2025届黑龙江省龙东地区高三上学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1黑龙江省龙东地区2025届高三上学期期末考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据题意，，.故选：A.2.已知复数，若是纯虚数，则实数（）A. B. C.2 D.3【答案】C【解析】由于，故，所以，解得.故选：C.3.若一个圆台的上、下底面半径分别为1，2，母线与底面所成角为，则该圆台的侧面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】圆台的轴截面如下图：因为母线与下底面所成的角为，所以母线长为，所以圆台的侧面积为：.故选：D.4.若函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由题意可得，由于在上单调递增，故，因此恒成立，故，由于，故，故选：B.5.已知一种物质的某种能量N与时间t的关系为，其中m是正常数，若经过时间，该物质的能量由减少到，则再经过时间，该物质的能量为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设的能量为，则，又经过时间，该物质的能量由减少到，所以，所以，则再经过时间时，该物质的能量为.故选：C.6.已知定义域为的奇函数的图象关于直线对称，且，则（）A. B.1 C.2 D.3【答案】A【解析】根据题意有，，故，从而.所以.故选：A.7.已知锐角，满足，，则的最小值为（）A2 B.3 C.5 D.【答案】A【解析】由题意得，故.于是，当且仅当时取等号，故选：A.8.已知双曲线的左、右焦点分别为，焦距为．若双曲线的右支上存在点，使得，且的面积为，为锐角，则双曲线的离心率（）A. B.2C. D.【答案】C【解析】设，则，从而.而在双曲线的右支上，故，从而，即.同时，由于，故.移项可得，两边除以就得到.所以，从而，即.两边平方即得，整理得到.去分母后即可得到关于的方程.直接计算可得，故该方程等价于.从而或，将这两个方程分别看作关于的一元二次方程，即可分别解得和.同时，由于为锐角，故，所以，故.而，故符合条件的解只有一个.而，，所以.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.已知随机变量，若，则B.若随机变量（其中），，则C.若事件，且，则D.若随机变量，且，则【答案】AC【解析】对于A，由于，故，故A正确；对于B，由于，故，解得，故B错误；对于C，，且，则，故C正确；对于D，，故，进而可得，故D错误.故选：AC.10.如图，在棱长为2的正方体，中，点分别是梭，，，的中点，则下列说法正确的是（）A.若正方体的各顶点都在同一球面上，则该球的体积为B.异面直线与所成角的余弦值为C.平面和平面分正方体成三部分的体积由小到大的比值为1：8：16D.平面和平面之间的距离为【答案】ABD【解析】对于A,正方体的外接球的直径为,故外接球的半径为，故体积为，故A正确，对于B，由于,因此为异面直线与所成角或其补角，,由余弦定理可得,故B正确；对于C，,延长和相交于点,由于是的中点，,所以是的中点，同理可知与也相交于点，故为三棱台，因此，因此平面和平面之间的体积为,因此三部分的体积由小到大的比值为1：7：16，C错误；对于D，由于,故，平面，平面，故平面，同理由可得平面，平面，故平面平面，因此到平面的距离即为平面和平面之间的距离，,故到平面的距离为，故D正确，故选：ABD11.已知曲线C：，则（）A.曲线C的图象关于x轴对称B.曲线C上任意一点的横坐标的最小值为C.若点在曲线C上，则D.若直线与曲线C有三个交点，则实数k的取值范围为【答案】ACD【解析】对于A；由，可得，所以曲线C的图象关于x轴对称，故A正确；对于B；令，可得，所以函数在上单调递增，且，又，所以，所以，所以曲线C上任意一点的横坐标的最小值为，故B错误；对于C；若点在曲线C上，则，令，求导得，，求导可得，所以在上单调递增，又，所以当时，，即，所以在上单调递减，当时，，即，所以在上单调递增，所以，所以，所以，所以，故C正确；若直线与曲线C有三个交点，所以在上有三个解，显然时，方程不成立，所以在上有三个解，令，则，令，求导可得，当时，，所以在上单调递增，又，所以当时，，即，当时，，即，当，，所以，所以，所以，即在上为增函数，又，所以时，，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，当时，，当时，，又，要使在上有三个解，则需，解得或，所以若直线与曲线C有三个交点，则实数k的取值范围为，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.若单位向量，满足，则向量与的夹角为______．【答案】【解析】由可得，故，故，由于，故，故答案为：.13.已知函数的部分图象如图所示，且，则______．【答案】【解析】设，由题意，由图象可知，则，又，所以，即，因为，即符合题意，则，因为，所以，所以或，所以或，因为，即符合题意，综上.故答案为：.14.冰雹猜想又称考拉兹猜想、角谷猜想、猜想等，其描述为：任一正整数x，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，反复计算，最终都将会得到数字1．例如：给出正整数6，则进行这种反复运算的过程为，即按照这种运算规律进行8次运算后得到1．若从正整数3，11，12，13，14中任取2个数按照上述运算规律进行运算，则运算次数均被4整除余1的概率为______．【答案】【解析】按照题中运算规律，正整数3的运算过程为，运算次数为；正整数11的部分运算过程为，当运算到10时，运算次数为9，由正整数3的运算过程可知，正整数7总的运算次数为；正整数12的运算次数为，共次；正整数13的运算次数为9；正整数14的运算次数为，共故能被4整除余1共3个，概率为．故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．（1）求A；（2）若，，求．解：（1）由可得，故，即，故，由于，故，（2）由可得，由，由正弦定理可得.16.如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面ABCD，E是DP的中点，，垂足为F，，（1）证明：平面AEF；（2）求二面角的正弦值．（1）证明：因为底面ABCD为矩形，平面ABCD，平面，所以，即两两互相垂直，故以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，注意到，不妨设，所以，所以，从而，即，由题意，又平面，所以平面AEF；（2）解：由（1）可知平面的一个法向量可以是，注意到三点共线，从而可设，而，，所以，解得，所以，由（1）可知，设平面的法向量为，则，令，解得，所以，设二面角的大小为，则，故所求为.17.已知椭圆C：的长半轴长为2，离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）设点A为椭圆C的左顶点，过原点的直线与椭圆C分别相交于P，Q（点P，Q不在坐标轴上）两点，直线AP，AQ分别交y轴于M，N两点，判断直线PN和QM的交点是否在定直线上，并说明理由．解：（1）由题意：，又，所以.则椭圆C的标准方程为.（2）设，则，且，即，，直线方程为：，，直线方程为：，，直线方程为：，直线方程为：，联立直线方程与直线方程得，化简可得恒成立,因此直线与直线的交点过定直线.18.已知函数．（1）若曲线在点处的切线的斜率为，求实数的值；（2）讨论函数单调性；（3）当时，令函数，证明：．（1）解：由于，故，解得或.（2）解：首先有.若，则在上递减；若，则对有，对有.所以在上递减，在上递增；若，则对有，对有.所以在上递减，在上递增.综上，当时，在上递减；当时，在上递减，在上递增；当时，在上递减，在上递增.（3）证明：为使有意义，需要，下面的讨论默认为正数.先证明一些结论作为准备工作：①设，则对有，对有.所以在上递减，在上递增，从而，.②设，则.所以对有，对有.从而在上递减，在上递增，故.③设，则对有，对有.从而在上递减，在上递增，故.④由于，故，所以.由于，，故.所以，即，从而.将和结合，即得.最后，由于，故.所以.从而原命题得证.19.已知正项数列满足：对任意的正整数n，都有，其中d为非零常数．（1）若，求数列的通项公式；（2）证明：；（3）若且，从，，，…，（且）中任取两个数，记这两个数是无理数，且这两个无理数中间仅包含一个整数概率为，若，求正整数的最小值．公式：（其中n为正整数）．（1）解：由可得，数列满足递推关系，因此是以为首项，公差为的等差数列，因此，又为正项数列，可得，因此数列的通项公式为；（2）证明：根据递推关系可得：所以,因此（3）解：由（2）中结论且可得；又，即可得，因此，即可得；又，即，即可知；所以，即，因此此时；数列中无理数项对应的为非平方数项，因此，，，…，中共有个无理数；符合条件的无序对为相邻区间和中的无理数对，即在区间和上分别任取一个无理数构成无理数对，相邻两区间上符合题意的无理数对为；因此总对数共有；总的组合数为从个数中随机取出两个，即，因此，又，即可得，即，解得，易知；所以正整数的需满足，因此正整数的最小值为22.黑龙江省龙东地区2025届高三上学期期末考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据题意，，.故选：A.2.已知复数，若是纯虚数，则实数（）A. B. C.2 D.3【答案】C【解析】由于，故，所以，解得.故选：C.3.若一个圆台的上、下底面半径分别为1，2，母线与底面所成角为，则该圆台的侧面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】圆台的轴截面如下图：因为母线与下底面所成的角为，所以母线长为，所以圆台的侧面积为：.故选：D.4.若函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由题意可得，由于在上单调递增，故，因此恒成立，故，由于，故，故选：B.5.已知一种物质的某种能量N与时间t的关系为，其中m是正常数，若经过时间，该物质的能量由减少到，则再经过时间，该物质的能量为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设的能量为，则，又经过时间，该物质的能量由减少到，所以，所以，则再经过时间时，该物质的能量为.故选：C.6.已知定义域为的奇函数的图象关于直线对称，且，则（）A. B.1 C.2 D.3【答案】A【解析】根据题意有，，故，从而.所以.故选：A.7.已知锐角，满足，，则的最小值为（）A2 B.3 C.5 D.【答案】A【解析】由题意得，故.于是，当且仅当时取等号，故选：A.8.已知双曲线的左、右焦点分别为，焦距为．若双曲线的右支上存在点，使得，且的面积为，为锐角，则双曲线的离心率（）A. B.2C. D.【答案】C【解析】设，则，从而.而在双曲线的右支上，故，从而，即.同时，由于，故.移项可得，两边除以就得到.所以，从而，即.两边平方即得，整理得到.去分母后即可得到关于的方程.直接计算可得，故该方程等价于.从而或，将这两个方程分别看作关于的一元二次方程，即可分别解得和.同时，由于为锐角，故，所以，故.而，故符合条件的解只有一个.而，，所以.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.已知随机变量，若，则B.若随机变量（其中），，则C.若事件，且，则D.若随机变量，且，则【答案】AC【解析】对于A，由于，故，故A正确；对于B，由于，故，解得，故B错误；对于C，，且，则，故C正确；对于D，，故，进而可得，故D错误.故选：AC.10.如图，在棱长为2的正方体，中，点分别是梭，，，的中点，则下列说法正确的是（）A.若正方体的各顶点都在同一球面上，则该球的体积为B.异面直线与所成角的余弦值为C.平面和平面分正方体成三部分的体积由小到大的比值为1：8：16D.平面和平面之间的距离为【答案】ABD【解析】对于A,正方体的外接球的直径为,故外接球的半径为，故体积为，故A正确，对于B，由于,因此为异面直线与所成角或其补角，,由余弦定理可得,故B正确；对于C，,延长和相交于点,由于是的中点，,所以是的中点，同理可知与也相交于点，故为三棱台，因此，因此平面和平面之间的体积为,因此三部分的体积由小到大的比值为1：7：16，C错误；对于D，由于,故，平面，平面，故平面，同理由可得平面，平面，故平面平面，因此到平面的距离即为平面和平面之间的距离，,故到平面的距离为，故D正确，故选：ABD11.已知曲线C：，则（）A.曲线C的图象关于x轴对称B.曲线C上任意一点的横坐标的最小值为C.若点在曲线C上，则D.若直线与曲线C有三个交点，则实数k的取值范围为【答案】ACD【解析】对于A；由，可得，所以曲线C的图象关于x轴对称，故A正确；对于B；令，可得，所以函数在上单调递增，且，又，所以，所以，所以曲线C上任意一点的横坐标的最小值为，故B错误；对于C；若点在曲线C上，则，令，求导得，，求导可得，所以在上单调递增，又，所以当时，，即，所以在上单调递减，当时，，即，所以在上单调递增，所以，所以，所以，所以，故C正确；若直线与曲线C有三个交点，所以在上有三个解，显然时，方程不成立，所以在上有三个解，令，则，令，求导可得，当时，，所以在上单调递增，又，所以当时，，即，当时，，即，当，，所以，所以，所以，即在上为增函数，又，所以时，，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，当时，，当时，，又，要使在上有三个解，则需，解得或，所以若直线与曲线C有三个交点，则实数k的取值范围为，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.若单位向量，满足，则向量与的夹角为______．【答案】【解析】由可得，故，故，由于，故，故答案为：.13.已知函数的部分图象如图所示，且，则______．【答案】【解析】设，由题意，由图象可知，则，又，所以，即，因为，即符合题意，则，因为，所以，所以或，所以或，因为，即符合题意，综上.故答案为：.14.冰雹猜想又称考拉兹猜想、角谷猜想、猜想等，其描述为：任一正整数x，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，反复计算，最终都将会得到数字1．例如：给出正整数6，则进行这种反复运算的过程为，即按照这种运算规律进行8次运算后得到1．若从正整数3，11，12，13，14中任取2个数按照上述运算规律进行运算，则运算次数均被4整除余1的概率为______．【答案】【解析】按照题中运算规律，正整数3的运算过程为，运算次数为；正整数11的部分运算过程为，当运算到10时，运算次数为9，由正整数3的运算过程可知，正整数7总的运算次数为；正整数12的运算次数为，共次；正整数13的运算次数为9；正整数14的运算次数为，共故能被4整除余1共3个，概率为．故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．（1）求A；（2）若，，求．解：（1）由可得，故，即，故，由于，故，（2）由可得，由，由正弦定理可得.16.如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面ABCD，E是DP的中点，，垂足为F，，（1）证明：平面AEF；（2）求二面角的正弦值．（1）证明：因为底面ABCD为矩形，平面ABCD，平面，所以，即两两互相垂直，故以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，注意到，不妨设，所以，所以，从而，即，由题意，又平面，所以平面AEF；（2）解：由（1）可知平面的一个法向量可以是，注意到三点共线，从而可设，而，，所以，解得，所以，由（1）可知，设平面的法向量为，则，令，解得，所以，设二面角的大小为，则，故所求为.17.已知椭圆C：的长半轴长为2，离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）设点A为椭圆C的左顶点，过原点的直线与椭圆C分别相交于P，Q（点P，Q不在坐标轴上）两点，直线AP，AQ分别交y轴于M，N两点，判断直线PN和QM的交点是否在定直线上，并说明理由．解：（1）由题意：，又，所以.则椭圆C的标准方程为.（2）设，则，且，即，，直线方程为：，，直线方程为：，，直线方程为：，直线方程为：，联立直线方程与直