2025年湖南娄底初三一模中考模拟数学试卷（含答案详解）

数学

时间：120分钟满分：120分

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的.

1.在-3,也,0,-1.5这四个数中，最小的数是（）

A.B.加C.0D.-1.5

2.下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）

3.一张A4纸的规格为210x297（mm）,它的面积约为0.00000006237平方千米.将数字

0.00000006237用科学记数法表示应为（）

A.0.6237xlO-7B.6.237x1()8C.62.37xlO-6D.6.237x10"

4.一元二次方程f+1=%的根的情况是（）

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.只有一个实数根D.没有实数根

2x+5>3

5.不等式组3x+2>4x的解集在数轴上表示正确的是（）

A.B.

-12-12

C.->D.>

2-12

3

6.若。是一个锐角，且sina=M，贝ijcosa的值为（）

7.下列等式不成立的是（）

A.—〃•a?=一〃3B.(1+V2)(1-V2)=-1

C.（V3-V2）2=5-276D.(-2a/?2)3=-6a3b6

8.下列命题中错误的是（）

A.两点之间线段最短

B.有两边及一角对应相等的两个三角形全等

C.两点确定一条直线

D.平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

9.随机抽取一组数据，根据方差公式得：

=（4。一4。）2+（39.8一*4+（40.1一吁2+（4。.2一4。）2><3=003,则关于抽取的这组

S2

10

数据，下列说法错误的是（）

A.样本容量是10B.平均数是40

C.中位数是39.8D.39.8的权数是4

10.如图，点RE,尸分别是VA3C的边AB,BC,C4的中点.①图中有三个平行四边形；②

图中的四个小三角形的形状和大小完全一样；③四边形ADEF的周长=AB+AC;④

ADAC=AFAB.下列选项中，正确的是（）

A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④

二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分.

11.计算：4^（-8）xl=.

12.在平面直角坐标系中，点2）到x轴的距离是

13.如图，分别以点A、8为圆心，以大于［AB的定长”为半径画弧，两弧相交于点C、D,

2

试卷第2页，共6页

则四边形ADBC是菱形的理由是

14.已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-2,则另一个根为—.

15.在某次体育测试中，甲、乙两班成绩的平均数、中位数、方差如下表所示，规定学生个

人成绩大于90分为优秀，则甲、乙两班中优秀人数更多的是班.

人数平均数中位数方差

甲班45829119.3

乙班4587895.8

16.如图，m//n,Nl=120°,Z2=100°,贝!)N3=

17.观察图形，若有六边形2024个，则需火柴棍根.

18.已知如图，在RtAABC中，ZACB=90°,AB=5,AC=3,在直线的同侧分别以VABC

的三边作正方形A8PG、正方形BCDE、正方形ACMZV,S2＞邑、反分别表示对应图

形的面积，则，+S2+S3+S4的值为

三、解答题：本题共8小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤.

19.计算：一|一2|+(-——+2tan60°-V12

1112024J

20.先化简，再求值：W4x+4」,其中x=T.

xx+2xx

21.某校计划成立“爱心传递”、“音乐舞蹈”、“体育运动”、“美工制作”和“劳动体验”五个兴

趣小组，要求每位学生都只选其中一个小组.为此，随机抽查了本校各年级部分学生选择兴

趣小组的意向，将抽查结果绘制成如下统计图(不完整).

被抽查学生选择兴趣小组意向的

根据统计图中的信息，解答下列问题:

(1)求本次被抽查学生的总人数和扇形统计图中表示“美工制作”的扇形的圆心角度数；

(2)将条形统计图补充完整；(温馨提示：请画在答题卷相对应的图上)

(3)该校共有1600名学生，根据抽查结果，试估计全校选择“爱心传递”兴趣小组的学生人数.

22.已知：如图，点AD,C,3在同一条直线上，AD=BC,AE=BF,CE=DF.求证:

试卷第4页，共6页

WAE//FB；

(2)四边形CFDE是平行四边形.

23.如图所示，在VABC中，ZC=90°,AC=6cm,3c=8cm,点P沿AC边从点A向终

点C以1cm/s的速度移动，同时点。沿CB边从点C向终点B以2cm/s的速度移动，且当其

中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.请解答下列问题：

(1)点尸，。出发几秒后，可使△PCQ的面积为5cmM

(2)点P，。出发几秒后，PQ//AB1

24.如图，点A是坐标原点，点3在x轴的正半轴上,点C在第一象限.=4,ZCAB=30°,

ZCBA=120°.

⑴求点C的坐标；

⑵点p是y轴上的一个动点，当点p处于何位置时，P3+PC的值最小？

25.已知如图，直线y=ax+6与反比例函数y=g的图象交于点4(1,3)和点5(-3,"),与x轴

交于点C,与>轴交于点。.

⑴求左，%a,6的值；

(2)求点C、点。的坐标，并直接写出一次函数值大于反比例函数值时自变量尤的取值范围；

(3)求△Q43的面积.

26.如图1,在矩形ABCD中，AB=4,3c=6,点E是线段AD上的动点(点E不与点AD

重合)，连接CE,过点E作EF_LCE,交AB于点

(2)如图2,连接CE,过点B作BGLCF,垂足为G,连接AG,点M是线段BC的中点,

连接GM.

①求AG+GM的最小值；

②当AG+GM取最小值时，求线段AF的长.

试卷第6页，共6页

1.A

【分析】本题主要考查了实数大小的比较，正确运用比较大小的法则是解题的关键.

根据负数大的反而小，。大于一切负数，正数大于。即可比较大小.

【详解】解：Q-3<-1.5<0<>/2,

，这四个数中，最小的数是-3,

故答案为：A.

2.A

【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线

折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义:

把一个图形绕着某一个点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个

图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心.根据轴对称图形和中心对称图形的定义

进行逐一判断即可.

【详解】解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故A符合题意；

B.既是轴对称图形，也是中心对称图形，故B不符合题意；

C.既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C不符合题意；

D.既是轴对称图形，也是中心对称图形，故D不符合题意.

故选：A.

3.B

【分析】先确定左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到〃值；将小数点点在左

边第一个非零数字后面，确定。值，写成axlO"的形式即可.本题考查了绝对值小于1的数

的科学记数法，按照左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到〃值；将小数点点

在左边第一个非零数字后面，确定。值，确定这两个关键要素是解题的关键.

【详解】解：0.00000006237=6.237xlO-8,

故选：B.

4.D

【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：掌握根的判别式是解题的关键.

利用一元二次方程根的判别式△>◊时，方程有两个不相等的实数根；△=（）,方程有两个相

等的实数根；当△<（）,方程没有实数根，求解判断即可.

【详解】解：x2+l=x

x2-x+1=0

答案第1页，共15页

VA=Z72-4ac=(-l)2-4xlxl=-3<0

一元二次方程的根的情况是无实数根，

故选：D.

5.B

【分析】此题考查了解一元一次不等式组，利用数轴表示不等式组的解集，正确掌握一元一

次不等式的解法是解题的关键

【详解】解：解不等式2x+5N3,得X2-1,

解不等式3x+2>4x,得x<2,

将解集表示在数轴上为：______________________________>

-12

故选：B

6.C

【分析】本题考查了求角的余弦值，可根据题意作出直角三角形，根据三角函数的定义即可

求解.

【详解】解：如图所示：

设/A=a,

...3

・sma=—,

...BC3

,・sinA=----=—,

AB5

设BC=3。,AB=5a,

则AC=ylAB2-BC2=4a，

.AC4a4

,・cosa=cosAA==——=—.

AB5a5

故选：C.

7.D

【分析】本题考查了整式的乘法、完全平方公式、熟记各运算法则是解题关键.

答案第2页，共15页

根据整式的乘法、完全平方公式逐项判断即可.

23

【详解】解：A.-a.a=-a,原式运算正确，故本选项不符合题意；

B.(1+V2)(1-A/2)=12-(A/2)2=1-2=-1,原式运算正确，故本选项不符合题意；

C.(四-=(6『-2x0x&+(0『=5-2指，原式运算正确，故本选项不符合题

息；

D.(-2^2)3=-8aV,原式运算不正确，故本选项符合题意；

故选：D.

8.B

【分析】本题考查真假命题的判断，熟练掌握线段、直线、垂线的性质，全等三角形的判定

定理是解题的关键，

根据线段、直线的性质以及三角形全等的判定定理、垂线的性质，对选项逐一进行分析.

【详解】A.两点之间线段最短，这是线段的基本性质之一，所以本选项说法正确，故不符

合题意；

B.三角形全等的判定定理中，两边及一角对应相等分为两种情况：

两边及其夹角对应相等，此时两个三角形全等(SAS判定定理).

两边及其中一边的对角对应相等，此时两个三角形不一定全等.

所以本选项说法是错误的，故本选项符合题意；

C.两点确定一条直线，这是直线的基本性质，是数学中的基本公理，所以本选项说法正确，

故不符合题意；

D.平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，这是垂线的基本性质，所以本选项

说法正确，故不符合题意；

故选：B.

9.C

【分析】本题考查了方差的计算公式，平均数，中位数，样本容量，权数，熟练掌握相关知

识点是解题的关键.

根据0=(42+(39.8-4°))x4+(4(M70)2x2+(40.2-*=003可得出样本容量,

10

平均数，中位数，权数的信息，逐项判断即可得到答案.

【详解】解：A.样本容量是1+4+2+3=10,正确，故该选项不符合题意；

答案第3页，共15页

B.平均数是40,正确，故该选项不符合题意；

40+401

C.数据从小到大排列，第五和第六个数是40,40.1,"『Mos,

中位数是40.05,

故该选项错误，符合题意；

D.39.8的权数是4,正确，故该选项不符合题意；

故选：C.

10.D

【分析】本题考查了三角形的中位线定理、平行四边形的性质与判定，熟练掌握三角形的中

位线定理是解题的关键.根据三角形的中位线定理，可得DE〃&C,D£=|AC,EF//AB,

EF=-AB,DF//BC,DF=-BC,得出四边形ADE尸、四边形BDFE、四边形DEC歹都

22

为平行四边形，可判断①；由平行四边形的性质可得，图中的四个小三角形为全等三角形,

可判断②；利用平行四边形AD即的周长公式可判断③；利用中点的定义可判断④，即可

得出结论.

【详解】解：「点2瓦尸分别是VABC的边的中点，

DE//AC,DE=-AC,EF//AB,EF=-AB,DF//BC,DF=-BC,

222

二四边形ADE尸、四边形BDFE、四边形DECF都为平行四边形，故①正确；

・••图中的四个小三角形为全等三角形，即形状和大小完全一样，故②正确；

・四边形AD所为平行四边形，

四边形AT正尸的周长=2AT>+2AF=AB+AC,故③正确；

■点。尸分别是边钻，8的中点，

AB=2AD,AC=2AF,

:.ADAC^AD\2AF)=2ADAF=ABAF,故④正确；

二综上所述，正确的是①②③④.

故选：D.

11.--##-0.125

8

【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合运算，正确运用运算法则是正确解答此题的关键.

把除法转化成乘法再计算即可.

答案第4页，共15页

【详解】解：4+(-8)x；=4x已卜

故答案为：-g.

8

12.2

【分析】根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，即可求得.

【详解】解：点网-3,-2)到x轴的距离是2.

故答案为：2.

【点睛】本题考查了点到坐标轴的距离，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值是解题的

关键.

13.四边相等的四边形是菱形

【分析】本题考查了作图一复杂作图及菱形的判定，解决本题的关键是掌握菱形的判定定

理.

根据四条边都相等的四边形是菱形即可得四边形AD3C一定是菱形.

【详解】解：根据作图方法可知四边形AD3C一定是菱形；

理由如下：

.•分别以点A,8为圆心，以大于1人台的定长a为半径画弧，两弧相交于C,D,

2

/.AD=AC=BD=BC=a,

四边形4汨C是菱形.

故答案为：四边相等的四边形是菱形.

14.-1

【详解】试题分析：对于一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根士和马，根据韦达定理可得：

h

再+x,=_2,即-2+Z=-3,解得：x2=-l,即方程的另一个根为-1.

a

15.甲.

【分析】班级人数相同，都为45人，中位数为班级分数排序以后的第23位同学的分数，甲

班的91分高于乙班89分，则得出答案.

【详解】解：甲、乙两个班参赛人数都为45人，由甲、乙两班成绩的中位数可知，甲班的

优生人数大于等于23人，乙班的小于等于22人，则甲班的优生人数较多，

故答案为：甲.

【点睛】本题主要考查数据的分析，根据平均分、中位数、方差的特点进行分析，本题的解

答案第5页，共15页

题关键在于掌握中位数的特点.

16.140

【分析】本题考查了平行线的性质，两直线平行时，应该想到它们的性质，由两直线平行的

关系得到角之间的数量关系，然后根据三角形内角和为180°即可解答.

【详解】解：如图，

Vm//n,Zl=120°,

/.Z4=60°,

,/Z2=100°,

AZ5=80°,

/.Z6=180°-Z4-Z5=40°,

，Z3=180°-Z6=140°,

故答案为：140.

17.10121

【分析】本题考查探索与表达规律，列代数式，熟练掌握列代数式是解题的关键；

对于找规律的题目首先应找出发生变化的位置，并且观察变化规律，进而用式子表示一般规

律.观察图形发现,然后可求出第x个六边形需要（5*+1）根小棒，把x=2024代入求值即可.

【详解】解：•有六边形1个，需要火柴棒根数为6=5xl+l,

有六边形2个，需要火柴棒根数为11=5x2+1,

有六边形3个，需要火柴棒根数为16=5x3+1,

有六边形4个，需要火柴棒根数为21=5?41,

有六边形x个，需要（5x+l）根小棒，

.,•有六边形2024个,需要火柴棒5x2024+1=10121（根）.

故答案为：10121.

18.18

答案第6页，共15页

【分析】本题考查了以直角三角形三边为边长的正方形构成图形的面积，正方形的性质，全

等三角形的性质与判定，过G作于通过证明SI+S2+S3+S4=SRIABCX3,依

此即可求解,熟练掌握相关定理,证明全等三角形,将阴影面积转化为3SVMC是解题的关键.

【详解】解：过G作于连接GM,

ZAHG=90°,

:四边形ABPG是正方形，

Z.GAB=ZAHG=ZACB=90°,AG^AB,

：.NGAH+NCAB=ZABC+NCAB,

：.ZGAH=ZABC,

：.^GAH^ABC(AAS),

：.AC=GH,

同理可证：HGP^.CAQ,

GP=AQ,S2=SAHG=SABC,

GF=GA,

：.GF-GP=GA-AQ,

：,GQ=PF,

同理可证：PDF会QMG,

・•.q=—q2QMG,

•-S]+S3=SMG=SABC,

同理：ANGmACB,ACB%FEB,

••S4=SyABC，

答案第7页，共15页

S[+S2+S3+S4

=(E+S3)+S2+S4

=^Z\ABC+^Z\ABC+^AABC

—QQ

一“△ABC，

VZACB=90°,AB=5fAC=3,

・•・BC7AB2-AC?=152—32=4,

S1+Sz?+&5+S4=3SAARnr=3x—2x3x4=18,

故答案为：18.

19.-1

【分析】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正

确地计算.

先计算零次累、二次根式、绝对值和特殊角的三角函数值，再计算加减.

【详解】解：-|-2|+f+2tan60o-Vi2

1112024J

=-2+1+2A/3-2A/3

=一1.

【分析】本题考查了分式的化简求值，先将除法写成乘法，然后约分，最后计算减法，最后

将％=一1代入计算即可，掌握分式的混合运算法则是解题的关键.

X2-4x2+4x+41

【详解】解:______:_____________

x2x2+2xx

(x+2)(x-2)x(x+2)1

%2(x+2)2光

_x-21

XX

_x-3

X

当％=-1时,

原式-1—-3

答案第8页，共15页

_-4

一-1

=4.

21.(1)200人，36°；

(2)见解析;

(3)400人.

【分析】本题考查扇形统计图、条形统计图及用样本估计总体.

(1)运用选择“体育运动”兴趣小组人数除以所占的百分比求出样本总量，然后用360。乘以

选择“美工制作”兴趣小组的占比解题即可；

(2)求出选择“音乐舞蹈”兴趣小组人数，然后补全条形统计图即可；

(3)运用全校人数乘以选择“爱心传递”兴趣小组的占比解题即可.

【详解】(1)解：本次被抽查学生的总人数是60-30%=200(人)，

扇形统计图中表示选择“美工制作”兴趣小组的扇形的圆心角度数是去、360。=36。；

200

(2)解：选择“音乐舞蹈”兴趣小组的人数为200-50-60-20-40=30(人)，

补全条形统计图如图所示.

(3)解：估计全校选择“爱心传递”兴趣小组的学生人数为1600x^=400(人).

200

22.(1)详见解析

(2)详见解析

【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是利用SSS证明AEC与..*D全等解答.

(1)根据等式的性质得出AC=80,进而利用SSS证明△AEC与△BED全等，进而利用

全等三角形的性质和平行线的判定解答即可；

(2)根据全等三角形的性质得出N4=N3,进而利用SAS证明三角形全等得出CF=OE,

答案第9页，共15页

从而可证明四边形CFDE是平行四边形.

【详解】(1)证明：：点A,D,C,8在同一条直线上，AD=BC,

：.AD+DC=BC+CD,

即AC=BD,

VAE=BF,CE=DF,

AACE^BDF(SSS),

ZA=ZB,

AAE//FB；

(2)证明：VAD=BC,AE=BF,ZA=ZB,

ADE空BC尸(SAS),

DE=CF,

又•:CE=DF,

四边形CFDE是平行四边形.

23.(1)点尸，。出发1秒后，可使△尸C。的面积为5cm2

(2)点P,。出发2.4秒后，PQ//AB

【分析】本题意考查了一元二次方程的应用，相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相

似三角形的判定定理.

(1)设点P,。出发x秒，根据“△PC。的面积为5cm2”列方程求解即可；

(2)设点P,。出发y秒后，PQ//AB,可得△CPQS^CAB,然后根据相似三角形的性

质求解即可.

【详解】(1)解：设点P,。出发x秒后，△PCQ的面积为5cm2.

:点尸沿AC边从点A向终点C以1cm/s的速度移动，同时点。沿CB边从点C向终点B以

2cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.

B

/.0<x<4,PC=6—x,CQ=2x

答案第10页，共15页

根据题意，得（6—x）x2x+2=5,

解得：%=1,々=5（舍去）

答：点P,。出发1秒后，可使△PC。的面积为Sen?;

（2）解：设点P,。出发y秒后，PQ//AB,

：./XCPQ^/XCAB,

.CPCQ

u，~CA~~CBf

・6-y=2y

-1-

•*.y=2A

答：点尸，。出发2.4秒后，PQ//AB.

24.⑴（6,2百）

（2）当点P运动到，，竽j这个位置时，P3+PC的值最小

【分析】（1）过点C作CELx轴交x轴于点E,证明NB4C=/ACB,得出3C=AB=4,

解直角三角形得出BE=BCcos60。=4x^=2,CE=BCsin60。=4x立=2追，求出

22

AE=AB+3E=4+2=6,即可得出答案；

（2）作点B关于y轴的对称点为。，则。（-4,0）,连接CD,C。与y轴交于点尸，连接PB,

根据两点之间线段最短，得出此时点尸即为所求作的点，先求出直线y=gx+亭,然后

求出点P的坐标即可.

【详解】（1）解：过点。作CE_Lx轴交力轴于点E,如图所示：

VZCAB=30°,ZCBA=120°,

：.ZACB=180°-30°-120°=30°,ZCBE=180°-120°=60°,

：.ZBAC=ZACBf

：.BC=AB=4,

答案第11页，共15页

AE=AB+3E=4+2=6,

•••点C的坐标为（6,2百）；

（2）解：如图，作点B关于y轴的对称点为。，则。（TQ）,连接CD,C。与y轴交于点

P,连接PB,

根据轴对称可知：PB=PD,

：.PB+PC=PD+PC,

...当PD+PC最小时，P3+PC最小,

:两点之间线段最短，

•••此时点尸即为所求作的点，

设直线CD的解析式为：y^kx+b,

[-4左+。=0

则益+6=2若'

解得：

当点P运动至“0,这个位置时，尸3+PC的值最小.

【点睛】本题主要考查了一次函数的几何综合，解直角三角形的相关计算，求一次函数解析

式，轴对称的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握待定系数法，作出辅助线.

25.⑴％=3,〃=—1,a=l,b=2

答案第12页，共15页

⑵c（-2,0）、£>（0,2）,—3<x<0或x>l

(3)4

【分析】本题主要考查一次函数和反比例函数的综合应用，正确求出表达式是解题的关键.

(1)先求出反比例函数解析式，再求出点B的坐标，将A、B坐标代入求出。、b的值即可；

(2)根据一次函数解析式求出点C、。的坐标即可；根据函数图象求出一次函数值大于反

比例函数值时自变量x的取值范围即可；

(3)根据求出的C、。点的坐标，结合函数图象，求出三角形的面积即可.

【详解】(1)解：,•直线、=依+。与反比例函数y=：的图象交于点4(1,3)和点3(-3,〃),

.\3=1,

解得：k=3,

1x3=—3n,

解得：n=—l,

fa+b=3

[-3a+b=-l

a=1

解得

6=2；

(2)解：关于直线y=%+2,当％=0时，y=2；当y=o时，y=-2f

•••点c的坐标为(-2,0),点。的坐标为(0,2),

观察图形得：一次函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围为-3<x<0或无>1.

（3）解：Sy0AB=S7OAC+S^OCB

一

=—1x2cx3c+—1x2xl

22

=4.

26.(1)详见解析

⑵①AG+GM的最小值为5

②当AG+GM取最小值时，线段AF的长为1

【分析】(1)证明出=即可求解;

(2)①连接AM,先证明2M=CM=GM=：2C=3.确定出点G在以点M为圆心，3为