2025届河南省濮阳市高三下学期一模数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省濮阳市2025届高三下学期一模数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由，得，得，得，由，得或，得，所以.故选：A.2.若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以，，所以，，故选：D.3.已知圆与抛物线的准线相切，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可知，圆是圆心为原点，半径为的圆，抛物线的准线方程为，由于抛物线的准线方程与圆相切，则，解得.故选：B.4.我国古代《洛书》中记载着一种三阶幻方：将九个数字填入一个的正方形方格，满足每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相同（如图）．已知数列的通项公式为，现将该数列的前项填入一个的正方形方格，使其满足四阶幻方，则此四阶幻方中每一行的数字之和为（）A.60 B.72 C.76 D.80【答案】C【解析】由等差数列的性质得，四阶幻方所有数字之和为，由于每行、每列、每条对角线上的数字之和都相等，所以每行的数字之和为.故选：C.5.在中，，，且的面积为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设中角所对的边分别为，因为，所以由正弦定理可得，又解得，所以由余弦定理可得，因为，所以，故选：D.6.已知椭圆的左顶点、上顶点分别为，右焦点为，过且与轴垂直的直线与直线交于点，若直线的斜率小于为坐标原点，则直线的斜率与直线的斜率之比值的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由已知得，直线的方程为，设椭圆的焦距为，由题意设点，则，即，所以，又，所以，即，设直线的斜率与直线的斜率之比值为，则，又，所以．故选:D.7.截交线，是平面与空间形体表面的交线，它是画法几何研究的内容之一.当空间形体表面是曲面时，截交线是一条平面曲线；当空间形体表面由若干个平面组成时，截交线是一个多边形.已知正三棱锥，满足，点在内部（含边界）运动，且，则点的轨迹与这个正三棱锥的截交线长度为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可知，正三棱锥，满足，可得平面，得底面正的边长为，设正的中心为，由，即，得，又，点在内部（含边界）运动，且，所以点的轨迹是以为球心，半径为的球面与内部（含边界）包含的平面相交所得的弧，即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆在内部（含边界）的弧，如图，作于，圆与交点为，则，，所以，则，所以，则点的轨迹在内部（含边界）的弧所对的圆心角为，则弧长为，即点的轨迹与这个正三棱锥的截交线长度为.故选：A.8.表示大于或者等于的最小整数，表示小于或者等于的最大整数．已知函数，且满足：对有，则的可能取值是（）A. B.0 C. D.【答案】C【解析】由得在上单调递减，当时，，当时，要递减，且，对于A，当时，，不合题意，故A错误；对于B，当时，，不合题意，故B错误；对于C，当时，，符合题意，故C正确；对于D，当时，，不合题意，故D错误；故选：C.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列结论正确的有（）A.若随机变量满足，则B.若随机变量，且，则C.若样本数据线性相关，则用最小二乘估计得到的经验回归直线经过该组数据的中心点D.根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到．依据的独立性检验，可判断X与Y有关且犯错误的概率不超过0.05【答案】BCD【解析】对A，由方差的性质可知，若随机变量满足，则，故A错误；对B，根据正态分布的图象对称性可得，故B正确；对C，根据回归直线过样本中心点可知C正确；对D，由可知判断X与Y有关且犯错误的概率不超过0.05，故D正确故选：BCD.10.已知，且，则（）A. B.C. D.若，则【答案】ACD【解析】因为，设对A，知，易知.选项A正确.对C，因为，，，所以，，，于是，选项C正确.对D，若，则，即，则.由知.选项D正确.对B，取，则，由知，知，所以，即，，此时，选项B错误.故选：ACD.11.若函数的图象连续不断，且存在常数，使得对于任意实数恒成立，则称为“学步”函数．下列命题正确的是（）A.是“学步”函数B.（为非零常数）为“学步”函数的充要条件是C.若是“学步”函数，且时，，则时，D.若是的“学步”函数，则在上至少有1012个零点【答案】BCD【解析】对于A，是定义在R上的连续函数，且，不存在，使得，故A错误；对于B，函数（为非零常数）是定义在R上的连续函数，且，当时，对于任意的实数x恒成立，若对任意实数x恒成立，则，解得：，故函数（为非零常数）为“学步”函数的充要条件是，故B正确；对于C，若是的“学步”函数，则，即，因为时，，当，，，又因为，即，即，所以，故C正确；对于D，由题意得：，令得：，所以与异号，即，由零点存在性定理得：在上至少存在一个零点，同理可得：在区间上均至少有一个零点，所以在上至少有1012个零点，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.向量在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则以向量为邻边的平行四边形的面积是_________.【答案】3【解析】根据题意，将两个向量平移至相同的起点，以起点为原点建立坐标系如下所示：则，故.又两向量的夹角为锐角，故，则该平行四边形的面积为.故答案为：3.13.椭球面镜具有改变光路的方向、使光束会聚的作用，它经常被用来制作精密的光学仪器的部件．椭球面镜是以椭圆的长轴为旋转轴，把椭圆转动形成的立体图形，其内表面全部做成反射面，中空，椭球面镜可以将从某个焦点发出的光线全部反射到另一个焦点处．从椭球面镜的焦点射出的两条光线，经椭球面镜上的两点反射后汇聚于焦点，若，且，则椭球面镜的轴截面椭圆的离心率为______．【答案】或【解析】设椭圆的长轴长为，焦距为，短轴长为，则，由椭圆的定义得，所以，因为，所以，又，所以为椭圆的短轴端点．设为椭圆的中心，因为，所以，又在Rt中，，所以，所以，故答案为：.14.用一张纸围绕半径为的石膏圆柱体包裹若干圈，然后用裁纸刀将圆柱体切为两段，如图①所示设圆柱体母线与截面的夹角为，如图②将其中一段圆柱体外包裹的纸展开铺平，如果忽略纸的厚度造成的误差，我们会发现剪裁边缘形成的曲线是正弦型曲线，如图③建立适当的坐标系后，这条曲线的解析式可设为若的最小正周期为，则__________此时，若再有，则__________．【答案】1【解析】因为的最小正周期为，所以，若，则的最大值是，最小值是，则切口的最高点和最低点的竖直方向的距离为，所以，是锐角，所以．故答案为；.四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种被称为“曲池”的几何体.该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.在如图所示的“曲池”中，平面，延长，相交于点，，，为弧的中点.（1）证明：；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.（1）证明：连接，，因为为弧的中点，则，为正三角形，于是，因为平面，，则有平面，又平面，于是，而，平面，因此平面，又平面，所以．（2）解：以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，则，，，设平面的法向量为，则，令，得，设直线与平面所成角为，则，故直线与平面所成角的正弦值为．16.假设在数字通信中传送信号0与1的概率为0.8和0.2.由于随机干扰，当传送信号0时，接收到信号为0的概率为0.8，当传送信号1时，接收到信号为1的概率为0.9.求：（1）当接收到信号0时，传送的信号是0的概率；（2）在信息传送过程中，当第一个人接收到信息后，将信息发送给第二个人，这样依次传递下去，在n次传递中，0出现的次数为，求.解：（1）记“传送信号0”，“传送信号1”，“接收信号0”.可知，，，，由贝叶斯公式得所求的概率为：，即当接收到信号0时，传送的信号是0的概率为.（2）在一次传送中，接收到0的概率为，每次传送都有相同的传送概率和接收概率，则有，所以.17.已知椭圆C：离心率为，椭圆C的动弦过椭圆C的右焦点F，当垂直x轴时，椭圆C在A，B处的两条切线的交点为M．（1）求点M的坐标．（2）若直线的斜率为，过点M作x轴的垂线l，点N为l上一点，且点N的纵坐标为，直线与椭圆C交于P，Q两点，证明：为定值．（1）解：，解得，所以椭圆方程，又，所以右焦点，当垂直x轴时，不妨设，根据对称性可知点在轴上，且直线的斜率存在，设直线的方程为，联立，消去得：，则，化简得，解得，所以直线的方程为，令，解得，故点的坐标为.（2）证明：如图，由题意可得直线的方程为，即，设，由题可知，所以，故直线与垂直，联立，消去得：，则，，所以.同理，，所以，故为定值.18.随着大数据时代来临，数据传输安全问题引起了人们的高度关注，国际上常用的数据加密算法通常有AES、DES、RSA等，不同算法密钥长度也不同，其中RSA的密钥长度较长，用于传输敏感数据.在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在RSA加密算法中的应用.设p，q是两个正整数，若p，q的最大公约数是1，则称p，q互素.对于任意正整数n，欧拉函数是不超过n且与n互素的正整数的个数，记为.（1）试求，的值；（2）设p，q是两个不同的素数，试用p，k表示（），并探究与和的关系；（3）设数列的通项公式为（），求该数列的前m项的和.解：（1）易得，不超过9且与9互素的正整数有1，2，4，5，7，8，则，不超过7且与7互素的正整数有1，2，3，4，5，6，则，不超过21且与21互素的正整数有1，2，4，5，8，10，11，13，16，17，19，20，则，所以，.（2）在不大于的正整数中，只有p的倍数不与互素，而p的倍数有个，因此.由p，q是两个不同的素数，得，，在不超过的正整数中，p的倍数有个，q的倍数有个，于是，所以.（3）根据（2）得，所以，，两式相减，得，所以，故.19.已知函数.（1）函数与的图象关于对称，求的解析式；（2）在定义域内恒成立，求的值；（3）求证：，.（1）解：依题意，设图象上任意一点坐标，则其关于对称的点在图象上，则，则，故；（2）解：令，，则在恒成立，又，且在上是连续函数，则为的一个极大值点，，，下证当时，在恒成立，令，，当，，在上单调递增，当，，在上单调递减，故，在上恒成立，又，则时，恒成立，综上，；（3）证明：由（2）可知：，则，即，则.又由（2）可知：在上恒成立，则上恒成立且当且仅当时取等，令，，则，即，则，综上，，得证.河南省濮阳市2025届高三下学期一模数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由，得，得，得，由，得或，得，所以.故选：A.2.若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以，，所以，，故选：D.3.已知圆与抛物线的准线相切，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可知，圆是圆心为原点，半径为的圆，抛物线的准线方程为，由于抛物线的准线方程与圆相切，则，解得.故选：B.4.我国古代《洛书》中记载着一种三阶幻方：将九个数字填入一个的正方形方格，满足每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相同（如图）．已知数列的通项公式为，现将该数列的前项填入一个的正方形方格，使其满足四阶幻方，则此四阶幻方中每一行的数字之和为（）A.60 B.72 C.76 D.80【答案】C【解析】由等差数列的性质得，四阶幻方所有数字之和为，由于每行、每列、每条对角线上的数字之和都相等，所以每行的数字之和为.故选：C.5.在中，，，且的面积为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设中角所对的边分别为，因为，所以由正弦定理可得，又解得，所以由余弦定理可得，因为，所以，故选：D.6.已知椭圆的左顶点、上顶点分别为，右焦点为，过且与轴垂直的直线与直线交于点，若直线的斜率小于为坐标原点，则直线的斜率与直线的斜率之比值的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由已知得，直线的方程为，设椭圆的焦距为，由题意设点，则，即，所以，又，所以，即，设直线的斜率与直线的斜率之比值为，则，又，所以．故选:D.7.截交线，是平面与空间形体表面的交线，它是画法几何研究的内容之一.当空间形体表面是曲面时，截交线是一条平面曲线；当空间形体表面由若干个平面组成时，截交线是一个多边形.已知正三棱锥，满足，点在内部（含边界）运动，且，则点的轨迹与这个正三棱锥的截交线长度为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可知，正三棱锥，满足，可得平面，得底面正的边长为，设正的中心为，由，即，得，又，点在内部（含边界）运动，且，所以点的轨迹是以为球心，半径为的球面与内部（含边界）包含的平面相交所得的弧，即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆在内部（含边界）的弧，如图，作于，圆与交点为，则，，所以，则，所以，则点的轨迹在内部（含边界）的弧所对的圆心角为，则弧长为，即点的轨迹与这个正三棱锥的截交线长度为.故选：A.8.表示大于或者等于的最小整数，表示小于或者等于的最大整数．已知函数，且满足：对有，则的可能取值是（）A. B.0 C. D.【答案】C【解析】由得在上单调递减，当时，，当时，要递减，且，对于A，当时，，不合题意，故A错误；对于B，当时，，不合题意，故B错误；对于C，当时，，符合题意，故C正确；对于D，当时，，不合题意，故D错误；故选：C.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列结论正确的有（）A.若随机变量满足，则B.若随机变量，且，则C.若样本数据线性相关，则用最小二乘估计得到的经验回归直线经过该组数据的中心点D.根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到．依据的独立性检验，可判断X与Y有关且犯错误的概率不超过0.05【答案】BCD【解析】对A，由方差的性质可知，若随机变量满足，则，故A错误；对B，根据正态分布的图象对称性可得，故B正确；对C，根据回归直线过样本中心点可知C正确；对D，由可知判断X与Y有关且犯错误的概率不超过0.05，故D正确故选：BCD.10.已知，且，则（）A. B.C. D.若，则【答案】ACD【解析】因为，设对A，知，易知.选项A正确.对C，因为，，，所以，，，于是，选项C正确.对D，若，则，即，则.由知.选项D正确.对B，取，则，由知，知，所以，即，，此时，选项B错误.故选：ACD.11.若函数的图象连续不断，且存在常数，使得对于任意实数恒成立，则称为“学步”函数．下列命题正确的是（）A.是“学步”函数B.（为非零常数）为“学步”函数的充要条件是C.若是“学步”函数，且时，，则时，D.若是的“学步”函数，则在上至少有1012个零点【答案】BCD【解析】对于A，是定义在R上的连续函数，且，不存在，使得，故A错误；对于B，函数（为非零常数）是定义在R上的连续函数，且，当时，对于任意的实数x恒成立，若对任意实数x恒成立，则，解得：，故函数（为非零常数）为“学步”函数的充要条件是，故B正确；对于C，若是的“学步”函数，则，即，因为时，，当，，，又因为，即，即，所以，故C正确；对于D，由题意得：，令得：，所以与异号，即，由零点存在性定理得：在上至少存在一个零点，同理可得：在区间上均至少有一个零点，所以在上至少有1012个零点，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.向量在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则以向量为邻边的平行四边形的面积是_________.【答案】3【解析】根据题意，将两个向量平移至相同的起点，以起点为原点建立坐标系如下所示：则，故.又两向量的夹角为锐角，故，则该平行四边形的面积为.故答案为：3.13.椭球面镜具有改变光路的方向、使光束会聚的作用，它经常被用来制作精密的光学仪器的部件．椭球面镜是以椭圆的长轴为旋转轴，把椭圆转动形成的立体图形，其内表面全部做成反射面，中空，椭球面镜可以将从某个焦点发出的光线全部反射到另一个焦点处．从椭球面镜的焦点射出的两条光线，经椭球面镜上的两点反射后汇聚于焦点，若，且，则椭球面镜的轴截面椭圆的离心率为______．【答案】或【解析】设椭圆的长轴长为，焦距为，短轴长为，则，由椭圆的定义得，所以，因为，所以，又，所以为椭圆的短轴端点．设为椭圆的中心，因为，所以，又在Rt中，，所以，所以，故答案为：.14.用一张纸围绕半径为的石膏圆柱体包裹若干圈，然后用裁纸刀将圆柱体切为两段，如图①所示设圆柱体母线与截面的夹角为，如图②将其中一段圆柱体外包裹的纸展开铺平，如果忽略纸的厚度造成的误差，我们会发现剪裁边缘形成的曲线是正弦型曲线，如图③建立适当的坐标系后，这条曲线的解析式可设为若的最小正周期为，则__________此时，若再有，则__________．【答案】1【解析】因为的最小正周期为，所以，若，则的最大值是，最小值是，则切口的最高点和最低点的竖直方向的距离为，所以，是锐角，所以．故答案为；.四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种被称为“曲池”的几何体.该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.在如图所示的“曲池”中，平面，延长，相交于点，，，为弧的中点.（1）证明：；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.（1）证明：连接，，因为为弧的中点，则，为正三角形，于是，因为平面，，则有平面，又平面，于是，而，平面，因此平面，又平面，所以．（2）解：以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，则，，，设平面的法向量为，则，令，得，设直线与平面所成角为，则，故直线与平面所成角的正弦值为．16.假设在数字通信中传送信号0与1的概率为0.8和0.2.由于随机干扰，当传送信号0时，接收到信号为0的概率为0.8，当传送信号1时，接收到信号为1的概率为0.9.求：（1）当接收到信号0时，传送的信号是0的概率；（2）在信息传送过程中，当第一个人接收到信息后，将信息发送给第二个人，这样依次传递下去，在n次传递中，0出现的次数为，求.解：（1）记“传送信号0”，“传送信号1”，“接收信号0”.可知，，，，由贝叶斯公式得所求的概率为：，即当接收到信号0时，传送的信号是0的概率为.（2）在一次传送中，接收到0的概率为，每次传送都有相同的传送概率和接收概率，则有，所以.17.已知椭圆C：离心率为，椭圆C的动弦过椭圆C的右焦点F，当垂直x轴时，椭圆C在A，B处的两条切线的交点为M．（1）求点M的坐标．（2）若直线的斜率为，过点M作x轴的垂线l，点N为l上一点，且点N的纵坐标为，直线与椭圆C交于P，Q两点，证明：为定值．（1）解：，解得，所以