2025年高考一轮复习第二次月考卷（解析版）

2025年高考一轮复习第二次月考卷01

(满分150分，考试用时120分钟)

测试范围：集合+不等式+函数+三角函数与解三角形+导数+复数

一、选择题

2

1.已知集合4=]幻言|<0卜B={x|y=log3(x-9)},则A「&2)=()

A.[-2,3]B.(-2,3]C.(-2,4]D.[3,4]

【答案】B

【分析】先解不等式求出两个集合，再求出然后求入(二为即可.

x-4f(x-4)(x+2)<0

【解析】由—wo,得°c，解得-2<x44,

x+2[x+2w0

所以A=(-2,4],

由％之—9>0,xv—3%>3,

所以3=(—8,—3)(3,+8),所以43=[—3,3],

所以AcQ3=(-2,3].

故选：B

2.若复数z满足z+22=3+i(i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【分析】利用复数的运算法则求出z,再根据复数的代数表示及其几何意义得出z对应的点，进而求解.

【解析】设z="+历,(a,6wR),则2一历,

贝心+历+2（。—历）=3+i,即3a-历=3+i,所以3a=3,-b=-l,

解得a=l,b=-1,故z=l—i,对应的点(1,-1)在第四象限.

故选：D.

3.设a,6是向量，贝!+6乂。-6)=。"是"a=-6或a=〃'的().

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据向量数量积分析可知（。+6〉（a-6）=。等价于同=忖，结合充分、必要条件分析判断.

【解析】因为（。+6）•■-6）=/一O=。，可得/=片，即同=网，

可知（4+6）.（4_6）=0等价于同=1|,

若°或£=一6,可得同=忖，即,+6）标一万）=0,可知必要性成立；

若卜+6卜,—6）=0,即同=忖，无法得出q=b或。=_匕，

例如。=（1,0）,6=（0,1）,满足同=卜|,但且心不，可知充分性不成立;

综上所述，"（。+6）«-6）=0"是且"_方"的必要不充分条件.

故选：B.

4.已知cos]则cos(2。+=(

、23)(26;

16

A.—Lr.---

2BY22

【答案】A

【分析】根据诱导公式和二倍角公式化简等式，在利用二倍角公式计算得到结果;

=<4目+38s化+'0=8S化+

(23)(232)(23)(23)

1.(2兀11.(八兀兀11/八兀、1

=—sin0n-\-----=—sin0-\-------F—=—cos(8+—)=一,

213)2162)264

如吟1

团cos0+—=一,

团cosf20+()=2cos?[^+-^-1—1=

2

故选：A.

5.设次,>21,a>l,6>1.若优=夕=3,a+b=2\/3,则一十一最大值为()

%V

3i

A.2B.-C.1D.y

22

【答案】C

【分析】先利用指、对数的关系，用“，b表示x，y,再利用基本不等式求最大值.

【解析】ax,y>i,a>1,b>l,ax=by=3f

Io11

^x=\oga3=-------

log3«log3b

同11i1i1iIq+b)[/2,3、21

S-+-=log6r+log&=log«Z?<log——=log(^—)=1，

xy3333I2J32

当且仅当a=6=6，x=V=2时取等号.

团1+工的最大值为1.

%y

故选：c.

6.阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，

被称为〃定楼神器〃，如图1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的

位移y(m)和时间外)的函数关系为y=sin3+0(0>O,[d<7t),如图2,若该阻尼器在摆动过程中连续三

次到达同一位置的时间分别为Jt2,r3(0<^</2<?3),且4+^=2,t2+t3=5,则在一个周期内阻尼器离

开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为()

4

D.一s

3

【分析】先根据周期求出再解不等式5吊[可/+。)>0.5,得到r的范围即得解.

【解析】因为乙+弓=2,"3=5,t3T\=T,所以T=3,又7=&，所以0==,

CD3

2兀[+"),由y>0.5可得5拓]笄7+0)>0.5,

贝|y二sin

LLt、r兀2兀571”

以2kli~\—<—/+夕<--F2kli,k£Z,

636

所以3左+J—<^---^-(p+3k,左eZ,故(3%+：_；0]_(3左+1—二0]=1,

42兀42K142兀J142兀/

所以在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为1s.

故选：C.

7.已知函数“X)在R上可导，其导函数为尸⑺，若“X)满足：(x-l)[r(x)-/(x)]>0,

/(2-x)=/(x)e2-2\则下列判断正确的是()

A./(l)>e/(O)B./(2)>e2f(0)

C./(3)>e3/(O)D./(4)<e4/(O)

【答案】C

【分析】根据题意令利用导数及题干所给条件求得尸(x)的单调性，利用函数的对称性，可

得F(l)<F(0)=FQ)<尸(3)<F(4),对其进行比较即可判断各选项.

【解析】令尸(耳=邛，则—(无)=，'(x)［e"(x)==,

eee

函数满足(x-1)［尸(x)-/(x)］>0,

当x>1时F'(x)>0,尸(x)在［1,+«)上单调递增,

当尤<1时F'(x)<0,F(x)在(-oo,1］上单调递减，

又由〃2-同="耳/2工。与»=与。/(2-同=小耳，

即函数尸(左)的图象关于x=1对称，从而尸⑴<尸(。)=F(2)<F(3)<F(4),

对于A,F(l)<F(0),”<4判，/(l)<ef(O),A错误；

ee

对于B,F(0)=F(2),驾!=*,/(2)=e2/(0),B错误；

ee

对于C,尸⑶>尸(0),婴>邛，/(3)>e3/(0),C正确；

ee

对于D,F(4)>F(0),与>¥，J(4)>e7(0),D错误.

故选：C

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是构造函数尸(耳=22,利用导数法研究函数的单调性，结合函数

的对称性即可.

-龙之,0<x<2

8.函数八％)满足：当%>0时，"％)=­1，>=〃％)+：是奇函数.记关于犬的方程

2I,JC>2

I3

1m7

-履+7=0(%eR)的根为王,々,…,x,“，若£〃占)=-3，则上的值可以为()

2，=12

11175

A——B.五C.-D.1

.18

【答案】C

【分析】首先判断函数/（X）关于点，，-gj对称，再画出函数/（同和＞=依-;的图象，结合函数的对称性,

判断交点的个数，利用数形结合，即可求解.

【解析】若函数y=/（x）+；是奇函数，则〃-尤）+：=-〃尤）-;，

即〃f）+〃x）=T，则函数关于点也,-£|对称，所以〃0）=一:

而＞=*也关于点（0,-J对称，恒过点；

11

方程-丘+：=0根，即为函数）=〃力与Y=丘-1交点的横坐标，

因为两个函数都关于点对称，所以交点也关于点对称，且其中一个交点是

如图画出两个函数的图象，

tn7

若£/（无，）=一5,根据对称性可知，y轴左侧和右侧各有3个交点，如图，

当直线y=履-;过点（2,£|时，y轴右侧有2个交点，此时左=1,

当直线＞=履-；过点（2,2）时，y轴右侧有3个交点，此时左=:，

所以满足条件的左的取值范围是3）,选项中满足条件的只有g.

1412；4

故选：C

【点睛】关键点点睛：本题的关键是正确分析出函数/（x）的图象，尤其是/（0）=-g,并且会利用数形结

合，分析临界直线，即可求解.

二、多选题

TT

9.0＜。＜£＜5，tana和tan4是方程尤2一点+2=0的两个根，则下列结论正确的是（）

A.tana+tan/3=mB.tan(tz+/?)>0

C.7u>272D.m+tana>4

【答案】AD

【分析】由题设tan£>tana>0,利用根与系数关系及判别式有tana+tan/7=机>。，tanatan£=2,

根>2行，再结合和角正切公式、基本不等式判断各项正误.

JT

【解析】由0<a<尸<],贝［tan>tana>0,

贝|tane+tan/?=机>0,tanatan/7=2_g.A=m2-8>0,贝U观>2近，

由tan(a+0=：器;t翳〜,<0,A对，B、C错;

22/2

由tanQ=----,贝！J机+tana=2tanaH------>2/2tanof------=4,

tanatanaAtana

当且仅当tana=1,tan,=2时取等号，故加+tana24,D对.

故选：AD

10.已知°AB,C是同一平面内的四点，n.\0^=\0B\=l,\0c\=5,0A-0C=3,OB-OC=4,teR,则()

A.当点A2在直线OC的两侧时,OAOB=0

B.当点AB在直线OC的同侧时,OAOB=—

25

C.当点A,B在直线OC的两侧时,|OCTOA-O@的最小值为3

D.当点A8在直线OC的同侧时,10008=75OA+70c

【答案】ACD

【分析】依据A8在直线OC的同侧或两侧分类研究，在两侧时由数量积和模的运算计算结果，可判断A、

C；在同侧时利用数量积的三角形式求解可判断B,结合平面向量基本定理，判断答案D.

【解析】

CC

八八

BB

加

OO

①②

^ZAOC=a,ZBOC=jB,由QAOC=3,|OA|=1,|(9C|=5,

,34

得cose=—,sina=一

55

；由O3.OC=4,|o4==5,得cos/?=1,sin,=1,

当点A,5在直线OC的两侧时，如图①，cosa=sin£,

jr

所以a+4=万，即0402=0，故A正确；

因为|OC-fOA-O,=70-3)2+9,

所以当f=3时，|OC—OA-O目的最小值为3,故C正确;

当点在直线OC的同侧时，如图②，

cos(a-£)=coscrcos+sinasinjS=,

24

所以0403=；^,故B错误；

OBOC=40Aoe+JLLOC

^OB=WA+juOC,贝卜

OBOA=WA+JLLOAOC

3

4=34+25〃Z=—

37

所以。3=二。4+大。。，即10003=7504+70。，故D正确.

4100

故选：ACD.

elnxx

11.已知/(x)=-----1---------k(keR)有二个不相等的零点占,3,马且为<尤2<三，则下列命题正确的是()

xelnx+无

存在实数左，使得士=1

为定值

【答案】BCD

【分析】化简方程，令即U=f,得产+(1-％"-左+1=。，构造g(x)=皿，则g'(x)=e•匕坐，利用函数

XXX

的单调性，结合函数的图象，要使关于X的方程三个不相等的实数解不，无2，W,且为<%<%,结合图象可

得关于f的方程》+(1-幻”4+1=0一定有两个实根4,L&<0</2<1),结合韦达定理，推出所求表达式

的关系式，然后对选项一一判断即可得出答案.

Ielnx1

【解析】由方程也+———左=0,可得丁+elnx,

xelnx+x-----

x

令里吧=r,贝！J有/+二--k=Q,BPt2+（.l-k）t-k+l=0,

Xt+1

令函数g（x）=K,贝ljg，（x）=e•匕学，

X%

令g'（尤）>0,解得0<x<e,令g'（x）<o,解得x>e,

所以g（M在（0,e）上单调递增，在（e,+功上单调递减,

所以g（x）皿x=g（e）=----=1，作出图象如图所示,

e

要使关于X的方程—+———左=0有三个不相等的实数解网,马，W，

xelnx+x

且再</<尤3，

结合图象可得关于f的方程产+（1-幻-左+1=。一定有两个实根4,A，

且。<，2<1或％=1,0</2<1,

令g（r）=广+（1—左）r_左+[,若440,0<：2<1,

g（0）=-^+l<0

则，g（l）=3_2上>0,故

△二（一k+1）2_4（-4+1）=左？+2左一3>0一

g（0）=Tt+l>0

g⑴=3-2左=0

若％=1,0<?2<1,则，A=（—左+1）2-4（—左+1）=左2+2左_3>0，无解，

„\—k

0<-----<1

2

综上：旌（1,|；故C正确；

由图结合单调性可知%>e,故B正确;

^f（l）-k=l-k=0,则左=1,又故A不正确;

故选：BCD.

【点睛】关键点点睛：本题关键点在于构造出函数g(x)=@?，利用导数得出函数g(x)的单调性，结合图

象将旦吧+———k=0,转化成关于/的函数即可求解.

xelnx+x

三、填空题

12.若函数/(无)=ln(e"-a)-x(xeR)为偶函数，贝!|。=.

【答案】-1

【分析】根据偶函数的定义得了(-x)=/(x),代入化简即得〃值.

【解析】因为了⑺为偶函数，所以f(-x)=f(x),即皿晓工―a)+x=ln(e21a)-x,

即ln(l—ae-')—x=ln(eZ'—a)—x,即1—ae"=e"—a,所以a=—1,

故答案为：-1

13.已知ABC的三个内角AdC所对的边分别为且加+2,2=36,则cosA的最小值为.

【答案】县自叵

33

【分析】由余弦定理可得COSA=!(2+4),利用基本不等式可求最小值.

3c2b

A27r2

【解析】由题意可得1=巴+士工，

22仅:+2c2)

由余弦定理可得，b2+c2-a2L3J12b2+c2

cosA=---------=-----------------=---------

2bc2bc32bc

因为。>0,》>0,c>0,所以cosA>0,所以

所以根据基本不等式cosA='(2+三］nL2、口?=也，

32bJ3\c2b3

2

当且仅当9b=e4,即h勺=1《时等号成立.

C2bc2

故答案为：叵.

3

14.已知函数/(%)=回史有四个零点a,b,c,d,且“<6<c<d,且在区间(a,6)和(c,〃)上

各存在唯一一个整数，则实数机的取值范围为.

【答案】写出

【分析】解法一：

根据〃》)=叫士口-znx=O可以化为ln|x|+l2=0,令〃(x)=ln|x|+1—如？，易得/z(x)为偶函数，所以

只需考虑x>0时Mx)=lnx+1-加有两个零点c,d,且在区间(c,d)存在唯一的整数，根据因为无(刈=。，

则电f=机，令g(x)=@F，根据导数得到g(x)单调性，根据在区间(Gd)存在唯一的整数，列出不等

书组即可；

解法二：

由/(x)=0得至U皿虫=的，令g(无):幽土1■，得至ljg(x)为奇函数，所以只需考虑%>0时g(x)=@2•与

XXX

网力=〃式有两个交点(Gg(c)),(",g⑷)且在区间(c,d)存在唯一的整数，通过求导得到g(x)单调性，根据

直线//(%)=〃既过特殊点时机的值即可得到机范围.

【解析】(解法一)

/、In1x1+1..

/(九)二——----mx=0<^>ln|x|+l-rrvc29=0,

令7z(x)=ln|x|+1-mx2,贝！J/z(-x)=%(%).

皿(x)为偶函数，

团只需考虑x>0时％(力=1旧+1-7加有两个零点c,d,且在区间(C,d)存在唯一的整数.

x>0时/?(无)=00■1=m,

人、lnx+1,、21nx+1

令g(zx)=一^,则/z(》)=一一3一，

当xe0,e2时，g")>0.

I7

Elg(x)在xe0,e2单调递增，

7

(--

当e2,+oo时，g'(x)<0,

团g(x)在e2,+e］单调递减,

团在区间(c,d)存在唯一的整数,

[?]g(2)<m<g(l),即1"『I"<<],

回机的取值范围为电子

(解法二)

/、In1x1+1

/(x)=00————=mx,

令g(x)="W+1,则g(-x)=-g(x),Elg(x)为奇函数,

团/z(x)=znx也是奇函数,

团只需考虑x>0时g(x)=生产与〃(力=〃式有两个交点(c,g(c)),(d,g(d))且在区间(c,d)存在唯一的整数.

-Inx

g'(x)=

丫'

当xe(O,l)时，g'(x)>0,回g(x)xe(O,l)在单调递增,

当尤e(l,+oo)时，g'(x)<0,IBg(x)在xe(l,+oo)单调递减,

当直线/z(x)=3过点(1,1)时机=1,当直线力(力=蛆过点(2,筲土口时机=笥聚，13g(尤)与/z(x)有两个

交点，且在区间(c,d)存在唯一的整数，

ln2+l1

团-------<m<I,

4

ln2+lJ

回机的取值范围为

45T

ln2+l]

故答案为:

4J-

【点睛】方法点睛：己知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法:

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围;

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决;

(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,

利用数形结合的方法求解.

四、解答题

15.在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,ABC的面积S=；(/+c?一^卜也3.

⑴求角B；

(2)若,ABC的平分线交AC于点。，a=3,c=4,求2。的长.

【答案】(1)8=]

(2)BD=^-.

7

【分析】(1)由三角形面积公式可得/+°2一层=理，即可由余弦定理求解,

(2)利用等面积法即可求解.

【解析】(1)在，ABC中，S=-1acsinB=^a2+c2-Z?2)sinB,而。＜3＜兀，

即sin8＞0,a2+c2-b1=ac,

由余弦定理得cosB=4+c2-所以8=1

2ac23

(2)在"1BC中，由等面积法得SABC=SBAD+sBCD

即13c.5A•sinBM’BABOsinO+JBC.BOsinO,

22222

即，x3x4x=—x4xBDx—+—x3xBDx—

222222

所以电i.

16.已知函数〃x)=(x+l)lnx-依+2.

⑴当a=l时，求的图象在(I"⑴)处的切线方程;

⑵若函数/(x)在(1,+8)上单调递增，求实数a的取值范围.

【答案】(1)p=%

(2)a<2.

【分析】(1)求出了'⑴=1,切点为(1,1),直接写出切线方程;

(2)转化为广⑺“对于xe(l,+8)恒成立，求实数°的取值范围.

【解析】(1)当。=1时,/(x)=(x+l)lnr-x+2,(x>0),

:(元)=lru+["1)=1，41)=1，

所以的图象在x=i处的切线方程为：y=x.

(2)/r(x)=\nx+—+1—a,

若函数/(X)在(1,+⑹上单调递增，则/'(X)20对于X恒成立，

即a4Inx+4+1对于xe(1,+00)恒成立，

令g(%)=成+—+l,(x>l),

X

当%>1时，=

则函数g(X)在(1,+。)上单调递增，所以g(%)>g⑴=2,

故〃W2.

17.已知向量机=卜0513+5),(：0551,n=^sin^x-^,cos<y^,(^>0),=,y=/(x)图

象上相邻的最高点与最低点之间的距离VL

⑴求。的值及“X)在0,-上的单调递增区间；

(2)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且6+。=2,4=]，求/(a)的值域.

【答案】(1)。=]兀,单调递增区间为0,-1

【分析】（1）根据数量积的坐标表示及三角恒等变换公式化简函数，设函数的最小正周期为T,则

72=J-+1,即可求出0,从而得到函数解析式，再根据正弦函数的性质计算可得;

（2）由余弦定理得到〃=4-3儿，再由基本不等式求出6c的范围，即可得到。的范围，最后根据正弦函数

的性质计算可得.

【解析】（1）依题意可得〃尤）=cosa>x+—•sin(DX--+COSW--

I3l24

71.兀

cos〃zxcos——sin〃zxsin一.cos«x+cosW--

334

ficos^-^sinJ.cos^+cosW-l

I22)4

二…+4…8+cos"

224

——百si・n°2a)x/+—cos。26yx

44

=—sin2a>x+—

2I6

由条件图象上的相邻的最高点与最低点之间的距离为0，设函数的最小正周期为T,

27rJT

则yjl='解得7=2（负值已舍去），贝…2=%’解得"石

•■•/(x)=lsiny•

令2hi—^<TIX+^<2kli+2kGZ),

91

角军得2k--<x<2k+-(k^Z),

2i

所以“X）的单调递增区间为2k--,2k+-（keZ）,

上的单调递增区间为0，；.

又xe,故/'（x）在。，§

7T

(2)因为A=§,b+c=2,

由余弦定理a2=b2+c2-2/?ccosA=(b+c)2-3bc=4-3bc,

X2=Z?+c>2y[bcS.bc>0f所以0vbc<l,当且仅当b=c=l时取等号,

所以lw/<4,又2=b+c>a,所以lVa<2,

~…7兀，7i13KEi/兀、1

U*~r~+—<——-,则一IWsin兀a+嚏<7,

666V6J2

则一白所以/（a）的值域为

24L幺4）

18.某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，

空气中释放的浓度》（单位：毫米/立方米）随着时间x（单位：小时）变化的关系如下：当04x44时，

161

y=-——1;当4<九<1。时，y=5--x.若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒

8-x2

剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能

起到杀灭空气中的病毒的作用.

⑴若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？

⑵若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6小时后再喷洒a（l〈aW4）个单位的消毒剂，要使接下来的4小时中能

够持续有效消毒，试求。的最小值（精确到0.1,参考数据：应取1.4）

【答案】（1）8小时

（2）1.6

【分析】（1）由4y24可求出结果;

（2）根据题意求出从第一次喷洒起，经x（6WxW10）小时后，其浓度关于关的函数解析式，再根据基本不

等式求出其最小值，再由最小值不低于4,解不等式可得结果.

【解析】（1）因为一次喷洒4个单位的消毒剂，

64

-----40<x<4

所以其浓度为"x）=4y=8-X'--，

20-2x,4<x<10,

64

当04x44时，-----4>4,解得止匕时

8-x

当4<xW10时，20—2%之4,角犁得％<8,止匕时4<xW8,

所以若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达8小时.

（2）设从第一次喷洒起，经x（6Vx<10）小时后,

其浓度g(x)=215—gx16,rc16a_16a

+a-1=10-x-\-------a=14-x-\-------a-4A,

8-(x-6)14-x14-x

因为14-％«4,8],ae[l,4],

所以]4-x+16a——a-4>2./(14-x)-——。-4=8y/a-a-4,

14-xV714-x

当且仅当14-x=J"，即x=14-4&e[6,10]时，等号成立；

14-x

所以其最小值为8G-a-4,由8后-a-4W4,解得24-160VaV4，

所以a的最小值为24-16收々1.6.

19.若函数在区间/上有定义，且Vxe/,/(X)G/,则称/是〃x)的一个“封闭区间

⑴已知函数〃x)=x+sinx,区间/=［0,r］(r>0)且的一个“封闭区间",求『的取值集合；

⑵已知函数g(x)=