2025年九年级中考数学一轮复习特训：二次根式（含答案）

二次根式专题特训-2025年九年级中考数学一轮复习

二次根式专题特训-2025年中考数学一轮复习

一、单选题

1.下列各式中，为最简二次根式的是（）

A.Vm2+n2B.C.而D.V02

2.已知“是一个正整数，尾是整数，则〃的最小值是（）

A.2B.3C.6D.48

3.下列计算中，正确的是（）

A.2V3+3V2=5>/5B.（V3+V7）xVi0=10

C.（3+2@（3-2码=-3D.（而+6）（而+旬=2o+b

4.下列二次根式中，不能和其他二次根式进行合并的是（）

A.V12B.V18C.V27D.748

5.如图，在4x4的网格中，每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上，下面结论：①AB=2曲;

②/A4c=90。；③AABC的面积为10；④点A到直线BC的距离是2.正确的结论共有（）个

A.1个B.2个C.3个D.4个

6.如果请你来批阅作业，那么以下四道题中：①行尸=一7;②®=±3;③卜&了=心④

748-73=373.计算正确的题共有（）

A.1道B.2道C.3道D.4道

7.某商场一楼与二楼之间的手扶电梯如图所示，其中A3、分别表示一楼、二楼地面的水平线，CE是

竖直线，高度为4m,8C的长是8m,则BE的长是（）

试卷第1页，共6页

CD

,d

BE

Q

A.46mB.8mC.-V3mD.4m

3

1

8.已知x=，贝！Jf—2J2023/—212024x2+2%—J2024的值为（）

J2024-J2023

A.0B.1C.J2023D.V2024

二、填空题

9.若式子H与在实数范围内有意义，则x的取值范围是一

io.若收=九百=〃，则Vi丽用只含有九〃的式子可表示为

11.已知56X=5，则x的值为

2022

12.若机=则m3-3m2-2020/7J+2021的值是

J2023-1

13.比较大小V7-C2V2-V7

14.实数机在数轴上的位置如图所示，则化简J(〃L3)2+而的结果为.

III

0m（

15.如图，在Rt^ABC中，ZC=90,AC=2。,CB=6,D为AC中点，E为BC上一点,连接AE、BD

交于点尸，若/AED=30。，则CE的长为

16.求值：.1+--1--+1-1--H--+.1-1--H--H--卜JlT-------------------

\I222V2232V3242\2023220242

试卷第2页，共6页

三、解答题

17.计算

(1)V12-V27+^

力回x四[T

Q)F-—近

(3)2y[6+Jx~

⑷06+l)2-(V3+3)(V3-3)

18.一滴雨滴下落到地面所用的时间ts与下落的高度满足关系式4=1gr.

⑴用含刀，g的式子表示心

(2)当多=490,g=9.8时，求t的值.

试卷第3页，共6页

19.化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例

V2-1V2-1V2-1=V2-1V2V2xV3V6

如：V2+r(V2+1)(72=

’6一舟6-3

(1)若~,求3。2_12〃一1的值;

(2)比较J2025-J2024与J2024-J2023的大小,并说明理由.

⑶利用这一规律计算：+3收：+4J：34+…+2024v2023:2023V2024.

20.某居民小区有块矩形ABC。绿地，矩形绿地的长BC为2#米，宽为百米，现要在矩形绿地中间修

建一个小矩形花坛(阴影部分)，小矩形花坛的长为(G+1)米，宽(6-1)米，除去修建花坛的地方，其他

地方全修建成通道，求通道的面积(结果化为最简二次根式).

A,-------------------

试卷第4页，共6页

21.综合与实践

项目主题：课桌挂钩顶端到地面距离的计算.

项目背景：现如今人们的生活水平不断提高，同质化的商品很难得到人们的关注.为了方便同学们更好地

放置自己的物品，数学活动实践小组以“课桌挂钩顶端到地面距离的计算”为主题展开项目化学习.

驱动任务：根据报告内容计算挂钩顶端到地面的距离.

研究步骤：(1)如图，这是福州市某校新购进的一批课桌便携式挂钩，他们利用课余时间完成了如下实践

探究，形成了如下实验报告：

调查主题课桌挂钩顶端到地面距离的计算

调查方式测量，查看说明书

(2)已知地面为水平面，桌面AE是水平面，DP〃MN,EF为课桌的高度，挂钩顶端。到地面的距

离为DG,最后通过勾股定理及二次根式的有关知识，计算后得出结论.

(3)试验数据：

元素EFABBCCD/ABC/BCDZCDP

数据78cm100cm10A/2cm4行cm90°90°45°

问题解决：请根据此项目实施的材料，求课桌挂钩顶端。到地面的距离。G.

试卷第5页，共6页

22.材料一：由(石+6)(6-6)=(退)2-(6)2=2可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含

有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以

化去分母中的根号，例如：

]___=班-&=6.

V3+V2-(A/3+V2)(V3-V2)-；

材料二：根式化简

111]

3+V3向6+1)V3(V3+1)(^-1)以⑸'

]_]_6-6_j_Q___

573+375-V15(V5+V3)-715(75+V3)(V5-V3)-2^73⑸.

根据以上材料，请完成下列问题：

3

(1)口|=；(直接写结果)

]]]]

++++；

⑵计算：72+1^+A/274+V3"'VW0+V99

[[]]

(3)1十算：3+百+5百+36+7君+5将+…+49而+47历：

计算.，币-#>,上

-1+V3+V5+V3^51+V5+V7+A/5^7…1+J2023+J2025+J2023义2025,

试卷第6页，共6页

参考答案:

题号12345678

答案ABCBCAAC

1.A

【分析】本题考查了最简二次根式“1、被开方数的因数是整数，字母因式是整式；2、被开方数不含能开得

尽方的因数或因式”，熟记最简二次根式的定义是解题关键.根据最简二次根式的定义逐项判断即可得.

【详解】解：A、后二7是最简二次根式，则此项符合题意；

B、P则此项不是最简二次根式，不符合题意；

V22

C、后=亚国，则此项不是最简二次根式，不符合题意；

D、卮=[=*则此项不是最简二次根式，不符合题意；

故选：A.

2.B

【分析】本题考查二次根式的性质，解决此题时要先对根式进行化简将能开方的先开出来，再进行分析比

较简单.

根据二次根式的性质，对画?进行化简历=4岛，只要用是整数即可

【详解】解：由题意可知：48n>0,

n>0,

,**：48〃=V16x3n=4y/3n是整数，

故技是整数，

的最小值为3,

故选：B.

3.C

【分析】本题考查了二次根式的混合运算.根据二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的乘法法

则对B进行判断；根据平方差公式对C进行判断；根据完全平方公式对D进行判断.

【详解】解：A、2/与3a不是同类二次根式，不能合并，所以A选项不符合题意；

B、原式=有义际+行乂屈=而+屈,所以B选项不符合题意；

C、原式=9-12=-3,所以选项C符合题意；

答案第1页，共14页

D、原式=2a+2展区+6,所以D选项不符合题意；

故选：C.

4.B

【分析】本题考查了同类二次根式，几个二次根式化成最简二次根式后被开方数相同，这几个二次根式叫

同类二次根式，同类二次根式可以进行合并，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键.先把各二次根

式化简为最简二次根式，根据能合并即是同类二次根式，找出不是同类二次根式的选项即可得答案.

【详解】解：：配=26，V18=3V2,历=3也,>/48=4>/3,

•••26、36、46是同类二次根式，可以合并，3应与其它3项不是同类二次根式，不能合并，

故选：B.

5.C

【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，二次根式的乘法计算，利用勾股定理即可判断①；利用勾

股定理分别求出AC?=『+2。=5,BC2=32+42=25,AB2=22+42=20,进而得至!]AC?+AB?=5C?,则由

勾股定理的逆定理即可判断②；根据三角形面积计算公式即可判断③；根据等面积法即可判断④.

【详解】解：①由勾股定理得48=后了不=2遍，故①正确；

②由勾股定理得=f+22=5,BC2=32+42=25,AB2=22+42=20,

/•AC2+AB2=BC2,

/.ABAC=90°,故②正确；

@5AABC=|AC-AB=|XV5X2V5=5,故③错误；

工.2

④点A到直线8c的距离是1<,故④正确；

X3

2

正确的有①②③，共3个，

故选：C.

6.A

【分析】本题主要考查了化简二次根式，二次根式的乘法和减法计算，根据二次根式的性质化简即可判断

①②；根据二次根式乘法计算法则可判断③；根据二次根式减法计算法则可判断④.

【详解】解：①断了=7,原式计算错误；

②亚=3,原式计算错误；

答案第2页，共14页

③卜也『=2,原式计算错误；

(DV48-V3=473-73=373,原式计算正确；

.•.计算正确的题有1道，

故选：A.

7.A

【分析】本题主要考查了勾股定理，直接利用勾股定理求解即可.

【详解】解：由题意得，3c=8m,CE=4m,NC防=90。，

BE=A/BC2-CE2=Ng-42=4>/3m，

故选：A.

8.C

【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值、分母有理化等知识点，逐步把》=行向+7^^代入所求

式子进行化简求值是解题的关键.

先利用分母有理化对已知条件进行化简，再依次代入所求的式子进行运算即可.

1

【详解】解:

J2024-J2023

1________J2024+J2023________

=72024+72023

J2024-J2023(A/2024-V2023)(V2024+V2023)

f一2,2023x5-犬+/-2,2024。+2x-J2024

=(V2024+V2023-2^/2023)x5-x4+x3-2V2024x2+2x-72024

=(V2024-V2023)x5-x4+x3-2V2024%2+2x-V2024

=(V2024-V2023)(A/2024+V2023)x4-x4+x3-2A/2024X2+2x-72024

=x4-/+x3-2A/2024X2+2x-^2024

=炉-2,2024/+2x-J2024

=(J2024+J2023-2J2024)Y+2x_J2024

=(A/2023-V2024)x2+2x-V2024

=(J2023-J2024)(J2024+j2023)x+2x-J2024

答案第3页，共14页

=—x+2x—J2024

=x-J2024

=V2024+V2023-V2024

=J2023.

故选：C.

9.x>3

【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件.根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数列出不等

式解答即可.

【详解】解：根据题意得：x-3>0,

解得：x>3

故答案为：x>3.

10.m2n3/n3m2

【分析】本题考查化简二次根式，根据二次根式的性质，进行化简即可.

【详解】解：*：=n,

AV108=V36X3

=J6x6x3

=V2x2x3x3x3

=V2XV2Xs/3XV3XV3

=m-m-n-n-n

=m2r；

故答案为：m2n3.

11.2

15

【分析】本题考查二次根式的混合运算，方程两边同时除以56,进行求解即可.

【详解】解：，6二卡，

_2_2

；"二和7T役

答案第4页，共14页

,2

故答案为：—.

12.-1

【分析】本题考查了代数式求值，配方法的应用，分母有理化，先分母有理数化得出m-1=而西，求出

而-2m=2022，将原式变形为加（小?一2%）一加,一2020〃吐2021再将优,一2%=2022代入求值即可.

2022(72023+1)

2022

【详解】解：•.2==72023+1,

A/2023-I(72023-1)(72023+1)

/•7/1-1=^2023,

**•m2-2m+1=2023，

m2-2m=2022,

・•・m3-3m2-2020m+2021

=m(m2-2根)一根之_2020m+2021

=2022m-m2-2020m+2021

=-m2+2m+2021

=—2022+2021

=—l.

故答案为：-1.

13.>

1

【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，先根据分母有理化的方法得到=V7+V6,

V7-V6

]=2亚+V7,再根据痛＜屿＜2后得至!13-痛〉0,2后—S〉o,2V2+V7＞V7+V6,即可得

2V2-V7

到乃、犷飒26-币＜5-a.

1V7+V6

【详解】解：万二瓶二丽二两产西

1_2V2+V7_2V2+V7_o信后

刃K=(2百-仞(2亚+仞=下厂"

,:瓜〈不〈2后，

>0,20-近>0,2V2+V7>V7+V6，

答案第5页，共14页

11

"V7-V6<2V2-V7'

：.2V2-V7<V7-V6,

故答案为：>.

14.3

【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质等知识，先根据数轴得出。<加<1,则机-3<0,然后根

据二次根式的性质化简计算即可.

【详解】解：由数轴知：0<m<l,

m-3<0,

J（加-3）2+

=|m-3|+|m|

=3-m+m

=3,

故答案为：3.

5y/31

【分析】利用勾股定理求得4B和8。的长，证明/C54=30。，得至！］Nl=/2,推出△OC^S4BGA,得到

r~2>/3V12+X2

BG=生"，设CE=x,BE=6-x,再证明△AECs^BEG,得到砺十6-x，据此求解即可.

13-------

13

【详解】解：取AB的中点“，连接CH,过点8作AE的垂线，垂足为点G,如图,

A

D

VZACB=90°,AC=2V3,CB=6,

AB=^AC2+CB2=473，

为AC中点，

CD=-AC=4i,

2

答案第6页，共14页

BD=YCD?+BC2=底,

：.CH=AH=-AB=243=ACf

2

・・・口4?”是等边三角形，

・・・ZCAB=60°,

：.ZCBA=3O°=Z1+Z3,

VZAF£>=30°,

・・・Z2+Z3=30°,

/.N1=N2,

•・・/DCB=/BGA=90°,

：.ZXDCB^Z^BGA,

:.Q吗即与与

BGABBG4A/3

解得BG=生”，

13

设CE=x,BE=6—xAE=VAC2+CE2=V12+x2，

・.・ZAEC=/BEG,ZACE=ZBGE=90°,

・・・AAECS^BEG,

,AC_AE"2+f

，•茄=茄，即用6-x

13

整理得3/-52X+140=0,

解得尤=?或x=14,

经检验x=?或尤=14都是原方程的解，但x=14不符合题意，舍去,

CE=—,

3

故答案为：

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，二次根式的混合运算，等边三角形的判定和性

质.正确引出辅助线解决问题是解题的关键.

2023

16.2023------

2024

答案第7页，共14页

I11,11

【分析】本题考查了二次根式的运算，完全平方公式的应用，先推导公式―方=1+------7,

'n(w+1)nn+]

然后利用公式计算即可.

【详解】解：卜，*高

n2(n+1)2+n2+(〃+1)2

=\/1+1)2

In(n+l)]2+2n(n+l)+l

，一1+1)2

("2+〃+1)2

Vn2(n+1)2

_n2+n+l

n(n+l)+(n+l)—n

«(n+l)

1Il

=IH------------,

n〃+l

"+3+1+=+…+|+，I

•二原式=l+,-一

2233420232024

2023x1+1———

2024

2023

=2023-----

2024

故答案为：2023三20巴23

2024

17.(1)373

⑵座

2

(3)372

(4)19+473

【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算：

(1)先化简二次根式，再计算二次根式加减法即可；

(2)先化简二次根式，再计算二次根式除法和乘法，最后计算减法即可；

(3)先根据分配律去括号，再计算二次根式乘法，最后计算二次根式加减法即可;

答案第8页，共14页

(4)根据乘法公式先去括号，然后计算加减法即可.

【详解】(1)解:g-a+灰

=2百-3月+46

(2)解：回严邛

V8V2

572x472V2

―2722

=1072--

2

1972

2

=2V6xV3+^|xV3-4V2

=2V18+V2-4V2

=672+72-472

=3-\/2;

(4)解：(2V3+l)2-(V3+3)(V3-3)

=12+473+1-(3-9)

=12+473+1-3+9

=19+4百.

(2)10.

【分析】(1)根据算术平方根把公式变形即可；

(2)把/7=490,g=9.8代入即可求解；

本题考查了算术平方根的定义，掌握算术平方根的定义是解题的关键.

【详解】⑴解：•."=》,

答案第9页，共14页

(2)解：当〃=490,g=9.8时,

19.(1)2

（2）J2025-J2024<J2024-q2023

2024-V2024

2024

【分析】（1）先化简。，再代入代数式计算即可；

⑵利用倒数的关系，先分别化简"7砺、毛比较结果的大小，进而可比较

J2025-J2024与J2024-J2023的大小;

（3）由题意可得每项可表示为^-7二，利用该规律拆项后计算即可求解；

7ny/n+1

本题考查了二次根式的化简及化简求值，二次根式的混合运算，掌握二次根式的化简是解题的关键.

原式=3(石+2『一12(若+2)-1

=3(5+4出+4)-(126+24)-1,

=27+12百-126-24-1,

=2；

1_________J2025+J2024_________

=72025+72024

（2）解:J2025-J2024(J2025-J2024)(J2025+J2024)

_________J2024+J2023_________

1=72024+72023

J2024-J2023(J2024-J2023)(J2024+J2023)

又：J2025+J2024>(2024+J2023>0,

J2025-J2024>J2024-J2023>°

答案第10页，共14页

J2025-J2024<J2024—J2023;

.111

⑶触；环口rim

ii____i_

3V2+2V3V2拒,

11____1_

4用3"-6

,•八工一&V2+V26+6V4+-+V2023J2024

J_____1_

一VTJ2024，

,J2024

=1-----------，

2024

_2024-V2024

―2024•

20.通道的面积为(6行-2)平方米

【分析】本题考查的是二次根式的加法与二次根式的乘法及混合运算的应用，熟练的进行二次根式的的化

简与运算是解本题的关键.分别求出矩形绿地和小矩形花坛的面积，再相减求通道面积即可.

【详解】解：•••矩形绿地的长8C为2A后米，宽为百米，

S矩形题。。=2^6xV3=65/2平方米，

・•・小矩形花坛的长为(若+1)米，宽(6-1)米，

二小矩形花坛的面积为(6+1)(6-1)=(@、1=2平方米，

•••通道的面积为(6五-2)平方米.

21.62cm

【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，等腰直角三角形的判定以及性质，勾股定理等等知识，连接AC,

交DP于点、H.由等角对等边以及三角形内角和定理可得出/BAC=/AC2=45。，再结合已知条件可得出

ZDHC=900,利用勾股定理分别求出AC和8C,最后根据线段的和差关系即可得出答案.

【详解】解：如图，连接AC,交DP于点H.

答案第11页，共14页

E

c•/AB=BC,

MFGN

ABAC=ZACB,

•/ZABC=90°,

/.ZBAC=ZACB=45°,

•・•ZBCD=90°,

ZDCH=45°,

•・•ZCDP=45°,

ZDHC=90°,

ACVDP,DH=CH,

vAB=BC=10y/2cm,

/.AC=dAB?+BC?=20cm，

^DH=CH=xcm,

DC=VZ)H2+CH2=4A/2cm，

/.x2+x2=卜也『，

，x=4或x=-4(舍去)，

/.CH=4cm,

AH=AC—CH=20—4=16cm,

/.DG=EF-AH=7S-16=62cm.

答：课桌挂钩顶端。到地面的距离。G为62cm.

22.(1)3+V6

(2)9

223

【分析】本题考查分母有理数、二次根式的混合运算，理解分母有理化的求解过程并灵活运用是解答的关

答案第12页，共14页

键.

(1)仿照题中例题解过程求解即可；

(2)仿照题中求解过程化简各式，然后加减运算即可求解；

(3)仿照题中求解过程化简各式，然后加减运算即可求解；

(4)先对分母分解因式，再进行裂项化简各数，然后加减运算即可.

「至铲】小铲34+佝3(3+V6)

【详解】⑴斛：『r(3一,(3+网=%"=3+而，

故答案为：3+V6

(2)解：0+]+百+血+"+&+…+

lx(V2-l)1x(6-⑹lx(V4-V3)lx(VW0-V99)

(V2+1)(V2-1)+(V3+V2)(V3-V2)+(V4+V3)(V4-V3)

亚]6-航V4-V3