2025届山西省高三上学期1月期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山西省2025届高三上学期1月期末数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】，解得，故，又，所以.故选：B.2.已知，，且，其中i是虚数单位，则（）A.10 B. C.2 D.【答案】D【解析】由得：，所以解得，所以.故选:D.3.已知，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】函数在上单调递增，，，故的零点，由在上单调递增，得，，因此的零点，则.故选:D.4.将单词“”的7个字母填入编号从1到12的一排方格中，每个方格至多填入1个字母，且6号方格填字母“”，则得到的结果从左至右仍为单词“”的填法有（）A.400种 B.350种 C.200种 D.150种【答案】B【解析】第一类第一步：从1到5号方格中选出3个，填入“c”“o”“l”这3个字母，有种方法；第二步：从7到12号方格中选出3个，填入“e”“c”“t”这3个字母，有种方法，所以得到的结果从左至右仍为单词“”的填法有种；第二类第一步：从1到5号方格中选出2个，填入“c”“o”这2个字母，有种方法；第二步：从7到12号方格中选出4个，填入“l”“e”“c”“t”这4个字母，有种方法，所以得到的结果从左至右仍为单词“”的填法有种.所以得到的结果从左至右仍为单词“”的填法有种.故选:B.5.天文计算的需要，促进了三角学和几何学的发展.10世纪的科学家比鲁尼的著作《马苏德规律》一书中记录了在三角学方面的一些创造性的工作.比鲁尼给出了一种测量地球半径的方法：先用边长带有刻度的正方形测得一座山的高（如图1），再于山顶T处悬一个直径为且可以转动的圆环（如图2），从山顶T处观测地平线上的一点I，测得且，由此可以算得地球的半径（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由图可知，，故，解得.故选：B.6.在任意四边形中，点，分别在线段，上，且，，，，，则与夹角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如图：由，则①，又②，由①+②可得，即，故，设与夹角为，则，解得.故选：C.7.已知过点作曲线的切线有且仅有1条，则的值为（）A.或 B.或 C. D.【答案】A【解析】设切点为，由已知得，则切线斜率，所以切线方程为，因为直线过点，则，化简得，又因为切线有且仅有1条，即，解得或2，故选：A.8.已知点在抛物线：（）上，是上不同的两点（异于点），若直线，被圆：截得的弦长都为，则直线的方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为点在抛物线：（）上，所以，解得，即的方程为，设，，所以直线的方程为，因为直线被圆：截得的弦长为，所以，整理得，即，即，同理可得，所以直线的方程为，故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，，则【答案】BCD【解析】，时，或，A错误；若，，则，B正确；若，，由线面垂直性质定理知，C正确；，，，如图，过m作平面交于直线l，由得，同理过m作平面与交于直线p，得，所以，而，所以，又，，则，所以，D正确.故选：BCD.10.已知函数（），对任意，恒有，且在上单调递增，则（）A.B.的图象可由的图象向右平移个单位长度得到C.奇函数D.在上的最大值为【答案】ACD【解析】由题意可知，，因为对，恒有，所以是函数的一个最值点，即，解得，，当时，，又函数的单调递增区间为，，所以，，即解得，，当时，，此时，符合题意，所以，，故A正确；对于选项B：的图象应由向右平移个单位长度得到，故B错误；对于选项C：，为奇函数，故C正确；对于选项D：由得，所以，即函数的最大值为，故D正确；故选：ACD.11.已知定义域为的函数满足，且，，则（）A. B.为偶函数C. D.【答案】BCD【解析】令，，则，所以，令，，则，所以，令，，则，所以，故A错误；令，则，所以，则，令，则，所以，所以，所以为偶函数，故B正确；令，则，所以，则，所以，故C正确；由，得，所以4为的一个周期，由，得，，所以，所以，D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在正四棱台中，，，则正四棱台的体积为_________.【答案】或【解析】如图，在正四棱台中，，则，.过点作交于点E，过点作交于点F，则，又，所以，即正四棱台的高，所以正四棱台的体积.故答案为：13.在平面直角坐标系中，已知点，在椭圆：上，且直线，的斜率之积为，则中点的轨迹方程为_________.【答案】【解析】因为点，在椭圆：上，所以，两式相加可得，即，又因为直线，的斜率之积为，所以，可得，所以，设中点为，则，，所以，即，即中点的轨迹方程为，故答案：14.若，，则_________.【答案】或【解析】因为，，所以，故，故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.数列的前项和为，，当时，.（1）求证：数列是等差数列，并求的表达式；（2）设，求数列的最大项的值.（1）证明：当时，数列的前项和为，满足，即，整理可得，因为，则，即，可得，假设当时，，则，所以对任意的，，在等式，两边同时除以可得，所以数列为等差数列，且其首项为，公差为2，所以，得.（2）解：由（1）得，则，当时，；当时，，所以，故数列的最大项为，其值为.16.近些年天然气使用逐渐普及，为了百姓能够安全用气，国务院办公厅印发《城市燃气管道等老化更新改造实施方案（2022―2025年）》.某市在实施管道老化更新的过程中，从本市某社区1000个家庭中随机抽取了100个家庭燃气使用情况进行调查，统计了这100个家庭一个月的燃气使用量（单位：），得到如下频数分布表：燃气使用量(单位：)频数614183016124（1）若采用分层抽样的方法从燃气使用量在和这两组的家庭中随机抽取8个家庭，市政府决定从这8个家庭中抽取4个跟踪调查其使用情况，记随机变量表示这4个家庭中燃气使用量在内的家庭个数，求的分布列和数学期望；（2）将这一个月燃气使用量超过22的家庭定为“超标”家庭.若该社区这一个月燃气使用量服从正态分布，其中近似为100个样本家庭的平均值，估计该社区中“超标”家庭的户数.（结果四舍五入取整数）附：若X服从正态分布，则，，.解：（1）燃气使用量在的家庭个数为：（个），在的家庭个数为：（个），则的所有可能取值有0，1，2，，，，则的分布列为012所以.（2）由题意知这100个样本家庭的平均值，所以，又，估计该社区中“超标”家庭的户数为159个.17.如图，四边形为矩形，，，以为折痕将折起，使点到达点的位置.（1）求三棱锥外接球的表面积；（2）当平面平面时，证明：，并求二面角的余弦值.（1）解：因为和均为以为斜边的直角三角形，所以三棱锥的外接球球心即为的中点，半径，所以外接球表面积.（2）证明：当平面平面时，因为，平面，平面平面，所以平面.因为平面，所以.以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设P点坐标为（），由，，得解得，，即P点坐标为，，.设平面，所以所以令，得，易知为平面的一个法向量，所以，因为二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为.18.如图，在平面直角坐标系中，双曲线E：（，）的两条渐近线的方程分别为，，直线l是E的切线，l分别交直线，于A，B两点（A，B分别在第一，四象限），且时，的面积为8.（1）若E的离心率为，求E的方程；（2）试探究：是否存在双曲线E，使的面积恒为8？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，请说明理由.解：（1）双曲线E的渐近线方程分别为，，由双曲线E的离心率为，得，解得，当时，由对称性知，直线l方程为，此时的面积为，则，所以双曲线E的方程为.（2）由（1）知，当轴时，双曲线E的方程为，若存在满足条件的双曲线E，则E的方程满足条件，当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为，直线l与x轴交于点C，依题意，得或，则，记，.由得，同理得，由得，而，由直线l与双曲线E相切，得，于是，即，因此，所以存在双曲线E，使的面积恒为8，且E的方程为.19.一般地，对于给定的两条直线：和：，把方程（（）为不全为0的实数）表示由和决定的直线系，当与相交时，是以与的交点为中心的中心直线系，当与平行时，该直线系称为平行直线系.在数学中把这种具有某种共同性质的直线的全体叫做直线系（或直线族）.记直线族（）为，直线族（）为.（1）分别判断点，是否在直线族中的某条直线上，说明理由；（2）若对于给定的实数（），点不在直线族中的任何一条直线上，求的取值范围；（3）直线族包络被定义为这样一条曲线：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上每一点处的切线都是该直线族中的某条直线，求的包络.解：（1）将代入（），得，解得，所以直线方程为，故点在直线族中的直线上；将代入（），得，显然，方程无解，所以点不在直线族中的任何一条直线上.（2）因为对于给定的实数（），点不在直线族中的任何一条直线上，则关于的方程在上无解，即关于的方程在上无解，令（），则，令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，又当时，，故的值域为，又无解，所以，即实数的取值范围为.（3）由（2）可以猜测直线族的包络为（），则，下面证明（）为直线族的包络，①在曲线（）上任取一点，则，此时的切线方程为，即为，故曲线在每一点处的切线为中的直线；②在中任取一条直线，由①知，在曲线（）上存在一点，使得在该点处的切线为，由①②知，（）为直线族的包络.山西省2025届高三上学期1月期末数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】，解得，故，又，所以.故选：B.2.已知，，且，其中i是虚数单位，则（）A.10 B. C.2 D.【答案】D【解析】由得：，所以解得，所以.故选:D.3.已知，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】函数在上单调递增，，，故的零点，由在上单调递增，得，，因此的零点，则.故选:D.4.将单词“”的7个字母填入编号从1到12的一排方格中，每个方格至多填入1个字母，且6号方格填字母“”，则得到的结果从左至右仍为单词“”的填法有（）A.400种 B.350种 C.200种 D.150种【答案】B【解析】第一类第一步：从1到5号方格中选出3个，填入“c”“o”“l”这3个字母，有种方法；第二步：从7到12号方格中选出3个，填入“e”“c”“t”这3个字母，有种方法，所以得到的结果从左至右仍为单词“”的填法有种；第二类第一步：从1到5号方格中选出2个，填入“c”“o”这2个字母，有种方法；第二步：从7到12号方格中选出4个，填入“l”“e”“c”“t”这4个字母，有种方法，所以得到的结果从左至右仍为单词“”的填法有种.所以得到的结果从左至右仍为单词“”的填法有种.故选:B.5.天文计算的需要，促进了三角学和几何学的发展.10世纪的科学家比鲁尼的著作《马苏德规律》一书中记录了在三角学方面的一些创造性的工作.比鲁尼给出了一种测量地球半径的方法：先用边长带有刻度的正方形测得一座山的高（如图1），再于山顶T处悬一个直径为且可以转动的圆环（如图2），从山顶T处观测地平线上的一点I，测得且，由此可以算得地球的半径（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由图可知，，故，解得.故选：B.6.在任意四边形中，点，分别在线段，上，且，，，，，则与夹角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如图：由，则①，又②，由①+②可得，即，故，设与夹角为，则，解得.故选：C.7.已知过点作曲线的切线有且仅有1条，则的值为（）A.或 B.或 C. D.【答案】A【解析】设切点为，由已知得，则切线斜率，所以切线方程为，因为直线过点，则，化简得，又因为切线有且仅有1条，即，解得或2，故选：A.8.已知点在抛物线：（）上，是上不同的两点（异于点），若直线，被圆：截得的弦长都为，则直线的方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为点在抛物线：（）上，所以，解得，即的方程为，设，，所以直线的方程为，因为直线被圆：截得的弦长为，所以，整理得，即，即，同理可得，所以直线的方程为，故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，，则【答案】BCD【解析】，时，或，A错误；若，，则，B正确；若，，由线面垂直性质定理知，C正确；，，，如图，过m作平面交于直线l，由得，同理过m作平面与交于直线p，得，所以，而，所以，又，，则，所以，D正确.故选：BCD.10.已知函数（），对任意，恒有，且在上单调递增，则（）A.B.的图象可由的图象向右平移个单位长度得到C.奇函数D.在上的最大值为【答案】ACD【解析】由题意可知，，因为对，恒有，所以是函数的一个最值点，即，解得，，当时，，又函数的单调递增区间为，，所以，，即解得，，当时，，此时，符合题意，所以，，故A正确；对于选项B：的图象应由向右平移个单位长度得到，故B错误；对于选项C：，为奇函数，故C正确；对于选项D：由得，所以，即函数的最大值为，故D正确；故选：ACD.11.已知定义域为的函数满足，且，，则（）A. B.为偶函数C. D.【答案】BCD【解析】令，，则，所以，令，，则，所以，令，，则，所以，故A错误；令，则，所以，则，令，则，所以，所以，所以为偶函数，故B正确；令，则，所以，则，所以，故C正确；由，得，所以4为的一个周期，由，得，，所以，所以，D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在正四棱台中，，，则正四棱台的体积为_________.【答案】或【解析】如图，在正四棱台中，，则，.过点作交于点E，过点作交于点F，则，又，所以，即正四棱台的高，所以正四棱台的体积.故答案为：13.在平面直角坐标系中，已知点，在椭圆：上，且直线，的斜率之积为，则中点的轨迹方程为_________.【答案】【解析】因为点，在椭圆：上，所以，两式相加可得，即，又因为直线，的斜率之积为，所以，可得，所以，设中点为，则，，所以，即，即中点的轨迹方程为，故答案：14.若，，则_________.【答案】或【解析】因为，，所以，故，故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.数列的前项和为，，当时，.（1）求证：数列是等差数列，并求的表达式；（2）设，求数列的最大项的值.（1）证明：当时，数列的前项和为，满足，即，整理可得，因为，则，即，可得，假设当时，，则，所以对任意的，，在等式，两边同时除以可得，所以数列为等差数列，且其首项为，公差为2，所以，得.（2）解：由（1）得，则，当时，；当时，，所以，故数列的最大项为，其值为.16.近些年天然气使用逐渐普及，为了百姓能够安全用气，国务院办公厅印发《城市燃气管道等老化更新改造实施方案（2022―2025年）》.某市在实施管道老化更新的过程中，从本市某社区1000个家庭中随机抽取了100个家庭燃气使用情况进行调查，统计了这100个家庭一个月的燃气使用量（单位：），得到如下频数分布表：燃气使用量(单位：)频数614183016124（1）若采用分层抽样的方法从燃气使用量在和这两组的家庭中随机抽取8个家庭，市政府决定从这8个家庭中抽取4个跟踪调查其使用情况，记随机变量表示这4个家庭中燃气使用量在内的家庭个数，求的分布列和数学期望；（2）将这一个月燃气使用量超过22的家庭定为“超标”家庭.若该社区这一个月燃气使用量服从正态分布，其中近似为100个样本家庭的平均值，估计该社区中“超标”家庭的户数.（结果四舍五入取整数）附：若X服从正态分布，则，，.解：（1）燃气使用量在的家庭个数为：（个），在的家庭个数为：（个），则的所有可能取值有0，1，2，，，，则的分布列为012所以.（2）由题意知这100个样本家庭的平均值，所以，又，估计该社区中“超标”家庭的户数为159个.17.如图，四边形为矩形，，，以为折痕将折起，使点到达点的位置.（1）求三棱锥外接球的表面积；（2）当平面平面时，证明：，并求二面角的余弦值.（1）解：因为和均为以为斜边的直角三角形，所以三棱锥的外接球球心即为的中点，半径，所以外接球表面积.（2）证明：当平面平面时，因为，平面，平面平面，所以平面.因为平面，所以.以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设P点坐标为（），由，，得解得，，即P点坐标为，，.设平面，所以所以令，得，易知为平面的一个法向量，所以，因为二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为.18.如图，在平面直角坐标系中，双曲线E：（，）的两条渐近线的方程分别为，，直线l是E的切线，l分别交直线，于A，B两点（A，B分别在第一，四象限），且时，的面积为8.（1）若E的离心率为，求E的方程；（2）试探究：是否存在双曲线E，使的面积恒为8？若存在，求出