高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2椭圆的几何性质(二)

2.2.2椭圆几何性质(二)第2章§2.2椭圆1/341.巩固椭圆简单几何性质.2.掌握直线与椭圆三种位置关系，尤其是直线与椭圆相交相关问题.学习目标2/34栏目索引知识梳理自主学习题型探究重点突破当堂检测自查自纠3/34知识梳理自主学习4/34答案知识点二直线与椭圆位置关系消去y得到一个关于x一元二次方程.位置关系解个数Δ取值相交___解Δ__0相切___解Δ__0相离___解Δ__0两一无>＝<5/34知识点三弦长公式6/34返回7/34题型探究重点突破解析答案题型一直线与椭圆位置关系例1

在椭圆

＝1上求一点P，使它到直线l：3x－2y－16＝0距离最短，并求出最短距离.并整理得4x2＋3mx＋m2－7＝0，Δ＝9m2－16(m2－7)＝0⇒m2＝16⇒m＝±4，反思与感悟8/34反思与感悟本题将求最小距离问题转化为直线与椭圆位置关系问题.解这类问题常规解法是直线方程与椭圆方程联立，消去y或x得到关于x或y一元二次方程，则(1)直线与椭圆相交⇔Δ>0；(2)直线与椭圆相切⇔Δ＝0；(3)直线与椭圆相离⇔Δ<0.所以判定直线与椭圆位置关系，方程及其判别式是最基本工具.9/34解析答案跟踪训练1

已知椭圆x2＋8y2＝8，在椭圆上求一点P，使P到直线l：x－y＋4＝0距离最短，并求出最短距离.解设与直线x－y＋4＝0平行且与椭圆相切直线为x－y＋a＝0，Δ＝4a2－36(a2－8)＝0，∴与直线l距离较近切线方程为x－y＋3＝0，解得a＝3或a＝－3，10/34解析答案题型二直线与椭圆相交弦问题例2

已知点P(4,2)是直线l被椭圆

＝1所截得线段中点，求直线l方程.解由题意知直线l斜率存在，所以可设直线l方程为y－2＝k(x－4)，而椭圆方程能够化为x2＋4y2－36＝0.将直线方程代入椭圆方程有(4k2＋1)x2－8k(4k－2)x＋4(4k－2)2－36＝0.即x＋2y－8＝0.反思与感悟11/34反思与感悟研究直线与椭圆相交关系问题通法是经过解直线与椭圆组成方程，利用根与系数关系或中点坐标公式处理.包括弦中点，还可使用点差法：设出弦两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦中点与斜率关系.12/34解析答案跟踪训练2

设F1，F2分别是椭圆E： (a>b>0)左，右焦点，过点F1直线交椭圆E于A，B两点，AF1＝3BF1.(1)若AB＝4，△ABF2周长为16，求AF2；解由AF1＝3F1B，AB＝4，得AF1＝3，F1B＝1.因为△ABF2周长为16，所以由椭圆定义可得4a＝16，AF1＋AF2＝2a＝8.故AF2＝2a－AF1＝8－3＝5.13/34解析答案14/34解设F1B＝k，则k>0，且AF1＝3k，AB＝4k.由椭圆定义可得AF2＝2a－3k，BF2＝2a－k.化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k>0，故a＝3k.于是有AF2＝3k＝AF1，BF2＝5k.故△AF1F2为等腰直角三角形.15/34解析答案题型三椭圆中最值(或范围)问题例3

已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m取值范围；因为直线与椭圆有公共点，16/34解析答案(2)求被椭圆截得最长弦所在直线方程.解设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由(1)知：5x2＋2mx＋m2－1＝0，所以当m＝0时，AB最大，即被椭圆截得弦最长，此时直线方程为y＝x.反思与感悟17/34反思与感悟解析几何中综合性问题很多，而且可与很多知识联络在一起出题，比如不等式、三角函数、平面向量以及函数最值问题等.处理这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想.其中应用比较多是利用方程根与系数关系结构等式或函数关系式，这其中要注意利用根判别式来确定参数限制条件.18/34解析答案19/34解∵直线AB斜率为1，∴∠BAP＝45°，即b＝2，且B(3,1).解析答案20/34(2)由点P坐标为(0，t)及点A位于x轴下方，得点A坐标为(0，t－3)，∴t－3＝－b，即b＝3－t.显然点B坐标是(3，t)，将它代入椭圆方程得：21/34解析答案返回解后反思一题多解求解椭圆中弦所在直线方程22/34解析答案解后反思分析注意根与系数关系及中点坐标公式应用.本题也可用两方程直接相减求解.解方法一由题意，知所求直线斜率存在，设此直线方程为y＝k(x－2)＋1.消去y并整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0.设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，故所求直线方程为x＋2y－4＝0.23/34方法二设所求直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2).因为点P为弦AB中点，所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.又因为A，B在椭圆上，解析答案解后反思即(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0，即x＋2y－4＝0.24/34方法三设所求直线与椭圆一个交点为A(x，y).因为弦中点为P(2,1)，所以另一个交点为B(4－x,2－y).因为点A，B在椭圆上，所以x2＋4y2＝16，

①(4－x)2＋4(2－y)2＝16，

②从而A，B在方程①－②所形成图形上，即在直线x＋2y－4＝0上.又因为过A，B直线只有1条，故所求直线方程为x＋2y－4＝0.解后反思25/34处理中点弦问题，最惯用方法有两种：一是把直线方程与曲线方程联立，消元得一元二次方程，利用中点坐标公式和根与系数关系列关系式，进而求出参数；二是设出弦两端点坐标，不详细求出，利用点差法整体表示直线斜率，进而求出参数.返回解后反思26/34当堂检测12345解析答案1.直线y＝x＋2与椭圆

＝1有两个公共点，则m取值范围是_______________.∵Δ>0，∴m>1或m<0.又∵m>0且m≠3，∴m>1且m≠3.(1,3)∪(3，＋∞)27/34解析答案123452.已知椭圆方程为2x2＋3y2＝m(m>0)，则此椭圆离心率为________.28/3412345解析答案依据椭圆性质结合△ABF2特点，29/34解析答案123454.椭圆x2＋4y2＝36弦被点A(4,2)平分，则此弦所在直线方程为______.30/34解析答案12345解析设以点A(4,2)为中点椭圆弦与椭圆交于点E(x1，y1)，F(x2，y2)，∵点A(4,2)为EF中点，∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，把E(x1，y1)，F(x2，y2)分别代入椭圆x2＋4y2＝36中，则①－②得(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0，∴8(x1－x2)＋16(y1－y2)＝0，31/3412345整理得，x＋2y－8＝0.答案x＋2y－8＝032/34解析答案12345∴点M轨迹方程是x2＋y2＝c2，点M轨迹是以原点为圆心圆，其中F1F2为圆直径.由题意知，椭圆上点P总在圆外，∴OP>c恒成立，由椭圆性质知OP≥b，∴b>c，∴a2