2018年数学（北师大版选修2-2）练习第1章2122综合法与分析法活页作业2

活页作业(二)综合法与分析法1．在△ABC中，A，B所对的边分别为a，b，且eq\f(sinA,a)＝eq\f(cosB,b)，则B＝()A．30° B．45°C．60° D．90°解析：由正弦定理eq\f(sinA,a)＝eq\f(sinB,b)及条件eq\f(cosB,b)＝eq\f(sinA,a)知sinB＝cosB，则△ABC的内角B＝45°.答案：B2．欲证eq\r(2)－eq\r(3)＜eq\r(6)－eq\r(7)只需证()A．(eq\r(2)－eq\r(3))2＜(eq\r(6)－eq\r(7))2B．(eq\r(2)－eq\r(6))2＜(eq\r(3)－eq\r(7))2C．(eq\r(2)＋eq\r(7))2＜(eq\r(3)＋eq\r(6))2D．(eq\r(2)－eq\r(3)－eq\r(6))2＜(－eq\r(7))2解析：欲证eq\r(2)－eq\r(3)＜eq\r(6)－eq\r(7)，只需证eq\r(2)＋eq\r(7)＜eq\r(3)＋eq\r(6)，∵eq\r(2)＋eq\r(7)＞0，eq\r(3)＋eq\r(6)＞0，∴只需证(eq\r(2)＋eq\r(7))2＜(eq\r(3)＋eq\r(6))2.答案：C3．若实数x，y，z满足x2＋y2＋z2＝1，则xy＋yz＋zx的取值范围是()A．[－1,1] B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2))) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))解析：xy＋yz＋zx≤eq\f(x2＋y2,2)＋eq\f(y2＋z2,2)＋eq\f(z2＋x2,2)＝1，2(xy＋yz＋zx)＝(x＋y＋z)2－(x2＋y2＋z2)≥0－1＝－1.答案：B4．已知a，b是不相等的正数，x＝eq\f(\r(a)＋\r(b),\r(2))，y＝eq\r(a＋b)，则x，y的关系为()A．x＞y B．x＜yC．x＝y D．不确定解析：取a＝1，b＝4，得x＝eq\f(3,\r(2))，y＝eq\r(5)，此时x＜y，猜想x＜y.用分析法证明如下：x＜y，即eq\f(\r(a)＋\r(b),\r(2))＜eq\r(a＋b)，eq\f(\r(a)＋\r(b),\r(2))＜eq\r(a＋b)⇒eq\f(a＋2\r(ab)＋b,2)＜a＋b⇒2eq\r(ab)＜a＋b⇒(eq\r(a)－eq\r(b))2＞0⇒a≠b，且a，b∈(0，＋∞)，而a≠b，且a，b∈(0，＋∞)恰是已知条件．故x＜y.答案：B5．已知f(x)是实数集R上的函数，且对于任意实数x都有f(x)＝f(x＋1)＋f(x－1)恒成立，则函数f(x)的周期为()A．4 B．6C．8 D．10解析：∵f(x)＝f(x＋1)＋f(x－1)，∴f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)．∴f(x＋3)＝f(x＋2)－f(x＋1)＝f(x＋1)－f(x)－f(x＋1)＝－f(x)．∴f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)．∴f(x)为周期函数，6是它的一个周期．答案：B6．将下面用分析法证明eq\f(a2＋b2,2)≥ab的步骤补充完整：要证eq\f(a2＋b2,2)≥ab，只需证a2＋b2≥2ab，也就是证________，即证________，由于________显然成立，因此原不等式成立．答案：a2＋b2－2ab≥0(a－b)2≥0(a－b)2≥07．若aeq\r(a)＋beq\r(b)＞aeq\r(b)＋beq\r(a)，则实数a、b满足的一个条件是___________．解析：若aeq\r(a)＋beq\r(b)＞aeq\r(b)＋beq\r(a)，则a≥0，b≥0，不等式两边均大于或等于0.两边平方得：a3＋b3＋2abeq\r(ab)＞a2b＋b2a＋2abeq\r(ab)，即a3＋b3－a2b－b2a＞0，a2(a－b)＋b2(b－a)＞0，(a－b)(a2－b2)＞0，(a－b)2(a＋b)＞0，又a≥0，b≥0，故a＋b≥0，故a，b满足的条件为a≥0，b≥0且a≠b.因而满足上式的任一个关于a，b的条件均可．答案：a≥0，b≥0且a≠b8．当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，则m的取值范围是________．解析：∵x∈(1,2)，∴x2＋mx＋4＜0⇔m＜－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,x))).由y＝x＋eq\f(4,x)在(1,2)上单调递减，得y＜5，∴－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,x)))＞－5.∴m≤－5.答案：m≤－59．设a，b，c成等比数列，而x，y分别是a，b和b，c的等差中项，求证：eq\f(a,x)＋eq\f(c,y)＝2.证明：由题意得c＝eq\f(b2,a)，x＝eq\f(a＋b,2)，y＝eq\f(b＋c,2)，则eq\f(a,x)＋eq\f(c,y)＝eq\f(a,\f(a＋b,2))＋eq\f(c,\f(b＋c,2))＝eq\f(2a,a＋b)＋eq\f(2c,b＋c)＝eq\f(2a,a＋b)＋eq\f(2×\f(b2,a),b＋\f(b2,a))＝eq\f(2a,a＋b)＋eq\f(2b,a＋b)＝2，即eq\f(a,x)＋eq\f(c,y)＝2.10．已知a＞0，求证：eq\r(a2＋\f(1,a2))－eq\r(2)≥a＋eq\f(1,a)－2.证明：要证eq\r(a2＋\f(1,a2))－eq\r(2)≥a＋eq\f(1,a)－2，只要证eq\r(a2＋\f(1,a2))＋2≥a＋eq\f(1,a)＋eq\r(2).∵a＞0，∴只要证eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(a2＋\f(1,a2))＋2))2≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)＋\r(2)))2.即a2＋eq\f(1,a2)＋4eq\r(a2＋\f(1,a2))＋4≥a2＋2＋eq\f(1,a2)＋2eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))＋2，从而只要证2eq\r(a2＋\f(1,a2))≥eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))，只要证4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2＋\f(1,a2)))≥2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2＋2＋\f(1,a2)))，即证a2＋eq\f(1,a2)≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．11．分析法又称执果索因法，则用分析法证明“设a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证eq\r(b2－ac)＜eq\r(3)a”索的因应是()A．a－b＞0 B．a－c＞0C．(a－b)(a－c)＞0 D．(a－b)(a－c)＜0解析：要证明eq\r(b2－ac)＜eq\r(3)a，只需证b2－ac＜3a2，只需证(a＋c)2－ac＜3a2，只需证－2a2＋ac＋c2＜0，即证2a2－ac－c2＞0，即证(a－c)(2a＋c)＞0，即证(a－c)(a－b)＞0.答案：C12．设a＞0，b＞0，则下面两式的大小关系为lg(1＋eq\r(ab))________eq\f(1,2)[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．解析：∵(1＋eq\r(ab))2－(1＋a)(1＋b)＝2eq\r(ab)－(a＋b)≤0，∴(1＋eq\r(ab))2≤(1＋a)(1＋b)，lg(1＋eq\r(ab))2≤lg(1＋a)(1＋b)，即lg(1＋eq\r(ab))≤eq\f(1,2)[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．答案：≤13．已知x，y∈(0，＋∞)，a＝x4＋y4，b＝x3y＋xy3，则a，b的大小关系是________．解析：因为a＝x4＋y4，b＝x3y＋xy3，所以a－b＝(x4＋y4)－(x3y＋xy3)＝(x3－y3)(x－y)＝(x－y)2(x2＋xy＋y2)≥0.故a≥b.答案：a≥b14．已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x.那么，不等式f(x＋2)＜5的解集是________．解析：∵f(x)是偶函数，∴f(x)＝f(|x|)．又当x≥0时，f(x)＝x2－4x，不等式f(x＋2)＜5⇒f(|x＋2|)＜5⇒|x＋2|2－4|x＋2|＜5⇒(|x＋2|－5)(|x＋2|＋1)＜0⇒|x＋2|－5＜0⇒|x＋2|＜5⇒－5＜x＋2＜5⇒－7＜x＜3.∴解集为(－7,3)．答案：(－7,3)15．已知非零向量a，b，且a⊥b，求证：eq\f(|a|＋|b|,|a＋b|)≤eq\r(2).证明：a⊥b⇔a·b＝0，要证eq\f(|a|＋|b|,|a＋b|)≤eq\r(2)，只需证|a|＋|b|≤eq\r(2)|a＋b|，只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2(a2＋2a·b＋b2)只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2a2＋2b2只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，即(|a|－|b|)2≥0，上式显然成立，故原不等式得证．16．(2017·江苏卷)对于给定的正整数k，若数列{an}满足：an－k＋an－k＋1＋…＋an－1＋an＋1＋…＋an＋k－1＋an＋k＝2kan，对任意正整数n(n＞k)总成立，则称数列{an}是“P(k)数列”．(1)证明：等差数列{an}是“P(3)数列”；(2)若数列{an}既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，证明：{an}是等差数列．证明：(1){an}是等差数列，设其公差为d，则an＝a1＋(n－1)d.从而当n≥4时，an－k＋an＋k＝a1＋(n－k－1)d＋a1＋(n＋k－1)d＝2a1＋2(n－1)d＝2an，k＝1,2,所以an－3＋an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝6an，因此等差数列{an}是“P(3)数列”．(2)数列{an}既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，因此当n≥3时，an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＝4an，①当n≥4