2025年高考数学二轮复习重点突破：平面向量（含解析）

专题四平面向量

2025年高考数学二轮复习典型考点重点突破

►典例分析I

考查方式

平面向量在高考中更注重基础，时有创新.平面向量以选择题、填空题为主，主要考查平

面向量的基本概念、线性运算、数量积，其中平面向量的线性运算、数量积、向量共线、向量

垂直、向量的模及向量的夹角问题是重点和热点，平面向量大多单独考查，有时也出现平面向

量与其他知识的交汇问题，或以平面向量为载体的综合探究题.

高考真题

1.[2022年新高考H卷]已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若〈a,c〉=〈瓦c〉，则/=()

A.-6B.-5C.5D.6

2.[2024年新课标H卷]已知向量a,8满足|a|=l,|a+2分|=2,且(万-2a)，5,则|切=()

A.-B.—C.—D.1

222

3.[2022年新高考I卷]在△ABC中，点。在边AB上，2ZM.记而=m，E=〃，则无=

()

A.3m—2nB.-2m+3nC.3m+2nD.2m+3n

4.[2024年新课标I卷]已知向量a=(0,1),5=(2,x),若万，(〃—4a),则x=()

A.-2B.-lC.lD.2

5.[2023年新课标I卷]已知向量a=(1,1),8=(1,—1).若(a+几㈤，(a+〃①，则()

A.X+〃=lB.2+//=—1C.X//=1D.2//=—1

6.[2023年新课标H卷]已知向量a,〃满足|a-。|=/，|a+6|=|2a-万|,则|〃|=

参考答案

1.答案：C

解析：c=(3+f,4),cos〈a,c〉=cos〈),c〉，即9+3.+16=亘2,解得/"=5,故选C.

51cl|c|

2.答案：B

解析：由S—2«)_L，,得(b-2a)b=b2-2ab=0,所以1=2«小.将|a+2)|=2的两边同时平

方，得/+4«小+4)2=4,即1+2/+4"=1+6防|2=4,解得|〃|2=g,所以|。|=乎，故选

B.

3.答案：B

解析：如图，因为点。在边A3上，BD=2DA,所以

CB=CA+AB=CA+3AD=CA+3(CD-CA)=-2CA+3CD=-2m+3n,故选B.

解析：解法一：因为：_LS-4a),所以尻S—4a)=0,即加=4a•瓦因为a=(0,l),b=(2,x),

所以〃=4+%2,ab=x,得4+/=4X,所以(x-21=0,解得％=2,故选D.

解法二：因为。=(0,1),5=(2,x),所以8—4。=(2,%)—4(0,1)=(2,%)—(0,4)=(2,%—4).因为

bl(b-4a),所以—4。)=0,所以2x2+x(x—4)=0,所以(x—2了=0,解得％=2,故选

D.

5.答案：D

解析：因为a=(1,1)>b=(1,-1)；所以a+Ab=(1+2,1-A),a+/nb=(1+//,1—//),因为

(a+Ab)±(a+jub),所以++=0,所以(l+/l)(l+〃)+(l—2)(1—4)=0,整理得

初=-1.故选D.

6.答案：V3

解析：由|a—切=百，得2a1+》2=3,即2a小="+"—3①.由卜+同=|2a—引，得

a2+2ab+b2=4a2-4ab+b2,整理得，3a2-6ab=0,结合①，得3a?—3(片+/—3)=0,

整理得，白=3,所以|。|=百.

1.在矩形ABCD中，脚=也，BC=1,则向量通+而+/的长度等于()

A.4B.2月C.3D.2

2.已知向量a=(m,3),8=(1,m).若a与方反向共线，则|a-岛|的值为()

A.OB.48C.44D.3V6

3.在△ABC中，点P在上，且诙=2定，点Q是AC的中点，若两=(4,3)，迎=(1,5)，

则成等于()

A.(-2,7)B.(-6,21)C.(2,-7)D.(6,-21)

4.已知向量a,4满足|a|=l,|a+2川=2,且(A—2a)，5,则|川=()

cdi

A4B.辛4

5.已知点4(2,3),5(5,4),C(7,10),若衣=分+2才6(/1wR),点当尸在第一、三象限的角

平分线上时，2的值为()

A.lB.2C.-D.-

32

i+2b\=@,|a—5|=乎，则〈a,力=()

6.已知向量a,b满足|a|=1,\a

AtB.史C-D.0

2433

7.已知A,3,C是平面内不共线的三个点.若荏+恁=2+,4G(0,+oo),则△ABC

一定是()

A.直角(非等腰)三角形B.等腰三角形

C.等边三角形D.锐角(非等腰)三角形

8.若｛a,⑶是一组基底，向量＞=xa+y/(x,yeR),则称(x,y)为向量〉在基底｛a/｝下的坐

标.现已知向量a在基底p=(1,-1)，q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则a在另一组基底m,

〃=(1,2)下的坐标为()

A.(2,0)B.(0,-2)C.(-2,0)D.(0,2)

9.在△AB。中，M是BC的中点，A〃=1，点P在AM上且满足Q=2而，则可•(而+定)

等于()

A.-lB.-lC.-D.-

9339

10.我国东汉末年数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后

人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，

如图所示.在“赵爽弦图”中，若配=a,BA=b,BE=3EF,则丽=(

B

A.旦+4B.旦+与C.-a+-bD.-a+-b

252525255555

11.在△ABC中，ZBAC,ZABC,NACB所对的边分别为a,4°,若8=c=4,ZBAC=120°,

且。是BC边上的动点(不含端点)，则(万5+丽)•(万5+配)的取值范围是()

A.[-8,10)B.[-16,40)C.[-8,40)D.[-16,48)

12.已知△ABC中，AB=AC=2百，BQ=2QA,IAB+2BC|=3(2eR),

min

__,__,__i9__►

AP=2//AB+（1-//）AC,-<//<-,贝Ui①|的最小值为（）

2^21J291

A.3B.5C.——D.-

33

13.（多选）设a,力是两个非零向量.若方，（a-㈤，则下列结论正确的是（）

A.ab=\b\2B.\aHa-2b\

C.a在8上的投影向量为〃D.cos〈a,力=—

㈤

14.(多选)已知AB=(2,1),AC=(-1,1),AD=(1,//),则()

A.CB+DC=(2-l,l-zz)

-».1

B.^ABIIAD,则2=2,u=-

2

C.若点A是3。的中点，则3,C两点重合

D.若点3,C,。共线，则〃=1

15.（多选）如图，在△ABC中，BD=-BC,AE=-AC,AD与BE交于点R则下列说法

32

正确的是（）

A.AD=-AB+-ACB.\BF\=^\BE\

33

rV-V—1-3D.AF+2BF+CF=0

16.已知m=(—1,32+2),w=(-2,-1-22),若加//〃，则实数2的值为.

17.设点。在△ABC的内部，D,E分别为边AC,3c的中点，且|赤+2西|=1,则

\pA+2OB+3OC|=.

18.如图，A,B,C,。为平面内的四个点，BC=AB+AD，E为线段3c的中点，若

DE=XDA+piDC则2+〃二

19.已知平面单位向量C],e2,满足Re1-e21K夜.设。=©i+02，&=3^1+e2,向量a,6的夹角

为6,则cos?。的最小值是.

20.如图，在矩形ABCD中，M,N分别为线段BC,CD的中点，^MN=\AM+\BN,4,

%eR,则4+4的值为.

21.已知在平面直角坐标系中，点A(0,2),B(Z,1)(?>0),\AB\=45.

(1)求f的值；

(2)若点P,Q满足而=(3,2),OQ^xOA+[^-^OP,。为坐标原点，求|丽|的最小值.

22.如图，在平行四边形ABCD中，AP±BD,垂足为P.

(1)若Q•*=8,求AP的长；

(2)设|颔|=6,|*|=8,ZSAC=1,AP=xAB+yAC,求y—x的值.

23.已知向量(2/M+n)a+(m+〃)b以｛et,e2j为基底的分解式为2e1+e2,其中a=e1+e2,

b=e1-e2.

(1)求根，n的值；

(2)若c=(2根+〃)a+(根+〃)办，且。〃(。+助)，求实数攵的值.

24.如图，在△ABC中，AD是3c边上的中线.

(1)取3。的中点“，试用通和元表示丽.

(2)若G是AD上一点，且恁=2超，直线ER过点G,交A3于点E,交AC于点R若荏=彳丽,

AF=/nAC(2>0,〃>0),求2+〃的最小值.

25.如图，在矩形ABCD中，E是3C的中点，点R在边CD上.

(1)若AB=5C=2,R是边CD上靠近C的三等分点，求题•函的值;

⑵若AB=区BC=2,当理•乔=0时，求CT的长.

答案以及解析

1.答案：A

解析：在矩形ABC。中，由网=百，的=1可得时|=2,又因为荏+砺=工，故

AB+AD+AC=2AC,故国+通+罔=4,故选：A.

2.答案：C

解析：由题意得M=3,解得根=+y/3，又a■与b反向共线,故加=-A/3,此时a-y/3b=(-2^/3,6),

故|a-其1=46.故选C.

3.答案：B

解析：点。是AC的中点，.•.迎=1■(两+定)，.•.定=29—丽，•.•丽=(4,3)，丽=(1,5)，

/.PC=(-2,7)-BP=2PC>.-.BC=3PC=(-6,21).

4.答案：B

解析：由S—2a)_L，,^(b-2a)b=b2-2ab=0,所以1=2a6.将|a+2川=2的两边同时平

方，得/+4«小+4/=4,即1+2/+4笊=1+6|加2=4,解得=所以|切=乎，故选

B.

5.答案：D

解析：设点P的坐标为(x,y),则Q=(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3),

AP=AB+2AC=[(5,4)-(2,3)]+2[(7,10)-(2,3)]=(3+52,1+7/1),

/-2=3+5X=x=5+54又点。在第一、三象限的角平分线上，%即5+5丸=4+72，

y-3=1+74[y=4+7/l,

解得;l=L故选：D.

2

6.答案：D

解析：由题可得|。+2〃|2=4+4。必+4/=1+4。1+4|〃|2=7①，

\a-b\^=a2-2ab+b2=l-2ab+\b\1=—@,①②两式联立得a•5=—二，\b\=-,

442

d.I)1271、

...cos〈a,b)=p-7|—।=——，而〈a,办〉£[0,兀]，(a,b)=一.故选D.

m\b\23

7.答案：B

解析：^AP=AB+AC,则根据平行四边形法则知，点尸在边上的中线所在的直线上.设

ABAC

AE=，AF=,它们都是单位向量.由平行四边形法则，知点也在的平分线上,

帝PNA

所以△ABC一定是等腰三角形，不能确定是等边三角形.故选B.

8.答案：D

解析：因为a在基底｛p,g｝下的坐标为(—2,2),所以a=—2p+2q=—2(1,—1)+2(2/)=(2,4).

__TL*|-----O-y---

^-a-xm+yn=(-x+y,x+2y),所以<‘解得<'所以a在基底｛S〃｝下的坐标为

x+2y=4,[y=2,

(0,2).

9.答案：A

解析：因为M是的中点，所以方+定=2丽，

又因为点P在4W上且满足而=2可7，AM=1＞所以闸=g，|百囱=；，

所以可•（通+定）=2丽.丽=2|丽，丽kos7i=_2xgxg=—

故选：A.

10.答案:B

解析：因为“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，且

BC=a,BA=b,BE=3EF,所以丽=加+瓯=豆弓+―丽=届+―（丽+丽）

44

^BC+-\--BF+BA]^BC--BF+-BA,解得丽=竺元+竺函，所以而=史.+竺瓦

4（4）16425252525

故选B.

n.答案：c

解析：以3C所在直线为x轴，3c的中垂线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系,

4

A

B0DC%

因为/7=C=4,NB4C=120°,

所以A(0,2),8(—2百,0),C(2A/3,0),设。(x,0),xe(—26,2石)，

则次=(—x,2),DB=(-2^-x,0),加=(26—x,0),

所以(/+加)•(市+DC)=(―2百-2x,2)•(20-2x,2)=4x2-8,

因为xe(-20,20),所以4f_8e[-8,40),所以(方+丽)•(方+0)的取值范围是[-8,40).

故选C.

12.答案：C

解析：设点。为3c上的一点，^BO=ABC,U\iAB+ABC=AB+W=Ad,当时，

I近I取最小值3,此时根据勾股定理可得50=OC=6，由此可知△ABC为等边三角形，当

点。为BC的中点时建立如图所示的平面直角坐标系，

则有A(0,3),B(-AO),C(V3,0),所以通=(-6,-3),AC=(V3,-3),所以

2〃通=(-2®,-6〃)，(1-〃近=(®-)),所以

AP=2juAB+(1-/7)AC=(^-3岛,-3〃-3),故P(#)-3岛,-3〃).

因为题=29，所以Q-—,2,则而—迪,3〃+2,

、3J13?

IPQ\=卜®-畏+(3〃+2)2:(6①：］.

因为:<〃<1，所以当〃=:时।可।取最小值，।而扁=安.故选c

13.答案：ABC

解析:因为：所以》•("+》)=»。一"=0,所以e〃=Z>2=防|2,所以选项A正确；

因为如》=|〃『，所以/=1-4°・万+4",所以|”|=卜-2可，所以选项B正确；a在8上的投

影向量为回空也2力=R〃=人所以选项c正确；由向量数量积的定义可知，

所以〈〉=牌，所以选项错误.故选

a-b=\a\\b\cos(a,b)=|b|2cosa,Z»DABC.

14.答案：ACD

解析：因为谡=(九1),AC=(-1,1),15=(1,//),所以

CB+DC=DB=AB-AD=(2,1)-(1,//)=(2-1,1-//),A正确；

因为而〃而，所以切―1=0,所以〃/=1,取2=3,贝1]〃=；,

B不正确；

因为点A是加的中点，所以通+亚=(41)+(1,〃)=(0,0),即2=—1,〃=—1,从而有

BC=AC-AB=(-1,1)-(-1,1)=(0,0),所以3,C两点重合，C正确；

因为点3,C,。共线，所以存在实数/,使得

AD=(1,/z)=tAB+(1—?)AC=Z(A,1)+(1—?)(—1,1)=(^tA+Z—1,1),所以〃=1,D正确.

综上所述，正确选项为ACD.

15.答案:BCD

__k,1____________k1__,__k2__.i__,

解析：AD=AB+BD=AB+-BC=AB+-(AC-AB)=-AB+-AC,故A错误；

3333

因为3,F,E三点共线，所以存在实数2WAF=2AB+(1-2)AE=2AB+-^AC,

因为A,E。三点共线，所以存在实数〃WAF=Z/AD=—AB+-AC,从而有＜

33fl1-A

.丁丁"

9，___,1___1_______k___»1___k

解得12即^—通+—亚，所以R为3E的中点，从而有|而|=—|3E|,故B正确;

3222

c_e_c=J-q_J_V=_c_J.c=1q

Q^BFD-Q^ABD°AABF_2△ABC2^ABE~AABC°AABC~^ABC

c=J_q_J_vAv__c

94NFE~2AASE_22AASC_4△ABC

所以SABFO：£AFE=1：3，故C正确；取A3的中点G,3c的中点H,连接GH,如图，则G,

F,H三点共线,

=-[(FA+FB)+(FB+FC)]=-(2FG+2FH)=-(EA+EC)=O,故D正确.故选BCD.

16.答案：-1或-1

3

解析：因为m=(—1,32+2),w=(-2,-1-22),mlIn.

所以22+l+〃3；l+2)=0,即3%+42+1=0,解得；[=_1或X=.故实数九的值为/或—1.

33

17.答案：2

解析：如图所示，易知

\OA+2OB+3OC\=^OA+OC+2(OB+OC)\=^2OD+4O^=2\pD+2O^=2.

A

C

BE

18.答案：-/1.25

4

解析：因为祝^荏+而，§PAC-AB=AB+AD＞所以2分=反­

又E为线段3C的中点，所以

DE^-DC+-DB^-DC+~(DA+AB]^-DC+-DA+-(-DC]=~DC+-DA,所以/,

2222、'222(2J422

//=—»则2+〃=1+2=3

4244

故答案为：-

4

19.答案：—

29

b-a

a=6+电，

解析:由题可知＜~T,

b=3«]+e23a-b

2

b-a

2

传-a|=2,2a5+/=4,①

3a-b

从而＜=<13«—61=2,u><9a2-6a•Z>+r=4,②

2—

J3b—5a|<27225a2-30a-Z>+9Z»2<8,(1)

<A/2

a-b=2a2,@

由①②可得＜

r=4+3。2,⑤

代入③可得

2

所以COS282上,故cos?。的最小值为二.

2929

20.答案：j

解析：因为M,N分别为线段BC,的中点,

所以加=工加=工（M—荏）=!击—工通，

22、'22

AM=AB+BM=AB+-AD,

2

BN=BC+CN=AD--AB,

2

1£

所以胸=4画？+4丽=4+—+4

22

=r4+h4+

,1,1

4---42=---

所以2_2,解得.一1

—4+尢=—

〔2(*2

132

所以4+丸2————

所以4+4的值为

故答案为：

21.答案：(1)t=2

G5而

\Z7-----

26

解析：(1)由题意得通=9—1),则|瓯="+(_1)2=也,

解得，=±2.因为/>0,所以，=2.

(2)由题意得而;而—砺，则赤=赤+砺=(3,2)+(2,1)=(5,3),

所以诙:疝十OP=(0,2x)+f|-5x,|-3xg—5x[—x

2

|=26f—28x+-=261x

则I而|2=《—5xI+j-x1+ti-ii,

所以I诙住坐1,

26

即。。的最小值为呼.

22.答案:(1)2

⑵-

7

解析：(1)•.•在平行四边形ABCD中，AP±BD,垂足为P,

:.APAC=AP-2Ad=2AP(<AP+PO^=2APAP+0=8,

.-.(AP)2=|AP|2=4,

解得|Q|=2,故AP长为2.

(2)-.■AP=xAB+yAC=xAB+2yAd,且3,P,。三点共线，

x+2y=1①，

又•.•网=6,时,8,ZBAC=|,

则荏.而=—|zdcosZJBAC=12,

由AP,BD可知Q.丽=卜通+—豆)=0,

22

展开2y而-xAB+(x-2y)AB-AO=0,化简得到y=3%②，

联立①②解得X=Ly,故y-%=2.

777

m=1,

23.答案：(1)1

n=——

[2

⑵k=-

3

解析：(1)由题得(2r+〃)。+伽1+〃»=(2加+〃)3+4)+(加+〃)("一电)

=(3m+2〃)C]+me2=2e1+e2,

m=

nlf3m+2n=2,_ZB\^

则I斛得(1

II2

3i

(2)由(1)=(2m+n)a+(m+n)b=—a+—b.

22

由c11(a+kb),设。=2(a+GR),

31