2025年河南省高考数学押题试卷（附答案解析）

2025年河南省高考数学押题试卷

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的)

1.(5分)设集合4={0,a},B={\,a-2,3。-4},若则〃=()

4

A.2B.1C.D.-2

3

Snn+11

(5分)已知等差数列{an}的前项和为Sn，Q1=3,则嘱

an2

3399297200

A.—B.-----C.D.

50100200303

3.(5分)在单位圆中，已知角a是第二象限角，它的终边与单位圆交于点P(-y),则sin(n-a)=

()

4334

A.B.C.-D.-

3355

4.(5分)在(x+1)(x-2)(x+3)(x-4)(x+5)(%-a)展开式中，含力的项的系数是6,贝!Jq=()

A.-6B.-3C.3D.6

TTT—

5.(5分)己知平面向量a=(l,2),b=Gn,-1),贝！I“机<2”是“a与b的夹角为钝角”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

6.(5分)已知过抛物线f=2px(p>0)的焦点下作直线交抛物线于/、2两点，若|/F|=3|AF|,的中

点到y轴的距离为|,则p的值为()

A.2B.3C.4D.5

7.(5分)如图，一个正八面体的八个面分别标以数字1到8,任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地

面接触的面上的数字，得到样本空间为。={1,2,3,4,5,6,7,8},记事件/="得到的点数为偶

数”，记事件8="得到的点数不大于4”，记事件C="得到的点数为质数”，则下列说法正确的是()

第1页(共21页)

A.事件3与C互斥，N与C相互对立

B.P(4UB)=|

C.P(ABC)=P(A)P(3)P(C)但不满足/,B,C两两独立

D.P(ABC)=P(A)P(B)P(C)且/,B,C两两相互独立

8.(5分)若g(x)=max{\2x-3|,3-2x2},h(x)=max{\2x+3\,3-2/},f(x)=min{g(x),h(x)},

其中加办{x,y,z}表示x,y,z中的最大者，min{x,y,z}表示x,y,z中的最小者，下列说法不正确

的是()

A.函数/G)为偶函数

B.当工日1,3]时，有/(x)Wx

C.不等式“(x)]W1的解集为[一1,一孝]u[?，1]

D.当在[-3,-2]U[2,3]时，有九/'(x)]</(%)

二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部

选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)

(多选)9.(6分)设复数z在复平面内对应的点为Z,任意复数z都可以表示为三角形式r(cosO+isin。),

其中，为复数z的模,6是以x轴的非负半轴为始边，以0Z所在的射线为终边的角(也被称为z的辐角).利

用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，法国数学家棣莫佛发现[Ncose+isin0)]"=/(cos〃e+isin〃e)

("CN*),我们称这个结论为棣莫佛定理.根据以上信息，若复数z满足Z5=32,则z可能的取值为

()

-

A.2(coS".1.^+isizi-yLYf)B.2(cos-pJ—Fisin-pJ)

C.2(cos5+isi畤)D.2(cos等+is讥等)

(多选)10.(6分)已知函数/(%)=-/+3"+4下列说法正确的是()

A.若关于x的不等式/(%)<0的解集是{x|x<-2或x>8},则。

4

B.若集合{x/(x)=0}有且仅有两个子集，则片-序的最大值为大

9

C若母1)1=73则不1+西1;的最大值为可

D.若6=4-6a,且关于x的不等式/G)>0的解集中有且仅有三个正整数，则实数。的取值范围是

(多选)11.(6分)己知菱形/BCD的边长为2,ZADC^60°,将沿NC翻折，使点。与点2

第2页(共21页)

重合，如图所示.记点尸为翻折过程中点。的位置(不包含在点3处的位置)，则下列结论正确的是()

A.不存在点P,使得4BLPC

B.无论点尸在何位置，总有/C上面P3D

Vio

C.当三棱锥p-ASC的体积最大时，直线N3与平面尸3C所成角的余弦值为《一

D.当尸5=2时，M为PB上一点、,则的最小值为2

三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)

12.(5分)已知数列｛斯｝满足的=1,%+i-等=泵设S”为数列｛斯｝的前〃项和，则出

x2+mx+L%<0

13.(5分)若函数/(%)=1的最小值为/(0),则实数m的取值范围为.

xH---Fm,%>0

x

14.(5分)小王和爸爸玩卡片游戏，小王拿有2张标有/和1张标有5的卡片，爸爸有3张标有B的卡

片，现两人各随机取一张交换，重复〃次这样的操作，记小王和爸爸每人各有一张4卡片的概率记为

Cln，贝UC12=，Cln=•

四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

15.(13分)已知数列｛斯｝满足m=l,册+i=［册+L”为对.

I2czn+2,n为偶数

(1)记a=02”，写出加，bl,并证明数列｛a+3｝为等比数列；

(2)求｛斯｝的前2〃项和S2”.

16.(15分)记的内角N,B,C的对边分别为a,b,c,已知百as讥C=c(cos4+1),a=5V3,

△ABC外接圆的半径为凡

(1)求△NBC外接圆的面积；

(2)圆〃■经过尸(0,4),且与圆(x-1)2+(j-2)2=尺2关于直线i=o对称，圆M被直线

截得弦长为8,求直线尸。的方程.

17.(15分)已知函数/(无)=运某3，a&R.

(1)当a=0时，求曲线y=/(x)在点(0,f(0))处的切线方程；

第3页(共21页)

(2)求/(x)的单调区间；

11

(3)当0>0时，若对于任意在口，3],不等式5Wf(久)W1+/•成立，求a的取值范围.

18.(17分)如图，在四棱锥尸-48CD中，底面A8CD是正方形，PDL^ABCD,PD=AB=4,E为棱

PA上的动点.

(1)若£为棱H中点，证明：PC〃面£加；

2PE

(2)在棱刃上是否存在点E,使得二面角8-的余弦值为丁若存在，求出力的值；若不存在,

3r/I

请说明理由；

(3)E,F,0分别在棱以，PC,PD±.,EQ=FQ^1,求三棱锥尸-成>尸的体积的最大值.

19.(17分)已知椭圆■+1|=l(a>b>0),两焦点和短轴一个端点构成边长为2的正三角形.

(I)求椭圆方程；

(2)设直线/1：y=fcr+加与椭圆£相切于第一象限内的点P,不过原点。且平行于人的直线/2与椭圆

E交于不同的两点/，B,点/关于原点。的对称点为C.记直线0P的斜率为左1，直线3c的斜率为

左2.

①求詈的值；

②若。，P,B,C四点围成的四边形为平行四边形，求号叫的值.

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2025年河南省高考数学押题试卷

参考答案与试题解析

题号12345678

答案AACBBBCC

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的）

1.(5分)设集合4={0,a},B={\,a-2,3〃-4},若则Q=()

4

A.2B.1D.-2

【角军答】解：-A^B=A,：.AQB.

若。=1,则4=｛0,1｝,B=｛\,-1,-1）,不符合题意，舍去;

又所以Q=3Q-4且0=q-2,解得a=2.

故选：A.

2.（5分）已知等差数列｛劭｝的前项和为S〃，QI=3,—=——,则宅12二（）

an2

3399297200

A.-B.-----C.-----D.-----

50100200303

【解答】解：等差数列｛即｝中，＜21=3,—=

an2

则$=九（。1+厮）=n（3+ara）,

又因为团=手，所以Sn=a吗+1）="3'）,所以斯=3”，

an2z/

即得s—修，所以2=.=|6一看），

则瞠1寺=|（1-|+|-1+-+^-iUo）

-2a_J_）-33

故选：A.

3.（5分）在单位圆中，已知角a是第二象限角，它的终边与单位圆交于点P（-称，y）,则sin（n-a）=

()

A434

A•一百Bc-iD.

--I5

第5页（共21页）

【解答】解：由题意可得cosa=V，

又角a是第二象限角，

可得sina=Vl-cos2a=J1—(-^)2=5，

所以s讥(7T—a)=sina—

故选：C.

4.(5分)在(x+1)(.x-2)(x+3)(x-4)(x+5)(%-Q)展开式中，含力的项的系数是6,贝！J()

A.-6B.-3C.3D.6

【解答】解：(x+1)(x-2)(x+3)(x-4)(x+5)(x-a)展开式中，

含%5的项为x5-2X5+3X5-4X5+5X5-ax5=(3-a)x5,

所以3-a=6,解得Q=-3.

故选：B.

T—TT

5.(5分)已知平面向量a=(l,2),b=(m,-1),则“机<2”是“a与b的夹角为钝角”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

T-

【解答】解：•.・平面向量a=(1,2),b=(m,-1),

TT_)T_>T

a与b的夹角为钝角，则a・bVO且a与b不共线，

11

—8,—2)u(—彳，2)是(-8,2)的真子集，

TT

・・・“加V2”是“。与b的夹角为钝角”的必要不充分条件.

故选：B,

6.(5分)已知过抛物线B=22x5>0)的焦点尸作直线交抛物线于48两点，若|/人|=3出厂的中

点到y轴的距离为|,则p的值为()

A.2B.3C.4D.5

【解答】解：抛物线产=2.(p>0)的焦点F(§,0),准线2；久=—方准线交x轴于点K,

第6页(共21页)

由对称性，不妨令点/在第一象限，过/,3分别作/£＞，/,BELI,垂足分别为D,E,

过2作2G_LAD于G,交.FK于H,

令|8©=|明=〃，幺£）|=恒月=3〃，|明=p,

则3Gl=2",|叩=〃-小

^\FH\\BF\

由FH//AG>=而'

即少=

2n4n

则p=等

线段A8中点M,过用■作A/N_L/于N,

则\MN\=田引=n+3n=2九，

即|MN|=等,

5nW

由48的中点到夕轴的距离为］得|MN|=1+

所以p=3.

故选：B.

7.（5分）如图，一个正八面体的八个面分别标以数字1到8,任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地

面接触的面上的数字，得到样本空间为。={1,2,3,4,5,6,7,8},记事件/="得到的点数为偶

数”，记事件2="得到的点数不大于4”，记事件C="得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（）

第7页（共21页）

A.事件3与C互斥，N与C相互对立

B.P(4UB)=|

C.P(ABC)=P(A)P(B)P(C)但不满足/,B,C两两独立

D.P(ABC)=P(A)P(B)P(C)且/,B,C两两相互独立

【解答】解：由题意可知，事件/所含的样本点为：{2,4,6,8},事件3所含的样本点为：{1,2,

3,4},事件C所含的样本点为：{2,3,5,7},

对于选项工,因为事件2,C都包含样本点2,3,所以3,C不互斥，故选项/错误；

对于选项3,因为/U8所含的样本点为：{1,2,3,4,6,8},

所以P(HU8)4T，故选项8错误;

对于选项C,D,因为ABC所含的样本点为：{2},

11

所以PQ4BC)=又P(4)=P(B)=P(C)=I，

所以尸(4BC)=P(A)P(8)P(C),

又事件/C所含的样本点为：{2},

1111

所以P(4C)=*,又PQ4)P(C)=打*=?

所以尸(AC)中P(A)P(C),

所以事件z,c不独立，即aB,。两两独立错误，

故选项C正确，选项。错误.

故选：C.

8.(5分)若g(x)—max{\lx-3|,3-2x2},h(x)—max{\2x+3\,3-2/},f(x)=min{g(x),h(x)},

其中加ax{x,y,z}表示x,y,z中的最大者，根加{x,y,z}表示x,y,z中的最小者，下列说法不正确

的是()

A.函数/(x)为偶函数

B.当x€[l,3]时，有/G)Wx

C.不等式"(x)]W1的解集为[―1,—孝]U【¥，1]

D.当xe[-3,-2]U[2,3]时，有“G)]W/(x)

【解答】解：根据题意，若|2x-3|=3-2f,解得》=0或X=1,则g(久)=『久一：1，'<0或r>l,

13-2x2,0<x<1

第8页(共21页)

|2久+3],x<-1Mr>0

若|2x+3|=3-2：,解得x=0或x=-l,则九(%)=

3—2x2,-1<%<0

|2%+3|,x<-1

3—2x2,-1<%<1,

{|2%-3|,x>l

画出/(x)的图象，如图：

对于4,结合图象及/(-x)=fCx)知/(x)为偶函数，故4正确；

对于5,当比[1,3]时，x2-4x+3^0,即-12X+9W0,所以4?-12X+9W/,

所以|2x-3|Vx,所以/(x)Wx成立，故5正确；

对于C,令/(x)=t,则/⑺W1,当〈-1时，|2什3|W1,解得-2力〈-1,

当-1W/W1时，3-2PWL解得/W-1或又-10W1,所以-士1,

当>1时，|2「3|WL解得1VEW2,综上1WMW2,故1W,(x)|W2,

当xV-1时，l<|2x+3|<2,解得-2.5WxW-2,

万r—

当-IWxWl时，1W3-2/W2,解得今-W久W1或一lWtW—当，

2z

当X>1时，lW|2x-3|W2,解得2WxW2.5,

综上，不等式/]/(x)]W1的解集为{x|-2.5&W-2或-10W—孝或jWxWl或24W2.5},故C

错误；

对于。，当xe[2,3],令m=f3=2x-3e[l,3],

又由/(x)为偶函数，当在[-3,-2]U[2,3]时，m=f(x)e[l,3],

则/[/"(x)]^/(x)0f(m)-m^O,

结合选项3,当x6[-3,-2]U[2,3]时，有九/'(x)]W/(x)成立，故。正确.

故选：C.

二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部

选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分)

第9页(共21页)

(多选)9.(6分)设复数z在复平面内对应的点为Z,任意复数z都可以表示为三角形式「(cose+isin。),

其中r为复数z的模,。是以x轴的非负半轴为始边，以。Z所在的射线为终边的角(也被称为z的辐角).利

用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，法国数学家棣莫佛发现［Ncose+isin0)F=/(cos"e+isin〃e)

(〃6N*),我们称这个结论为棣莫佛定理.根据以上信息，若复数z满足Z5=32,则z可能的取值为

()

A.B.2(cos-^—F

C.2(cos/+isin*)D.2(cos-^-+isin^)

【解答】解：设z=r(cos解答nB),其中y>0,则z5=/(cos50+zsin50)=32,

故/cos58=32,sin58=0,而cos5e>0,故5。=2配，蛇Z,所以。=弓1左CZ,

2kir2kir

故r=2,故z=2(cos-+zsin—^―),keZ,

故8。正确，/C错误.

故选：BD.

(多选)10.(6分)已知函数/(x)=-/+3"+6,下列说法正确的是()

A.若关于X的不等式/(X)<0的解集是｛x|x<-2或X>8｝,则。2a=6

4

B.若集合｛x/(x)=0｝有且仅有两个子集，则『-庐的最大值为

9

c若母1)=175则r,不1+西1;的二，最「大，，》值,为V2可+1

D.若6=4-6a,且关于x的不等式/G)>0的解集中有且仅有三个正整数，则实数。的取值范围是

【解答】解：对于/选项，因为关于x的不等式/G)<0的解集是｛x|x<-2或x>8｝,

所以-2和8是方程--+3ax+b=0的两根，根据韦达定理可得-2+8=3。，-2X8=-b9

解得。=2,6=16,所以。2。=24=16=6,所以4选项正确；

对于5选项，运用集合3/G)=0｝有且仅有两个子集，

所以方程-%2+3。二+6=0只有一个根，所以△=(3^)2-4X(-1)Xb=0,

所以9Q2+46=0,所以一言/｝=次，

将一部=次代入a2-庐得：a2—b2=—b2b=一(b+^)2+言(匕40),

74

所以当b=-时，/-提取得最大值所以3选项错误；

第10页(共21页)

117117

对于C选项，若/(可)=-^~，则—+所以a+b=2,

令a=l+t,则b=\-t,

〜，1111112(/+2)2(/+2)

"层+i/+i-(1+“2+1(l-t)2+it2+2t+2/―2t+2-(t2+2)2-4t2-d+4'

人c.2u2u

令〃=户+2(〃22),贝UT--F—=-----,

Q-2>+4U2-4U+8

即求2的最大值，令y=2号_

根据不等式比+]22/17|=4立，当且仅当a=[时取等号，

所以yW77f==与1,所以最大值为漫:，所以C选项正确；

对于D选项，当b=4-6Q时，f(x)=-，+3办+4-6a,

因为/(x)>0的解集中有且仅有三个正整数，

令g(x)=x2-3ax+6a-4,

则g(x)V0的解集中有且仅有三个正整数，

因为对称轴为％=竽，又g(1)=1-3a+6a-4=3。-3,g(2)=4-6a+6a-4=0,

g(3)=9-9。+6。-4=5-3。，g(4)=16-12。+6。-4=12-6a,

要使g(x)V0的解集中有且仅有三个正整数1,2,3,

则(9⑶即[5—0,

[9(4)>0(12-6a>0

解得3<aW*所以Z)选项正确.

故选：ACD.

(多选)11.(6分)已知菱形/BCD的边长为2,ZADC=6Q°,将△/CO沿NC翻折，使点。与点8

重合，如图所示.记点尸为翻折过程中点D的位置(不包含在点B处的位置)，则下列结论正确的是()

A.不存在点尸，使得尸C

B.无论点尸在何位置，总有ZCL面

Vio

C.当三棱锥尸-ABC的体积最大时，直线48与平面P3C所成角的余弦值为M

第11页(共21页)

D.当尸8=2时，M为PB上一点、,则NM+CM的最小值为2

【解答】解：菱形A8CD的边长为2,ZADC=60°,将△/CO沿NC翻折，使点。与点3重合，如

记点P为翻折过程中点D的位置（不包含在点B处的位置），

对于4P的轨迹是以AC为轴的两个同底的圆锥底面半圆弧，

由题意得圆锥轴截面的顶角为N24D=/8CD=120°,大于90°,

则存在两条母线互相垂直，即存在点P使得尸C,

而翻折前...存在点P,使得4BLPC,故/错误；

对于8,依题意，LABC,ZX/PC都是等边三角形，

取/C的中点E,贝PELAC,

又PECBE=E,PE,BEu平面产BE,二/。_1_平面

又尸3u平面P3E,：.AC±PB,

:四边形/BCD是菱形，：.AC±BD,又PBCBD=B,PB,Mu平面尸助，

；./C_L平面PAD,故5正确；

对于C,由选项8知，NC_L平面PBE,BE=PE=«,NPEB是二面角P-/C-3的平面角,

111

三棱锥P-ABC的体积。PYBC=言SAPEB-AC=Y^BE-PEsin乙PEB-AC=sin乙PEB<1,

当且仅当NPE3=90°时取等号，此时PE_L平面力BC,PB=VPE2+BE2=V6，

等腰△尸3C的面积S=±xnxJ22—（乎）2=孚，

设点A到平面PBC的距离为d,

由VAPBC—VP-ABCI得qx—^―xd=1,解得d=马普，

3Z。

第12页（共21页）

设直线AB与平面PBC所成的角为e,

则sin。=磊=4Wcos3-Vl-sin29=邛^,故C正确；

对于。，当网=2时，三棱锥尸-48C为正四面体，

将△E48,△PC3展开在同一平面内，如图,

由题意得四边形/2CP为菱形，NA4P=60°,

当/,M,C三点共线时，取得最小值2点，故。错误;

故选：BC.

三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）

12.（5分）已知数列｛丽｝满足的=1,与+1-号=4，设％为数列｛所｝的前九项和,则Sn=

n+2

4-2rlT-

【解答】解：数列｛斯｝满足的=1,即+1-学=义，设必为数列｛劭｝的前〃项和,

由a九+1一号=/,得271a九+i—2九一%九二1,

所以｛2七1斯｝是首项和公差都为1的等差数列,

可得2G劭=1+1=〃，所以册=痣1，

12n112n

^=20+21+-+^^n=^+^+-+-,

11

一一1111n1一科n2+n

两式相减何］S广T一乔=「—=2-------，

n=1+TT+T2+--+2n2n

所以%=4-貂.

故答案为：4-肃.

X21+mx+L%<0

13.（5分）若函数/（%）=1的最小值为/（0）,则实数冽的取值范围为」1,01.

xH---1-m,x>0

x

【解答】解：又因为当X>0时，函数/（%）=%+[+TH2•1+m=TH+2,当且仅当X1时等号

成立;

第13页（共21页）

如果最小值为/(0)可得/(O)W加+2,所以1W加+2,解得"zN-1；

当xWO时，函数/(x)=，+加x+1关于直线乂=—手•对称，

如果最小值为/(O),可知一受20,所以加W0.

综上可知，实数机的取值范围为［-1,0］.

故答案为：［-1,0］.

14.(5分)小王和爸爸玩卡片游戏，小王拿有2张标有/和1张标有3的卡片，爸爸有3张标有2的卡

片，现两人各随机取一张交换，重复〃次这样的操作，记小王和爸爸每人各有一张N卡片的概率记为

16113

斯，则。2=即=_—(--)+

【解答】解：小王拿有2张标有/和1张标有3的卡片，爸爸有3张标有3的卡片，现两人各随机取

一张交换，重复V次这样的操作，

记〃次这样的操作小王恰有一张/卡片的概率为斯，有两张/卡片的概率为好,

l232,131,1、1,22、，，23、，16

则1m的=可乂可=可，81=@*可=可，%=(可x可+可xW)。］+(可X3)Z)1=27)

=(fXf)al+Xf=苏，

重复〃次这样的操作，

an-(3X3+3X3^n_1+(3X+3X3C1-an-l~%-1)=~gan-l+于an-5=-9(an-l-

:)'又白所以％i=/(―［厂1

四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

a九+1,n为奇数

15.(13分)已知数列｛斯｝满足ai=l,an+1=

2an+2,n为偶数

(1)记与=42”，写出加，历,并证明数列｛为+3｝为等比数列;

(2)求｛斯｝的前2〃项和S2〃.

a九+1,ri为奇数

【解答】解：(1)已知数列｛斯｝满足m=l,册+1=

2an+2,n为偶数

贝U42〃+1=2。2及+2,。2篦+2=42〃+1+1•

所以〃2篦+2=2。2九+3,

即=26篦+3=6/1+3=2(b〃+3).

且6I+3=Q2+3=QI+4=5.

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所以｛^+3｝是以5为首项，2为公比的等比数列，

则6n+3=5-2-1,

1

于是61=2,&=7,bn=5-2"--3.

(2)记Cn=O2"-l，

则仇=。2〃=。2"-1+1=Cn+l,

从而数列｛即｝的前2n项和为：

Sin—----^ain-I)+(。2+。4+。6^^----^。2”)

=(ci+c2+…Cn)+(61+历+…加)=2(61+62+…6”)_n

=2X[5・(1+21+…+2"-1)-3〃]-〃=5・2"+1-7〃-10.

16.(15分)记△/8C的内角4B,C的对边分别为a,b,c,已知百as讥C=c(cos4+1),a=5旧，

△4BC外接圆的半径为R.

(1)求△/BC外接圆的面积；

(2)圆M经过尸(0,4),且与圆(x-1)2+(7-2)2=产关于直线X-〉-i=o对称，圆又被直线

尸。截得弦长为8,求直线尸。的方程.

【解答】解：(1)A/BC的内角/,B,C的对边分别为a,b,c,

由V^as讥C=c(cosA+1),

根据正弦定理，得百s讥力sinC=sinC(cos4+1),

VCG(0,TT),AsinOO,

则8sinA=cosA+1,即2sin(A一看)=1，即sinQl一看)=1->

又又(0,it),则:),：.A-l=l，即4*,

则如=云=粤=1°,即氏=5,

T

：.A4BC外接圆的面积为TTR2=25F.

(2)由圆(x-1)2+(广2)2=尼=25,圆心为(1,2),半径为R=5,

圆M经过尸(0,4),且与圆(x-1)2+(厂2)2=R2关于直线x-y-1=0对称，

rm+l_n+2_1=0

22

设M(777,"),由题意得《9，

岛xl=T

解得〃?=3,n—0,即A/(3,0),

则圆M的方程为(x-3)2+产=25,

当直线尸。的斜率不存在时，直线尸0的方程为x=0,

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此时P(0,4),Q(0,-4),则甲Q|=8,符合题意；

当直线尸。的斜率存在时，设直线尸0的方程为了-4=履，即fcc-y+4=0,

M(3,0)到直线P。距离为d=粤土,

Vfc2+1

由d2+(单)2=R2,得(粤粤)2+42=52,

解得k=—£7，则直线尸0的方程为一£7久一y+4=0,即7x+24y-96=0.

综上所述，直线PQ的方程为x=0或7x+24j-96=0.

(1)当。=0时，求曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程；

(2)求/(x)的单调区间；

11

(3)当0>0时，若对于任意xC[l,3],不等式5W/(久)W1+7•成立，求a的取值范围.

【解答】解：(1)因为a=0,

所以"久)=寻,定义域为R，

可得/'«=手

所以，(0)=2,

又/(0)=-1,

所以曲线/G)在点(0,7(0))处的切线方程为y+l=2x,

即2x-y-1=0；

ax2+x—1

(2)因为/(x)=~不-,定义域为R,

ax2—2ax+x—2_(ax+l)(x—2)

可得八支)=—

ex

当a>0时，

令，(%)=0,

第16页(共21页)

1

解得％1=——JX2=2f

此时一擀VO<2,

当xV—：时，，(x)VO,/(x)单调递减；

当一工<r<2时，f(x)>0,f(x)单调递增；

当x>2时，f(x)<0,f(x)单调递减，

当a=0时，/(久)，易知xe(-8,2)时，/'(X)>0,xe(2,+8),，(x)<0,

1

当a<0时，0<-i<2,

1

即aV—2时'

当—:时，/(X)/(X)单调递增；

当一:<r<2时，f(x)<0,f(x)单调递减；

当x>2时，f(x)>0,f(x)单调递增；

若—，=2,即。=一'!■时，f(x)20恒成立，f(x)在R上单调递增，

11

若——>2,即-2VaV0时，

当xV2时，f(x)>0,/(x)单调递增；

当2VxV—1时，f(x)<0,f(x)单调递减；

当—:时，于'(X)>0,f(x)单调递增，

综上，所以当aV—"I■时，f(x)的单调递增区间为(—8,—})和(2,+8),单调递减区间为2)；

当—称VaVO时，f(x)的单调递增区间为(-8,2)和(―}，+°°),单调递减区间为(2,—1)；

当。>0时，/(x)的单调递减区间为(—8,—1)和(2,+8),单调递增区间为(―1，2)；

(3)当。>0,

由(2)知，/(%)在口，2)上单调递增，在(2,3]上单调递减，

11

因为对于任意工曰1,3],不等式5</(x)<1+/成立，

111

所以/⑴4,/(3)4，f(2)Wl+/,

第17页(共21页)

彳匚I、Ial乙、9a+21乙4a+l1

所以/(I)=7-2,/3)=—>r/2)=—<1+-2.

cd匕JCc

解得4U，a<^,

Lioq

故。的取值范围为多国.

18.(17分)如图，在四棱锥P-48。中，底面N3CD是正方形，PDL^ABCD,PD=AB=4,E为棱

PA上的动点.

(1)若E为棱刃中点，证明：PC〃面即。；

2PE

(2)在棱以上是否存在点E,使得二面角2-DE-/的余弦值为丁若存在，求出示的值；若不存在,

请说明理由；

(3)E,F,。分别在棱为，PC,PD上,EQ=FQ=1,求三棱锥歹-ED尸的体积的最大值.

【解答】解：(1)证明：连接/C交3。于。，则£。为三角形中位线，易知产。〃E。,

又因为£Ou平面上，PCC面EBD,

所以PC〃面EAD；

(2)以。为原点，以D4所在直线为x轴，。。所在直线为y轴，DP所在直线为z