2025年高考数学二轮复习专练：利用导数研究函数的零点【八大题型】（原卷版）

重难点06利用导数研究函数的零点【八大题型】

【新高考专用】

导数是高中数学的重要内容，从近几年的高考情况来看，导数中的函数零点(方程根)问题在高考中

占有很重要的地位，是热点问题，主要涉及函数零点的个数或范围等问题.高考常考查三次函数与复合函数

的零点问题，以及函数零点与其他知识的交汇问题，一般作为解答题的压轴题出现，难度较大，需要灵活

求解.

►知识梳理

【知识点1导数中的函数零点问题及其解题策略】

1.函数零点(个数)问题的的常用方法

(1)构造函数法：构造函数g(x),利用导数研究g(x)的性质，结合g(x)的图象，判断函数零点的个数.

(2)函数零点存在定理：利用零点存在定理，先判断函数在某区间有零点，再结合图象与性质确定函数

有多少个零点.

(3)数形结合法：函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，数形结合，根据图象的几何直观求

2.导数中的含参函数零点(个数)问题

利用导数研究含参函数的零点(个数)问题主要有两种方法：

(1)利用导数研究函数八元)的最值，转化为五为图象与x轴的交点问题，主要是应用分类讨论思想解决.

(2)分离参变量，即由式x)=0分离参变量，得乐且⑴，研究产。与产g(x)图象的交点问题.

3.与函数零点有关的参数范围问题的解题策略

与函数零点(方程的根)有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合

特殊点判断函数的大致图象，进而求出参数的取值范围.也可分离出参数，转化为两函数图象的交点情况.

【知识点2隐零点问题及其解题策略】

1.隐零点问题

隐零点问题是指函数的零点存在但无法直接求解出来的问题，在函数不等式与导数的综合题目中常会

遇到涉及隐零点的问题，处理隐零点问题的基本策路是判断单调性，合理取点判断符号，再结合函数零点

存在定理处理.

2.隐零点问题的解题策略

在求解函数问题时，很多时候都需要求函数兀0在区间/上的零点，但所述情形都难以求出其准确值，

导致解题过程无法继续进行时，可这样尝试求解：先证明函数本)在区间/上存在唯一的零点(例如，函数式X)

在区间/上是单调函数且在区间/的两个端点的函数值异号时就可证明存在唯一的零点)，这时可设出其零

点是X0.因为X0不易求出(当然，有时是可以求出但无需求出)，所以把零点须叫做隐零点；若X0容易求出，

就叫做显零点，而后解答就可继续进行，实际上，此解法类似于解析几何中“设而不求”的方法.

►举一反三

【题型1判断或讨论零点的个数】

1,x>0

[例1](2024.新疆乌鲁木齐.三模)已知符号函数sgn(%)=0,%=0,则函数/(%)=sgn(lnx)-%ln%零

、-1,%<0

点个数为()

A.0B.1C.2D.3

fln(l—x),xE(—8,0]

【变式1-1](2024.北京房山.一模)若函数/(%)=11、，则函数g(%)=/(%)+%+c零

IEW，十

点的个数为()

A.1B.2C.1或2D.1或3

【变式1-2](2024.陕西榆林.模拟预测)已知函数/(%)=In%-a%e%T+%+1,aGR.

(1)当a=1时,求f(%)的极值；

(2)讨论函数/(%)的零点个数.

【变式1-3](2024.安徽芜湖.模拟预测)已知函数/(%)=exsinx.

⑴讨论函数/(%)在区间(0刀)上的单调性；

(2)判断函数九(%)=等+ln(x+1)-2%+1零点的个数.

【题型2零点问题之唯一零点问题】

【例2】(2024.四川绵阳.模拟预测)函数/(%)=e%—k%—b恰好有一零点%°,且k>b>0,则%0的取值范

围是()

A.(-co,0)B.(0,1)C.(-co,1)D.(1,+8)

【变式2-1](2024.四川成都.三模)若函数/(%)=e%-々/大于o的零点有且只有一个，则实数k的值为()

A.4B.2VeC.-D.-

24

【变式2-2](2024•四川德阳•三模)已知函数/(£)=21nx-/一1.

⑴试研究函数/⑺的极值点；

(2)若F(x)=f(x)+4ax恰有一个零点，求证0<a<；.

4

【变式2-3](2024・广东汕头.三模)已知函数/(久)=x(e%-ax2}.

(1)若曲线y=/(x)在久=-1处的切线与y轴垂直，求y=/(x)的极值.

⑵若/⑶在(0,+8)只有一个零点，求a.

【题型3零点问题之双零点问题】

【例3】(2024•河北衡水•模拟预测)已知函数/。)=Inx+1-ax有两个零点X1，%2，且均＜乂2，则下列命

题正确的是()

2

A.a>1B.+x2<-

i

C.-x2<1D.x2—>--1

【变式3-1](2024•湖南郴州•模拟预测)已知/(%)=-ln%(mN0),若/(%)有两个零点，则实数m的

取值范围为()

C.&+8)D.卜,+8)

【变式3-2](2024・湖南•三模)已知函数/(x)=ae2x—(ax+2—a)ex+|x2.

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围.

【变式3-3](2024•浙江•模拟预测)已知a为实数，neN*,设函数f(x)=久空一。比万.

(1)讨论/"(X)的单调性;

(2)若/(X)有两个零点，求a的取值范围.

【题型4根据零点情况求参数范围】

r|3-2x\+1,x>0,

【例4】(2024・四川•模拟预测)已知函数f(x)=(x+2)z-c若函数y=[/(x)]2—a/0)有5个不

同的零点，贝必的取值范围是()

A.(0,1]B.(1,4]C.(1,4)D.(l,+oo)

【变式4-1](2024.四川.模拟预测)已知函数f(x)=，若关于光的方程八支)+a-1=0的不

同实数根的个数为4,贝Ua的取值范围为()

A.B.C,(1,1+;)D.(1-1,1+1)

【变式4-2](2024•四川凉山•三模)已知函数/(无)=(2x—l)e*—ni/—7nx+机.

(1)当爪=0时，求/(x)的极值点；

(2)若m>0且函数f(x)有三个零点，求实数m的取值范围.

【变式4-3](2024•新疆.三模)已知函数/(乃=(%—1)Q—+a.

⑴讨论/Xx)的单调性;

(2)若/(X)有三个不同的零点，求实数a的取值范围.

【题型5函数零点的证明问题】

【例5】(2024・重庆•模拟预测)已知函数f(x)=a(lnx+1)+专(a>0).

⑴求证：1+xlnx>0；

(2)若%1，%2是/(%)的两个相异零点，求证：《2-%/V1-J1.

【变式5-1](2024•四川自贡•三模)已知函数/(%)=1+：+aln%(a>0)

(1)求函数/(%)的单调区间；

(2)函数/(%)有唯一零点汽1，函数g(%)=%-sin%-已在R上的零点为汽2.证明：xr<x2.

【变式5-2](2024•河北邯郸・三模)已知函数/(%)=%(ex-ax2),aWR.

(1)求曲线y=/(%)在点(0厅(0))处的切线方程.

2

(2)已知关于%的方程/(%)=ax-e”恰有4个不同的实数根刈如如卬其中%i>0,x2>0.

(i)求Q的取值范围；

(ii)求证：+上>4.

【变式5-3](2024.湖北.模拟预测)已知函数/(%)=e"-In%-a,g(x)=ex-ln(x+a),其中〃为整数

且a>1.记%o为/(%)的极值点，若/(%)存在两个不同的零点%1，%2(久1<%2)，

(1)求〃的最小值；

(2)求证:g(ln%i)=g(ln%2)=。；

【题型6多零点的和、差、积与大小关系问题】

【例6】(2024•四川南充・一模)已知函数/(%)=1n%-1+一zn(0<m<3)有两个不同的零点％i，x2

(应<%2)，下列关于%i，冷的说法正确的有()个

vmQ

①二<e2m②％1>--7-③e石<x<®xx>1

XT7TI223T7T12

A.1B.2C.3D.4

【变式6-1](2024•四川成都•一模)已知函数/(%)=(ln%)2+?%2有三个零点％]、为2、右且%1<x2<

久则陋1+3+屿的取值范围是()

%2%3

【变式6-2](2024•福建南平•模拟预测)已知函数/(久)=曙，其中e为自然对数的底数.

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)若方程/(%)=1有两个不同的根%

⑴求a的取值范围；

(ii)证明：好+据>2.

【变式6-3](2024.湖南郴州.模拟预测)已知函数/(%)=2aln%+|/-(Q+2)%,其中q为常数.

(1)当a>0时，试讨论/(%)的单调性；

⑵若函数/(%)有两个不相等的零点%,%2,

(i)求a的取值范围；

(ii)证明：+冷>4.

【题型7隐零点问题】

【例7】(2024•天津河西•模拟预测)已知函数/(%)=ae2x+(a-2)ex—x,g(x)=ex—ln(x+m).

⑴讨论f(%)的单调性；

(2)当m<2时，求证g(%)>0；

(3)若/(%)有两个零点，求a的取值范围.

【变式7-1](2024•陕西咸阳•模拟预测)已知/(%)=(%—l)2ex—^x3+ax(%>0)(aER).

⑴讨论函数f(%)的单调性；

(2)当a=0时，判定函数g(%)=/(%)+In%-零点的个数，并说明理由.

【变式7-2](23-24高三上•辽宁鞍山•阶段练习)已知函数/(%)=In%-a%+1,g(x)=x(ex-%).

(1)若直线y=2%与函数f(%)的图象相切，求实数a的值;

(2)当。二一1时，求证：f(x)<g(x)+x2.

【变式7-3](2024.广东广州.模拟预测)已知函数/(%)=%eax(a>0).

⑴求/(%)在区间上的最大值与最小值;

(2)当。之1时，求证：/(%)>Inx+%+1.

【题型8与函数零点相关的综合问题】

%+1

【例8】(2024・湖北.二模)已知函数/(x)=詈+法(e为自然对数的底数).则下列说法正确的是()

A.函数f(x)的定义域为R

B.若函数/(X)在P(0,/(0))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为三，贝必=1

C.当a=1时，/(%)=机可能有三个零点

D.当a=l时，函数的极小值大于极大值

【变式8-1](2024四川成都.二模)函数/(久)=d+£15也久,“€(-11,+8),下列说法不正确的是()

A.当a=-l时，/(久)>0恒成立

B.当a=l时，/(x)存在唯一极小值点比°

C.对任意a>0,/(x)在％e(-TT,+oo)上均存在零点

D.存在。<0/(%)在％e(一也+8)上有且只有一个零点

【变式8-2](2024・四川宜宾•一模)已知函数〃(%)=21nx—a(%2—1),v(x)=2%2lnx.

(1)当a=1时，判断以%)的单调性；

(2)若函数/(%)=〃(%)+"(%)恰有两个极值点.

(i)求实数a的取值范围；

(ii)证明:/(%)的所有零点之和大于3.

【变式8-3](2024.山东济南•二模)已知函数/(%)=(%—a)2(x—b)(a,bER,a<b).

(1)当a=lfb=2时，求曲线y=/(%)在点(2,/(2))处的切线方程；

(2)设%i，%2是/(%)的两个极值点，%3是/(%)的一个零点，且%3H%1，%3W%2•是否存在实数第4,使得久L%2，%3，%4

按某种顺序排列后构成等差数列？若存在，求心；若不存在，说明理由.

►课后提升练(19题】

一、单选题

1.(2024•海南省直辖县级单位•模拟预测)已知函数/(%)=，且9。)=/(%)-nix有两个不同

的零点，则小的取值范围为()

A.(-8,JB.&e)C.(e,+oo)D.Q,+00)

2.(2024•四川成者B-模拟预测)已知函数/(久)=炉一万+1,则()

A./(©有三个极值点B./(©有三个零点

C.点(0,1)是曲线y=/。)的对称中心D.直线y=2x是曲线y=/(x)的切线

3.(2024・河南.模拟预测)已知a>0,若函数/(久)=『笔-(a-2)x+Inx,%：。没有零点，则实数a的

(ln(—%+1)—axex,x<0

取值范围是()

A.(e,+00)B.(l,e)C.(0,1)D.(1,+oo)

4.(2024・辽宁・模拟预测)已知函数/(%)=%若函数g(%)=[/(%)]2+af(x)-e2-ae恰有5个不同的零

I巾

点，则实数a的取值范围是()

A.(-8,—2e)B.(-8,—e)C.(-8,一|)D.(-8,-[)

5.(2024山西太原.二模)已知函数/(乃=，，若方程/(为一W％+2|=0恰有三个不

I-xz+4x—1,x>1

同实数根，则实数上的取值范围是()

A.(0,8-2g)U(1,+8)B.(|,阴

C.(|,8-2V13)U(1,^]D.(|,1)U[詈,8+2g)

6.(2024・陕西商洛•模拟预测)已知函数"X)=[_<],若关于久的方程乃以)—(2+t)/(x)+2t=

vX十乙X,XNU

0有3个不同的实数根，则实数t的取值范围为()

A.(-co,-|)B.(-|,0)C.D.(-e,2)

7.(2024.全国.模拟预测)已知关于无的方程e2x—ax/+9e2/=0有4个不同的实数根，分别记为

x1,x2,x3,x4,则(2-----e)(-------e)(-------e)(-------e)的取值范围为()

%2%3%4

A.(0,16e4)B.(0,12e4)C.(0,4e4)D.(0,8e4)

8.(2024.江西南昌.三模)已知函数/⑺=xe-1a(x+l)2.则下列说法中错误的是()

A.当a=F时，/(久)在R上单调递增

B.当a<0时，〃久)的最小值是一个与a无关的常数

C.〃久)可能有三个不同的零点

D.当a>0时，有且仅有一个零点

二、多选题

9.(2024・全国.模拟预测)设e为自然对数的底数，函数/(£)=-—aln尤Q〉0),则下列结论正确的是()

A.当a=e时，/(%)无极值点B.当a〉e时，/(%)有两个零点

C.当l<a<e时，/(久)有1个零点D.当aWl时，/(久)无零点

10.(2024•福建泉州•模拟预测)已知函数/'(x)=|nx-：+-m(0<m<3)有两个不同的零点

<X2),则()

3

A.(%iX2)min=1B.--<C.X-t1>------D.e<X2j<-----

、iz，min%1m+23-m

11.(2024.广西来宾.模拟预测)下列关于函数〃>)=x—比Inx的说法，正确的有()

A.%=1是/(%)的极大值点

B.函数/(%)有两个零点

C.若方程/(%)=m有两根%1，%2，则第1+到>e

D.若方程/(%)=m有两根久L%2，则久1+%2<e

三、填空题

12.(2024.福建泉州.一模)已知函数/(%)=(x-l)ex+|ex-可有且只有两个零点，则a的