河北省石家庄市正定县2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题（原卷版+解析版）

正定县2024—2025学年度第一学期期末教学质量检测八年级数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题2分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.为了节能减排，国家积极倡导使用新能源汽车，新能源汽车发展也取得了巨大成就．下列新能源汽车的车标既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A B. C. D.2.下列计算正确的是（）A B.C. D.3.以下列各组线段为边，不能作出直角三角形的是（）A.1，2， B.6，8，10 C.3，7，8 D.3，4，54.表格是张亮的答卷，他的得分应是（）判断题（每题2分，共10分）（1）当时，分式有意义（√）（2）当时，分式的值为0（√）（3）（×）（4）（√）（5）（√）A.4分 B.6分 C.8分 D.10分5.如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB=∠EAC，则添加的条件不能为（）A.BD=CE B.AD=AE C.DA=DE D.BE=CD6.下列说法正确的是（）A.的平方根是 B.是的负的平方根C.的立方根是2 D.是有理数7.如图所示，已知在三角形纸片ABC中，BC=3，AB=6，∠BCA=90°．在AC上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，则DE的长度为（）A.6 B.3C. D.8.已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（）A. B. C.且 D.且9.已知，则的值为（）A. B.－ C. D.－10.如图，已知，点P在边上，，点M，N在边上，，若，则长度是（）A.4 B.5 C.6 D.711.如图，在中，，点M是斜边的中点，以为边作正方形，若，则（）A. B. C.12 D.1612.如图，等腰三角形面积为65，底边，腰的垂直平分线交于点E，F，若D为边中点，M为线段上一动点，则的周长最小值为（）A.13 B.15 C.16 D.18二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分，请把答案填在题中的横线上）13.某种鲸的体重约为，这个近似数精确_______位．14.命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是_________．15.如图，的面积为，平分，，则的面积为____．16.在中，，，在射线上一动点D，从点B出发，以1厘米/秒的速度匀速运动，若点D运动t秒时，以A、D、B为顶点的三角形恰为等腰三角形，则所用时间t的值为______秒．三、解答题（本大题共8个小题，共64分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.计算：（1）（2）18.如图：M、N分别是的两边上的两点，在的内部求作点P，使点P到、的距离相等，且满足．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）19.如图，已知平分，于点，交的延长线于点F，且，求证：．20.嘉淇准备完成题目：解分式方程：，发现数字印刷不清楚．（1）他把“”猜成，请你解方程：；（2）他妈妈说：“你猜错了，我看到该题目正确答案是此分式方程无解．”通过计算说明原题中“”是几？21.已知a，b，m都是实数，若，则称a与b是关于1的“平衡数”．（1）与________是关于1的“平衡数”；（2）若，判断与是不是关于1的“平衡数”．22.如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送（即为），到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态．（1）求秋千的长度．（2）如果想要踏板离地的垂直高度为时，需要将秋千往前推送_______m．23.某校计划组织800名师生前往西柏坡进行研学，现准备租用A，B两种型号的客车若干辆，为安全起见，每名师生都需有座且每一辆客车都不得超载．已知每辆A型客车比每辆B型客车的乘客座位数多，若每辆客车均坐满，则单独租用A型客车的数量比单独租用B型客车的数量少辆．求每辆A型客车和每辆B型客车的乘客座位数．24.【问题提出】（1）如图1，和都是等边三角形，点D在内部，连接．①求证：；②若，求证：；【问题探究】（2）如图2，和是等边三角形，点D在外部，若仍然成立，求的度数；【问题拓展】（3）如图3，中，，点D为外一点．若，，，请直接写出的长．

正定县2024—2025学年度第一学期期末教学质量检测八年级数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题2分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.为了节能减排，国家积极倡导使用新能源汽车，新能源汽车发展也取得了巨大成就．下列新能源汽车的车标既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据中心对称与轴对称的定义进行判断即可．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．【详解】解：A．中图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；B．中图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；C．中图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故此选项不符合题意；D．中图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意．故选：B．2.下列计算正确的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据二次根式的加减法则逐项计算判断即可．【详解】解：A.，计算正确，符合题意；B.与不是同类二次根式，不符合题意；C.，计算错误，不符合题意；D.与不是同类二次根式，不符合题意；故选A．3.以下列各组线段为边，不能作出直角三角形的是（）A.1，2， B.6，8，10 C.3，7，8 D.3，4，5【答案】C【解析】【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：勾股定理的逆定理是：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形．先求出两小边的平方和，再求出最大边的平方，看看是否相等即可．【详解】解：A.，以1，2，为三边的三角形可以作出直角三角形，故不符合题意；B.，以6，8，10为三边的三角形可以作出直角三角形，故不符合题意；C.，以3，7，8为三边的三角形不可以作出直角三角形，故符合题意；D.，以3，4，5为三边的三角形可以作出直角三角形，故不符合题意；故选C．4.表格是张亮的答卷，他的得分应是（）判断题（每题2分，共10分）（1）当时，分式有意义（√）（2）当时，分式的值为0（√）（3）（×）（4）（√）（5）（√）A.4分 B.6分 C.8分 D.10分【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了分式有意义条件，分式的值为0，分式的化简，根据分式有意义得条件判断（1）；再根据分式的值等于0的条件判断（2）；然后根据不能分解，判断（3）；再根据当时没有意义判断（4）；最后根据化简得结果说明（5）．【详解】解：当时，分式有意义，正确，所以（1）得2分；当时，分式的值为0，正确，所以得2分；因为时最简二次根式，不正确，所以得2分；当时，无意义，不正确，所以不得分；因为，不正确，所以不得分．他的得分时6分．故选：B．5.如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB=∠EAC，则添加的条件不能为（）A.BD=CE B.AD=AE C.DA=DE D.BE=CD【答案】C【解析】【分析】根据全等三角形的判定与性质，等边对等角的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．详解】解：A、添加BD=CE，可以利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等，再根据全等三角形对应角相等得到∠DAB=∠EAC，故本选项错误，不符合题意；B、添加AD=AE，根据等边对等角可得∠ADE=∠AED，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠DAB=∠EAC，故本选项错误，不符合题意；C、添加DA=DE无法求出∠DAB=∠EAC，故本选项正确，符合题意；D、添加BE=CD可以利用“边角边”证明△ABE和△ACD全等，再根据全等三角形对应角相等得到∠DAB=∠EAC，故本选项错误，不符合题意．故选C．6.下列说法正确的是（）A.的平方根是 B.是的负的平方根C.的立方根是2 D.是有理数【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了平方根、立方根等知识点，掌握平方根的定义和立方根的定义是解题的关键．根据平方根、立方根的定义逐个判断即可．【详解】解：A．的平方根是，故该选项错误，不符合题意；B．是负数没有平方根根，故该选项错误，不符合题意；C．的立方根是2，故该选项正确，符合题意；D．是无理数，故该选项错误，不符合题意．故选C．7.如图所示，已知在三角形纸片ABC中，BC=3，AB=6，∠BCA=90°．在AC上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，则DE的长度为（）A.6 B.3C D.【答案】C【解析】【详解】解：由题意得：BC=AB=6，因为BC=3，所以CD=6-3=3，三角形纸片ABC中，BC＝3，AB＝6，∠BCA＝90°.则AC=，设DE=x,则CE=,根据勾股定理列方程得：,故选：C.8.已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（）A. B. C.且 D.且【答案】C【解析】【分析】本题考查了解分式方程的知识，掌握以上知识即可求解；本题需要将分式方程解得，根据解是非负数且不能使原分式方程的分母为0，进行作答，即可求解；【详解】解：，，，，，解得：，∵

关于x的分式方程的解是非负数，∴，解得：，∵解

不能使分母为零，∴，即，解得：，综上所述：且，故选：C．9.已知，则的值为（）A. B.－ C. D.－【答案】C【解析】【分析】由题意根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式求出x、y的值，进行计算即可．【详解】解：由题意得，4-x≥0，x-4≥0，解得x=4，则y=3，则=．故选：C．【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．10.如图，已知，点P在边上，，点M，N在边上，，若，则的长度是（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】B【解析】【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，以及含30度直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．过P作，利用三线合一得到Q为中点，求出的长，在中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出的长，由线段的和差即可求出的长．【详解】解：过P作，∵，，∴，在中，，，∴，∴，则．故选：B．11.如图，在中，，点M是斜边的中点，以为边作正方形，若，则（）A. B. C.12 D.16【答案】B【解析】【分析】根据正方形的面积可求得的长，利用直角三角形斜边的中线求得斜边的长，利用勾股定理求得的长，根据三角形的面积公式即可求解．【详解】解：∵，∴，∵中，点M是斜边的中点，∴，∴，∴，故选：B．【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，掌握“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”是解题的关键．12.如图，等腰三角形的面积为65，底边，腰的垂直平分线交于点E，F，若D为边中点，M为线段上一动点，则的周长最小值为（）A.13 B.15 C.16 D.18【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，根据轴对称求线段和最小，连接，由是等腰三角形，点D是的中点，可得，再根据三角形的面积公式求出，然后根据是线段的垂直平分线，可得点A关于直线的对称点C，可知，即可推出，可得是的最小值，进而得出答案．【详解】解：连接，∵是等腰三角形，点D是的中点，∴，∴，解得：．∵是线段的垂直平分线，∴点A关于直线的对称点C，∴，∴，∴是的最小值，∴的周长最短．故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分，请把答案填在题中的横线上）13.某种鲸的体重约为，这个近似数精确_______位．【答案】万【解析】【分析】本题考查了近似数，根据最后一位所在的位置就是精确度，即可得出答案．【详解】解：近似数，4在万位，故精确到万位，故答案为：万．14.命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是_________．【答案】两个角相等的三角形是等腰三角形【解析】【分析】本题主要考查了写出一个命题的逆命题，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题，据此求解即可．【详解】解；命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是两个角相等的三角形是等腰三角形，故答案为：两个角相等的三角形是等腰三角形。15.如图，的面积为，平分，，则的面积为____．【答案】【解析】【分析】延长交于，证明得到，再利用三角形的中线性质求解即可．本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的中线性质，熟知三角形的中线将该三角形分为两个面积相等的三角形是解答的关键．【详解】解：延长交于，平分，，，，在和中，，，，，的面积为，．故答案为：5．16.在中，，，在射线上一动点D，从点B出发，以1厘米/秒的速度匀速运动，若点D运动t秒时，以A、D、B为顶点的三角形恰为等腰三角形，则所用时间t的值为______秒．【答案】，或【解析】【分析】求出当是等腰三角形时的长，用其除以点D运动的速度即可，注意分情况讨论．此题考查勾股定理，等腰三角形的定义和性质，分情况讨论和用勾股定理列方程是关键．【详解】解：分三种情况：如下图1所示，当时．∵，∴，又，在中，由勾股定理得，解得；除以点D运动的速度得所用时间t为秒；如下图2所示，当时．∴，除以点D运动的速度得t为秒；如下图3所示，当时．∵，∴，∴，除以点D运动的速度得t为秒．综上所述，以A、D、B为顶点的三角形恰为等腰三角形，D所用时间t为秒、秒或秒．故答案为：，或．三、解答题（本大题共8个小题，共64分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.计算：（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题主要考查了实数的运算，分式的化简，二次根式的加减，熟练掌握其运算法则是解决此题的关键．（1）根据，再合并同类二次根式计算即可；（2）先通分计算括号内，再根据分式的乘除法计算即可．【小问1详解】解：原式；【小问2详解】解：原式．18.如图：M、N分别是的两边上的两点，在的内部求作点P，使点P到、的距离相等，且满足．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）【答案】见解析【解析】【分析】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意正确作出图形．作平分，连接，作线段的垂直平分线，直线EF交射线于点P，点P即为所求．【详解】解：如图，点P即为所求．19.如图，已知平分，于点，交的延长线于点F，且，求证：．【答案】答案见解析【解析】【分析】本题考查了角平分线的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明是关键．根据角平分线的性质就可以得出，再证明就可以得出结论．【详解】证明：∵平分，于，于，∴，，在和中，，∴，∴．20.嘉淇准备完成题目：解分式方程：，发现数字印刷不清楚．（1）他把“”猜成，请你解方程：；（2）他妈妈说：“你猜错了，我看到该题目的正确答案是此分式方程无解．”通过计算说明原题中“”是几？【答案】（1）（2）3【解析】【分析】本题主要考查了解分式方程、方程无解等知识点，掌握解分式方程的方法和步骤是解题的关键．（1）分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，然后再检验即可解答；（2）设原题中“◆”是a，分式方程变形后去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到，代入整式方程计算即可求出a的值即可．【小问1详解】解：方程整理得：，去分母得：，解得：，检验：把代入得：，分式方程的解为．【小问2详解】解：设原题中“”是，方程变形得：，去分母得：，由分式方程无解，得到，把代入整式方程得：．答：原题中“”是．21.已知a，b，m都是实数，若，则称a与b是关于1的“平衡数”．（1）与________是关于1的“平衡数”；（2）若，判断与是不是关于1的“平衡数”．【答案】（1）（2）不是【解析】【分析】（1）根据平衡数的定义和题意，可以列出相应的方程，然后即可求得关于1的“平衡数”；（2）根据，可以先求出m的值，然后即可计算出与的和，再看是否等于2即可．本题考查一元一次方程的应用、二次根式的混合运算、新定义，解答本题的关键会用新定义解答问题．【小问1详解】解：设与x是关于1的“平衡数”，则，解得，故答案为：；【小问2详解】解：∵，∴，解得，∴，∴与不是关于1的“平衡数”．22.如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送（即为），到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态．（1）求秋千的长度．（2）如果想要踏板离地的垂直高度为时，需要将秋千往前推送_______m．【答案】（1）5（2）3【解析】【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，矩形的性质和判定，对于（1），由题意得，再证明四边形是矩形，可得，则，然后设秋千的长度为，则，在，根据勾股定理得出方程，求出解即可；对于（2），当时，可知，，进而的得，在中，根据勾股定理求出答案即可．【小问1详解】解：由题意得，∵，∴四边形是矩形，∴，则．设秋千的长度为，则．在，根据勾股定理，得，即，解得．所以秋千得长度为5m；【小问2详解】解：当时，，则，得，在中，根据勾股定理，得，即，解得．所以将秋千往前推送3m．故答案为：3．23.某校计划组织800名师生前往西柏坡进行研