2025年沪教版七年级数学寒假提升复习：因式分解（8重点+13考点+过关检测）含答案

专题05因式分解

考点聚焦：核心考点+中考考点，有的

放矢

重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺

难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升

提升专练：真题感知+精选专练，全面突破

考点聚焦

知识点1因式分解的意义【考点1判断是否是因式分解】

!1叫

「..........二二二知识点2公因式【考点2已知因式分解的结果求参数】

；2确定公因式的一般步手

嬴瀛冏【考点3公因式】

「2万蔽疏底萨前海知识点3提取公因式法【考点4提公因式法分解因式】

【考点5判断能否用公式法分解因式】

知识点4公式法的定义【考点6平方差公式分解因式】

：1定义专题05

；二二二：知识点5因式分解的平方墓公式重点专攻提升专练【考点7完全平方公式分解因式】

：2特点:因式分解

【考点8综合运用公式法分解因式】

；二二二f知识点6因式分解的完全平方公式

：2W【考点9综合提公因式和公式法分解因式】

【考点10因式分解在有理数简算中的应用】

;2用十字相乘法分解的多项式的*1知识点7十字相乘法

【考点11十字相乘法】

;，甬存赢喜花亩孑疏a理律

【考点12分组分解法】

藤蔽健

二二二二;知识点8分组分解法【考点13因式分解的应用】

：2分.组原吗

0＞重点专攻

知识点1因式分解的意义

把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式

分解因式.

注意：

（1）因式分解与整式乘法是互逆的等式变形，可以用整式的乘法来检验因式分解结果的正

确性；

（2）因式分解是恒等变形，因式分解的对象是多项式，单项式不需要因式分解；

（3）因式分解的结果必须是乘积形式，这个乘积中可以有单项式，也可以有多项式，但必

须是整式，且每个因式的次数都不高于原来多项式的次数；

（4）因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止.

试卷第1页，共14页

Fl你题捺吗判断一个式子的变形是不是因式分解的方法判断一个式子由左边

到右边的变形是不是因式分解的关键是看这个变形是不是把一个多项式化成了几个整式的

积的形式，并且用整式的乘法验证右边的式子是否等于左边的式子，符合以上条件则是因式

分解.

知识点2公因式

1.定义

一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式的公因式.

2.确定公因式的一般步骤

（1）定符号：如果多项式的第一项系数是负数，通常提出号，使括号内第一项的系数成

为正数；

（2）定系数：当各项系数都是整数时，取它们的最大公约数为公因式的系数；

（3）定字母：（或多项式）及其指数，取多项式各项都含有的相同字母（或多项式），其指

数取最低次.

上述步骤不是绝对的，当第一项是正数时步骤（1）可省略.

知识点3提取公因式法

1.提取公因式法

如果一个多项式的各项含有公因式，那么可以把该公因式提取出来作为多项式的一个因式,

提出公因式后的式子放在括号里，作为另一个因式.这种分解因式的方法叫做提取公因式法.

2.提取公因式法的一般步骤

（1）确定各项的公因式；

（2）提出这个公因式并确定另一个因式；

（3）把多项式写成因式积的形式.

3.提取公因式法的依据

提取公因式法，它的实质是乘法对加法的分配律的逆用.

【注意要点】

1.若多项式第一项的系数是负数，则应先提出号，提出号后，括号里的每一项都要

变号

2.提取公因式法因式分解，先在各项中将公因式分解出来，避免遗漏某些项

3.如果某项全部提出，括号里对应的项是1

试卷第2页，共14页

4.多项式各项的公因式要注意提尽，即公因式为最大公因式

5.提取公因式后，注意运用整式乘法来检验是否正确

知识点4公式法的定义

逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法.

知识点5因式分解的平方差公式

1.定义

22

由平方差公式反过来可得a-b=(a+b)(a-6).这个公式叫做因式分解的平方差公式.

语言叙述：如果一个多项式能写成两个数的平方差的形式，那么就可以运用平方差公式把它

因式分解，它等于这两个数的和与这两个数的差的积.

2.特点

(1)等号左边是二项式，两项都是平方的形式，且符号相反；

(2)等号右边是两个数的和与这两个数的差的积.

知识点6因式分解的完全平方公式

1.定义

由乘法公式中完全平方公式+6)2=/+2ab+b1,(d—b)2—a2—lab+b1反过来可得

a2+2ab+b2=(a+b)2,a2-7.ab+b2=(a-b)2.

这两个公式叫做因式分解的完全平方公式

语言叙述：如果一个多项式能写成两个数的平方和，加上(或减去)这两个数的积的两倍,

那么就可以运用完全平方公式把它分解因式，它等于这两个数的和(或差)的平方.

2.特征

(1)等号左边是三项式，其中首末两项分别是两个数(或两个式子)的平方，这两项的符

号相同，中间一项是这两个数(或两个式子)乘积的2倍，符号正负均可.

(2)等号右边是两个数(或两个式子)的和(或差)的平方

知识点7十字相乘法

1.定义

一般地，/+px+q=x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)可以用十字交叉线表示：

利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.

试卷第3页，共14页

2.用十字相乘法分解的多项式的特征

（1）必须是一个二次三项式；

（2）二次三项式的系数为1时，常数项能分解成两个因数。和6的积，且这两个因数的和

a+b正好等于多项式乘以多项式（工+。）。+6）=尤2+（a+b）x+ab

注意：

公式中的x可以表示单项式，也可以表示多项式，是多项式时，要把它看作一个整体.

3.用十字相乘法分解因式的符号规律

（1）当二次项系数为正数且常数项是“+”号时，常数项分解的两个因数的符号与一次项系数

的符号相同；

（2）当二次项系数为正数且常数项是号时，常数项分解的两个因数异号，若一次项是

“+”的，则正因数绝对值大；若一次项是的，则负因数的绝对值大；

（3）当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，再分解常数项.

知识点8分组分解法

如果分解因式的多项式各项既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，但是某些项通过

适当的结合成为一组，利用分组可以进行多项式的局部分解然后，综合起来，再从总体上用

捉取公因式法和公式法或十字相乘法继续进行分解，直到分解出最后结果，这种分解因式的

方法叫做分组分解法.

2.分组原则

（1）分组后能直接提取公因式，多见四项多项式.

（2）分组后能直接运用公式法，多见四项多项式2-2分组.

（3）分组后能直接用十字相乘法，多见四项多项式1-3分组.

3提升专练------------------------------------------

■考点剖析

【考点1判断是否是因式分解】

（24-25七年级上•上海•期中）

1.下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）

A.+1+）B.2a3b-4a2b=2a2b（a-2）

=

C.（a+bp=/+2ab+b?D.Q?—2a—1—2）—1

试卷第4页，共14页

（24-25七年级上•上海松江•期中）

2.下列各式从左到右的变形，是因式分解的有（）

①12中3=2中.6/；（2）x2-6xy+5y2=x（x-6y）+5y2；③（-2x+3y）（2x+7）=-4r2+

④3x-6y=3（x-2y）；（5）3x2y-xy=xy（3x-1）；@1+^+^-^=[1+—|

4xI2x）

A.1个B.2个C.3个D.4个

（24-25七年级上•上海•期中）

3.下列等式中，哪些从左到右的变形是因式分解（）

A.（x+y）（x-2y）=x2-xy-2y2B.x2+5x-3=xfx+5--J

C.3x?-5x-2=（3x+l）（x-2）D.3x。+6x+4=3（x+1）~+1

【考点2已知因式分解的结果求参数】

（22-23七年级上•上海青浦•期中）

4.若整式/-x+仅含有一个因式（x+3）,则加的值是.

（24-25七年级上•上海•期中）

5.^x2-kx-15=（x+a）（x+b）,且a、6为整数，则6的值不可能是（）

A.14B.2C.16D.-14

【考点3公因式】

（23-24七年级上•上海长宁•期中）

6.6/6/和8a%%的最大公因式是.

（22-23七年级上•上海嘉定•期中）

7.多项式6丁/一3/「+]2/了3的公因式是.

【考点4提公因式法分解因式】

（24-25七年级上•上海•期中）

8.因式分解：ax-ay+2x-2y=.

（24-25七年级上•上海嘉定•期中）

9.因式分解

（1）9（/M+M）2-3（加-”）（机+〃）.

⑵-4x，+16x2—16x.

试卷第5页，共14页

（3）x~—9y~+9—6x.

（4）（X2-4A：）2-8（X2-4X）-48.

（24-25七年级上•上海•期中）

10.因式分解：2“a-3）2-6a2（3-a）-10a（a-3）.

（24-25七年级上•上海•期中）

11.因式分解：x3+5x2y-24xy2

（24-25七年级上•上海•期中）

12.因式分解：2/（“+6）~-2xy（a+b）~-12y

【考点5判断能否用公式法分解因式】

（22-23七年级上•上海青浦•期中）

13.下列多项式中可以用完全平方公式进行因式分解的是（）

A.x2+x+lB.x2—2x—lC.x2+2x+4D.x2-x+-

（21-22七年级上•上海嘉定•期中）

14.下列各式中，不能用公式法分解因式的是（）

|,

A.4a2—9b1B.—a2+2ab—b2C.—1—a2D.—\+—b~

4

【考点6平方差公式分解因式】

（24-25七年级上•上海嘉定•期中）

15.因式分解：5a3-20o=

（24-25七年级上•上海嘉定•期中）

16.定义：如果一个正整数能表示为两个正整数机，”的平方差，且则称这个正

整数为“智慧优数”.例如，16=5?-3?,16就是一个“智慧优数”，可以利用

/-〃2=（/+〃乂加_〃）进行研究.若将，，智慧优数，，从小到大排列，第4个“智慧优数”

.

（24-25七年级上•上海•期中）

17.因式分解：o2（a-/?）+9b2（b-a）=

（24-25七年级上•上海•期中）

18.因式分解：1-16/=

试卷第6页，共14页

（24-25七年级上•上海•期中）

19.已知数。、b、X、了满足6=x+y=2,ax+by=5,求-J?）的值.

【考点7完全平方公式分解因式】

（24-25七年级上•上海•期中）

20.如图，正方形4BC。分割成四个长方形/及炉。、QFPD、MBNG、GNCP,它们的面

积分别为3/+4°6、6a2+8m、3/、b2（其中。>0,6>0）,请用含有。、6的代数式表

示正方形48a）的边长.

（24-25七年级上•上海•期中）

21.若1。+4|与/+46+4互为相反数，把多项式（x+a）（x+6）+l因式分解.

（24-25七年级上•上海•期中）

22.阅读理解：

条件①：无论代数式/中的字母取什么值，N都不小于常数M；条件②：代数式/中的字

母存在某个取值，使得/等于常数我们把同时满足上述两个条件的常数M叫做代数式”

的下确界.

例如:

X2+2X+5=X2+2-X-1+12-12+5=(X+1)2+4,

v(x+l)2>0,

x2+2x+5>4(满足条件①)

当x=-l时，x2+2x+5=4(满足条件②)

,4是/+2x+5的下确界.

又例如：

x2+2|x|+5=|x|2+2-|x|-l+l2-I2+5=(|x|+l)2+4,由于国w-1,所以/+2国+524,(不

满足条件②)故4不是/+2国+5的下确界.

试卷第7页，共14页

请根据上述材料，解答下列问题：

(1)求/-6x+4的下确界.

⑵若代数式2x?+3+3的下确界是1,求小的值.

3

(3)求代数式］/+/+2xy-4x-4j+10的下确界.

(24-25七年级上•上海奉贤•期中)

23.分解因式：(X2-5X)L1212-5X)+36.

(24-25七年级上•上海松江•期中)

24.因式分解：(3a+26『_2(q+6)(3a+26)+(a+b)~；

【考点8综合运用公式法分解因式】

(24-25七年级上•上海崇明•期中)

25.因式分解：+4/-16a2=.

(24-25七年级上•上海徐汇•期中)

26.在括号内填入适当的单项式，使多项式，-/+x+()能因式分解，共有种填法.

(24-25七年级上•上海宝山•期中)

27.因式分解：x2-4y2-2x+l.

(24-25七年级上•上海•期中)

28.(1)分解因式：(x?+l)—x2

(2)分解因式:3a+3as-6a3

【考点9综合提公因式和公式法分解因式】

(24-25七年级上•上海•期中)

29.因式分解：xn+l-3,x"-10x"1=

(24-25七年级上•上海松江•期中)

30.因式分解：2-18/=.

(24-25七年级上•上海徐汇•期中)

31.因式分解：4/+25X2-1-4/.

(24-25七年级上•上海嘉定•期中)

32.已知x+2y=6,xy=4,求2x5+4盯2+/-4/的值.

试卷第8页，共14页

（24-25七年级上•上海宝山•期中）

33.下列整式中不含有x+1这个因式的是（）

A.x2-lB.x4-x3+x2-1

C.x3+1D.x4-x3-x2-1

【考点10因式分解在有理数简算中的应用】

（23-24七年级上•上海青浦•期中）

34.利用平方差公式计算：2005?-20032=.

（23-24七年级上•上海青浦•期中）

35.用简便方法计第RO?。?-202矶2-7）x2021.

2017x2019x2022x2023

【考点11十字相乘法】

（24-25七年级上•上海•期中）

36.因式分解：—x2+x—4—.

2------

（24-25七年级上•上海•期中）

37.因式分解：x2-8xy+l6y2-3x+12j?-10

（24-25七年级上•上海奉贤•期中）

38.若/+依+16能分解成两个一次因式的积，且左为整数，那么无不可能是（

A.10B.17C.15D.8

（24-25七年级上•上海徐汇•期中）

39.因式分解：（m2-5ffl+2）（w2-5ffl-4）-16.

（24-25七年级上•上海徐汇•期中）

40.因式分解：z2（x-y）+4（y-x）+3z（x-y）.

【考点12分组分解法】

（24-25七年级上•上海•期中）

41.因式分解（直接写出答案）

（1）9Z>2-（a+l）2=.

（2）16X2+1-8X=.

（3）x3—5x2—6x=•

试卷第9页，共14页

(4)x2-y2-l+2y=.

(21-22九年级下•上海徐汇•期中)

42.因式分解：am+an-bm-bn=.

(24-25七年级上•上海•期中)

43.因式分解：

(l)2ar2-18a3;

(2)6/-7x-5;

(3)x3-xyz+x2y-x2z；

(4)(—3x+1—6x2+18x—1.

(23-24七年级上•上海杨浦•期末)

44.分解因式：X5+2X3-X-2.

(23-24七年级上•上海杨浦•期末)

45.分解因式：ai+3a1+3a+2.

【考点13因式分解的应用】

(24-25七年级上•上海嘉定•期中)

46.因式分解/+蛆-18=5+0(无+虹，其中加、P、4都为整数，则这样的m的最小值

是•

(24-25七年级上•上海•期中)

47.已知。=2017x+2016,b-2017x+2017,c=2017x+2018,313-^a2-ab-ac+bc=

(24-25七年级上•上海•期中)

48.如图，将一张大长方形纸板分成9块，其中有2块是边长为4cm的大正方形，2块是

边长为6cm的小正方形，且。＞b,5块是形状大小完全相同的小长方形.

(1)观察图形，可以写出一个因式分解的等式为「

(2)若图形中阴影部分的面积为34cm"大长方形纸板的周长为30cm.

试卷第10页，共14页

①求a+b的值；

②求图中空白部分的面积.

(24-25七年级上•上海•期中)

49.正数b,c满足ab+2a+26=6c+26+2c=ac+2a+2c=12,求(a+2)(6+2)(c+2)

的值.

过关检测

(24-25七年级上•上海•期中)

50.下列各式从左到右是因式分解的是()

A.(a+l)(a-3)=-2a-3B.—25=(x—5)(x+5)

C./+2a-l=(a-l)2D.y3+4y2-2^y2(y+4)-2

(24-25七年级上•上海嘉定•期中)

51.阅读下列材料，然后解答问题：

问题：因式分解：X3-5X2+4

解答；对于任意一元整式f(x),其奇次项系数之和为机，偶次项系数之和为"，若m=〃,

则=若加=则/(1)=0,在/一5/+4中，因为机=1,"=一5+4=-1,所以

把x=l代入整式/一5/+4,得其值为0,由此确定整式/一5/+4中有因式(尤-1).于是

可设/一5/+4=(》-1乂/+川+4),分别求出乙1值，再代入

322

x-5x+4=(x-l)(x+px+q),就可以把整式/一5/+4因式分解，这种因式分解的方法

叫做“试根法”.

(1)上述式子中p=_,«=_；

⑵对于一元整式+6/+llx+6,必定有/(_)=0；

⑶请你用“试根法”分解因式：x3+6X2+UX+6.

(22-23七年级上•上海青浦•期中)

52.单项式3a%与单项式9a2〃的公因式是()

A.3a2bB.3a3bsC.a2bD.a3b3

(24-25七年级上•上海奉贤•期中)

53.分解因式：2x2y-6xy+2x2-6x.

试卷第n页，共14页

（24-25七年级上•上海徐汇•期中）

54.先化简，再求值：（x~+5x—l（）Xx—2）—（x—2）（x+1）,其中x=§.

（24-25七年级上•上海宝山•期中）

55.（1）填空：

第一行：0xlx2x3+l=；

第二行：Ix2x3x4+1=；

第三行：2x3x4x5+l=；

第四行：3x4x5x6+l=.

（2）找出规律，写出第〃行的等式：；

（3）请说明第〃行等式成立的理由.

（22-23七年级下•山东聊城•期末）

56.下列式子：①--一孙-/；②0.5/-"+0.562；@-4ab-a2+4b2；

④4f+9/_12肛；⑤犷+6k+3步.其中能用完全平方公式分解因式的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

（24-25七年级上•上海•期中）

57.因式分解：x4+5x2y2-6y\

（24-25七年级上•上海•期中）

58.因式分解：/（x+y）-/（y+x）

（24-25七年级上•上海•期中）

59.下列多项式能用完全平方公式因式分解的是（）

A.a2+2a-1B.x2-xy+y2

C.〃—2。H—D.a2—abT—b2

44

（24-25七年级上•上海宝山•期中）

60.因式分解：（2x—+4（2x—y）+4.

（24-25七年级上•上海徐汇•期中）

61.因式分解：6a-3a2-3.

（24-25七年级上•上海•期中）

试卷第12页，共14页

62.因式分解：5(x2-/)-(j，-x)2

(24-25七年级上•上海宝山•期中)

63.阅读：关于工,了的二次六项式无2+5^-24/-x+25y-6如果可以分解成二个关于x,

了的一次三项式的乘积，那么可以用一种称为双十字相乘的方法来进行因式分解，具体方法

如图所示：先对f+5xy-24y2进行十字相乘分解得(x+8jO(x-3.y),则原式一定可以分解

成(x+8,y+a)(x-3y+6)的形式，然后分另ij对/-x-6与-24/+25>-6进行十字相乘分解,

从而确定a=-3,6=2,所以x~+5孙-249-x+25y-6=(x+8,y-3)(x-3y+2).

根据阅读，要求如下:

(1)因式分解：x2+xy-2y2+x+14,y-20；

(2)若关于x,了的多项式无2+2切+到2-2尤+10»-3可以分解成二个关于x,了的一次三项

式的乘积，求方的值.

(23-24七年级上•上海闵行•期中)

64.简便计算：20112-2007x2015

(24-25七年级上•上海•期中)

65.因式分解：25a2+36-60..

(23-24七年级上•上海•期末)

130

66.因式分解：16--a2+-ab一一b2.

4525

(23-24七年级上•上海崇明•期末)

67.分解因式：/二4分_2a+46.

(24-25七年级上•上海•期中)

68.已知x2+mx+〃=(x-a)(x+6),那么下列因式分解错误的是()

A.X2+mxy+ny=(^x-ay)(x+ZJJ)B.x2y2+mxy+n=(xj-a)(xy+Z?)

C.x4+mx2y+ny2=(x2-ay^x2+by^D.nx2+mx+\=(-ax+1)[bx+1)

试卷第13页，共14页

（24-25七年级上•上海•期中）

69.已知x+y=8,xy=-l,求炉+尤2了+中2+K的值.

试卷第14页，共14页

1.B

【分析】此题考查了因式分解；根据因式分解的概念，即把一个多项式化成几个整式的积的

形式，进行逐一分析判断即可.

【详解】解：A、ab+\=a[b+^,右边不是整式的积，不是因式分解，故本选项不符合;

B、2a36-4/6=2/6（。-2）,符合因式分解的概念，故本选项符合；

C、（a+b）2=a2+2ab+b2,该变形是整式乘法，不是因式分解，故本选项不符合；

D、«2-2a-l=a（a-2）-l,该变形没有分解成积的形式，故本选项不符合.

故选：B.

2.B

【分析】本题考查了因式分解的意义.掌握因式分解的定义是解决本题的关键.

利用“因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种式子的变形叫做这个多项式

的因式分解”解题即可.

【详解】解：①12^=2孙-6/是整式乘法；

②x2-6xi+5/=x（x_6.y）+5必结果是和的形式，不是因式分解；

③（-2x+3y）（2x+y）=-4x2+9r是整式乘法；

④3尤-6了=3（、-2了）是因式分解；

⑤3尤%-孙=中（3芯-1）是因式分解；

⑥l+x+J=+中含有不是整式的式子，不是因式分解；

故是因式分解的有④⑤，①②③⑥不符合定义，

故选：B.

3.C

【分析】本题考查的是因式分解，熟知把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫

做把这个多项式因式分解，理解分解因式概念是解题的关键.

【详解】解：A、（》+用（》-2力=/一盯一2/等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不

符合题意；

答案第1页，共31页

B、一+51-3=》[+5-jj等式右边不是几个整式的乘积形式，不是因式分解，不符合题

忌；

c、3/-5x-2=(3x+l)(x-2)是因式分解,符合题意；

D、3/+6工+4=3卜+球+1等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意；

故选：C.

4.-12

【分析】设--x+机=(x+3)(x+〃)，根据多项式的乘法得出3+"=-1,3n=m,即可求解.

【详解】解：设X?-x+机=(x+3)(x+〃)，

V(X+3)(X+H)=x2+(3+〃)x+3〃,

•••3+"=-1,3n=m,

解得：n=-4,则加=一12,

故答案为：-12.

【点睛】本题考查了因式分解与整式的乘法运算，熟练掌握因式分解以及整式的乘法的关系

是解题的关键.

5.C

【分析】本题考查了因式分解，多项式与多项式的乘法运算，多项式与多项式相乘，先用一

个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.根据多多项式的乘法

法则把等号右边化简，可得〃+6=-左、必=-15,然后对心b的值讨论可得答案.

【详解】解：一H一15=(%+a)(x+b),

一点一15=12+(Q+6)X+Q/?,

:."b=-k、ab=-15,

若a=l、b=-15,则〃+6=-14；

若〃=-1、6=15,贝lja+b=14；

若。=一3、b=5,贝|。+6=2；

若1Q=3、b=-5,贝!]a+b=-2；

故选：C.

6.2a1be

答案第2页，共31页

【分析】本题考查了公因式定义，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的

相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的找

出公因式即可.

【详解】解：6/历2和802b2c的最大公因式是2/儿，

故答案为：2azbe.

7.3x2y2

【分析】根据找公因式的方法得出答案即可.

【详解】解：多项式6//_3X2J?+12X2J?的公因式是

故答案为：3x2j2.

【点睛】本题考查了公因式.确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，

即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式(或相同多项式因

式)；③定指数，即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幕.

8.(x-y)(a+2)

【分析】本题考查了因式分解-分组分解法，提取公因式法，根据题意，先把办-即+2x-2y

分组得(办-a»+(2x-2力，然后再提取公因式，得出。(x-y)+2(x-y),最后再提取公因

式即可得出答案.

【详解】解：ax-ay+2.x-2y

=(ox-qy)+(2x-2y)、

=a(x_y)+2(x-y)

=(x-v)(a+2).

故答案为：(x-y)(a+2).

9.(l)6(/M+n)(m+277)

(2)-4x(x-2)2

⑶(x-3+3y)(x-3-3y)

(4)(尤-6)(x+2)(x-2)~

答案第3页，共31页

【分析】本题主要考查了分解因式:

（1）先提取公因式3（机+〃），再合并同类项后提取公因数2分解因式即可；

（2）先提取公因式-4x,再利用平方差公式分解因式即可；

（3）利用平方差公式和完全平方公式分解因式即可；

（4）先把（--以）看做一个整体利用十字相乘法分解因式，再利用完全平方公式和十字相

乘法进一步分解因式即可.

【详解】（1）解：9（加+一3（加-〃）（机+〃）

=3（/+〃）（3加+3〃一加+〃）

=3（/+〃）（2加+4〃）

=6（加+〃）（加+2〃）；

（2）解：-4X3+16X2-16X

=-4X（、2-4%+4）

(3)解：X2-9/+9-6X

=(--6X+9^-9J2

=(x-3)2-9y2

=(x-3+3y)(x-3-3y)；

(4)解：(X2-4X)2-8(X2-4X)-48

=（x-6）（x+2）（x-2）2.

10.8a（a-3）（a-2）

【分析】本题考查因式分解，利用提公因式法进行因式分解即可.

【详解】解：2Q（Q-3）2—6〃（3—Q）—10〃（。一3）

答案第4页，共31页

=2〃(〃-3)(Q-3)+2〃.3Q(Q-3)-5.2Q(Q-3),

=2Q(Q-3)[(Q-3)+3Q-5],

=2〃(Q_3/4Q_8),

=8Q(〃-3)(Q-2).

11.x(x—3y)(x+8y)

【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的几种方法是关键，先提公因式》,再进行

十字相乘法因式分解.

【详解】解：x3+5x2y-24xy2

=x(J+5肛-24y2)

=x(x-3^)(x+8j^)

12.2(Q+6)2(x+2〉)(x-3>)

【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的

关键.先提取公因式，再利用十字相乘法分解即可.

【详解】解：2x2(a+b)2-2xy(a+b)2-12y2(-a-b)2

=2(a+b)2(^x2-xy-6y2^

=2(Q+6)2(x+2〉)(x-3y).

13.D

【分析】能用完全平方公式分解的式子的特点是：三项；两项平方项的符号需相同；有一项

是两平方项底数积的2倍，据此逐项分析即可.

【详解】解：A./+x+i不能用完全平方公式因式分解，故不符合题意；

B.V—2x-1不能用完全平方公式因式分解，故不符合题意；

C.-+2X+4不能用完全平方公式因式分解，故不符合题意；

D.；=,符合题意，

答案第5页，共31页

故选：D.

【点睛】本题考查了完全平方公式进行因式分解，熟练掌握/±2仍+/=g±与2是解答本

题的关键.两个平方项的符号需相同；另一项是两底数积的2倍，是易错点.

14.C

【分析】公式法分解因式，主要是平方差公式，完全平方公式，立方公式，由此即可求解.

【详解】解：A选项，4/-952=(2a+3b)(2a-35)是平方差公式因式分解，不符合题意；

B选项，—4+—/=—(/—2ab+/)=—(。—bp是完全平方因式分解，不符合题意；

C选项，—1—/=一。+。2)不可以用公式法因式分解，符合题意；

D选项，-1+；〃=一11一=+卜一gbj是平方差公式因式分解，不符合题意.

故选：C.

【点睛】本题主要考查利用公式法因式分解，掌握公式法中的平方差公式，完全平方公式是

解题的关键.

15.5a(a+2)(o-2)

【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用平方差公式法进行因式分解，熟练掌握因

式分解的方法，是解题的关键.

【详解】解：5a3—20a=-4)=5a(a+2)(a-2)；

故答案为:5a(a+2)(fl-2).

16.16

【分析】本题考查了因式分解的应用，根据加-机、〃均为正整数，得出加-”=2,

m-n=3,m—n=4,m-n-5,从而得出加="+2,m=n+3,m=n+4,

m=n+5,把平方差公式中的换成和〃相关的式子，得到新的式子，然后将”=1,2,

3,…一次代入计算即可，理解题意，熟练掌握平方差公式是解此题的关键.

【详解】解：••,两个正整数小，〃满足%-

二机一〃=2或加一”=3或%一〃=4或一〃=5或-〃=6,

当加一〃=2时，贝！］="+2,

m2-n2=(〃+2+")("+2-")=4("+1),

得到的“智慧优数''为8,12,16,…；

答案第6页，共31页

当加一〃二3时，贝1」加=〃+3,

m2-n2=(〃+3+〃)(〃+3-〃)=3(2〃+3),

得到的“智慧优数”为15,21,27,...；

当加一〃=4时，贝!］机=〃+4,

m2-n2=(〃+4+〃)(〃+4-〃)=8(〃+2),

得到的“智慧优数”为24,32,...；

当加一〃=5时，则加=〃+5,

m2-n2=(〃+5+〃)(〃+5-〃)=5(2〃+5),

得到的“智慧优数”为35,45,...；

当加一〃=6时，则加=〃+6,

m2-n2=(〃+6+〃)(及+6-〃)=12(〃+3),

得到的“智慧优数”为48,60,…；

...,

把这些“智慧优数”从小到大排列为8,12,15,16,21,24,27,32,35,45,48,

60y...,

故第4个“智慧优数”是16,

故答案为：16.

17.(〃一6)(。+36)(。一36)

【分析】本题考查因式分解，先提公因式。-b,再利用平方差公式分解因式即可.

【详解】解：a2(a-b)+9b2(b-a)

2

=a(a一b)-9b之(a-b)

=一蚓)

=(Q-6)(Q+36)(Q-36)

故答案为：(a-b)(Q+36)(。-36).

18.++

【分析】此题考查了因式分解.

答案第7页，共31页

连续两次利用平方差公式进行分解即可.

【详解】解：1-16/

=(l+4fl2)(l+2tz)(l-2a)

故答案为：(1+4/)(1+2矶1-2a)

19.24.

【分析】本题考查了整式的乘法和因式分解.首先根据a+b=x+>=2可得

ax+ay+bx+by=4,又因为ax+力=5,可得ay+bx=-l,把-/乂/-「)分解因式可

得：(a+b)(a-b)(x+y)(x-y),把a+b=x+y=2代入可得4(a/(x-y),利用多项式乘

多项式的法则展开可得4[(ax+勿)-(ay+6x)],再把ax+力=5和ay+=-1代入求值即可.

【详解】解：,•F+6=x+y=2,

(a+6)(x+y)=2x2,

ax+ay+bx+by=4,

ax+by=5,

:.5+ay+bx=4,

ay+bx=-\,

:\a2-b2)(x2-y2)

=(a+b)(〃_b)(x+y)(x_y)

=2x(Q_b)x2x(x_y)

=4(Q_b)(x_y)

=4^ax-ay-bx+by)

=4[(ax+6y)_(ay+bx)]

=4X[5-(-1)]

=4x6

=24.

答案第8页，共31页

20.3a+2b##2b+3a

【分析】本题主要考查了因式分解的应用，根据

S正方形45co=S长方形zg。+S长方形。尸尸。+S长方形MBNG+S长方形GNCP求出正方形的面积，进而求出

其边长即可.

【详解】解：由题意得，,正方形A8CB=5长方形+S长方形2KPD+,长方形MBNG+S长方形GNCP

=3/+4ab+6a~+8ab+36~+b~

=9a2+Uab+Ab2

=(3a+26『

正方形ABCD的边长为3a+2b,

故答案为：3a+26.

21.(X-3)2

【分析】本题考查了公式法分解因式以及互为相反数的概念、绝对值和偶次幕的非负性的性

质，灵活运用公式进行因式分解是解题的关键.根据互为相反数的两数和为0以及绝对值和

偶次嘉的非负性，求得。、方的值，再利用公式法分解因式即可.

【详解】解：与〃+46+4互为相反数，

..山+4|+62+46+4=卜+4|+仅+2)2=0,

•,.〃+4=0,6+2=0,

角军得：a=—4,b=-2.

(x+a){x+6)+1

=(x-4)(x-2)+l

—x2—6x+8+1

=x2—6x+9

=(x-3『.

22.(1)-5

(2)m=±4

(3)6

【分析】本题主要考查了根据完全平方公式进行多项式变型和因式分解，

答案第9页，共31页

(1)根据题干示例的方法计算即可作答；

(2)根据题意设2—+加X+3=2(X+，『+INI,根据2(%+/『+1=2%2+4b+2/+1可得

[=m

解方程即可求解；

\Zt+1=3

(3)先分组得至“/+2切+/)+；/-4(尤+用+10,进而得到

[(x+^)2-4(x+y)+4]+1x2+6,贝|可得至lj原式=(x+y-2)2+；

+6,据此仿照题意求解

即可.

【详解】(1)解：X2-6X+4=X2-2-3-X+32-32+4=(X-3)2-5

•I•(x-3)2>0,

••.(X-3)2-5>-5(满足条件①)，

当x=3时，(x-3『-5=(3-3)2-5=0-5=-5(满足条件②)，

••・-5是——61+4的下确界；

(2)解「•代数式2/+加工+3的下确界是1,

•••可设2工2+加x+3=2(x+/『+121,

•••2(x+f)+1=2工2+4/x+2t2+1f

*,•2工2+/fix+3-2%2+4tx+2t2+1,

J=m

2”+l=3，

m=±4

解得:

t=±l

即：加=±4；

3

(3)解：—x2+y2+2xy-4x-4j+10

+y2^+—-4(x+y)+10

x++-X2+6

2

i

=(x+y-2)7+—x2+6,

答案第10页，共31页

71

(x+y-2)+—x2+6>6(满足条件①)，

当x=0,x+y-2=0f即x=0,y=2时，

3

-x2+/+2xy-4x-4y+10=0+22+0-0-4x2+10=6(满足条件②)，

3

••-6是封+/+2被-4%-4》+10的下确界

23.(X+1)2(X-6)2

【分析】本题考查了因式分解.把(f-5x)看作整体，利用完全平方公式分解，再利用十字

相乘法继续分解即可.

【详解】解：(X2-5X)2-12(X2-5X)+36

=[(—―5工)一6]

=—5X-6)2

=[(x+l)(x-6)]2

=(x+l)~(x-6)2.

24.(2a+6y