2025年高考数学二轮复习专练：平面向量的概念及线性运算【六大题型】（解析版）

专题4.1平面向量的概念及线性运算【六大题型】

【新高考专用】

1、平面向量的概念及线性运算

平面向量是高考的热点内容，属于高考的必考内容.从近几年的高考情况来看，平面向量的概念、平面

向量的线性运算是高考的热点内容，主要以选择题、填空题的形式考查，难度较易；有时也会与三角函数、

解析几何结合出现在综合性大题中，难度中等.

►知识梳理

【知识点1平行向量有关概念的归纳】

1.平行向量有关概念的四个关注点

(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.

(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.

(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆.

-»->

(4)非零向量，与卷的关系：卷是与。同方向的单位向量.

a\a\

【知识点2平面向量线性运算问题的解题策略】

1.平面向量线性运算问题的求解思路：

（1）解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加

减法相互转化；

（2）在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中

位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向量线性表示.

2.向量线性运算的含参问题的解题策略：

与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法

运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值.

3.利用共线向量定理解题的策略：

（1）«//6=。=助（6/0）是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用.

（2）当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即48c三点共线台石，就共线.

-）_今

（3）若Q与6不共线且=[ib,则%=〃=0.

（4）51=%万+〃灾为实数），若4SC三点共线，则为〃=1.

【方法技巧与总结】

1.中点公式的向量形式：若尸为线段的中点，。为平面内任一点，则苏=3（51+3）.

2.方=23+〃工〃为实数），若/，民。三点共线，贝以+“=1.

3.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是考虑向量的方向；二是

要特别注意零向量的特殊性，考虑零向量是否也满足条件.

►举一反三

【题型1平面向量的基本概念】

【例1】（24-25高二上•黑龙江佳木斯•阶段练习）下列量中是向量的为（）

A.体积B.距离

C.拉力D.质量

【解题思路】由向量的定义即可判断

【解答过程】A,B,D只有大小，C既有大小又有方向

故选:C.

【变式1-1]（23-24高一下•黑龙江大庆•阶段练习）下列命题中，正确的是（）

A.若同=|同，则五=了B.若同〉同，则工〉工

C.若3=b,则方||bD.若3||b,b||c,则方||c

【解题思路】根据向量的概念逐一判断.

【解答过程】对于A：若同=同，则方范只是大小相同，并不能说方向相同，A错误;

对于B：向量不能比较大小，B错误；

对于C：若H=b,贝皈,6方向相同，C正确；

对于D：若五IIb.bIIc,如果不为零向量，则不能推出心下平行，D错误.

故选：C.

【变式1-2］（23-24高一下•黑龙江绥化•阶段练习）关于平面向量，下列说法正确的是（）

A.向量可以比较大小B.向量的模可以比较大小

C.速度是向量，位移是数量D.零向量是没有方向的

【解题思路】根据向量的相关概念直接判断即可.

【解答过程】向量不可以比较大小，但向量的模是数量，可以比较大小，A错误，B正确；

速度和位移都有方向和大小，是向量，C错误；

零向量方向任意，D错误.

故选：B.

【变式1-3］（23-24高一•全国•假期作业）已知向量,如图所示，下列说法不正确的是（）

._______>

MN

A.也可以用而表示B.方向是由M指向N

C.起点是MD.终点是M

【解题思路】根据向量的几何表示，直接进行判断即可.

【解答过程】由向量的几何表示知，A、B、C正确，D不正确.

故选D.

【题型2向量的几何表示与向量的模】

【例2】（2024•福建南平•模拟预测）已知正方形45CD的边长为1,点M满足荏+左=2前，则|说|=

（）

A—B.1C.日D.V2

【解题思路】根据几何关系求解.

【解答过程】

AD

如图，AB+BC^AC-2AM,所以用■是/C的中点，厢|=匏。=争

故选：C.

【变式2-1］（23-24高一下•山东荷泽•阶段练习）如果一架飞机向西飞行150km,再向南飞行350km,记

飞机飞行的路程为s,位移为正则（）

A.s>|a|B.s=[a\C.s<[a\D.s与同不能比较大小

【解题思路】根据题意，作图，结合向量的几何意义，可得答案.

【解答过程】由题意，作图如下:

则该飞机由力先飞到B,再飞到C,贝MB=150km,BC=350km,a=AC,

则飞机飞行的路程为s=500km,|a|=V1502+3502=50,58km,

所以s＞同.

故选：A.

【变式2-2］（23-24高一下•安徽合肥•阶段练习）在如图所示的半圆中，N8为直径，点。为圆心，。为半

圆上一点，且NOCB=30。，|荏|=2,则|祠等于（）

B.V2C.V3

【解题思路】根据|应|=\OB\,可得乙4BC=Z.OCB=30。，进一步得出答案.

【解答过程】如图，连接NC,

由I反I=[0B\,得N4BC=Z.OCB=30°.

因为C为半圆上的点，所以N4CB=90。，

所以|祠=：|祠=1.

故选：A.

【变式2-3]（23-24高一下•上海•课后作业）若方是任一非零向量，了是单位向量，下列各式：①同＞|同；

②3//及③同＞0；④历|=1；@^-=b,其中正确的有（）

101

A.③④⑤B.②③⑤C.①③④D.③④

【解题思路】根据向量模的概念可判断①；利用向量共线的定义可判断②；利用向量模的概念可判断③、

④；根据单位向量的概念可判断⑤.

【解答过程】①I方I＞I了I不正确，方是任一非零向量，模长是任意的，故不正确；

@a//b,贝展与万为共线向量，故不正确；

③国＞0,向量的模长是非负数，故正确；

@IbI=1,故正确；

⑤4是单位向量，石是单位向量，两向量方向不一定相同，故不正确.

故选：D.

【题型3向量加、减法的几何意义】

【例3】（2024•湖南岳阳•模拟预测）在aOMN中，而—而+而=（）

A.0B.2MOC.2OMD.0

【解题思路】根据平面向量的加减法运算计算即可.

【解答过程】OlV-MW+MO=W+lVM+MO=OM+MO=0.

故选：A.

【变式3-1X2024•宁夏石嘴山•二模）如图，已知△ABC中，。是48边上一点，若砺=g前,3而=方+小方,

则m=()

A

A.-2B.2C.-1D.3

【解题思路】根据平面向量加减法运算求解即可.

【解答过程】连接CD,如图所示：

因为丽而，

所以丽=方+同=m+|同=方+|（而—不）=1^4+|CF-

所以3丽=m+2而，所以zn=2.

故选：B.

【变式3-2]（2024・浙江•二模）设M是平行四边形A8CD的对角线的交点，则+2而+2标+而=（）

------->------->------->1------->

A.ABB.CDC.2.ABD.-CD

2

【解题思路】根据平行四边形对角线平分及向量加减法计算可得.

【解答过程】M是平行四边形4BCD的对角线的交点，则双？=-标，丽=-丽，

所以雨+2MB+2MC+MD=MA+MC+~MC+TlB+TlB+MD=MC+¥B=MB-MA=AB.

故选：A.

【变式3-3]（2024•全国•模拟预测）在正方形45CD中，M是5c的中点.若配=而，AM=n,则丽=

（）

A.4m—3nB.4m+3n

C.3m—4nD.3m+4n

【解题思路】作图，根据图像和向量的关系，得到近=2（前-前）=2记-2元和荏=前-阮=记-

2m+2n=2n-m,进而利用丽=近+而=说一胡，可得答案.

如图，AC=m,AM=n,且在正方形ABC。中，AB=~DC

•••AC-AM=MC=^BC,：.BC=2(XC-AM)=2m-2n,

■■■AC=AB+BC,AB=AC—BC—m—2m+2n=2n—m,

.■.BD=BC+~CD=BC-AB=2m-2n-2n+m=3m-4n

故选：C.

【题型4向量的线性运算】

【例4】(2024•湖南岳阳•模拟预测)已知向量方，反则20+为—0一司=()

A.a+&B.~a—b

C.3a+bD.a+3b

【解题思路】直接由向量的线性运算即可求解.

【解答过程】由题意2(a+b)-(a-b~)=2a+2b-a+b=a+3b.

故选：D.

【变式4-1](2024•全国•模拟预测)在△力BC中，NA+WC=0,JM=2~MC,贝|()

A.~NM^--AB--ACB.~NM^-~AB--AC

3636

--->i-->i-->--->i-->1-->

C.NM=--AB+-ACD.NM=-AB+-AC

3636

【解题思路】根据题意，结合向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解.

【解答过程】在△ABC中，因为福+祝=6,所以N为力C的中点，

又因为丽=2祈乙所以M为线段BC的靠近C的三等分点，

所以而=而一丽=(而方=1(四—正)+：前=1荏+*前.

故选：D.

【变式4-2](24-25高二上•北京朝阳•阶段练习)1@+2石一3a一30—2石一力=()

A.———4cB.——Q+4Z)—

222c

c5一M3T5T9-

C.—a+77bH—cD.—a+5b—c

2222

【解题思路】根据向量的加减法即可得到答案.

［解答过程］^（a+2b-3c）-3（a-2b-c）=-|a+7ft+|c.

故选：C.

【变式4-3］（2024•四川德阳•模拟预测）在AABC中，点。在边BC上，且BD=，C,E为4D的

中点，贝U尼=（）

A.2AB+6AEB.6AB+2AEC.-2AB+6AED.6AB-2AE

【解题思路】由阮=3前及向量的加减运算即可解.

【解答过程】如图所示：

因为近=3丽，所以前一屈=3（而一屈），

得尼=3AD-2AB,

得尼=3x2AE-2AB,

得前=-2AB+6AE,

故选：C.

【题型5根据向量线性运算求参数】

【例5】（2024•山东•模拟预测）在止六边形4BCDEF中，CH^2HD,若丽=xZ5+yM,则x+y=（）

A.-B.3C.-D.-

333

【解题思路】根据向量的线性运算法则和运算律求解即可.

【解答过程】AH=AB+BC+CH=AB+^C+|CD=AB++1AF

-->--»-->O-->--»q-->

=AB+AB+AF+-AF=2AB+-AF,

所以％=2,y=g,所以％+y=/.

故选：D.

【变式5-1］（2024•贵州铜仁•模拟预测）如图，在中，M是边的中点，P是4M上一点，且前=|瓦5+

mBC,则m—()

【解题思路】设族=4宿，根据图形由向量的加法法则运算即可.

【解答过程】设Q=%前，因为M是边BC的中点，所以前=［前，

所以宿=JM-BA=^BC-BA,

JP^BA+AP^BA+AAM^BA+^ABC-ABA=（1-A）BA+|ABC,

__（?,__>（1-A=-1

又BP=?8A+znBC,所以<13,解得m=g

I|A=m

故选：A.

【变式5-2］（2024•广西•模拟预测）在△ABC中，AB=4AD,CE=2'ED.^BC=XAE+［iCD,则（）

A.4+〃=5B.A—jiz=1C.A/z=6D.-=3

【解题思路】将向量族，而看作基底，利用向量的加减法法则以及数乘的运算法则，得到阮=-3AE-2CD

即可.

【解答过程】依题意，AB^4AD,

所以前=~DC-~DB=-CD-3AD=-CD-3（AE+前），

又因为方=2ED,

所以阮=-而-3AE-3前=一加-3AE一面=-3AE-2CD,

所以4=—3,〃=—2,

所以4+4=—5,A—=—1,A/2=6,­=只有选项C正确；

故选：C.

A

【变式5-3］（2024•山西晋中•模拟预测）如图，在平行四边形2BCD中，M为BC的靠近点C的三等分点，AC

与MD相交于点P,若丽:久通+y前，贝1ky=（）

34

C--

4D.9

【解题思路】利用平行分线段成比例得到券=3,进而利用向量加法的平行四边形法则即可得解.

【解答过程】因为平行四边形力BCD中，M为BC的靠近点C的三等分点，4C与MD相交于点P,

所以竺=也=

PCCM

所以说=：前=：（屈+而）=：方+：而，又加=+y前，

所以x=y=1,xy-

J4/16

故选：B.

【题型6向量共线定理及其应用】

【例6】（2024•浙江•模拟预测）已知向量面，若2是平面上两个不共线的单位向量，且方=否+20，前=-

3瓦+2e2，石？=3瓦—6若2，则（）

A.A、B、C三点共线B.力、B、。三点共线

C.4、C、D三点共线D.B、C、。三点共线

【解题思路】根据向量西石共线则方=石（46R）判断即可.

【解答过程】对A,因为屈=击+2%，近=-3否+2&,不存在实数4使得法=4品，故4、B、C三点

不共线，故A错误；

对B,因为荏=否+2备，瓦？=3否-6备，不存在实数2使得屈=疝1,故2、B、。三点不共线，故B

错误；

对C,因为前=同+阮=-2否+4当，病=3击一60，则就=一|瓦?，故力、C、。三点共线，故C正

确；

对D,因为阮=-3e1+2e2,BD=-DA-AB=DA=-Sex+6e2-~ex-2e2=-+4e2,不存在实数4

使得阮=4丽，故B、C、。三点不共线，故D错误.

故选：C.

【变式6-1］（2024•内蒙古赤峰•二模）已知方，了是两个不共线的向量，命题甲：向量近+了与方-共线；

命题乙：t=—底则甲是乙的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解题思路】利用向量共线定理即可判断.

【解答过程】对于命题甲，可设近+5=40-21），即1+另=点-2石，

则｛］二2，所以

对于命题乙，”-决寸，无+了=一/五一2万），则有向量无+了与方一21共线.

故甲是乙的充要条件.

故选：C.

【变式6-2］（2024•河北•模拟预测）已知点4昆C是直线，上相异的三点，。为直线汐卜一点，且2瓦I=3而+

MC,贝版的值是（）

A.-1B.1C.-iD.1

【解题思路】化简得而=|南+（方，再利用三点共线系数和为1的结论即可得到方程，解出即可.

【解答过程】2瓦？=3OF+AOC,即瓦？=+|OC,

因为点4B,C是直线I上相异的三点，则点4B,C三点共线，

则T+（=l，解得2=—L

故选：A.

【变式6-3］（2024•陕西咸阳・模拟预测）已知向量项方不共线，荏=疝+5元=工+而，其中4>0,〃>0,

若48C三点共线，贝!M+4〃的最小值为（）

A.5B.4C.3D.2

【解题思路】根据向量共线定理和基本不等式即可求解.

【解答过程】因为三点共线,

所以存在实数上使几=卜儿，即而+E=k0+4),

又向量五是不共线，所以=)=2=1,

(1=ilk

由A>0,〃>0,所以4+4〃>2,42〃=4,

当且仅当2=4〃=2时，取等号，

即2+44的最小值为4.

故选：B.

►高考真题练

1.(2022•全国•高考真题)已知向量瓦万满足0=1/万|=H,国一2万1=3，则尤•万=()

A.-2B.-1C.1D.2

【解题思路】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.

【解答过程】解：；|五一212=Im2-44不+4同，

又:同=1,\b\=V3,|a-2b\=3,

.*.9=1—4a-b+4x3=13—4a-h,

/.a-b=1

故选：C.

2.(2023・全国•高考真题)已知向量反及"2满足同=\b\=1,团=V2,且工+了+7=6,则COS0-Zb-~c)=

()

4224

A.-B,C,-D.-

【解题思路】作出图形,根据几何意义求解.

【解答过程】因为方+石+下=6,所以方+了=一心

即五2+b2+Za-b=/，即l+l+2a-h=2,所以交了=0.

如图，设市=苍丽=万,而=下，

c

由题知,02=OB=1,0C=VX△O4B是等腰直角三角形，

AB边上的高OD=号,AD=y,

所以CD=C0+。。=&+?=¥，

tan/ACD——————cosz.ACD-,—,

CD3屈，

cos(a—~c,b—~c)=cosZ-ACB=COS2ZT4CD=2cos2Z-ACD-1

=2x"Y

故选:D.

3.(2023•全国•高考真题)已知。。的半径为1,直线出与。。相切于点/,直线必与。。交于8,C两

点，。为3c的中点，若|P0|=&,则丽・丽的最大值为()

A1+V2-1+2V2

A.----B.-----

22

C.1+V2D.2+V2

【解题思路】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得方•丽=|-ysin(2a-

£),或方•而=g+?sin(2a+D然后结合三角函数的性质即可确定方•丽的最大值.

【解答过程】如图所示，\0A\=lf\0P\=V2,则由题意可知:乙4尸。=5

由勾股定理可得伊川=70P2一。封2=1

------

\

\\

O

A

当点4。位于直线尸。异侧时或为直径时，设乙。PC=a,0<a<-,

PB4

则：PAPD=\PA\-\PD\cos[a+

1xV2cosacos(a

V-2

=V2coscr2

=cos2za—sinacoscr

1+cos2a1

=-----------二•sin2a

22

1V2(

=————sin2a—

22V

0<a<-,则一巴<2。一£<巴

4444

当点4。位于直线P。同侧时，设NOPCa,0<a<-,

4

则：PA-~PDPA-PDcos\~~a

=lxV2cosacosg-a)

WV2

=V2cosa--cosa+--sincr

22

=cos2^a+।si■nacoscr

1+cos2a1

十二■sin2a

22

i,V2..

=-H----sin2a4-

22\a

0<a<-,贝仁W2a+N〈科

4444

.•.当2a+?=狎，丽•而有最大值等.

综上可得，万•丽的最大值为竽.

故选：A.

4.（2024•北京・高考真题）设方，石是向量，贝1『值+刃）@一］）=0"是方=一石或/=万”的（）.

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解题思路】根据向量数量积分析可知@+司•司=0等价于同=同，结合充分、必要条件分析判断.

【解答过程】因为0+方＞0-5）=初一石2=0,可得n2=京，即同=同,

可知但+司•0—司=0等价于@=同，

若3=了或3=-反可得同=同，即@+石）•@-另）=0,可知必要性成立；

若@+司.©-石）=