2025年高考数学二轮复习专练：平面向量的数量积及其应用【八大题型】

专题4.5平面向量的数量积及其应用【八大题型】

【新高考专用】

1、平面向量的数量积及其应用

平面向量的数量积是高考的热点内容.从近几年的高考情况来看，试题主要以选择题、填空题的形式呈

现，其中平面向量的数量积、夹角、模与垂直条件等知识是高考的重点、热点内容，难度中等，有时会与

三角函数、平面几何等相结合命题.学生在高考复习中应注意加强对向量的数量积、数量积的坐标表示的掌

握，能灵活求解.

►知识梳理

【知识点1平面向量数量积的求解方法】

1.平面向量数量积的两种运算方法

(1)基底法：当已知向量的模和夹角。时，可利用定义法求解，适用于平面图形中的向量数量积的有关

计算问题；

(2)坐标法：当平面图形易建系求出各点坐标时，可利用坐标法求解.

【知识点2数量积的两大应用】

1.夹角与垂直

->a•b

根据平面向量数量积的性质：若6为非零向量，则cos6=(夹角公式),＜2_1_心台＜2-心=0等,

可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题.

2.向量的模的求解思路：

(1)坐标法：当向量有坐标或适合建坐标系时，可用模的计算公式；

⑵公式法：利用同=及G±92=।才±21I+同2,把向量的模的运算转化为数量积运算;

(3)几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利

用余弦定理等方法求解.

【知识点3向量数量积综合应用的方法和思想】

1.向量数量积综合应用的三大解题方法

(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应

的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.

(2)基向量法：适当选取一组基底，写出向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来

进行求解.

(3)利用向量运算进行转化，化归为三角函数的问题或三角恒等变换问题是常规的解题思路和方法，以

向量为载体考查三角形问题时，要注意正弦定理、余弦定理等知识的应用.

【知识点4极化恒等式】

1.极化恒等式的证明过程与几何意义

⑴平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和:

|Z+W+|1石|2二2（|£/+|W）.

证明：不妨设A5=a,AD=Z?,贝|AC=Q+B,DB=a—bf

2222

IAC|=AC=（a+5）=|a|+2a-b+\^®，

\DB[=DB2=（^-b^=\^-2a-b+麻②，

①②两式相加得：

|AC|2+|DB|2=2（麻+阳=2（网2+

⑵极化恒等式：

上面两式相减，得：＞刃=曲2+研2-"际]--------极化恒等式

平行四边形模式：a-5=^[|AC|2-|DB|2].

(3)几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平

方差的L

4

【方法技巧与总结】

1.平面向量数量积运算的常用公式

⑴G—司=蓝—工

/->2->2——今2

⑵(a±6)=a±2〃•〃+1.

2.有关向量夹角的两个结论

(1)若。与方的夹角为锐角，则。•%>()；若a•6>0,贝必与b的夹角为锐角或0.

4->->->->->->->

(2)若a与人的夹角为钝角，则a•b<0；若a•60,贝!I。与6的夹角为钝角或兀.

->

>->(i•h6

3.向量。在向量6上的投影向量为节/-

-,>

►举一反三

【题型1平面向量的数量积】

【例1】(2024.广东.一模)已知商访的夹角为150。，且同=2,同=k，则0+2均不=()

A.-9B.-3C.3D.9

【解题思路】根据向量数量积运算求得正确答案.

【解答过程】0+2司)=江/+2同2

=|a|­|b|•cosl500+2\b\

=2.存(¥)+2•(⑹2=3

故选：C.

【变式1-1](2024・广东广州•模拟预测)设平面向量日=(4,2),b=(m,1),若2与3不能作为平面向量的一

组基底，贝必不=()

A.2B.10C.-6D.0

【解题思路】由条件，结合基底的定义列方程可求小，再由数量积的坐标表示求港3.

【解答过程】因为，与3不能作为平面向量的一组基底，

所以江//石，又江=(4,2),b=(m,1),

所以4—2m=0,故TH=2,

所以3=(2,1),

所以d-3=4x2+2xl=10.

故选：B.

【变式1-2］（2024.安徽芜湖•模拟预测）莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工

业上应用广泛.如图所示，分别以正三角形ABC的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成

的曲边三角形即为菜洛三角形，已知正三角形A8C的边长为1,点尸为48的中点，则丽•（可+而）的值

为（）

A.1B.2-V3C.-D.—

22

【解题思路】根据题意，建立平面直角坐标系，求出相应向量的坐标，结合向量的数量积的坐标运算公式,

即可求解.

【解答过程】根据题意，以C为坐标原点，BC所在的直线为x轴，过点C且垂直于BC的直线为y轴，建立平

面直角坐标系，如图所示，

因为正AZBC的边长为1,且点P为7TB的中点，所以NPCB=30。，

点P在以C为圆心，BC为半径的圆上，

则C（O,O）,B（—i,o）,a（一（净,p（一苧

所以而=谭，一》同=

则方+丽=（V3-|,y-1）,

所以瓦.（R4+PB）=yx（V3-1）-1x（y-1）=2-V3.

故选:B.

【变式1-3］（2024.山东威海.一模）在△ABC中，ABAC=90°,\AB\•|^4C|=1,P是△ABC所在平面内一

点，而=嵩+3奇，则而•瓦的最大值为（）

A.5+2V3B.10+2V3C.5-2V3D.10-2V3

【解题思路】根据向量的数量积以及基本不等式求解即可.

【解答过程】/.BAC=90",AB-AC=0,

••・Q嘀+31

二而2=（需+3菊=（葡+6儡湍+卜裾）=1+0+9=10,

PB-~PC=（PA+AB）-（PA+XC）

=PA2+PA-AC+PA-AB+AB-AC

10-AP-AC-AP-AB

=10-3\AC\-|AB|=10-（3|Zc|+画）＜10-2/3|Zc|-|AB|=10-2V3

当且仅当3|彳？|=\AB\,即I同I=V3,|4C|=:时等号成立,

所以而­玩的最大值为10-2V3.

故选：D.

【题型2平面向量的夹角问题】

【例2】(2024.福建泉州.模拟预测)已知向量乙前满足同=|同,2与3的夹角为,N+B+m=0,则2与强

夹角为()

A.-B.-C.—D.—

6336

【解题思路】对等式，五+b+c=0进行变形得'=-a-b,再运算数量积的运算求解即可.

【解答过程】设m=同=1,由题得3=-五一九

所以五•c=a•(—a—6)=—a2—a-b=—\a\2—\a\•|b|cos^=—1—1=—|,

c2=(—a—b)2=a2+2a-6+&2=3,所以同=V3,

所以cos〈d,,〉=就卷=一手,又他1〉e[0润，

所以Q©=当，

6

故选:D.

【变式2-1](2024.四川雅安.一模)已知单位向量出3满足机另=0,贝|3n+3,2石+41=()

A3V10n2遮心^V10

A.-------D.C.—L).

105510

【解题思路】求出伍+5)•(22+4力，忖+可与3+4司,再应用夹角余弦公式求解即可.

【解答过程】解：因为㈤=|同=1,a-b^O,

2

所以伍+b)■(2d+46)=2向2+6a-6+41bl=6,

222

因为恒+b|=\a\+2a-b+\bf=2,\2a+4司？=4|a|+16a-b+16同？=20,

所以眄+同=鱼，|2B+4司=24，

所以cos位+b,2a+4b)=(£+f+牛==亚，

、/\a+b\\2a+4b\V2x2>/510

故选：A.

【变式2-2](2024.湖北・二模)已知平面向量d=(1—%,—x—3),b=(1+x,2),a-b=-4,贝嗫+23与

3的夹角为()

A.-B.-C.—D.—

3434

【解题思路】根据题意，由平面向量数量积的坐标运算可得久=-1,再由平面向量的夹角公式代入计算，

即可得到结果.

【解答过程】2•3=-4n(1-x)(l+x)—2(久+3)=-4今x=—1nB=(2,—2),

b=(0,2)=>a+2Z>=(2,2),

/T.07*(a+2byb0+4V2

・•.cos(a+2b,b)==尔=3'

(d+2b,b)e[O,TT],(a+2b,b)=%

故选：B.

【变式2-3](2024.全国•模拟预测)单位向量2,3,m满足2—23+23=0,则cos佰石一2寸=()

A.渔B.渔C.渔D.渔

8426

【解题思路】法一:将a=2b-20平方得了]》求出B—2司=手,再利用夹角公式求解;法二:设a=(1,0)

向量坐标化，确定3，泊再利用向量夹角的坐标公式求解.

【解答过程】法一：因为1-23+25=6,所以a=2石一2*所以小=4京;+4不一8九人

由房3,5是单位向量，得苏=/=*=1,故另.3=2

8

所以后一2日2=g2-46-c+4c2=1-1+4=|,所以忸一24=当

因为2•(b-2c)=(2b-2。.(3-21)=2声+4产一6石工=6-£

a*(b-'2c)V6

所以cos(d,b—2c)=

|a||d-2c|4-

法二：因为五一23+23=6,所以d=23—2,.因为匕Ml是单位向量,

所以设a=(1,0)，3=(%,乃)，c=(x2,y2),则好+比=1,x^+yl=1,(1,0)=(2/-2的,2%—2y2)，

解得=1%2=-3，月=先=±谭・

取屋&甯”(VW)，贩-

因为a(b-2c)=(1,0)-G，-W)=1B-2c|=苧,

所以COS⑹b-2c)=需篇=&=*

2

故选：B.

【题型3平面向量的模长】

【例3】(2024•浙江温州.一模)己知平面向量窗石满足同=同=1,(a,b)=60°,则恒+2同=()

A.1B.V3C.2D.V7

【解题思路】由题意，结合口+2回2=*+4鼠3+4源计算即可求解.

【解答过程】由题意知,\a\=\b\=l,{a,b)=60°,

|a+2b\=d2+4a.-b+4b2=1+4|a||b|cos60°+4=7,

所以+2b\=V7.

故选：D.

【变式3-1](2024.全国.模拟预测)平面向量2=(1,-2),3=(2,m),若之〃3,则归一司=()

A.V3B.2C.V5D.V6

【解题思路】利用向量平行求出小，再利用模长公式求解答案.

【解答过程】因为4/3,所以lxm=—2x2,解得m=—4,所以2—3=(—1,2),所以恒―同=店.

故选：C.

【变式3-2](2024•北京海淀•三模)已知3为单位向量，向量B满足r3=2,\a-Ae\=1,则同的最大值

为()

A.1B.2C.V5D.4

【解题思路】设3=(1,0),2=(x,y),根据2京=2求出》,再根据B一箱|=1得到y2=1—(2—Q2,最

后根据向量模的坐标表示及二次函数的性质计算可得.

【解答过程】依题意设3=(1,0),a=(x,y),

由五・3=2,所以x=2,则d=(2,y),

又a—Ae=(2,y)—(A,0)=(2—A,y),且—Ae|=1,

所以J(2-Q2+y2=1,即y2=1_(2一;1)2,

所以㈤=122+y2=J4+1一(2—4)2w亚,当且仅当4=2时取等号,

即⑷的最大值为近.

故选：C.

【变式3-3](2024.湖南湘西.模拟预测)己知乙3,0均为单位向量，且储力=+B0=；,贝|厄+石+

花|(t6R)的最小值为()

A.三B.如C.2D.三

4242

【解题思路】利用向量的模的计算可得同+3+花|=Vl+t+t2,结合二次函数可求最小值.

【解答过程】因为人正均为单位向量，且且(房力=看口+就>=泉

所以|N+b|=J0+b)2=y/a2+2a-b+b2=Jl2+2xlxlxcos^+I2=1,

\a+b+tc\=J(a+b+tc)2=J(a+b)2+2t(a+b)-c+(tc)2

—Jl2+2txlxlxcos^+t2—V1+t+t2—+1)2+1>=今

当"一如M+B+m(teR)的最小值为当

故选：B.

【题型4平面向量的垂直问题】

【例4】(2024•辽宁•模拟预测)若出3是夹角为60°的两个单位向量，立+3与22—3垂直，则4=()

A.0B.2C.-1D.-2

【解题思路】由数量积的定义可求出五不，再由向量垂直的性质求解即可得出答案.

【解答过程】解：a,3是夹角为60°的两个单位向量，

贝!J|2|=\b\=1,a-K=1x1xcos60°=

因为+B与2五一反垂直，

则Rd+b)-(2a-h)=2Aa2+(2-2)a-h-b2=0,

即2；1-1+(2-；1)*1=0,解得4=0.

故选：A.

【变式4-1](2024.全国.模拟预测)已知向量d=(1,4),另=(2,—1).若0+23)1丸贝牧=()

A.1B.-1C.12D.-12

【解题思路】(方法一)由a超的坐标，求得2+23的坐标，利用向量垂直的坐标表示式列出方程求解即得;

(方法二)先由他+2均1石化简，再代入立了得坐标计算即得.

【解答过程】(方法一)由a=(1,4),b=(2,-1),得江+23=(5,4-2).

由@+2区)1人得值+2司j=0,即5x2+(/I-2)x(-1)=0,解得4=12.

故选：C.

(方法二)由(五+2])13,得0+2司j=0,即江■石+2>2=o,

将a=(1,4),匕=(2,-1)代入得，1X2+4X(-1)+2X[22+(-1)2]=0,解得4=12.

故选：C.

【变式4-2](2024•海南省直辖县级单位•模拟预测)已知向量2=(1,2),b=(4,x),c=2a+b,若2，落

则实数x的值为()

A.7B.-7C.2D.-2

【解题思路】先求出落再根据两个向量垂直的坐标公式计算求解即可.

【解答过程】因为4=(1,2),h=(4,x),

所以/=2a+b=(6,4+%),

由江1c,得d-c=0>

则6+2(4+x)=0,解得x=-7.

故选：B.

【变式4-3](2024•甘肃张掖・三模)已知向量匕3满足|由=问=1,且213,若(痛+3)10+4),则

()

A.4+〃=0B.4+〃=—1

C.A/i=-1D.2/1=0

【解题思路】根据题意，(府+刃，0+m)，则(获+另)・(,+/)=(),结合数量积运算律化简可解.

【解答过程】根据题意，alb,所以五不=0,

又(a五+，)_!,(/+〃力)，所以(ad+-(a+=o,

BPAa2+(1+Ajtz)d•b+/ib2=0,因为|d|=\b\=1,

所以2+〃=0.

故选：A.

【题型5平面向量的投影】

【例5】(2024.山东泰安・模拟预测)已知单位向量乙族满足恒-3=1,则d在B方向上的投影向量为()

C.-aD.-CL

【解题思路】两边平方求出数量积，然后在根据投影向量公式计算即可.

【解答过程】因为是单位向量，所以M=Lb=1,由。一匕=1得a—b=1,则十一2@/+庐=

,TT1

1,得Q-/?=-,

设孟与b的夹角为氏则石在b方向上的投影向量为同

故选：A.

【变式5-1］（2024•吉林•模拟预测）已知向量,=（1,0）是=（1,2g）,则向量日+3在向量江上的投影向量为

A.(2,2V3)D.2a

【解题思路】根据题中条件及投影向量的定义计算即可求解.

【解答过程】由向量a=（i,o）,b=（i,28），

则立+另=（2,2次），（a+b）-a=1x2+0x273=2,\a\=l,

7（a+b\a7

则向量2+b在2上的投影向量为：%匚=2a.

Ial网

故选：D.

【变式5-2］（2024.湖北.模拟预测）已知向量日=（1,0）,3=（0,1）,港3=大3=1,则向量旨在向量下上的投

影向量为（）

【解题思路】设出，的坐标，利用给定条件得到落再利用投影向量公式求解即可.

［解答过程］设己=(x,y)，因为d=(1,0),b=(0,1),a-c=b-c=1,

即向量3在向量让的投影向量为善.［=+.整=（舅）.

\c\\c\V2V222，

故选：A.

【变式5-3］（2024•陕西宝鸡・二模）已知向量出加勺夹角为45。，且同=4,港伍一不）=0,贝必在2上的

投影向量为（）

A.2dC.V2aD.2V2a

【解题思路】化简ay-B）=o求出后|=4位,进而求出3在a上的投影向向345。•卷即可.

【解答过程】因为N•0—3）=0,所以浮-a-b^O,即同2=彦=Bi=16,

所以江•3=|m.\b\■cos45°=4.间X曰=16,解得同=4vL

从而，殆a上的投影向量为同8545。*=力

故选：B.

【题型6坐标法解决向量数量积问题】

【例6】（2024•北京•三模）已知点N在边长为2的正八边形儿,42,…,4的边上，点M在边力送2上，则ArM-

A.[-4-2V2,2V2]B.[-4,4+2V2]

C.[-2A/2,4+2V2]D.[-2V2,4]

【解题思路】以义为原点，建立平面直角坐标系，表示出点M、N的坐标，计算4MM1N即可.

设N（%i，%）,M（%2,。）,则4M=（%2＞0）＞=（Xi，yi）＞

所以41M=xrx2,

由于正八边形的每个外角都为:；

4

则G[0,2],%!G[-V2,2+V2],

所以41M-ArN=%1%26[-2A/2,4+2V2].

故选：C.

【变式6-1]（2024.海南.三模）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边

长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三

角形中，已知力B=2,尸为弧AC上的一点，且NPBC=g则前•而的值为（）

6

A.4-V2B.4+V2

C.4-2V3D.4+2V3

【解题思路】根据数量积的坐标运算即可求解.

【解答过程】如图所示，

以B为坐标原点，直线为x轴,过点B且垂直于BC的直线为y轴,建立平面直角坐标系,则B（0,0）,C（2,0）,

由=1得P（V5,1）,所以乔=（V5,1）,CP-（V3-2,l）,所以前.而=百（遮—2）+lxl=4-

2V3.

故选：C.

【变式6-2X2024•湖南永州•三模）在△ABC中，乙4cB=120",|Zc|=3,|BC|=4,DC-DB=0,贝”南+说|

的最小值为（）

A.6V3-2B.2V19-4C.3A/3-1D.719-2

【解题思路】以C为坐标原点，CB所在直线为无轴，过C垂直BC的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标

系，求得点D的轨迹方程，取BD的中点为M,求得M的轨迹方程，数形结合可求|屈+同Imh

【解答过程】由题意，以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，过C垂直CB的直线为y轴建立如图所示的平面

直角坐标系，

则4(_|,卓)，8(4,0),由瓦•丽=0,可得。是以BC为直径的圆,

所以。的轨迹方程为(x-2)2+V=4,

取BD的中点为M,设M(x,y),D(%o，yo),

可得二京,所以巴:篦；4,所以(2x-6)2+(2y)2=4,

、y2

所以点M的轨迹方程为(x-3尸+*=1,圆心为“(3,0),半径为1,

由屈+前=2前，所以I荏+而I=2|前I，所以I荏+zmmin=2|前Imin，

所以I而Imin=\AH\-1=J(-|-3)2+(第_0)2_1=3旧—1,

所以|屈+而|min=6V3-2.

故选：A.

【变式6-3](2024•四川成都•三模)在矩形2BCD中，AB=5,AD=4,点E满足2荏=3丽，在平面ABCD

中，动点P满足瓦•丽=0,则丽•尼的最大值为()

A.V41+4B.V41-6C.2V13+4D.2V13-6

【解题思路】建立直角坐标系，利用向量的坐标运算即可结合三角函数的性质求解.

【解答过程】以。为坐标原点(。是8E中点)，建立如图所示的直角坐标系，

因为在矩形4BCD中，AB=5,AD=4,2AE=3EB,PE-PB=0,

所以动点P在以。为圆心，1为半径的圆上运动，故设P(cosasin。)，

则4(0,4),D(4,4),C(4,—l),

DP-AC=(cos。—4,sin0-4)•(4,-5)=4(cos0—4)—5(sin0-4)=V41cos(0+/)+4,

其中锐角9满足tan?=£故而•前的最大值为例+4,

故选：A.

【题型7向量在物理中的应用】

【例7】（2024・山西长治•模拟预测）平面上的三个力&F2/3作用于一点，且处于平衡状态.若|&|=1N,|F2|=

渔产N,6与F2的夹角为45。，则F3与a夹角的余弦值为（）

AV6+V20V6+V2「V6-V2「V6-V2

A.-----D.----------C.-----D.-----------

4444

【解题思路】根据用+月+用=6,先求得同=瓦+引，再由同=J同2+|同2+2同同COS。，即可

求解.

【解答过程】•••三个力平衡，

居+F2+F3=0,

.・.同=周+同=恫元同2

2+2E+2=J12+2X1X^COS45O+（^）=V2.

设及与瓦的夹角为。，则|国=J|同2+匠『+2同|同cose,

2

即^^=J12+V2+2x1x鱼cos。，

解得cos8=—三

4

故选：A.

【变式7-1］（23-24高一下•浙江台州.期末）一条河的两岸平行，河宽600m,一艘船从河岸边的某处出发

到河对岸.设船在静水中行驶的速度的大小为4km/h,水流速度的大小为2km/h.当船以最短距离到对岸时，

船行驶所用的时间（保留两位小数）为（）

A.0.17hB.0.15hC.0.13hD.O.lOh

【解题思路】要使航程最短，需使船的速度与水流速度的合成速度日必须垂直于对岸，利用勾股定理求出合

速度，从而可求出航行时间.

【解答过程】设一艘船从岸边A处出发到河的正对岸，设船的速度|正|=4km/h,水流速度|记|=2km/h,

要使航程最短，需使船的速度与水流速度的合成速度日必须垂直于对岸，

如图指：|叫=0司2—|国2=2g(km/h),

故选：A.

【变式7-2]（23-24高一下.河北保定•期中）平面上三个力用，豆,瓦作用于一点且处于平衡状态，|同=1N,

|^|=V2N,瓦与瓦的夹角为45。,则同的大小为（）

A.V3NB.5NC.V5ND.V6N

【解题思路】根据平衡状态得居=-（及+或），结合向量的数量积求解即可.

【解答过程】由题意得，瓦=-（月+月），

所以I同=1一（可+或）1=]（瓦+瓦f+2瓦.瓦+瓦2="+2+2=V5N,

故选：C.

【变式7-3]（2024.浙江温州.二模）物理学中，如果一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段

位移，我们就说这个力对物体做了功，功的计算公式：勿=立・§（其中皿是功，甘是力,§是位移）一物体

在力元=（2,4）和号=（-5,3）的作用下，由点4（1,0）移动到点B（2,4）,在这个过程中这两个力的合力对物体

所作的功等于（）

A.25B.5C.-5D.-25

【解题思路】利用条件，先求出两个力的合力耳+及及同，再利用功的计算公式即可求出结果.

【解答过程】因为耳=（2,4）,K=（-5,3）,所以及+可=（一3,7）,又力（1,0）,8（2,4）,所以屈=（1,4）,

故W=（耳+或）.屈=-3+7x4=25.

故选：A.

【题型8向量数量积与解三角形综合】

【例8】（2024・湖北•一模）如图，在AABC中，ABAC=12（T,4B=2,AC=1,。是BC边上靠近B点的三等

分点，E是BC边上的动点，则族•方的取值范围为（）

A・5]B.卜工C・卜消D.卜羽

【解题思路】先用余弦定理求出BC,再将向量用基底表示，借助向量运算性质计算即可.

【解答过程】由COSN艮4C=画需昌叱=—J,解得BC=巾.

NI£kD11IZ

设在=ACB,0<2<1,

则族-CD=（AC+CEyCD=（AC+ACB）­|CB=|XC-CB+|ZCB2=|ZC-（AB-AC）+^A.=|XC-

iU]

4B-|心+争=三+如卜3,3J

故选：c.

【变式8-1]（2024•江苏盐城•模拟预测）△ABC中，若4B=6,ABAC=工,N4CB=二则瓦？•前+6?•方=

34

（）

A.54B.27C.9D.3V6

【解题思路】利用正弦定理求出BC,再利用数量积的运算律求解即得.

【解答过程】在△ABC中，若4B=6,NBAC=工，乙4cB=:由正弦定理得BC=竺草=3粕，

34sin-

4

所以瓦I-~BC+CA-CB^BA-^C+AC-^CBC2=54.

故选：A.

【变式8-2]（2024.安徽六安.模拟预测）已知平面向量优b,蹒足同=1,同=百，日不=—|,

口一,3一寸=30。，贝U用的最大值等于（）

A.2A/7B.V7C.2A/3D.3A/3

【解题思路】由乙4。8=150。,44。8=30。，即点4O,B,C四点共圆，再利用余弦定理、正弦定理求解即可.

【解答过程】设瓦？=a,OB=b,OC=c,

由|团=1,|h|=V3,a-b=—I，贝！ICOSNAOB=—日，

所以乙408=150。，又缶一3花一4=30。，所以乙4cB=30。，

即点4。,民。四点共圆，要使同最大，即|赤|为圆的直径，

在△力。B中，由余弦定理可得AB?=OA2-+OB2-20AxOBxcos/LAOB=7,

即4B=V7,又由正弦定理可得2R=TT=2V7,

smz.AOB

即©的最大值为2V7,

故选：A.

【变式8-3]（2024.江西.三模）已知钝角△ABC的面积为3,4B=4,4C=2,则说•前的值是（）

A.-6B.-2V7C.2夕或一2bD.-6或6

【解题思路】根据题设求得sin/l=[,依题分角4为钝角和角C为钝角两种情况讨论检验，利用向量数量积的

4

定义即可分别求得.

【解答过程】依题意，|x2x4sinX=3,解得sin/=|,

若角”为钝角，贝!Jcos/=-V1-sin2X=

4

由余弦定理，BC2=42+22-2x4X2X（--）=20+4V7>AB?,符合题意，

4

此时，AB-AC=4x2cosA=8x（—，）=一2位；

若角C为钝角，则cos4=Vl-sin2/1=―,

4

由余弦定理，BC2=42+22-2x4x2x—=20-4近，

4

此时BC?+4C2-/1B2=20-4V7+4-16=8-4近<0,即cosC<0,符合题意，

此时荏•就=4x2cosX=8x"=2V7.

4

故选：C.

1.（2023.全国.高考真题）已知向量2,3,[满足I由=\b\=1,同=&，且a+另+1=6,则cos（a-4=

【解题思路】作出图形,根据几何意义求解.

【解答过程】因为N+b+c^6,所以R+b^-c,

即浮+b2+2d-b=召，即1+l+2a-b=2,所以4-b=0.

如图，设。A=a,OB=b,OC=c,

c

由题知,04=OB=1,OC=A/2,A048是等腰直角三角形,

AB边上的高OD='加=冬

所以CD=CO+。。=&+j=言,

17

tanz力。。=方=/汉48=而,

cos(a—c,b—c)=cosZ-ACB=cos2z.ACD=2cos12Z-ACD-1

2―4

—1-

5

故选:D.

2.（2023•全国•高考真题）已知。。的半径为1,直线用与。。相切于点A,直线PB与。。交于8,C两

点，。为8C的中点，若小。|=衣，则港•访的最大值为（）

n1+2V2

A.2D.----------

22

C.1+V2D.2+V2

【解题思路】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得万・丽-1

V2.(TC

—sin(2a—胃或刀.而=i+—sin(2a+-

24.

【解答过程】如图所示，\0A\=1,|OP|=V2,则由题意可知:乙4P。=?,

由勾股定理可得|P4|=VOP2-OA2=1

当点4D位于直线P。异侧时或PB为直径时，设NOPC=a,0<a<-,

4

贝l|：~PA-~PD=\PA\­\PD\cos(a+g

=1xV2cosacos(a+

V2.

—V2coscrcosa------sina

2

=cosz2(x—si■nacoscr

1+cos2a1

—2sin2a

2

1V2(

-———sin2a—

22V3)

0<a<-,则一工W2a—二<巳

4444

.♦•当2a-：=—个时，谈•丽有最大值1.

当点4D位于直线P0同侧时，设NOPCa,0<a<-,

4

则：PA-PD=PA-PDcosQ-a)

=lxV2cosacosg-a)

L(五V2\

=V2cosaI—cosa+—sinaI

=cosi2a+sinacosa

1+cos2a1

=----2----1-2sin2a

i.V2.z.n\

=—I--sin(2naH—),

22\4/

0<a<J,贝咛W2a+E(手

.•.当2a+E=］时，PA'而有最大值等.

综上可得，PA-PD的最大值为苫2

故选：A.

3.(2023・北京・高考真题)已知向量2,3满足日+3=(2,3)6—3=(―2,1),则向2—.2=()

A.-2B.-1C.0D.1

【解题思路】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答.

【解答过程】向量建I满足宰+b=(2,3),a-b=(-2,1),

所以|向2一।瓦2=(3+b).(a-6)=2x(-2)+3x1=-1.

故选：B.

4.(2023・全国•高考真题)已知向量2=(3,1遥=(2,2),则cos(N+3,R—力=()

【解题思路】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得忸+b\,\a-b\,他+司•0-3),从而利用平面

向量余弦的运算公式即可得解.

【解答过程】因为日=(3,1)1=(2,2),所以4+3=(5,3)8一1=(1,一1),

则恒+同=V52+32=V34,|a-b|=V1TT=夜，(a+h)-(a-b)=5x1+3x(-1)=2,

(a+S)-(a-5)2V17

所以cos(2+b,a—b)=

|a+H||a-h|一V34xV217,

故选：B.

5.(2023•全国•高考真题)已知向量N=(1,1),另=(1,一1),若R+小)1伍+髭)，则()

A.A+〃=IB.A+〃=—1

C.2/1=1D.A/z=-1

【解题思路】根据向量的坐标运算求出2+4丸汇+而再根据向量垂直的坐标表示即可求出.

【解答过程】因为五—(1,1),b—(1,—1)9所以五+Ab=(1+A,1—A),a,+/ib—(1+1—〃)，

由(d+昉)1(a+可得，(a+Ah)-(a+=0,

即(1+A)(l+〃)+(1—A)(l—〃)=0,整理得：A/z=—1.

故选：D.

6.(2024.北京.高考真题)设a,另是向量，则“Q+fo)•(a-fo)=0”是％=或2="的().

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解题思路】根据向量数量积分析可知R+&)­(a-b)=0等价于同=\b\,结合充分、必要条件分析判断.

【解答过程】因为他+司•(2—3)=为一/=0,可得彦=b2,即同=\b\,

可知(2；+6)■(d—6)=0等价于同=同,

若2=3或a=-另，可得向=|司，即(1+3)•R-另)=0,可知必要性成立；

若Q+司•(2—3)=0,SP|a|—\b\,无法得出B=b或d=—

例如2=(1,0)1=(0,1),满足同=|同，但五不反且日中一丸可知充分性不成立；

综上所述，“值+b)-(a-b)=。”是“3中3且3丰—庐的必要不充分条件.

故选：B.

7.(2024.全国•高考真题)已知向量%另满足㈤=1,同+2同=2,5.(6-2a)1b,则同=()

A.-B.—C.—D.1

222

【解题思路】由巧一2a)13得岸=2a-b,结合㈤=l,\d+2b\=2,得1+43不+4岸=1+6源=4,

由此即可得解.

【解答过程】因为年-2a)1b,所以@一2江)石=0,即位=2a-b,

又因为㈤=l,\d+2b\=2,

所以1+4a-b+4b2=1+6石2=4,

从而同=y.

故选：B.

8.（2024•全国•高考真题）设向量五=（久+1,%）,另=（久,2）,则（）

A.“x=—3”是*13”的必要条件B."x=1+遮”是％〃户的必要条件

C.“x=0”是213”的充分条件D.%=-1+遍”是*〃萨的充分条件

【解题思路】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.

【解答过程】对A,当五13时，贝展不=0,

所以x・（x+l）+