河南省南阳市内乡县2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题（原卷版+解析版）

2024年秋期期终八年级数学巩固与练习（满分：120分时间：100分钟）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1.下列说法正确的是（）A.4平方根是2 B.的立方根是C.40算术平方根是20 D.正数有两个立方根2.下列计算正确的是（）A. B. C. D.3.下列说法错误的是（）A.用反证法证明“”时，应假设B.“同位角相等，两直线平行”的逆命题是真命题C.带根号的数一定是无理数D.多项式与的公因式为4.给出下列命题：①两直线平行，同旁内角互补；②在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；③相等的角是内错角；④有一个角是的三角形是等边三角形．其中是假命题的个数是（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个5.若与的乘积中不含x的一次项，则m的值为（）A. B.-3 C.0 D.36.随着时代进步，现代化信息技术与传统教学方式深度融合．学校为了解学生对现代化教学方式的喜爱程度，随机抽取200名学生根据以下四个步骤完成统计调查：①从扇形统计图中分析出学生对现代化教学方式的喜爱程度；②随机抽取200名学生，发放调查问卷，利用问卷收集数据；③根据频数分布表绘制扇形统计图；④整理收集的数据并绘制频数分布表．这四个步骤合理的排序为（）A. B.C. D.7.如图，是小明同学家2020年和2021年的家庭支出，已知2020年的总支出为3万元，2021年的总支出为2万元，根据统计图，小明家这两年支出中最多的项目是（）A.衣食 B.教育 C.娱乐 D.无法确定8.有4组小棒，长度分别为：①25、20、15；②1、2、；③40、9、40；④5、12、13（单位：cm），小颖分别用各组中的三根小棒首尾相接搭成三角形，其中恰好能搭成直角三角形的是（）A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①③④9.如图，中，，，是的角平分线，是上的动点，是边上的动点，则的最小值为（）A. B. C. D.10.如图，已知，点D、E分别在、上且，连接交于点M，连接，过点A分别作，垂足分别为F、G，下列结论：①；②；③平分；④如果，则E是的中点；其中正确结论的个数为（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题（每小题3分，共15分）11.下列各数中：、、、0、中，最小的数是___________．12.若，那么多项式的值是______．13.如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，的面积是30，则的长为_______．14.《九章算术》有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：有一个正方形的池塘，边长为1丈，有一棵芦苇生长在池塘的正中央，并且芦苇高出水面部分有1尺，如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到岸沿，则芦苇的高度为______尺．（1丈＝10尺）15.某生物实验小组对某款提升果树挂果量的药剂药效进行实验，在A、B两块试验田中分别种植5株同种果树，在果树开花时，A试验田不喷洒该药剂，B试验田喷洒药剂，保证其他因素相同的情况下持续观察．一段时候后记录每株果树的果量，整理数据如下：试验田第一株第二株第三株第四株第五株平均数A384036343236B535550494851通过数据分析，该款药剂对提升果树挂果量______（填“有效”或“无效”）．三、解答题16.分解因式：（1）（2）（3）（4）17.先化简，再求值：（1），其中．（2）其中，．18.如图，与相交于点E，，．（1）求证：；（2）若，，求的度数．19.旅游业是部分地区的产业支柱，下图为2011－2021中国旅游业市场规模统计图（1）下列结论正确的是__________．①2011－2019时间段，旅游总收入与总人数都呈上升趋势；②2019－2021时间段，因疫情原因旅游总人数与总收入直线下滑并无好转现象；③2017－2018时间段，旅游总人数在2011－2021所有年份中上升最多；④2018－2019时间段，旅游总收入在2011－2021所有年份中上升最多；（2）根据统计图，再写出两个不同类型的结论．20.用直尺和圆规作图（不写做法，只保留作图痕迹）：（1）在线段AB上找一点P，使点P到BC，AC所在直线的距离相等；（2）在线段AC上找一点Q，使点Q到点B，C的距离相等．21.【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第117页的部分内容．把两个全等的直角三角形拼成如图所示的形状，使点、、在同一条直线上，利用此图的面积表示式证明勾股定理．（1）请结合图，写出完整的证明过程；（2）如图，在等腰直角三角形中，，，是射线上一点，以为直角边在边的右侧作，使，．过点，作于点，当时，则___________．22.某校八年级数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现：①如图，在中，若，则有；②某同学顺势提出一个问题：既然①正确，那么进一步推得，即知．若把①中替换为，还能推出吗？基于此，社团成员小军进行了探索研究，发现确实能推出，并提供了以下证明方法：证明：分别延长，至E，F两点，使得……【问题解决】（1）完成①的证明；（2）把②中小军的证明过程补充完整．23.（1）如图1，等腰中，，和分别是、边上的高，与交于点F，若．①写出图1中所有的全等三角形_______；②直接写出的度数为________；（2）如图2，、是的高，，，求证：；（3）如图3，等腰直角，，平分，平分，M、N分别是射线、上动点，若，求最小值．

2024年秋期期终八年级数学巩固与练习（满分：120分时间：100分钟）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1.下列说法正确的是（）A.4的平方根是2 B.的立方根是C.40的算术平方根是20 D.正数有两个立方根【答案】B【解析】【分析】本题考查了平方根、立方根、算术平方根，根据平方根、立方根、算术平方根的定义逐项判断即可．【详解】解：A．4的平方根是，原说法错误；B．的立方根是，原说法正确；C．40的算术平方根是，原说法错误；D．正数只有一个立方根，原说法错误；故选：B．2.下列计算正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了整式的运算；根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，积的乘方，逐项分析判断即可求解．【详解】解：A.，故该选项正确，符合题意；B.，故该选项不正确，不符合题意；C.，故该选项不正确，不符合题意；D.，故该选项不正确，不符合题意；故选：A．3.下列说法错误的是（）A.用反证法证明“”时，应假设B.“同位角相等，两直线平行”的逆命题是真命题C.带根号的数一定是无理数D.多项式与的公因式为【答案】C【解析】【分析】本题考查了逆命题和真命题，反证法，平行线的判定与性质，无理数，因式分解．根据反证法，平行线的判定与性质，无理数的定义，因式分解以及逆命题和真命题的定义求解即可．【详解】解：A．用反证法证明“”时，应假设，原说法正确，不符合题意；B．“同位角相等，两直线平行”的逆命题是：两直线平行，同位角相等，是真命题，原说法正确，不符合题意；C．带根号的数不一定是无理数，如是有理数，原说法错误，符合题意；D．多项式与的公因式为，原说法正确，不符合题意；故选：C．4.给出下列命题：①两直线平行，同旁内角互补；②在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；③相等的角是内错角；④有一个角是的三角形是等边三角形．其中是假命题的个数是（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】B【解析】【分析】本题考查了真假命题的判断、平行线的性质和判定以及等边三角形的判定等知识，分别根据平行线的性质和判定、内错角的定义和等边三角形的判定方法逐项判断即可得出答案．【详解】解：：①两直线平行，同旁内角互补，是真命题；②在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，是真命题；③相等的角是内错角，是假命题；④有一个角是的三角形是等边三角形，是假命题．故选：B．5.若与的乘积中不含x的一次项，则m的值为（）A. B.-3 C.0 D.3【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式中不含有某一项问题，根据多项式乘以多项式法则计算，再整理，然后根据不含有一次项得出关于m的方程，求出解即可．【详解】根据题意，得．∵与的乘积中不含有x的一次项，∴，解得．故选：A．6.随着时代进步，现代化信息技术与传统教学方式深度融合．学校为了解学生对现代化教学方式的喜爱程度，随机抽取200名学生根据以下四个步骤完成统计调查：①从扇形统计图中分析出学生对现代化教学方式的喜爱程度；②随机抽取200名学生，发放调查问卷，利用问卷收集数据；③根据频数分布表绘制扇形统计图；④整理收集的数据并绘制频数分布表．这四个步骤合理的排序为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了调查收集数据的过程与方法，解决本题的关键是明确数据的收集调查的6个步骤：明确调查问题，确定调查对象，选择调查方法，展开调查，记录结果，得出结论．根据数据的收集调查的步骤，即可解答．【详解】解：正确的统计步骤的顺序是：②随机抽取200名学生，发放调查问卷，利用问卷收集数据；④整理收集的数据并绘制频数分布表；③根据频数分布表绘制扇形统计图；①从扇形统计图中分析出学生对现代化教学方式的喜爱程度；这四个步骤合理的排序为：故选：D7.如图，是小明同学家2020年和2021年的家庭支出，已知2020年的总支出为3万元，2021年的总支出为2万元，根据统计图，小明家这两年支出中最多的项目是（）A.衣食 B.教育 C.娱乐 D.无法确定【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了扇形统计图，明确题意，准确从统计图中获取信息是解题的关键．根据扇形统计图分别求出小明家2020年和2021年各项支出情况，即可求解．详解】解：根据统计图，小明家这两年衣食支出为：（万元）；小明家这两年教育支出为：（万元）；小明家这两年娱乐支出：（万元）；小明家这两年其他支出为：（万元）；，小明家这两年支出中最多的项目是教育支出，故选：B．8.有4组小棒，长度分别为：①25、20、15；②1、2、；③40、9、40；④5、12、13（单位：cm），小颖分别用各组中的三根小棒首尾相接搭成三角形，其中恰好能搭成直角三角形的是（）A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①③④【答案】C【解析】【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，解题关键是掌握三角形较短两边的平方和等于最长边的平方，则此三角形是直角三角形．根据勾股定理的逆定理逐一判断即可．【详解】解：①，能搭成直角三角形；②，能搭成直角三角形；③，不能搭成直角三角形；④，能搭成直角三角形；故选：C．9.如图，中，，，是的角平分线，是上的动点，是边上的动点，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，轴对称图形的性质，垂线段最短等知识，首先根据等腰三角形“三线合一”的性质可得，，过点作交于点，由轴对称图形的性质及“垂线段最短”的性质可得的最小值为的长，即可获得答案，掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】解：∵，是的角平分线，∴，，∴点关于对称，过点作交于点，连接，如图，∴，根据是上的动点，是边上的动点，要使取最小值，只需满足三点共线，由轴对称图形的性质及在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短，可得的最小值即为的长，∵的面积为，∴，∴，即的最小值为，故选：．10.如图，已知，点D、E分别在、上且，连接交于点M，连接，过点A分别作，垂足分别为F、G，下列结论：①；②；③平分；④如果，则E是的中点；其中正确结论的个数为（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】D【解析】【分析】根据三角形全等的判定定理和性质，角平分线的性质定理的逆定理，三角形的面积公式，四边形的内角和定理，补角的定义等逐一判断即可．【详解】∵AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，∴△BAD≌△CAE，BE=CD，∴∠EBM=∠DCM，∵∠BME=∠CMD，∴△BME≌△CMD，∴结论①正确；∵，∴∠FAG+∠FMG=180°，∵∠EMB+∠FMG=180°，∴∠FAG=∠EMB，∴结论②正确；∵△BME≌△CMD，∴∠BEM=∠CDM，∴∠AEF=∠ADG，∵，AE=AD，∴△AEF≌△ADG，∴AF=AG，∴MA平分∠EMD，∴结论③正确；∵△BME≌△CMD，∴∠BEM=∠CDM，EM=DM，∴∠AEM=∠ADM，∵AE=AD，∴△AEM≌△ADM，∴，∵，∴，∴E是AB的中点，∴结论④正确；故选D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角的平分线的性质定理的逆定理，邻角，四边形的内角和定理，三角形的面积，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．二、填空题（每小题3分，共15分）11.下列各数中：、、、0、中，最小的数是___________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了实数的比较大小，掌握两个负数比较大小，绝对值大的反而小是解题的关键．根据“正数负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小”判断即可．【详解】解：∵，，，∴，又，，∴下列各数中：、、、0、中，最小的数是，故答案为：．12.若，那么多项式的值是______．【答案】8【解析】【分析】本题考查的是整式的混合运算，化简求值，先计算整式的乘法运算，再合并同类项得到化简的结果，再把代入计算即可．【详解】解：，．故答案为：．13.如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，的面积是30，则的长为_______．【答案】3【解析】【分析】本题考查角平分线的性质，过点作，三角形的面积公式求出的长，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得到，即可．【详解】解：过点作，则：，∵，∴，由作图可知：平分，又∵，，∴；故答案为：3．14.《九章算术》有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：有一个正方形的池塘，边长为1丈，有一棵芦苇生长在池塘的正中央，并且芦苇高出水面部分有1尺，如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到岸沿，则芦苇的高度为______尺．（1丈＝10尺）【答案】13【解析】【分析】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答．【详解】解：1丈尺设水深为x尺，则芦苇长为尺，根据勾股定理得：，解得：，芦苇的长度（尺），故答案为：13．15.某生物实验小组对某款提升果树挂果量的药剂药效进行实验，在A、B两块试验田中分别种植5株同种果树，在果树开花时，A试验田不喷洒该药剂，B试验田喷洒药剂，保证其他因素相同的情况下持续观察．一段时候后记录每株果树的果量，整理数据如下：试验田第一株第二株第三株第四株第五株平均数A384036343236B535550494851通过数据分析，该款药剂对提升果树挂果量______（填“有效”或“无效”）．【答案】有效【解析】【分析】本题主要考查了统计表，根据所给的数据进行分析，比较挂果量得出答案．【详解】解：通过对比，B试验田喷洒药剂后的挂果量比A试验田的挂果量高，则该款药剂对提升果树的挂果量有效．故答案为：有效．三、解答题16.分解因式：（1）（2）（3）（4）【答案】（1）（2）（3）（4）【解析】【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是：（1）直接提取公因式x即可；（2）先提取公因式，然后根据完全平方公式进行因式分解即可；（3）原式先化简，然后根据根据完全平方公式进行因式分解即可；（4）第一个括号先提取公因式a，然后两个括号间提取公因式即可．【小问1详解】解：原式；【小问2详解】解：原式；【小问3详解】解：原式；【小问4详解】解：原式．17.先化简，再求值：（1），其中．（2）其中，．【答案】（1），（2），40【解析】【分析】本题考查了整式的化简求值，掌握相关运算法则是解题的关键．（1）先利用单项式乘以多项式法则和合并同类项法则化简，然后把a的值代入计算即可；（2）先根据完全平方公式和合并同类项法则化简，然后把a，b的值代入计算即可．【小问1详解】解：，当时，原式；【小问2详解】解：，当，时，原式．18.如图，与相交于点E，，．（1）求证：；（2）若，，求的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）先根据等腰三角形的性质，得到，再利用“”即可证明；（2）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解，即可得到答案．小问1详解】证明：，，在和中，，【小问2详解】解：，，，，，，．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定，三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．19.旅游业是部分地区的产业支柱，下图为2011－2021中国旅游业市场规模统计图（1）下列结论正确的是__________．①2011－2019时间段，旅游总收入与总人数都呈上升趋势；②2019－2021时间段，因疫情原因旅游总人数与总收入直线下滑并无好转现象；③2017－2018时间段，旅游总人数在2011－2021所有年份中上升最多；④2018－2019时间段，旅游总收入在2011－2021所有年份中上升最多；（2）根据统计图，再写出两个不同类型的结论．【答案】（1）①③（2）见解析【解析】【分析】此题考查了条形统计图与折线统计图，熟练掌握两种统计图的特点，是解决问题的关键．（1）根据2011－2021时间段，旅游总收入与总人数都上升趋势，上升最多时间段，下滑好转时间段，逐一判断；（2）根据2011－2019时间段，旅游总收入与总人数上升越来越快；2020旅游总收入与总人数高于2011，回答（答案不唯一）．【小问1详解】①由2011－2019时间段，旅游总收入与总人数都呈上升趋势；正确；②2019－2020时间段，因疫情原因旅游总人数与总收入直线下滑，2021现象好转，不正确；③旅游总人数上升数：2016：（亿人次）；2017：（亿人次）；2018：（亿人次）；2019：（亿人次）；∴2017－2018时间段，旅游总人数在2011－2021所有年份中上升最多，正确；④应为2016－2019时间段，旅游总收入在2011－2021所有年份中上升最多，不正确．正确的是①③．故答案为：①③．【小问2详解】①2011－2019时间段，旅游总收入与总人数逐年上升越来越快；②2020旅游总收入与总人数还是比2011多．20.用直尺和圆规作图（不写做法，只保留作图痕迹）：（1）在线段AB上找一点P，使点P到BC，AC所在直线的距离相等；（2）在线段AC上找一点Q，使点Q到点B，C的距离相等．【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析．【解析】【详解】试题分析：（1）作∠BAC的角平分线.角平分线上的点到角两边的距离相等.(2)作线段BC的垂直平分线，垂直平分线上的点，到端点的距离相等．试题解析：解：（1）如图所示：作∠BAC的角平分线交BC于P,P即为所求；（2）如图所示：作BC的垂直平分线交AC于Q,Q即为所求．21.【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第117页的部分内容．把两个全等的直角三角形拼成如图所示的形状，使点、、在同一条直线上，利用此图的面积表示式证明勾股定理．（1）请结合图，写出完整的证明过程；（2）如图，在等腰直角三角形中，，，是射线上一点，以为直角边在边的右侧作，使，．过点，作于点，当时，则___________．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）先证是等腰直角三角形，由面积和差关系可得结论；（2）由等腰直角三角形的性质可求，证明，可得，，再利用勾股定理可求解．【小问1详解】证明：∵，∴，∵，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴=，∴．【小问2详解】如图②，过点A作于H，∵是等腰直角三角形，，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，而，∴，，∴，∴BD=，故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质与判定，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．22.某校八年级数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现：①如图，在中，若，则有；②某同学顺势提出一个问题：既然①正确，那么进一步推得，即知．若把①中的替换为，还能推出吗？基于此，社团成员小军进行了探索研究，发现确实能推出，并提供了以下证明方法：证明：分别延长，至E，F两点