三上•贵州六盘水•阶段练习）已知函数/（x）的定义域为R,且〃x）=〃2-x）,〃x+2）的

图象关于（0,0）对称.当了W0』时，〃x）=ae*+b,若〃2）+/（3）=l-e,则下列说法正确的是（）

A.的周期为4B.〃尤）的图象关于（4,0）对称

C.”2025）=1—eD.当xe（l,2]时，〃力=j1一1

三、填空题

[ox-2,x<2,/、

14.（2024•四川泸州•一模）已知函数〃zx）x=,对任意实数左，方程〃力=左有解，则。的取

IIVJg’vA/,乙

值范围是.

/、{-X+4,x<3,

15.（2024•内蒙古赤峰•三模）已知函数/%=,°（a>0且awl）,若>=/（尤）有最小值，

[log。刘x>3

则实数a的取值范围是.

x<2

16.（2024•广东广州•三模）函数〃x）=";二”，，其中。>0且。*1,若函数是单调函数，则a

依2-13x+31,尤>2

的一个可能取