湖南省娄底市2024-2025学年高三上学期1月期末数学试题

娄底市年秋季高三教学质量检测数学注意事项：答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.85分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.命题“，”的否定是（）A.，B.，C.，D.，【答案】B【解析】【分析】由全称量词命题的否定是存在量词命题，即可判断选项.【详解】命题“，”的否定是“，”,故选:B.2.已知复数z满足，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由复数的除法法则求得z，再由模的定义计算.【详解】因为复数z满足，所以复数z满足，第1页/共21页所以.故选：A.3.已知集合，，若，则实数a的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】化简集合B，结合和集合具有互异性，得出实数a的取值范围.【详解】由，解得，所以，因为，又因为，所以.故选：D.4.若，则下列结论一定正确的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用两角和的正弦公式展开计算可得结论.【详解】由已知得：，即，所以.故选：A.5.在中，点D在边上，且，设，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】第2页/共21页【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算求解即得.【详解】因为点D在边上，且，所以.故选：C.6.如图，在圆锥中，是底面圆的直径，已知，，M是的中点，二面角的大小为.则圆锥的体积为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】首先说明为二面角的平面角，即可求出，再根据锥体的体积公式计算可得.【详解】因为是底面圆的直径，所以，又M是的中点，所以，又平面，平面，所以，因为，平面，所以平面，又平面，所以，所以为二面角的平面角，即.由已知，，可得，所以，又平面，平面，所以，第3页/共21页由，解得，所以圆锥的体积.故选：B.7.已知，，则下列结论正确的是（）A.且B.且C.D.【答案】D【解析】【分析】根据对数式与指数式的转换，由对数函数的单调性，可得答案.【详解】法一：由，则，由，则，即.因为，所以，因为，所以，故；法二：由，，，∵，∴，故.故选：D.8.已知点F是抛物线的焦点，点A是抛物线E上一点.过点A作圆的两条切线，切点分别为B，C，且分别交抛物线的准线于M，N两点，M，N位于y轴异侧（如图所示）.若，则的长为（）A.2B.3C.4D.第4页/共21页【答案】B【解析】【分析】设与圆O相切于点D，由切线长定理可得的周长为，可得，设，由题意得，可得，计算可得，结合已知可得，可求.【详解】设与圆O相切于点D，由题图及切线长相等可得：，，，∴的周长为，∴，设，由题意得，∵，∴，∴，由，则，解得，所以.故选：B.【点睛】关键点点睛：关键在于利用切线长定理与三角形的面积得到，进而计算求解.36分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）第5页/共21页9.已知函数的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合，则关于函数，下列结论正确的是（）A.函数的最小正周期为B.函数图象关于点对称C.函数图象关于直线对称D.函数在区间上单调递减【答案】ABD【解析】【分析】由已知条件可得，根据周期公式即可判断A项；代入检验结合余弦函数的对称性可判断B、C项；根据正弦函数的单调性即可判断D项.【详解】因为将的图象向左平移个单位长度得到，对于A，函数的最小正周期，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，令，整理得，所以单调递减区间为，显然时，单调递减区间为，第6页/共21页因为，故D正确.故选：ABD.10.设AB，，（）A.A，B相互独立B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】根据相互独立事件、和事件、条件概率等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】因为，，所以，，因为，所以，即，所以A，B相互独立，故A正确；所以，故B错误；因为A，B相互独立，所以，相互独立，，B相互独立，A，相互独立，所以，故C正确；因为，，所以，故D正确.第7页/共21页故选：ACD.已知函数的定义域为，区间，若，，则称是在D上的不动点，集合为在D上的不动点集.若函数在R上的不动点集为，下列结论正确的是（）A.B.C.D.【答案】AD【解析】【分析】根据不动点集的定义，根据方程的三个根化简列出等式，求解即可判断A和B；再设m的范围，判断C和D即可.【详解】因为在R上的不动点集为，所以，即方程在R上存在3个实数根，，，所以，从而，所以A正确，B错误；令，则，当和时，，单调递增；当时，，单调递减，则，解得.第8页/共21页因为，所以C错误，D正确.故选：AD.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点（或方程的根）的问题的方法（1）直接法，对函数求导，求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质结合零点存在定理求解：（2）构造函数法，将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法，将问题等价转化为直线与函数图象的交点问题．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共分）12.函数在点处的切线方程为________.【答案】【解析】【分析】先求出导函数，得，即切线斜率，然后可得切线方程.【详解】因为，所以，又，所以切线方程为：，即.故答案为：.13.在ABC所对的边分别为abc，的面积的最大值为________.【答案】【解析】【分析】利用余弦定理结合均值不等式求得最大值，再用三角形的面积公式求解即可.【详解】因为已知，由余弦定理可得，因为，又因为，得，当且仅当时等号成立，则面积为，第9页/共21页当且仅当时等号成立，故的面积的最大值为.故答案为：.14.已知椭圆的左，右焦点分别为，，其中，直线与椭圆C交于PQ的面积为S时，C的离心率的取值范围为________.【答案】【解析】【分析】连接，，由题意可得四边形为矩形，利用已知可得，利用椭圆的几何性质与勾股定理可得椭圆C的离心率的取值范围.【详解】连接，，由题意得，，所以四边形为矩形，所以，故，又，由勾股定理得，即，则，故，第10页/共21页即，即，解得，又点P在直线上，且，所以，即，所以，，解得，综上，椭圆C的离心率的取值范围是.【点睛】关键点点睛：关键在于利用已知得到，进而利用椭圆的几何性质与勾股定理可得，进而计算即可，需注意.四、解答题（本大题共5小题，共分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知数列满足：，.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前n项和为，若，求证：.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】1）用累加法即可求出结果；（2）将第（1）问的结果代入原式，裂项相消求出前n项和为，即可证明结果.【小问1详解】因为，所以当时，，，，，上述各式相加得，又，所以，第11页/共21页又满足上式，故.【小问2详解】由（1）得，所以，所以数列的前n项和，即.16.方式，全校共有200名学生自主报名参赛，统计参赛成绩，参赛学生所得分数的分组区间为，，，得到如下的频数统计表：分数区间性别男生/名154560女生/名252530（1）若学生得分不低于90分，则认为基本技能优秀，得分低于90分，则认为基本技能良好，依据小概率值独立性检验，分析该校学生的基本技能与性别是否有关？（2）为进一步调研男生和女生在基本技能上的差异，在参加数学基本技能比赛的200例分层抽样的方式随机抽取5名学生进行问卷调研，然后再从这5名学生中随机抽取3名学生进行座谈调研，记取出的3人中女生的人数为X，求X的分布列和数学期望.附：α0.100.050.0102.7063.8416.635第12页/共21页，.【答案】（1）认为该校学生的基本技能与性别有关联（2）分布列见解析，【解析】【分析】(1)由题设完善列联表，应用卡方公式求卡方值，根据独立检验的基本思想得结论；(2)由题意的可能取值有0，1，2，进而求其分布列并求期望值.【小问1详解】根据题意得如下2×2列联表：男生女生合计基本技能优秀603090基本技能良好6050合计12080200零假设：该校学生的基本技能与性别无关联.，依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为该校学生的基本技能与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.1.【小问2详解】由题意知，随机抽取进行问卷调查的5名学生中，女生2名，男生3名，所以随机变量的可能取值有0，1，2，故，，第13页/共21页，故X的分布列如下，X012P17.如图，在三棱柱中，D为边上（异于A，C两点）的动点，平面与边交于点E.（1）请判断四边形的形状，并说明理由；（2）已知侧面底面，，，，求直线与平面所成角的大小.【答案】（1）平行四边形，理由见解析（2）【解析】1）利用线线平行证明线面平行，再证明线线平行，还要利用面面平行证明线线平行，从而可得平行四边形；（2）利用空间向量法来求线面角的大小.【小问1详解】第14页/共21页在三棱柱中，，又平面，平面，所以平面，又平面平面，平面，所以,又平面平面，平面平面，平面平面，所以.所以四边形为平行四边形.【小问2详解】取的中点O，连接，.在中，因，所以，因为侧面底面，底面侧面，底面，所以平面，又侧面，所以.在中，由，，可知，在Rt中，因为，，所以，所以，所以，从而，，两两垂直.以O为原点，以，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图，第15页/共21页则，，，，.所以，.设平面的法向量为，则令，得.又，设直线与平面所成角为，且，则，所以直线与平面所成角的大小为.18.已知函数，.（1）证明：函数与的图象关于直线对称；（2）设.（ⅰ）判断函数的单调性；（ⅱ）证明：，.【答案】（1）证明见解析（2i）在ii）证明见解析【解析】1可得答案；第16页/共21页（2i）整理函数解析式，根据导数与函数的单调性的关系，对于导数由指数函数恒大于零，构造函数并利用其导数求其最值，可得答案；（ii）整理不等式，构造函数，求导并利用放缩法，研究导数的最值，可得答案.【小问1详解】设点为函数上任一点，又点关于直线对称的点为，因为，所以，所以点在函数的图象上.设点为函数上任意一点，又点关于直线对称的点为，因为，所以，所以点在函数的图象上.综上可得，函数的图象与的图象关于直线对称；【小问2详解】（ⅰ）由已知，得，令，则，当时，，在单调递减，当时，，在单调递增，所以，所以，则在单调递增.（ⅱ）根据题意知，当时，令，则，第17页/共21页令，则，所以在上单调递增，则，所以，则在上单调递增，则，所以，即，【点睛】关键点点睛：本题的单调在于第二小题第二问对于构造函数的单调性研究，关键在于对于构造函数的导数采用放缩法化简，利用放缩法解决问题是要注意放缩方向以及放缩的程度.19.已知，分别是双曲线的左、右焦点，D是双曲线C的右支上一点，若，双曲线E的离心率为.（1）求双曲线C的标准方程；（2）设，分别是双曲线C的左，右顶点，平行y轴的直线l交双曲线C于P，Q（异于，）两点.直线与直线交于点R，求交点R的轨迹E的方程；（3）过点且斜率为的直线交第（2）问的轨迹E于A，B（A，B不在坐标轴上）两点，点G是轨迹E上一点，满足轴，直线，分别交直线于点M，N，其中O为坐标原点，记，，求的最小值.【答案】（1）（2）（3）【解析】第