2025年上海高考数学复习热点题型专练：空间向量与立体几何 （十大题型） （原卷版）

热点题型•选填题攻略

专题08空间向量与立体几何（十大题型）

o------------题型归纳•定方向-----------♦>

题型012021-2024年高考+春考真题.............................................................1

题型02空间向量的运算.......................................................................3

题型03求几何体的表面积与体积...............................................................3

题型04空间的位置关系........................................................................4

题型05空间向量基本定理......................................................................5

题型06立体几何、导数结合的实际应用.........................................................5

题型07空间向量数量积的应用（含难点）.......................................................8

题型08个数、种类等问题......................................................................8

题型09轨迹、围成面积等问题.................................................................9

题型10空间向量与立体几何选择题综合辨析....................................................9

♦>-----------题型探析・明规律-----------*>

【解题规律•提分快招】

"「而丙基薮霸的造义如「夏茶w写丁皈薮豆枳「需巨痢加一区甬写下而荚鬲后为面有笑「二

I定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a-b计算准确.

I2、利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系（尽可能利用垂直条件，准确写出相关点的坐

"示，进而用向量表示涉及到直线、平面的要素）.

|3、向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的有关定理.

14、多面体的表面积是各个面的面积之和.

|5、旋转体的表面积是将其展开后，展开图的面积与底面面积之和.

16、组合体的表面积求解时注意对衔接部分的处理.

|7、题源注明：立体几何与导数结合的实际应用中，选用适量解答题来练习填选题

题型0]2021-2024年高考+春考真题

【典例1-1].（2024•上海）定义一个集合。，集合元素是空间内的点集，任取B，P2,Re。，存在不全

为0的实数即，刖，k3,使得入1而7+入。词+人々砥=3.已知（I，0,0）GQ,贝U（0,0,1）

0的充分条件是（）

A.（0,0,0）GQB.（-1,0,0）GQ

C.（0,1,0）GQD.（0,0,-1）GQ

【典例1-2].（2024•上海）已知四棱柱底面N8CD为平行四边形，，小=3,8。=4且

AF[-BC-AD-J-DC=5-求异面直线441与AD的夹角-

【典例1-3].（2023•上海）空间中有三个点/、B、C,且/3=8C=C/=1,在空间中任取2个不同的点

D,E（不考虑这两个点的顺序），使得它们与/、3、C恰好成为一个正四棱锥的五个顶点，则不同的取

法有种.

【典例1-4].（2023•上海）如图所示，在正方体N2CD-431cbDi中，点尸为边4cl上的动点，则下列

直线中，始终与直线8尸异面的是（）

A.DDiB.ACC.ADXD.BXC

【典例1-5].（2022•上海）如图正方体48CD-小841。1中，P、。、R、S分别为棱48、BC、BB】、CD

的中点，连接小S,BiD.空间任意两点M、N,若线段九W上不存在点在线段为5、81。上，则称

两点可视，则下列选项中与点）可视的为（）

A.点PB.点3C.点、RD.点。

【典例1-6】.（2022•上海）上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼，如图，四个大钟分布在四棱柱的

四个侧面，则每天0点至12点（包含0点，不含12点）相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为（）

A.0B.2C.4D.12

【典例1-7】.（2021•上海）已知圆柱的底面圆半径为1,高为2,N3为上底面圆的一条直径，C是下底面

圆周上的一个动点，则A48C的面积的取值范围为.

【典例1-8】.（2021•上海）已知圆柱的底面半径为1,高为2,则圆柱的侧面积为

题型02空间向量的运算

【典例2-1】例2024•上海徐汇•一模）已知向量2=（2,5,1）4=（4,弧5）,若鼠刃=3，则实数用的值为.

【变式2-1].（24-25高三上•上海宝山•期中）已知向量）=（-2,1,1）,彼=（1,1,0）,则）在B方向上的投影向

量为.

【变式2-2].（2025•上海高考复习•专题练习）已知空间单位向量b，工两两垂直，则归-彼+,卜（）

A.V3B.V6C.3D.6

题型03求几何体的表面积与体积

【典例3-1】.（2024•上海虹口•一模）若某圆锥的底面半径为1,高为1,则该圆锥的侧面积为.（结

果保留兀）

【典例3-2】•（24-25高三上•上海松江•期末）已知一个圆锥的底面半径为3,其侧面积为15兀，则该圆锥的

高为,

【变式3-1】.（24-25高三上•上海•期中）若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为景且半径为5的扇形，则它

的体积为.

【变式3-2】.（2024•上海宝山•一模）将棱长为2的正四面体绕着它的某一条棱旋转一周所得的几何体的体

积为.

【变式3-3】.（2024・上海青浦•一模）已知圆柱M的底面半径为3,高为g,圆锥N的底面直径和母线长

相等.若圆柱M和圆锥N的体积相同，则圆锥N的底面半径为.

【变式3-4】.（2024•上海徐汇•一模）徐汇滨江作为2024年上海国际鲜花展的三个主会场之一，吸引了广

大市民前往观展并拍照留念.图中的花盆是种植鲜花的常见容器，它可视作两个圆台的组合体，上面圆台的

上、下底面直径分别为30cm和26cm,下面圆台的上、下底面直径分别为24cm和18cm,且两个圆台侧面展

开图的圆弧所对的圆心角相等.若上面圆台的高为8cm,则该花盆上、下两部分母线长的总和为cm.

【变式3-51.（2024•上海・三模）如图，矩形4BCD中，E为/。的中点，AB=\,BC=2,连接防,

EC,若△8EC绕直线/£＞旋转一周，则所形成的几何体的表面积为.

B

【变式3-6】.（24-25高三上•上海松江•开学考试）正方体/BCD-44GA的棱长为2,P为棱CQ的中点,

△BPD、以BDX为轴旋转一周，则得到的旋转体的表面积是.

【变式3-7].（2024•上海奉贤•三模）如图，已知三角形048为直角三角形（。为直角），分别连接点B与

线段。/的〃等分点4，4,…，4-得到"个三角形依次为々，…，将绕看所在直线旋

转一周，记、，勺，…，△，旋转得到的几何体的体积依次为匕，匕，…，匕，若匕=1,匕=49,则三角形

OAB旋转得到的几何体的体积V=.

题型04空间的位置关系

【典例4-1].（24-25高三上•上海杨浦•开学考试）已知a,P，/是不同的平面，/,〃?，〃是不同的直线,

下列命题中：

（1）若a_L/，aCl万=/,m±l,则机_L4；

（2）若a〃/7,mua,nu/3,则血/〃；

（3）若/_La,PV\y=m,H/m,则a_L4且a_L7；

（4）若a，4，丫[B，aPl7=/,贝i]/_L£,

所有真命题的序号是.

【典例4-2].（24-25高三上•上海金山•期末）已知某圆锥的侧面展开图是圆心角为&兀，半径为2的扇形，

则该圆锥的母线与底面所成角的大小为.

【变式4-1].（2024・上海虹口•一模）如图，已知正三角形4BC和正方形3cDE的边长均为2,且二面角

JT____.

的大小为工，则就•丽=

6

【变式4-2].（15-16高三下•上海•阶段练习）设J为随机变量，从边长为1的正方体12条棱中任取两条,

当两条棱相交时，4=0;当两条棱异面时，。=1;当两条棱平行时，J的值为两条棱之间的距离，则数学

期望第=

题型05空间向量基本定理

【典例5-1】•（24-25高二上•上海•期中）已知空间非零向量£、»、c，则下列命题中正确的是（）

A.若£、b,1共面，则£、»、c，中至少存在一对向量平行；

B.若]=xB+刀（x,yeR）,那么）与g、1共面；

C.若£、吞、c，不共面，那么£、务、）所在直线中至少存在两条直线异面；

D.若入马、屋不共面，那么£、方、）所在直线中不可能存在两条直线异面.

【变式5-1】.（24-25高二上•上海宝山•阶段练习）在正四面体尸4BC中，PA=PB=3,点M满足

PM=xPA+yPB+（2-x-y）PC,贝的最小值为（）

A.殍B.&C•粤D.2几

题型06立体几何、导数结合的实际应用

【典例6-1].（23-24高三上•上海宝山•期末）有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边长为6分米，

另一边足够长.现从中截取矩形（如图甲所示），其中。£儿田是以。为圆心，/£。尸=120。的扇形，且

弧赤，初分别与边8C,相切于点M,N.剪去图中的阴影部分，剩下的部分恰好能折卷成一个底面是弓

形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计）.

（1）当BE长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；

（2）当BE的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？

【典例6-2】.（2025•上海高考复习•专题练习）某市一特色酒店由一些完全相同的帐篷构成.每座帐篷的体

积为54万米）且分上、下两层，其中上层是半径为21）米的半球体，下层是底面半径为厂米，高为〃米的

圆柱体（如图）.经测算，上层半球体部分每平方米的建造费用为2千元，下层圆柱体的侧面、隔层和地面三

个部分每平方米的建造费用均为3千元，设每座账篷的建造费用为y千元.

（图。

（1）求y关于，的函数解析式，并指出该函数的定义域；

（2）当半径7-为何值时，每座帐篷的建造费用最小？并求出最小值.

【变式6-1】.（23-24高三上•上海浦东新•期中）图①是高桥中学的校门，它由上部屋顶，和下部两根立柱

组成，如图②，屋顶由四坡屋面构成，其中前后两坡屋面化和CDE尸是全等的等腰梯形，左右两坡屋

面£40和EBC是全等的三角形.点尸在平面4BCD和上的射影分别为//、M,已知〃M=2m,

BC=2m,梯形4BFE的面积是AEBC面积的4倍，设/月必=彳0＜。＜己）.

①

（1）求屋顶面积S关于。的函数关系式；

（2）已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为左（左为正的常数），下部两根立柱的总造价与其单根

的高度成正比，比例系数为"，假设校门的总高度为3m,试问，当6为何值时，校门的总造价（上部屋顶

和下部两根立柱）最低？

【变式6-2】.（2025•上海高考复习•专题练习）如图所示的某种容器的体积为90%,疗，它是由圆锥和圆柱

两部分连结而成的，圆柱与圆锥的底面圆半径都为圆锥的高为片母线与底面所成的角为45。；圆

柱的高为，2.已知圆柱底面造价为2a兀,圆柱侧面造价为。兀/a/,圆锥侧面造价为J5a兀.

（1）将圆柱的高灯表示为底面圆半径『的函数，并求出定义域；

（2）当容器造价最低时，圆柱的底面圆半径，•为多少？

【变式6-3】.（2025•上海高考复习•专题练习）设计一个帐篷，它下部的形状是正四棱柱

上部的形状是正四棱锥P-44G〃，且该帐篷外接于球。（如图所示）.

（1）若正四棱柱48cA-ABCD是棱长为2m的正方体，求该帐篷的顶点P到底面ABCD中心02的距离；

TT

⑵若该帐篷外接球。的半径3m,设/尸。。=8,6e（0,1）,该帐篷的体积为K，则当cos。为何值时，体积/

取得最大值.

【变式6-4].（20-21高二上•上海宝山・期末）《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专

著，书本记载了一种名为“刍薨”的五面体（如图1）.其中四边形ABC。为矩形，EFHAB,和/BC

是三角形，“刍薨”字面意思为茅草屋顶.图2是一栋农村别墅，为全新的混凝土结构.它由上部屋顶和下部

主体两部分组成.如图3,屋顶五面体为“刍薨”，其中前后两坡屋面/瓦加和CAEF是全等的等腰梯形，左

右两坡屋面E4D和FBC是全等的三角形，点尸在平面4BCD和8c上射影分别为“，M,已知用1=5米,

8C=10米，梯形NB斯的面积是面积的2.2倍.设N尸

（1）求屋顶面积S关于。的函数关系式；

（2）已知上部屋顶造价由屋顶面积确定，造价为600元/平方米，下部主体造价由高度确定，造价为9600元

/米.现欲造一栋上、下总高度为6米的别墅，试问：当9为何值时，总造价最低？

题型07空间向量数量积的应用（含难点）

【典例7-1].（24-25高三上•上海杨浦•期中）己知空间单位向量

e

|i+e2|=|e3+e4|=2|et+e2+e3+e4|=1,则-e3的最大值是.

【变式7-11.（2024・上海嘉定•一模）已知空间向量两，瓯,西两两垂直，若空间点A满足

画丽卜]彳瓦卜1,记丽=西+西+西，且网W1,则网的取值范围为.

【变式7-2].（23-24高三上•上海宝山•期中）已知夕、砺、反为空间中三个单位向量，且力J.砺、a_1_反、

砺与反夹角为120。，点尸为空间一点，满足|西=1且|丽•因《回•西V回•列，则|班因最大值

为.

题型08个数、种类等问题

【典例8-1】.（2024•上海闵行•二模）已知空间中有2个相异的点，现每增加一个点使得其与原有的点连接

成尽可能多的等边三角形.例如，空间中3个点最多可连接成1个等边三角形，空间中4个点最多可连接成4

个等边三角形.当增加到8个点时，空间中这8个点最多可连接成个等边三角形.

【典例8-2].（24-25高三上•上海浦东新•期末）已知空间中三个单位向量可、破、的，

西.恒=恒.西=西.西=0,尸为空间中一点，且满足廖•可=1,声・恒|=2,|赤.恒卜3,

则点P个数的最大值为.

【变式8-1].（2025•上海高考复习•专题练习）如图，设点尸为正四面体表面（含棱）上与顶点不

重合的一点，由点P到四个顶点的距离组成的集合记为如果集合M中有且只有2个元素，那么符合条

件的点尸有个.

【变式8-2】.（2021•上海杨浦・三模）设正四面体《七心与在空间直角坐标系中点耳的坐标为

（x,.,Z.,z,.）G-=l,2,3,4）,集合/=皿存在ie{1,2,3,4},使得）=%},则集合/的元素个数可能为种.

（写出所有可能的值）

【变式8-3】.（23-24高三上•上海浦东新•期末）已知棱长均为1的正力棱柱有2〃个顶点，从中任取两个顶

点作为向量Z的起点与终点，设底面的一条棱为N8.若集合4={x|x=7万},则当4中的元素个数最少

时，力的值为（）

A.3B.4C.6D.8

【变式8-4].（23-24高二上•上海•阶段练习）设4,4,…，小叱是空间中给定的2023个不同的点，则使得

珂+祝…+祝亚=6成立的点河的个数为（）

A.0个B.1个C.2023个D.4046个

题型09轨迹、围成面积等问题

【典例9-1].（2025•上海高考复习•专题练习）在正四棱柱N8CO-44GA中，AB=1,44”4,£为。2

中点，尸为正四棱柱表面上一点，且弓尸，4石，则点尸的轨迹的长为

【变式9-1】.（2023•上海•模拟预测）正方体-的边长为1,点M、N分别为。2、8c边的中

点，尸是侧面上动点，若直线与面GPN的交点位于ACfN内（包括边界），则所有满足要求的

点P构成的图形面积为.

【变式9-21.（2024・上海虹口•一模）己知边长为2的正四面体4-BCD的内切球（球面与四面体四个面都

相切的球）的球心为O,若空间中的动点P满足赤=》反+了砺+z历,X、八ze[0,l],则点尸的轨迹所形

成的几何体的体积为（）.

A.V2B.—C..2^3D.也

33

题型10空间向量与立体几何选择题综合辨析

【典例10-1].（24-25高二上•上海•阶段练习）如图，在棱长为2的正方体44G2中，点M、N

分别在线段和及&上，给出下列命题：①有且仅有一条直线与幺2垂直；②存在点M、N,使

为等边三角形，则（）

A.①、②均为真命题B.①、②均为假命题

C.①为真命题，②为假命题D.①为假命题，②为真命题

【典例10-2].（24-25高三上•上海•期中）在正方体/BCD-44GA中，点尸，。分别是线段力4,4G上

的点（不为端点），给出如下两个命题：

①对任意点尸，均存在点。，使得产。，。2；

②存在点P,对任意的。，均有尸瓦，贝U（）

A.①②均正确B.①②均不正确

C.①正确，②不正确D.①不正确，②正确

【变式10-1].（23-24高二下•上海杨浦・期末）如图，已知正方体的棱长为1,点、M为棱AB

的中点，点尸在正方形3CG片内部（不含边界）运动，给出以下三个结论：

①存在点尸满足

②存在点P满足PDX与平面A\D、M所成角的大小为60°；

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③存在点尸满足孙+MP=不；

其中正确的个数是（）.

【变式10-21•（23-24高二上•上海・期末）在直三棱柱N8C-4用。中，底面A/BC为等腰直角三角形，且

满足=.点p满足而=几就+〃函，其中则下列说法不正确的是（）

A.当彳=1时，ANBP的面积S的最大值为e

2

B.当4=1时，三棱锥48c的体积为定值

c.当九=；时，有且仅有一个点尸，使得4尸

D.当〃=；时，存在点P,使得&8_L平面

【变式10-3】•（23-24高二上•上海・期末）如图，在正方体中，E为棱4G的中点.动点尸

沿着棱DC从点。向点C移动，对于下列四个结论中正确的个数是（）

（1）存在点P,使得心=尸£；

（2）存在点P,使得1平面尸4E；

（3）△尸4E的面积越来越小；

（4）四面体4P4后的体积不变.

A.0B.1C.2D.3

企----------题型通关•冲高考-----------*>

一、填空题

1.（2024・上海崇明•一模