2025年高考数学二轮复习专练：函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性【九大题型】讲义（解析版）

专题2.3函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性【九大题型】

【新高考专用】

1、函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性

本节是高考的重点、热点内容，函数的单调性、奇偶性、周期性是高考的必考内容，从近几年的高考

情况来看，重点关注单调性、奇偶性结合在一起，与函数图象、函数零点和不等式相结合进行考查，解题

时要充分运用转化思想和数形结合思想.对于选择题和填空题部分，重点考查基本初等函数的单调性，利用

性质判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等，难度较小；对于解答题部分，一般与导数结合,

综合性强，考查难度较大.

►知识梳理

【知识点1函数的单调性与最值的求法】

1.求函数的单调区间

求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.

2.函数单调性的判断

(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.

(2)函数产放㈤)的单调性应根据外层函数片/⑺和内层函数片g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的

原则.

3.求函数最值的三种基本方法：

(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.

(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.

(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.

4.复杂函数求最值：

对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.

【知识点2函数的奇偶性及其应用】

1.函数奇偶性的判断

判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：

(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；

(2)判断加)与人.)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系

式如)犷*)=0(奇函数)或加乂㈤或偶函数))是否成立.

2.函数奇偶性的应用

(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的

函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.

(2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.

3.常见奇偶性函数模型

(1)奇函数：

①函数/(x)=+1)&W0)或函数/'(x)=m(-~-).

a-]a+\

②函数〃幻=±(优一G').

③函数=log“叶巴=log”(1+2^)或函数=log“三&=log,(1一-—)

x—mx—mx+mx+m

④函数/(x)=loga(Jx2+1+x)或函数f(x)=log,,(7x2+1-x).

(2)偶函数:

①函数〃x)=±3'+L).

②函数/(x)=log.(*+1)号.

③函数/(|x|)类型的一切函数.

④常数函数.

【知识点3函数的周期性与对称性常用结论】

1.函数的周期性常用结论("是不为0的常数)

(1)若/(x+a)=/(x),贝Ur=a；

(2)若/(X+QA/(X・Q),则T=2a；

(3)若加+4尸十%),贝!jT=2a；

(4)若於+Q尸f(/),贝！jT=2a；

(5)若人x+a尸-f(1),则T=2a；

(6)若於+。)或什6),贝!jT=\a-b\(a^b);

2.对称性的三个常用结论

(1)若函数外)满足/(a+xA/S-x),则y/x)的图象关于直线工=对称.

(2)若函数/(%)满足则产/⑴的图象关于点(“；°,0卜寸称.

(3)若函数段)满足/(Q+x)t/(b-X)=c,则广於)的图象关于点2对称.

►举一反三

【题型1函数单调性的判断及单调区间的求解】

【例1】(2024•全国•模拟预测)下列函数中，在区间(0,+8)上是减函数的是()

A.y=—3%+2B.y=x3C.y=x2—1D.y=—1

【解题思路】用函数单调性定义可判断得结果.

【解答过程】选项A：任取％1>%2>0，则yi-丫2=(-3%1+2)-(-3%2+2)=3(%2一第1)，

又%2-％1<0，所以、1一、2<0，即、1<力，所以函数y=-3%+2在(0,+8)为减函数，故A正确；

xxxxf

选项B:任取汽1>X2>0,则yi-y2=xf-X2=(%1-x2)(l+l2+2)

又无1-％2>0,靖+久2+的>0，所以丫1一丫2>0，即乃,丫2，所以函数y=%3在(0,+8)为增函数，故

B错误；

选项C:任取%1>%2>0，则yi-丫2=(X1-1)-(妗-1)=%1-%2=(久1一式2)(%1+%2)，

又无1-久2>0，%1+%2>0，所以月一丫2>0，即所以函数y=久2-1在(0,+8)为增函数，故c

错误；

选项D:任取第1>久2>。，则为一丫2=(-/)一(一e)二5潦，

又％1-久2>>。，所以丫1一丫2>。，即丫1>丫2，所以函数y=-[在(0,+8)为增函数，故D错误；

故选：A.

【变式1-1](2024•海南海口•模拟预测)函数/(%)=/-4因+3的单调递减区间是()

A.(-oo,-2)B.(-8,-2)和(0,2)

C.(-2,2)D.(一2,0)和(2,+8)

【解题思路】将绝对值函数转化成分段函数，由二次函数的性质即可求

%2—4%+3,%>0

【解答过程】/(%)=x2-4|x|+3=

.%2+4%+3,x<0

则由二次函数的性质知，当》20时，y=炉一4久+3=0-2)2-1的单调递减区间为(0,2)；

当x<0,y=/+4%+3=(尤+2)2—1的单调递减区间为(—8,—2),

故f(x)的单调递减区间是(一8,-2)和(0,2).

故选：B.

【变式1-2](24-25高一上•北京丰台•期中)下列函数中，在区间(-8,0)上单调递减的是()

1

A.f(x)=xB.f(x)=--

C./(x)=/+2久D./(x)=\x\

【解题思路】根据一次函数，二次函数，反比例函数，绝对值函数及单调性定义判断.

【解答过程】在(—8,0)上，f(x)=x是增函数，/(x)=—§是增函数，

/(%)-x2+2x在(-8,-1)上是减函数，在(一1,0)上是增函数，

久V0时，/(%)=|x|=-%是减函数，

故选：D.

【变式1-3](2024•江西•二模)已知函数/(久)若/⑷=f(a+3),则g(x)=收+%的单

vI3,<U,

调递增区间为()

A.&+8)B,(-83)

c.(|,+co)D.(一吗)

【解题思路】先根据题目条件求出a的值，再根据二次函数的性质求出g(x)的单调递增区间

【解答过程】解：依题意，卜+3：(匕+22-2,解得故9(无)=一比2+刈可知g(x)在(―上单

调递增，

故选：D.

【题型2利用函数的单调性求参数】

【例2】(2024•广东揭阳•二模)已知函数/(X)=-/+0久+1在⑵6)上不单调，则a的取值范围为()

A.(2,6)B.(—oo,2]U[6,+oo)

C.(4,12)D.(—00,4]U[12,+oo)

【解题思路】根据给定条件，利用二次函数的单调性列出不等式求解即得.

【解答过程】函数/(%)=—/+ax+1的图象对称轴为尤=会依题意，2<三6,得4<a<12,

所以a的取值范围为(4,12).

故选：C.

【变式2-1](2024•全国•模拟预测)若函数-%)=4|x-a|+3在区间[1,+8)上不单调，则a的取值范围

是()

A.[1,+oo)B.(1,+oo)

C.(—01)D.(—8,1]

【解题思路】先分析/0)的单调性，再列不等式即可求解.

【解答过程】因为函数/Xx)=4|%-a|+3在(一8,a)上单调递减，在(a,+8)上单调递增.

又函数/(x)在区间口,+8)上不单调，所以a>l,

故选：B.

【变式2-2](2024•天津河北一模)设aCR,贝！|“a>-2”是“函数人久)=2/+4a久+1在(2,+oo)上单调

递增”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解题思路】根据题意，由二次函数的对称轴和函数的单调性的关系以及充分性与必要性的应用，即可得

到结果.

【解答过程】函数/(x)=2x2+4ax+1的对称轴为％=-a,

由函数f(x)=2x2+4ax+1在(2,+8)上单调递增可得—a<2,即a>-2,

所以“a>-2”是“函数/(X)=2x2+4ax+1在(2,+8)上单调递增”的充分不必要条件.

故选：A.

2

x+2ax+4,%<1,r]、

1X>1是卜g+8)上的

X'

减函数，则a的取值范围是()

A.[-1,一厅B.(—oo,-1]

C.[-1,-0D.(-oo,-1)

【解题思路】首先分析知，X>1,函数单调递减，贝也应为减函数，同时注意分界点处的纵坐标大小

关系即可列出不等式组，解出即可.

【解答过程】显然当X>1时，/(%)=(为单调减函数，f(x)<f⑴=1

当％41时，/(x)=—x2+2ax+4,则对称轴为工就五=a,/l)=2a+3

若/(比)是［一3+8)上减函数，则a<-|解得a6［一L-3卜

2a+3>1

故选：A.

【题型3函数的最值问题】

【例3】(202牛安徽淮北二模)当实数£变化时，函数/0)=|X2+6，X6［-4,4］最大值的最小值为()

A.2B.4C.6D.8

【解题思路】先对内函数y=x2+t对应的方程的根的情况分类讨论，得出t>0时，结果为16,对于t<0

时，求出两根，根据图象，就内函数的零点与区间端点的位置进行分类考虑，利用函数单调性分析即得.

2

【解答过程】若△=-4tW0,即t20时，/(x)=x+t,其对称轴为x=O,/(x)max=t+16,

此时，因tN0,故g(t)=t+16的最小值为16；

若t<0,由y—x2+t-0可得x=±V-t>

图1

(I)如图1,当户W4时，即一16Wt<0时，/(x)=|/+H在［一4,一口］上递减，

在［-R,0］上递增，

在［0,々］上递减，在［尸,4］上递增，又f(±4)=|t+16|=t+16/(0)=|t|=—3

①当—16<t<-8时，t+16<-t,故/'(x)max=—t,而g(t)=—t在［—16,—•8］上单调递

减，则此时，9(t)min=9(-8)=8;

②当-8<t<0时，t+16>-t,故/'(x)max=t+16,而h(t)=t+16在(一8,0)上单调

递增，则此时，g(t)>%(-8)=8.

(II)如图2,当门>4,即t<-16时，fO)=|/+H在［-4,0］上单调递增，在［0,4］上单调递减，

则此时f(x)max=f(0)=|t|=-t,而s(t)=-±在(一8,-16)上单调递减，贝！)0(t)>s(-16)=16.

综上，函数/'(%)=\x2+t\,xe［-4,4］最大值的最小值为8.

故选：D.

【变式3-1］(2024•江西鹰潭三模)若/(X)=|x+2|+|3x—3的最小值是4,则实数a的值为()

A.6或一18B.-6或18

C.6或18D.-6或—18

【解题思路】分a>-6,a<-6,a=-6三种情况，得出每种情况下/(幻的最小值，令其为4,解出a的值.

(4%+2-a,%>—

a+2-2x,-2<x<^

ci—2—4x,%4—2

・•・f(%)min=/(§=2+^=4,解得。=6,符合题意；

4x+2—a,%之一2

2x-a-2t^<x<-2

{CL—2-4x,%］

・••/(%)min=/(§=_，2=4,解得a=-18,符合题意；

当。=-6时，/(x)=4\x+2|,A/(x)min=/(-2)=0^4,舍掉.

故选：A.

【变式3-2］(2024•山西•模拟预测)已知函数f(x)的定义域为(0,+8),若对于任意的％,y£(0,+oo),都

有f。)+f(y)=f(xy)+2,当x>1时，都有/(久)>2,且-3)=3,则函数在区间［1,27］上的最大值

为()

A.2B.3C.4D.5

【解题思路】令x-y-1可得/(I)=2,再令x-y-3可得/(9)=4,再令x-3,y-9即可得/(27),再

利用函数单调性定义可得该函数为单调递增函数，故f(27)的值即为所求.

【解答过程】令x=y=1,则/(I)=2,令x=y=3有/'(3)+/(3)=/(9)+2,

又/(3)=3,所以f(9)=4,

令x=3,y=9,所以/<3)+f(9)=/(27)+2,所以f(27)=5,

设冷>巧>。，则£>1，所以(管)>2,

所以/(向)-f(x2)=f(X1)-[/(%0+f(葭)-2]=2—(葭)<0,

则/'(X。<y(x2),故/co在(0,+8)上单调递增，

所以函数f。)在区间[1,27]上的最大值为f(27)=5.

故选：D.

【变式3-3](2024•全国•三模)已知函数/(无)=6%-3+3沈3在[—1,1]上的最小值为-3,则实数6的取值

范围是()

A.(—8,—4]B.[9,+8)C.[-4,9]D.

【解题思路】由已知可得当一1W%<1时，可得法(1+x)2-3(/+x+1)恒成立，通过分离变量，结合函

数性质可求b的取值范围

【解答过程】

因为f(l)=-3,函数=bx-(b+3)炉在[一1,1]上的最小值为一3,

所以对V%G[-1,1],/(%)>-3恒成立，

所以bx-(b+3)x3>-3恒成立，即bx(l-%2)>-3(1-炉)恒成立，

当久=1时，bER,

当—1<x<l时,可得bx(l+x)>—3(/+x+1)恒成立.

当久=0或%=—1时，不等式显然成立；

当。。<1时，^^^=-3(1+六)，

因为/+"6(0,2)，所以&e6+8),1+六e修+8),一3(1+六)e(—8,一)

所以b>—g；

当一1V%VO时，b4―3(1H—，

因为/+比e(一±0),所以e(—8,—4),i+-^e(-00,-3),一3(1+^；)e(9,+8),

所以6<9.

综上可得，实数6的取值范围是(9]

故选：D.

【题型4函数的奇偶性及其应用】

【例4】(2024•广东惠州•模拟预测)已知/'(%)在R上的奇函数，当工〉。时，/(x)-x2-2x-1,则f(一

1))=()

A.2B.-2C.1D.-1

【解题思路】利用函数奇偶性，由内向外求值即可.

【解答过程】由题意八一1)=一f(l)=2,所以(一1))=/(2)=-1.

故选：D.

【变式4-1](2024•陕西安康•模拟预测)若函数f(x)=In券+a是奇函数，则实数a的值是()

A.2B.-2C.In2D.-ln2

【解题思路】根据/-％)=-/(%)得到a的方程求解即可

【解答过程】/(—=因为/(%)是奇函数，所以有/(—%)=—/(%),

In--1-+a=—(in---+a),2a=—(in%+1+In%1)=—In-=21n2,

2(x+l)V2(x-l)JI2(x-l)2(x+l)74

因此a=ln2,

故选：c.

【变式4-2](2024•河南•模拟预测)已知f(x)是定义在R上的偶函数，Vx6R,f(4—x)=f(%)，当x6[―2,0]

时，/(无)=/+4%,贝，(2023)+/(2024)+/(2025)=()

A.-2B.0C.-6D.-4

【解题思路】根据题意，推得f(x+4)=f(x),得到f(x)是周期为4的函数，结合久€[-2,0]时，函数的解

析式，求得/(一1)/(0),/(1)的值，进而求得f(2023)+((2024)+/(2025)的值，得到答案.

【解答过程】因为/(x)是定义在R上的偶函数，VxeR,f(4—x)=/(%),

可得/'(4-x)=/(x)=/(_4),即/(%+4)=/(x),

所以函数/O)是以4为周期的周期函数，

可得f(2023)+/(2024)+/(2025)=f(-l)+/(0)+f(l),

又因为当x€[—2,0]时,/（X）=x2+4x,

可得/-1)=/(I)=-3,/(0)=0,所以f(2023)+/(2024)+/(2025)=—6.

故选：C.

【变式4-3](2024•浙江绍兴•三模)已知函数/(久)满足：对任意实数％,y,都有f(八>+y))=/(%)+f(y)

成立，且/'(0)=1,贝！I()

A.f(x+l)为奇函数B.7'(>)+1为奇函数

C.丁。+1)|为偶函数D.(久)—1|为偶函数

【解题思路】由题意令x=y=0,可得/⑴=2,令y=-x,可得2=/(x)+f(-x),可得y=f(x)关于(0,1)

对称，据此逐项判断可得结论.

【解答过程】令x=y=0,贝！|f(f(0))=f(0)+/(0),/(0)=1,所以f(l)=2,

令y=-x,则(0))=/(x)+/(-%),

即/⑴=f(x)+/(-%),又2=f(x)+

所以y=/(%)关于(o,i)对称，

所以+1)关于(—1,1)对称，故A不正确；

/(X)+1关于(0,2)对称，故B不正确；

由A可知|f(x+1)|关于x=-1对称，故C不正确；

由A可知f(x)-1关于(0,0)对称，故f(x)-1为奇函数，

所以|f(x)-1|为偶数，故D正确.

故选：D.

【题型5函数的对称性与周期性综合】

【例5】(2024・河北•模拟预测)已知函数/'(%)的定义域为R,且f(2x+l)为奇函数，/(2x+4)=f(2x),

则一定正确的是()

A./(%)的周期为2B./(%)图象关于直线x=1对称

C.f(x+l)为偶函数D./(久+3)为奇函数

【解题思路】根据函数奇偶性、对称性及周期性对选项逐一分析即可.

【解答过程】/(2x+1)为奇函数,得f(2久+1)+fQ-2x+1)=0,

即/'(x+1)++1)=0,贝！If(x+1)为奇函数，故C错误；

且/(£)图象关于点(L。)中心对称，故B错误；

■2尤+4)=/2%)可知,函数f(x)周期为4,故A错误；

f(.x)=/(x+4),又/(x)图象关于点(1,0)中心对称，知/■(%)=-/(2-x),

所以+4)=-/(2-x),得f(x)关于点(3,0)对称，

则/0+3)关于点(0,0)对称，所以f(x+3)为奇函数，故D正确.

故选：D.

【变式5-1](2024•甘肃庆阳•一模)已知函数/(久)的定义域为R,/(/(x+y))=/(%)+/(y),/(l)=1,

则下列结论错误的是()

A./(0)=0B./(>)是奇函数

C.”2024)=2024D./(x)的图象关于点©,0)对称

【解题思路】利用赋值法x=l,y=0可得f(0)=0,即可判断A,利用y=-x,即可根据奇函数的定义判

断B,利用+1—W)=f(x)+f(l-％)n1=/(x)+/(I-%)可判断f(x)的图象关于点&目对称，

即可判断D,结合奇函数的性质，即可求解C.

【解答过程】取久=Ly=0,则f(f(D)=f(D+f(o)，即/(D=f(D+f(o),得f(o)=o,故A正确；

取y=-%,贝！)/(/(久-%))=/(%)+/(-x),得/(0)=/(%)+/(-%)=0,故/(久)是奇函数，B正确；

对任意的汽都有/(/(%+1-%))=/(%)+f(l一%),可得1=/(%)+/(I-%),

因此八工)的图象关于点对称，故D错误；

由于1=f(x)+/(1-X)且/(尤)是奇函数,得1=/(%)--1),即/(%)=/1(%-1)+1,

因此f(2)=/(I)+1=2/(3)=/(3)+1=3/(4)=f⑶+1=4,…"(2024)=2024,C正确.

故选：D.

【变式5-2](2024•山东荷泽・模拟预测)已知函数/(X)满足：/(x)+/(x+2)+/(%)/(%+2)==0,

则下列说法正确的有()

A./(X)是周期函数

B./(2024)=0

C./(2+%)=f(2-%)

D.〃>)图象的一个对称中心为(0,1)

0,x€{4k—11fcGZ}

【解题思路】先证明n>+4)=f(x)得到A正确；再给出f(x)={l,xe{4fc+l|fcez)作为反例说明

y/2-l,xg{2k-l\k£Z}

B,C,D错误.

【解答过程】对于A,由于(/(x)+l)(/(x+2)+1)=1+f(x)+f(x+2)++2)=1+1=2,故

(/(%)+1)(/(%+2)+1)=2.

从而(/(%+2)+1)(/(x+4)+1)=2,这就得到(/(%+2)+1)(/(%+4)+1)=(/(%)+1)(/(%+2)+1)W

0,所以/(%+4)+1=/(%)+1,即/(%+4)=/(%).

所以/(%)是周期函数，故A正确；

(0,xG]4k-l|fcGZ}

对于B,C,D,取/(久)=jl,xG{4/c+l|fcGZ],则/(%)满足条件，但f(2024)=V2-1,/(2-1)=

(V2-g{2/c-l|fcGZ}

/⑴=1R0=f(3)=](2+1),同时由于f(-l)=0,/(I)=1,从而(一1,0)关于(0,1)的对称点(L2)并不

在函数图象上，故B,C,D错误；

故选：A.

【变式5-3](2024•陕西商洛•模拟预测)已知定义在R上的函数/(%)满足/(2%+6)=/(-2久)，且-1)+

於+1)=/(—2),/(|)=1,现有下列4个结论：

①f(2024)=1；

②f(x)的图象关于直线光=-3对称；

③/(久)是周期函数；

④2誉3=2025.

其中结论正确的个数为()

A.1B.2C.3D.4

【解题思路】根据所给等式，结合赋值法推导出函数的对称轴及周期，再逐项分析即可.

【解答过程】因为/(%—l)+/(x+l)=/(—2),

所以/"(x+1)++3)=/(—2),

所以/'(X-1)=/(x+3),即/(x)=/(x+4),

所以/(%)是周期为4的周期函数，则③正确.

令乂=一1,得八一2)+/(0)=/(-2),

则f(0)=0,从而f(2024)=〃0)=0,故①错误；

因为f(2x+6)=/(—2x),

所以/'(x+6)=/(-%),

所以/■(-*)=/(x-6),

所以(0)的图象关于直线x=-3对称，则②正确；

易得/(%)的周期为4,且其图象关于直线久=-3及I=3对称，

则直线久=—3+4几及工=3+4n(nGZ)均为/(%)图象的对称轴,

从而f(一2)=/(0)=0,=/(|)=1.

令“I，得花-i)+/G+i)=。，

即呜=一呜=一1，

=/©=/©=-i-

故2鬻(-l)"f(k(9+2f(I)-3/(|)+4/0---2025f(竽)

=(1-2-3+4)+-+(2021-2022-2023+2024)+2025=2025,故④正确.

故选：C.

【题型6利用函数的性质比较大小】

【例6】(2024•广东深圳•模拟预测)已知函数f(x)的定义域为R,若对VxeR都有f(3+无)=f(l—x),

且/(久)在(2,+8)上单调递减，则f(l),f(2)与/(4)的大小关系是()

A./(4)</(I)</⑵B.门2)</(I)</(4)

C.f⑴</⑵<f⑷D.f(4)<f(2)<f(l)

【解题思路】由/(3+x)=/(l-x),得到汽l)=f(3),利用单调性即可判断大小关系，即可求解.

【解答过程】因为对VxeR都有f(3+x)=f(l-x),所以f(l)="3-2)=/[I-(-2)]=/(3)

又因为/(x)在(2,+8)上单调递减，且2<3<4,

所以/⑷</⑶<f⑵,即7(4)</(1)</⑵.

故选：A.

【变式6-1](2024・河北・三模)已知a=—VT正,b=VT正一互一11,那么a,b,c的大

小关系是()

A.a>b>cB.a>c>b

C.a<b<cD.c>a>b

【解题思路】分子有理化，化简后根据函数y=-1的单调性判断即可.

3

【解答过程】由题意可知，a=,112-"15=♦,b=，115-"18=■^=^7r

V1124-V115V115+V118

c=V118-11=-7=^=,由y=-三在(0,+8)上单调递增可得。<b<c,

vllo4-V121x

故选：c.

【变式6-21(24-25高一上•河北邯郸・期中)已知定义在R上的函数f(x)满足汽1-久)=/(3+%)，且在(-8,2]

上单调递增，a=f(ir),b=/(V3),c=/(0),则()

A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.c<a<b

【解题思路】由题意确定对称轴为x=2,进而确定函数单调性，由单调性即可判断.

【解答过程】由已知得函数f(x)的图象关于直线x=2对称，

所以f(x)在(-8,2]上单调递增，在[2,+8)上单调递减，

所以人。)</(百).又2<TT<4,所以f(n)>f(4)=f(0).

因为n-2>2-V3,所以/'(元)</(V3).

故/(0)</(TT)</(V3),即c<a<b.

故选：D.

【变式6-3](24-25高一上咛夏银川•期中)函数y=/O)为定义在R上的偶函数，且对任意犯冷e[0,+

8)(久1中冷)都有，„)<o,则下列关系正确的是()

A./(-3)>/(-2)>/(1)B./(-2)>/(I)>/(-3)

C./(-3)>/(1)>/(-2)D./(1)>/(-2)>/(-3)

【解题思路】由函数y=f(x)为定义在R上的偶函数可得/(-3)=-2)=f(2),然后利用y=/(x)

的单调性可得答案.

【解答过程】因为函数y=f(%)为定义在R上的偶函数，

所以f(—3)=f(3),f(—2)=f(2),

因为对任意勺,光2e[0,+8)(/牛叼)都有":二?2)<0，

即有y=f(x)在[0,+8)上单调递减，

所以/X-3)=/(3)</(-2)=/⑵</⑴,

故选：D.

【题型7利用函数的性质解不等式】

【例7】(2024・陕西商洛,一模)已知函数f(x)=—2/—3X+2,若不等式/④—1)+f(—a-5)>4成

立，贝心的取值范围是()

A.(—oo,—2)U(3,+8)B.(—2,3)C.(—8,—3)U(2,+co)D.(—

3,2)

【解题思路】构造函数g(x),验证其为奇函数，再将问题转化为g(a2-l)>g(a+5),然后由单调性解抽

象函数不等式即可；

【解答过程】设g(x)=/(x)-2=-2x3-3x,则g(-x)=2x3+3x-g(x),故g(x)是奇函数.

不等式/(。2-1)+/(-a—5)>4等价于不等式f02-1)-2+/(-a-5)-2>0,

即不等式g(a2-1)+5(-a-5)>0.

因为9(x)是奇函数，所以-1)>。缶+5).

易证g(x)是R上的减函数，则a2-l<a+5,即a2-a-6<。，解得一2<a<3.

故选：B.

【变式7-1］(2024・四川资阳•二模)若定义在R上的偶函数/(久)在［0,+8)上单调递增，则不等式/(2久+1)-

/(%-1)>-3d—6%的解集为()

A.(-co,-2)U(0,+oo)B.(-co,-1)U(0,+oo)

C.(-2,0)D.(-1,0)

【解题思路】根据偶函数的性质，结合不等式特征构造新函数，利用新函数的单调性和奇偶性进行求解即

可.

【解答过程】由/(2x+1)-/(%—1)>-3x2—6x,可得/(2x+1)+(2x+I)2>/(%—1)+(x-I)2.

令g(x)=A%)+/,因为f(x)是偶函数，且在［0,+oo)上单调递增，所以g(x)也是偶函数，且在［0,+8)上

单调递增，从而|2x+1|>医一1|,解得%<-2或x>0.

故选：A.

【变式7-2］(2024•重庆•模拟预测)已知函数y=/(久)的定义域是(一8,0)u(0,+oo),对任意的/，町G(0,+

8),打力犯，都有过空驾鱼2>°，若函数y=TO+1)的图象关于点(—L0)成中心对称，且/(1)=4,则

%2

不等式f(X)>:的解集为()

A.(-1,0)U(0,1)B.(-1,0)U(1,+oo)

C.(-oo,-1)U(0,1)D.(-oo,-1)u(1,+oo)

【解题思路】由题意，构造函数g。)=xf(x),判断函数g(x)的奇偶性和单调性，结合函数的奇偶性和单调

性解不等式即可.

【解答过程】由函数y=f(x+1)图象关于点(一1,0)中心对称，知函数/(x)图象关于点(0,0)中心对称，

所以-x)为奇函数.

令g(x)=xf(x),则g(-％)=--x)=xf(x)=g(x),所以g(x)为偶函数,

对于VX1，%2G(0,+8),有幽与蚓>0(/丰x2),所以g(x)在(0,+8)上单调递增，

X2~X1

所以9(%)在(-8,0)上单调递减.

由/(1)=4,得g(l)=4,g(-l)=4,

当％>0时，/(x)>:变形为久/(%)>4,即9(%)>g(l),解得％>1；

当％V0时，f(x)>:变形为久/(%)<4,即g(%)Vg(-1),解得一1<%<0,

综上，不等式/(%)>：的解集为(一1,0)U(l,+8).

故选：B.

【变式7・3】(2024•广西柳州•三模)设函数/(%)是定义在R上的奇函数，且对于任意的x,yeR,都有|/(K)-

f(y)l<\x-y].若函数g(%)-f(x)=x,则不等式g(2久-%2)+g(x-2)<0的解集是()

A.(-1,2)B.(1,2)

C.(―8,—1)U(2,+8)D.(-8,1)U(2,+8)

【解题思路】由f(%)的奇偶性可判断9(%)也为奇函数，然后结合|/(%)-/(y)|V阿-y|,及单调性的定义

可判断9(%)单调递增，结合单调性及奇函数的定义可求.

【解答过程】•・,g(%)-/(%)=x,g(%)=/(%)+x,

由于/(%)是定义在R上的奇函数,即/(%)+/(-%)=0,

•••5C-x)=/(-x)-x=-/(%)-%=-g(i),故为奇函数，

•・,对于任意的％,y6R,有1/(%)-f(y)|v1%—y|，

・・•|(g(%)一%)—(g(y)—y)|v1%一y|,

当时，有但返土也<1,

\x-y\

即I喏詈

0<吗$)<2,g(x)单调递增，

g(2x—%2)+g(x-2)<0,

•・・9(2%—%2)<-g(x-2)=g(2-%),

••・2x—x2<2—x,

整理可得，X2-3X+2>0,

解可得，％>2或汽V1,

故选：D.

【题型8抽象函数的性质综合】

[例8](2024・河南•模拟预测)已知函数/(x)的定义域为R,对于任意实数x,y满足+y)+-y)=

fO)f(y),且f(l)=l,则下列结论错误的是()

A./(0)=2B./(%)为偶函数

C./(X)为奇函数D./(2)=—1

【解题思路】由条件等式通过取特殊值求f(0),”2)由此判断A,D,再取特殊值确定f(x),f(-x)的关系

结合函数的奇偶性的定义判断选项B,C.

【解答过程】因为/(x+y)+/(x-y)=/(x)/(y)，

取X=l,37=0可得/'(1)+/(1)=汽1)/(0),又/(1)=1,所以f(0)=2；A对；

取X=o,y=X可得/(x)+/(-x)=/(0)/(x),因为=0)=2,所以/(一久)=/(x),所以“X)为偶函数，C

错，B对；

取x=l,y=1可得f(2)+f(0)=f(l)f(l),又f(l)=l,/(0)=2；

所以汽2)=—1,D对；

故选：C.

【变式8-1](2024・安徽一二模)已知函数丫=/(%)(%丰0)满足/Oy)=/(%)+f(y)-1,当%>1时,f(久)<1,

则()

A.f(x)为奇函数B.若f(2x+l)>l,则一l<x<0

C.若f⑵*,则-1024)=-4D.若/6)=2,财岛)=1。

【解题思路】根据赋值法可得f(l)=l,A-l)=l,进而可得汽-均=/(%),即可判断A,根据函数单调

性的定义可判断y=/(%)(%丰0)在(0,+8)上为减函数，即可求解B,代值逐步求解即可判断CD.

【解答过程】令x=l,y=-l,/(-I)=/(1)+/(-1)-1,所以=

令%=-1,y=—1,“1)=/(_1)+/(_1)一1则/(—1)=1.

令y=-l,得/(-%)=/(%)，故y=/(久)(％00)为偶函数.A错误，

任取％1，x2e(0,+00),第1<%2，则盘>1，

则f(*2)=f(,xi)+f(9-1</(Xi),故y=f(x)(x丰0)在(0,+8)上为减函数.

由已知/(2x+1)>1,可得/(|2x+l|)>/(1),故|2尤+1|<1,解得一1<乂<0,且刀力一aB错误，

若f(2)=g则f(1024)=f(2i°)=f(29)+/(2)-l=10f(2)-9=-4,C正确，

若解)=2,财©)=2f0T=3,f仔)=2/传)-1=5，

/傍)”G)+/傍)一1=6,所以/岛)=2(傍)一1=11,故D错误，

故选：C.

【变式8-2](2024・辽宁抚顺•一模)已知定义域为｛6>。0｝的函数/(%)满足

/(%+y)[/(x)+/(y)]=f(x)/(y),/(l)=2,且当第G(0,+8)时，f(x)>0恒成立，则下列结论正确的是

()

A./(|)=6B./(2x)=2/(x)

c./(>)为奇函数D./O)在区间(。,+8)是单调递增函数

【解题思路】赋值法可判断A,利用奇偶函数的定义及赋值法判断BC,由函数的特例可判断D.

【解答过程】令X=y，则f(|)[/G)+/©]=/©/。，

所以2f=尸(以，因为当xe(0,+8)时，/(%)>0,

所以2f(|)=啕，

令%号,y=i所以/⑴[侔)+雇)]=/•图f()

即2陶+2啕]=2飞),解得：f(|)=3,故A错误；

由题意，函数/(%)的定义域为(-8,0)U(0,+8),关于原点对称，

令y=-2x,则f(%一2x)[/(x)+/(-2x)]=/(x)/(-2x),即f(一%)[/(%)+/(-2x)]=/(%)/(—2%)

令一%代换3y,则f(r-%)[/(-%)+/(-x)]=即2/(-2x)/(-%)=/(-%)/(-%),

所以2/(-2%)=/(-%),令一%代换工,所以2/(2%)=/(%),故B错误；

由将2/(-2%)=/*(一%)代入/(-=[/(%)+/(-2切=/(%)/(-2%),

可得汽—X),0)+”耳=f(龙)铝，化简可得/(—X)=-8

所以/(X)为奇函数，故C正确；

令x=y=l,则/(2)[/(l)+f(l)]=/(1)/(1),解得：/(2)=1,/(1)=2>/(2)=1,故D错误.

故选：C.

【变式8-3](2024•广西玉林•三模)函数f(%)对任意x,yGR总有"％+y)=/(%)+/(y),当第<0时，/(%)<

0,f⑴=9,则下列命题中正确的是()

A./(%)是偶函数B./(%)是R上的减函数

C./(x)在［—6,6］上的最小值为—2D.若fG)+/(x—3)2—1,则实数x的取值范围为［3,+8)

【解题思路】利用赋值法，结合函数奇偶性的定义，即可判断A；

根据函数单调性的定义，结合条件，即可判断B；

根据函数的单调性，和奇偶性，以及条件，即可判断C；

不等式转化为f(2x-3)>利用函数的单调性，即可判断D.

【解答过程】解：取x=0,y=0,则f(0)=f(0)+/(0),解得/(0)=0,y=—x,

则f(0)=/(%)+/(-%).即一((x)=f(—x)，函数f(x)是奇函数，所以选项A错误;

令比1，%2€R,且％1<刀2，则X1-刀2<0，因为当％<0时，/(X)<0,所以/'(久1—%2)<0.

则/■(/)-/(x2)=/(X1)+/(-%2)=/(%1-x2)<0.即/(打)</(x2),

函数了(无)是R上的增函数，所以选项B错误；

因为函数f(x)是R上的增函数，所以函数在［-6,6］上的最小值为了(-6),

/(—6)=/(-3)+/(-3)=2/(-3),/(—3)=-f(3),/⑶="2)+/⑴=3/⑴=1.

故/(-6)=-2,f(x)在［-6,6］的最小值为-2,所以选项C正确；

f(x—3)>—1,BPf(2x-3)>/(-3),

因为函数/(x)是R上的增函数，所以2%-32-3,所以xNO,

所以实数尤的取值范围为［0,+