2025年沪科版七年级数学寒假预习：整式乘法

第07讲整式乘法

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模块一思维导图串知识能进行简单的整式乘法运算(其中多项式相乘仅指

模块二基础知识全梳理(吃透教材)一次式之间以及一次式与二次式相乘)；

模块三核心考点举一反三

模块四小试牛刀过关测

◊＞偏故一基础知田仝捺理-------------------------------

知识点1单项式与单项式相乘的法则

单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数哥分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它

的指数作为积的一个因式.

注意：(1)积的系数等于各系数的积，应先确定积的

符号，再计算积的绝对值.

(2)相同字母相乘，是同底数幕的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算.

(3)只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里.

(4)单项式乘单项式的结果仍然是单项式.

(5)对于三个以上的单项式相乘法则同样适用.

知识点2单项式与多项式相乘的法则

单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。即

m(a+b+c)=ma+mb+me(a,"诸B是单项式)。

注意：(1)单项式与多项式相乘，结采是一个多项式其项数与因式中多项式的项数相同，可以以此来检验在

运算中是否漏乘某些项.

(2)计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号.

(3)对于混合运算，应注意运算顺序，有同类项时，必须合并，从而得到最简结果.

知识点3多项式与多项式相乘的法则

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。即

（a+b\m+n）=am+an+bm+bn（a,“加，,都是单项式）

意：（1）运用多项式乘法法则时，要按一定的顺序进行，防止“漏项”。

）多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积。

1多项式是单项式的和，每一项都包括前面的符号，运算过程中要注意确定积中各项的符号。

知识点4单项式除以单项式法则

E单项式相除，把系数与同底数塞分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数

作为商的一个因式。

意：（1）运算中单项式的系数包括它前面的符号。

）不要遗漏只在被除式里含有的字母。

）单项式除以单项式的站果仍是单项式。

知识点5多项式除以单项式法则

E多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。

注意：（1）多项式除以单项式可以简化为单项式除以单项式、在计算时，多项式里的各项要包括它前面的符

号。

（2）多项式除以单项式，被除式里有几项，商也应该有几项、不要漏项。

（3）多项式除以单项式是单项式乘多项式的逆运算，可用共进行检验。

6模块三核心考点举一反三------------------------------

考点01：计算单项式乘以单项式

例题1.（24-25七年级上•上海•期中）计算：仍大

【变式1-1】计算：x2y-（-xy）=.

【变式1-2】计算：（-2/『（衬,（打2

【变式1-3】计算：—a4bsc3—（^—ab）[-a264c，2^—^-abc1.

考点02：利用单项式乘法求字母或代数式的值

|\'例题2.若（a'""?）=九3,则加+〃的值为.

【变式2・1】已知单项式3%2、3与2盯2的积为加,那么加一〃二（）

A.11B.5C.1D.-1

【变式2-2】已知2x+l=0,则代数式x（x—2）+3的值为（）

A.0B.2C.1D.3

【变式2-3】先化简，后求值：4%徐3+1_；12,].]6肛2,其中x=o.4,y=-2.5.

2

考点03：单项式乘以多项式

例题3.（24-25七年级上•辽宁锦州•期中）先化简，再求值：［（3x+y）（2y-x）+x（3尤-y）］+（-2y）,

其中x=g,y=-1

【变式3-1】把代数式5（--y）变形为5/一5y所运用的根据是（）

A.乘法交换律B.乘法结合律C.分配律D.乘法交换律和分配律

［变式3-2】化简：（a2b+加一3/）.（4加）-（-2ab2『

【变式3-3】计算：x^^y^-x-'y-'+xy")

考点04：单项式乘多项式的应用

例题4.小红的爸爸将一块长为（g/+5/1分米、宽筋5分米的长方形铁皮的四个角都剪去一个边长

L2J

为:/分米的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的盒子.

（1）用含4，6的整式表示盒子的外表面积;

（2）若“=1,6=0.2,现往盒子的外表面上喷漆，每平方分米喷漆价格为15元，求喷漆共需要多少元？

【变式4-1］（23-24八年级上•内蒙古兴安盟•期末）神舟十六号载人飞船成功发射，激发了中小学生对航天

事业的热爱.李华在手工课上制作了一个火箭模型（图1）,图2是其中一重要零件及各边的长度，则图2

中零件的面积为（）

A.a2+3abB.2b2+abC.3b2+2abD.b2+3ab

【变式4-2］如图，已知正方形的边长为a,长方形CE/G的边CE长为2a,边CG长为江则以

。为圆心，AD为半径的弧与G4GE所围成的阴影部分的面积是.（用含有a、b和万的代数式表示）

3

【变式4-3］（23-24七年级下•河北秦皇岛•期末）某居民小组在进行美丽乡村建设中，规划将一长为5“米、

宽为2b米的长方形场地打造成居民健身场所，如图所示，具体规划为：在这个场地一角分割出一块长为

（30+1）米，宽为6米的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材，其中用作篮球场的地面铺设

塑胶地面，用于安装健身器材的区域建水泥地面.

（1）用含。、b的式子表示篮球场地的面积岳和安装健身器材区域的地面面积风；

（2）当a=9米，6=15米时，分别求出篮球场地的面积和安装健身器材区域的地面面积；

（3）在（2）的条件下，如果铺设塑胶地面每平方米需100元，铺设水泥地面每平方米需50元，求建设该居

民健身场所所需的地面总费用M（元）.

考点05：多项式乘以多项式

=x2+mx+«,贝U加=n=

【变式5・1】（23-24七年级上•河北石家庄•期末）若卜-3）和（x+5）是夕的因式，贝（J夕为（）

A.-15B.-2C.8D.2

【变式5-2］已知（x+1乂x—3）=%2+"+b,则/的值是（）

1111

A.——B.-C.——D.-

8899

【变式5-3】计算：（3a+26）（〃-6）+（2a-6）（a+6）=.

考点06：已知多项式乘积不含某项求字母的值

；''例题6.一个关于x的二次三项式/+2尤+4,将它与一个关于x的二项式办+6相乘，得到一个关于x

的整式，其中不出现一次项，且三次项系数为1,求〃、6的值.

【变式6-1］已知（5-3X+S2-6/）Q_2X）的计算结果中不含/项，则用的值为.

【变式6-2］（24-25七年级上•重庆・期中）要使多项式9+2一一2ax3+4Zz?+x-5中不含f项和丁项，则

a-b=.

4

【变式6-3](24-25七年级上•甘肃金昌・期中)若代数式-3/+/*+3苫-1不含》的一次项，求疗的值.

考点07：多项式乘多项式的化简求值

例题7.(23-24七年级下•江苏常州•期末)先化简，再求值：2x(x+l)-(x+2)(2x-l),其中x=l.

【变式7-1]已知点+/=22,xy=7,那么(2x-y)(x-2y)的值为

【变式7-2].(2024•广东深圳三模)已知川=a+6+2024,贝!的值为.

【变式7-3].(23-24七年级下•浙江杭州•期中)已知x+y=3,xy=-l,则。+力。+力的值为.

考点08：多项式乘法中的规律问题

8.观察下列式子:

(J=X+1

-1)+(%-1)=%2+x+l

(J一1).-1)=/++%+1

(X，-1)+(%—1)=%，+/+/+X+1

⑴根据以上式子，请直接写出任―1户卜―1)=

⑵根据以上式子，请直接写出(/-1)+(%-1)的结果5为正整数)；

(3)计算：1+2+2?+23+2,+.••+22°i5.

【变式8・1】通过计算寻找规律：

⑴计算：+.(%-1乂+x+l)=.—+%2+%+])=

(2)猜想：(x—l)(x"+%"1+…+x+l)=.

(3)根据猜想结论，写出下列结果：25+24+...+2+1=.2〃T+2I+...+2+1=

【变式8-2］观察以下等式：

(X+0(%之一%+1)=/+1

(X+3)(X2-3X+9)=X3+33

(x+6)(J-6、+36)=x3+63

⑴按以上等式的规律，填空：

①(x+8)(f_8%+64)=.

②(Q+b)(〃2-〃加/)=.

(2)利用多项式的乘法法则，说明(1)中②的等式成立.

(3)利用(1)中的公式化简；

5

(x+y),-xy+y2)-(x+4y)(x2-4xy+16y2)

【变式8-3](23-24七年级下•广东清远•期中)观察以下等式:

(x+l)(x2-x+l)=x3+1

(X+3)(X2-3X+9)=X3+33

(x+6)(x2-6x+36)=x3+63

（1）按以上等式的规律，填空：

@（x+10）（x2-10x+100）=.

②（a+b）（/-。加加）=.

（2）利用多项式的乘法法则，说明（1）中②的等式成立.

（3）利用（1）中的公式化简：（x+y乂尤2-肛+/）-（x+3田-3孙+9/）.

＞：■模块四小试牛刀过关测

一、单选题

1.（23-24七年级下•安徽宿州•期末）下列运算中正确的是（）

A.x3+x3=x6B.(--)3=x6

C.x2-x4=x6D.2x24-x2=2x

2.（23-24七年级下•安徽六安•期末）若/+3a=2则代数式5。（。+3）-2的值为（）

A.7B.8C.9D.10

3.（23-24七年级下•安徽亳州•期末）设/=（x+3）（x-8）,5=（x+l）（x-6）,则N与3的大小关系为（）

A.A<BB.A>BC.4=BD.不能确定

4.（23-24八年级下•安徽滁州・期末）若（x-2）（2x+4）运算结果中不含关于x的一次项，则后的值是（）

A.4B.-4C.2D.-3

二、填空题

5.（23-24七年级下•安徽合肥・期末）若(%—2)(%+加)=Y+3%—〃，贝ijm-n=_____.

6.（22-23七年级下•安徽安庆・期末）要使（x+3乂2，+皿-4）的展开式中不含公项，则m的值为______.

三、解答题

7.（23-24七年级下•广东深圳•期末）计算：

(1)3/•2/+(3/)--14/；

(2)2出-3>)-(5中2一2》2〉卜〉.

8.（23-24七年级下•广东深圳•期末）计算:

6

⑴臼+0

-(2024+7)°；

⑵(312y)2.(-2中3j4-^-6x4y5).

9.(22-23七年级下•安徽六安・期末)观察下列各式：

(x-l)+(x-1)=1；

(x2-1)^-(%-1)=x+1；

(一+=—+1+i；

(X，—])+(X-1)=/+12+%+]；

(1)根据上面各式的规律可得：，-l)+(x-l)=.

(2)根据上面各式的规律可得：(--1)+(x-1)=.

(3)若1+X+/+…+，°22=0,求信必的值.

10.(23-24七年级下•安徽亳州•期末)观察下列多项式的乘法计算.

①(x+3)(x+4)=x2+(3+4)x+3X4=X2+7X+12；

(2)(x+3)(x-4)=x2+[3+(-4)]x+3x(-4)=x2-x-12；

@(x-3)(x+4)=x2+■-3)+4]x+(-3)x4=x2+x-12；

@(x-3)(x-4)=x2+[(-3)+(-4)]x+(-3)x(-4)=x2-7x+12.

⑴计算：(x+2)(x+3)=,(x+l)(x-7)=.

(2)若(x-5)(x+冽)=/+几x—15,求加〃的值.

7

第07讲整式乘法

T模块导航。T素养目标A

模块一思维导图串知识能进行简单的整式乘法运算(其中多项式相乘仅指

模块二基础知识全梳理(吃透教材)一次式之间以及一次式与二次式相乘)；

模块三核心考点举一反三

模块四小试牛刀过关测

6模块一思维导图串知识-

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6模块二基础知识全梳理-----------------------------

知识点1单项式与单项式相乘的法则

单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幕分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它

的指数作为积的一个因式.

注意：(1)积的系数等于各系数的积，应先确定积的

符号，再计算积的绝对值.

(2)相同字母相乘，是同底数幕的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算.

(3)只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里.

(4)单项式乘单项式的结果仍然是单项式.

(5)对于三个以上的单项式相乘法则同样适用.

知识点2单项式与多项式相乘的法则

单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。即

m(a+b+c)=ma+mb+mc(a,b,c,加者B是单项式)。

注意：(1)单项式与多项式相乘，结采是一个多项式其项数与因式中多项式的项数相同，可以以此来检验在

运算中是否漏乘某些项.

(2)计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号.

(3)对于混合运算，应注意运算顺序，有同类项时，必须合并，从而得到最简结果.

知识点3多项式与多项式相乘的法则

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。即

8

（a+b\m+n）=am+an+bm+bn（a,“加，〃都是单项式）

注意：（1）运用多项式乘法法则时，要按一定的顺序进行，防止“漏项”。

（2）多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积。

（3）多项式是单项式的和，每一项都包括前面的符号，运算过程中要注意确定积中各项的符号。

知识点4单项式除以单项式法则

单项式相除，把系数与同底数幕分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数

作为商的一个因式。

意：（1）运算中单项式的系数包括它前面的符号。

）不要遗漏只在被除式里含有的字母。

）单项式除以单项式的站果仍是单项式。

知识点5多项式除以单项式法则

E多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。

注意：（1）多项式除以单项式可以简化为单项式除以单项式、在计算时，多项式里的各项要包括它前面的符

号。

（2）多项式除以单项式，被除式里有几项，商也应该有几项、不要漏项。

（3）多项式除以单项式是单项式乘多项式的逆运算，可用共进行检验。

6模块三核心考点举一反三------------------------------

考点01：计算单项式乘以单项式

例题1.（24-25七年级上•上海•期中）计算：［白那］一（《砌3.

【答案】

【解析】解：，白力:，三加］一（々砌3

=-a3b3+Sa3b3

5

=—a3b\

5

【变式1-1】计算：X2J-（-xy）=.

【答案】*/

【解析】解：x2y（-xy）=-x3y2,故答案为：.

【变式1-2】计算：（一

【答案】-12/92

【解析】解：原式=一8工6艮.；孙3.尸6

9

=-112cx7y6—6

=-12x7/2.

【变式1-3】计算：［a%8c3-（-。人丫234c3）+2（--abc

I4

【答案】-aW+—aV

927

【解析】解：原式一363c3j

=一/67c3363c31

=-«W+—a2/,4.

927

考点02：利用单项式乘法求字母或代数式的值

2.若（暧+0+2）.（/-&"）=/火则冽+〃的值为.

14

【答案】y

【解析】解：•••（。""+2）«2"-%2"）=九3,

...++1+加一方+2+2”=点3,

（m+2n=5

・・13〃+2=3'

\13

m=一

.3

1,

n=—

I3

・14

..m+n=——,

3

、14

故答案为：—.

【变式2.1】已知单项式3//与2盯2的积为加dy,,那么加—〃=（）

A.11B.5C.1D.-1

【答案】C

23235

【解析13xy•2xy=6xy,

mxyn=6x3y5,

..tn=6,〃=5,

:.m—n=6—5=1.

10

故选：c.

【变式2-2】已知/_2尤+1=0,则代数式x（x-2）+3的值为（）

A.0B.2C.1D.3

【答案】B

【解析】解：•"-2/+1=0,

x2-2x=-1，

-2）+3=x~-2x+3=-1+3=2,

故选：B.

【变式2-3】先化简，后求值：4%y+1—%2）.16孙2,其中x=0.4,=-2.5.

【答案】y5~^x3y3»

425

【解析】解：4xVAT+MX2A16X/

=4xy-^xy+（-4xy）

=（x，y5-4x3y3

25

考点03：单项式乘以多项式

3.（24-25七年级上•辽宁锦州•期中）先化简，再求值:［（3x+y）（2y-x）+x（3x-y

其中x=；,y=T

【答案】一2尤-了，0

【解析】解：［（3x+y）（2y-x）+x（3x-y）］+（-2y）

=［（5砂―3/+2『）+（3，_中卜（~2y）

11

=-2x-y,

当x=；,y=时，原式=_2尤_y=-2x^-(-l)=00.

【变式3-1】把代数式5，-y)变形为5x「5y所运用的根据是()

A.乘法交换律B.乘法结合律C.分配律D.乘法交换律和分配律

【答案】C

【解析】解：把代数式5卜2一司变形为5f-5y所运用的根据是分配律，故选：C.

【变式3-2】化简：+加一劝3)(船〃卜卜勿〃J

【答案】4a3/>3-12a/

【解析】解：(a%+062-3犷).(生〃)一卜勿62)一

=a2b-(4a〃)+ab2-(4ab2卜3b3-(4ab2卜4a2/)4

=4/3+4*-12加-4//

=4//-12仍5.

【变式3-3】计算：x2y(x"-、"+Jx"-yT+x"y")

WAs*vc^t、n+\n+2n+\n,n+2n+1

【答案】Xy-xy+xy

［解析］解：x2y(x--y+1-^-y^+^V)

=x2y-xn—\yM+1-x,2y-xn—1yM—1.+x2y-xnyn

—_xY〃+1yI/+2—x丫y_-Lrx丫"+2y曾〃+1

考点04：单项式乘多项式的应用

I、,例题4.小红的爸爸将一块长为+5/1分米、宽5a$分米的长方形铁皮的四个角都剪去一个边长

为21分米的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的盒子.

2

(1)用含。，6的整式表示盒子的外表面积；

(2)若。=1,6=0.2,现往盒子的外表面上喷漆，每平方分米喷漆价格为15元，求喷漆共需要多少元?

【答案】(1)23a8+25a(平方分米)

(2)360元

12

【解析】（1）解：根据题意得：

（■^々3+562）.5a5-4x^a4^

=24as+25a5b2-as

=23as+25a5b2（平方分米）

•••盒子的外表面积为（23°8+25/从）平方分米；

（2）解：当。=1,6=0.2时，

23/+25/〃=23xa+25xFx0.22=24（平方分米）

则喷漆的费用为15x24=360（元）.

答：喷漆共需要360元.

【变式4-1］（23-24八年级上•内蒙古兴安盟•期末）神舟十六号载人飞船成功发射，激发了中小学生对航天

事业的热爱.李华在手工课上制作了一个火箭模型（图1）,图2是其中一重要零件及各边的长度，则图2

中零件的面积为（）

/\

图1图2

A.a2+3abB.2b2+abC.3b2+2abD.b2+3ab

【答案】A

Ii

【解析】解：—a1-^-ax2b+-［a+2b）xa

12c717i

=—a+2ab+—a+ab

22

=a2+3ab，

即图2中零件的面积为/+3〃b.

故选：A

【变式4-2］如图，已知正方形的边长为〃，长方形CEFG的边CE长为2〃，边CG长为江则以

。为圆心，为半径的弧与G4GE所围成的阴影部分的面积是.（用含有6和万的代数式表示）

13

i3i

【答案】一/+—必+—万〃?

224

【解析】解：由题意得，S阴影+9+

=2ab+Q?—/—abH—71a2

224

=―〃-|—abT—TTQ2,

224

故答案为：+-ab+-7ta2.

224

【变式4-3］（23-24七年级下•河北秦皇岛•期末）某居民小组在进行美丽乡村建设中，规划将一长为5a米、

宽为2b米的长方形场地打造成居民健身场所，如图所示，具体规划为：在这个场地一角分割出一块长为

（30+1）米，宽为6米的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材，其中用作篮球场的地面铺设

塑胶地面，用于安装健身器材的区域建水泥地面.

（1）用含。、6的式子表示篮球场地的面积H和安装健身器材区域的地面面积§2；

（2）当。=9米，6=15米时，分别求出篮球场地的面积和安装健身器材区域的地面面积；

（3）在（2）的条件下，如果铺设塑胶地面每平方米需100元，铺设水泥地面每平方米需50元，求建设该居

民健身场所所需的地面总费用M（元）.

【答案】（1）E=3ab+b,S2=7ab-b；

（2）420平方米，930平方米；

（3）88500元

【解析】（1）解：E=6（3Q+l）=3ab+b（平方米）

S2=5ax2b-b（3a+1^=7ab-b（平方米）

（2）当Q=9米，6=15米时

S.=3x9x15+15=420（平方米）

14

S2=7x9x15-15=930(平方米)

(3)M=420x100+930x50=88500(元)

考点05：多项式乘以多项式

T］例题5.已知（3+%）（%-4）=%2+加工+几，则加=n=

I——I

【答案】-1-12

【解析】解：（3+x）（x-4）

=x2+3x—4x—12

=%2_x_12

=x+mx+n，

m=—I,n=—12,

故答案为：-1,-12.

【变式5-1](23-24七年级上•河北石家庄•期末)若(》-3)和(x+5)是一+px+q的因式，则p为()

A.-15B.-2C.8D.2

【答案】D

【解析】解：(x-3)(x+5)=d+2x-15

即x2+2x-15=x2+px+q

p=2

故选：D

【变式5-21已知(x+l)(x-3)=/+qx+6,则/的值是()

1111

A.——B.-C.——D.-

8899

【答案】A

【解析】解：V(x+l)(x-3)=x2+6zx+/?,

••f+%—3%—3=x2+ax+b，

••x2—2x—3—%?+ax+6,

a=—2,b=—3,

故选：A.

【变式5・3】计算：（3〃+26）（〃-Z?）+（2。-6）（Q+"=1

【答案】5/-3b2

【解析】解：（3a+26）（a-6）+（2”6）（〃+6）

3/—3ab+2ab—2b?+2/+2ab—ub—b?

15

=5a2-3b2,

故答案为：5a2-3〃.

考点06：已知多项式乘积不含某项求字母的值

I、例题6.一个关于x的二次三项式f+2x+4,将它与一个关于x的二项式6相乘，得到一个关于x

的整式，其中不出现一次项，且三次项系数为1,求。、方的值.

【答案】。=11=-2

【解析】解：+2X+4)(QX+6)=ax3+bx2+2ax2+2zx+4zx+4Z

=ax3+(b+2〃)%2+(2b+44)x+4b

・・•不出现一次项，且三次项系数为1,

Q=1,2b+4〃=0,

解得：a=l,b=-2

【变式6-1】已知(5-3苫+冽尤2-6苫3)(1-2无)的计算结果中不含；(;3项，则机的值为.

【答案】-3

【解析】解：(5-3x+mx2-6x3)(l-2x)

=5-10x-3x+6x2+mx2-2mx3-6x3+12x4

=12x4+(-2m-6)x3+(6+m)x2-13x4-5

,/已知(5-3x+mx2-6x3)(l-2x)的计算结果中不含的项，

/.—2m—6=0

m=-3

故答案为：-3.

【变式6-2](24-25七年级上•重庆・期中)要使多项式尤3+2x2-2办3+钻龙2+x-5中不含/项和尤3项，则

a-b=.

【答案】I

【解析】解：x3+2x2—2ax3+4bx2+x—5

二(1-+(2+46)f+x-5,

•・•不含Y项和/项，

1—2a=0,2+4b=0,

故答案为：1.

16

【变式6-3]（24-25七年级上•甘肃金昌・期中）若代数式_3/+皿戈+3式-1不含工的一次项，求”的值.

【答案】9

【解析】解：因为代数式-3苫2+必+3.1=-3/+（加+3卜-1不含工的一次项，

所以加+3=0,

解得：加二-3,

m2=9-

考点07：多项式乘多项式的化简求值

|\例题7.（23-24七年级下•江苏常州•期末）先化简，再求值：2x（x+l）-（x+2）（2x-l）,其中尤=1.

【答案】—X+2,1

【解析】解：原式=2/+2X一（2/一x+4x-2）

—2工2+2x-2%2+x-4x+2

——x+2.

当％=1时，原式=一1+2=1.

【变式7-1】已知/+，2=22,xy=7,那么（2x—y）（x-2y）的值为—.

【答案】9

【解析】解：（2x-y）（x-2y）

=2x2-4xy-xy+2y2

=2x2—5xy+2y2

=2（x2+/）一5xy,

x2+y2=22,xy=7,

.••原式=2x22-5x7=44-35=9,

故答案为：9.

【变式7-21.（2024•广东深圳•三模）已知〃6=〃+6+2024,则1）的值为.

【答案】2025

【解析】解：vab=a+b+2G2A,

ab-a-b=2024,

（a—1）（Z?—1）

=ab-a-b+i

=2024+1

=2025,

故答案为：2025.

【变式7-3].（23-24七年级下•浙江杭州・期中）已知尤+了=3,xy=-l,则（l+x）（l+y）的值为.

17

【答案】3

【解析】解：Vx+y^3,xy=-l.

：.(l+x)(l+y)

=y+x+xy

=1+3-1

=3,

故答案为：3.

考点08：多项式乘法中的规律问题

(J=X+1

(d—+—1)=/+%+1

-=/+12+1+1

(%，-1)+(X-1)=X，+d+%2+X+1

⑴根据以上式子，请直接写出卜6—1卜(—1)=;

⑵根据以上式子，请直接写出卜〃-1)+(%-1)的结果5为正整数)；

(3)计算：1+2+22+23+24+---+22015.

【答案】⑴xU+d+/+x+i

(2)x"~'+x"~2+...+X+1

⑶22J

【解析】(1)解：由题意得，(X，-1)+(x-1)=X、+X”+X，+X。+X+1.

故答案为：X5+X4+X3+X2+X+1-

(2)解：观察题干中各等式，得到如下规律：被除式和除式都是二项式，除式都是(x-l),商的次数比被

除式的次数小1,项数与被除式的次数相等，按x进行降幕排列，各项系数为1,

(X®-1)+(x-1)=x"~'+x"~2+…+X+1.

故答案为：x"-'+xn-2+...+x+\.

(3)解：由题意得，1+2+22+23+24+…+2如5

=22016-1.

【变式8-1】通过计算寻找规律：

(1)计算：(x+])(x—l)=.(x—1)(k+X+1)=.(x_1)(d++X+1)=

18

⑵猜想：(x-l)(x"+x"1+...+x+1)=.

(3)根据猜想结论，写出下列结果：25+24+...+2+1=.2|1-1+2--2+...+2+1

【答案】(I)》。-1,x3-1>x4—2

(2)

⑶2』，2"-1

【解析】(1)解：(x+l)(x-l)=x2-l；

(x-1)(X2+X+1)=+X-+X-X2-X-1—X，-1；

(X—1)(/+f+X+1)=x"+/++x——f—x—1—X，一一；

(2)解:由(》+1加-1)=/一1；

(x-l)(x2+x+lj=x3-1;

324

(x-l)^x+x+x+l)=x-1;

(x-1)卜"+x"T+...+X+l)=尤"M-l;

(3)解：25+24+...+2+l

=(2-l)(25+24+...+2+l)

=26-l：

2“T+2"7+...+2+1

=(2-1)(2"一+2"2+…+2+1)

=2"-l.

【变式8-2］观察以下等式：

(x+l)(x2-x+l)=x3+l

(X+3)(X2-3X+9)=X3+33

(x+6)(x2-6尤+36)=%3+63

(1)按以上等式的规律，填空：

①(尤+8乂--8x+64)=.

②(a+6)(/-ab+济)=.

(2)利用多项式的乘法法则，说明(1)中②的等式成立.

(3)利用(1)中的公式化简；

(^x+y^x2-xy+y2(x+4y)^r2-4xy+16y2)

【答案】(1)尤3+1()3；a3+b3

19

(2)/+户

⑶-63/

【解析】(1)解：根据材料提示，

①(x+8)(f—"64)=d+83.

@^a+b^{^a2-ab+b2^=a3+b3.

故答案为：x3+103;tz3+Z?3;

(2)解：(4+»(/―M+⑹

=a3-a2b+ab2+ba2-ab2+b3

=a3+b3;

(3)解：(1+,乂，一孙+,2)_(x+如)12_的+]®2)

=x3+y3_13+64y3)

=x3+y3-x3-64)3

=-63y3.

【变式8-3](23-24七年级下•广东清远•期中)观察以下等式：

(X+1)(、2一%+1)=+1

(X+3)(X2-3X+9)=X3+33

(x+6)一6x+36)=/+6，

⑴按以上等式的规律，填空：

①(x+10Mx2—101+100)=.

②(〃+/))(/-。/升叼=.

(2)利用多项式的乘法法则，说明(1)中②的等式成立.

⑶利用⑴中的公式化简：(、+》)(工2一盯+y2)—(x+3y)(x2一3肛+9/).

【答案】⑴d+103；/+/

(2)见解析

(3)-26/

【解析】(1)解：®(x+10)(x2-10x+100)=x3+103

②(4+9(〃2—46+/)=/+/)3，

故答案为：x3+103；/+/;

(2)解：(Q+»(Q2_仍+/)

20

—“3—a2b+ab?+bd—ab?+b，

=a3+b3;

（3）解：（x+y）（x?-肛+力-（》+3〉）（尤2-3孙+9/）

=X3+J3-[X3+（3J）3]

=/+j?_（/+27力

=x3+y3-x3-21y3

=~26y3.

6模块四小试牛刀过关测-------------------------------

一、单选题

1.（23-24七年级下•安徽宿州•期末）下列运算中正确的是（）

A.%3+x3=x6B.（-x2）3=x6

C.x2-x4—x6D.2x24-x2=2x

【答案】C

【解析】解：A、?+X3=2X3,故本选项不符合题意；

B、（-X2）3=-X6,故本选项不符合题意；

C、x2.x4=x6,故本选项符合题意；

D、2/+/=2,故本选项不符合题意，

故选：C.

2.（23-24七年级下•安徽六安・期末）若/+3。=2则代数式5。（。+3）-2的值为（）

A.7B.8C.9D.10

【答案】B

【解析】解：a2+3a=2,

5。（。+3）-2=5（a~+3a/2=5x2-2=8,

故选：B.

3.（23-24七年级下•安徽亳州・期末）设1=（x+3）（x-8）,5=（x+l）（x-6）,则/与8的大小关系为（）

A.A<BB.A>BC.A=BD.不能确定

【答案】A

【解析】解：/_8=彳2_5尤_24_（/_5尤_6）=_18<0,

故选：A.

4.（23-24八年级下•安徽滁州•期末）若（尤-2）（2x+左）运算结果中不含关于x的一次项，则左的值是（）

21

A.4B.-4C.2D.-3

【答案】A

【解析】解：（x-2）（2x+后）

=2x?+—4x—2k

-2%2+（左一4）x—2k

•・♦计算的