2025年数学九年级上册人教版期末测试卷（含解析）

期末真题重组卷-2024-2025学年数学九年级上册人教版

选择题（共9小题）

1.（2023秋•上城区期末）下列事件是必然事件的是（）

A.圆内接四边形对角和是180°

B.九年级开展篮球赛，901班获得冠军

C.抛掷一枚硬币，正面朝上

D.打开电视，正好播放神舟十七号载人飞船发射实况

2.（2023秋•宁波期末）已知。。的半径为5,点尸在外，则。尸的长可能是（）

A.3B.4C.5D.6

3.（2023秋•江岸区期末）将一元二次方程7-2尤-1=0配方后所得的方程是（）

A.（%-2）2=0B.（x-1）2=2C.（x-1）2=1D.（%-2）2=2

4.（2023秋•上城区期末）某商场进行抽奖活动，每名顾客购物满100元可以获得一次抽奖机会.抽

奖箱中只有两种卡片：“中奖”和“谢谢惠顾”（两种卡片形状大小相同、质地均匀）.下表是

活动进行中的一组统计数据：

抽奖次数n1001502008001000

抽到“中奖”卡片的次数相385669258299

中奖的频率必0.380.3730.3450.3230.299

n

根据频率的稳定性，估计抽奖一次就中奖的概率约是（）

A.0.40B.0.35C.0.30D.0.25

5.（2023秋•澧县期末）在平面直角坐标系中，将抛物线4先向右平移2个单位，再向上平

移2个单位，得到的抛物线的解析式是（）

A.y—（x+2）2+2B.y—（尤-2）2-2

C.产（%-2）2+2D.y=（x+2）2-2

6.（2023秋•上城区期末）如图，△ABC内接于。0,CZ）是。。的直径，连接8。，ZDCA=39°,

则/ABC的度数是（）

B

T——

A

A.39°B.45°C.49°D.51°

7.(2023秋•上城区期末)如图，△ABC中，ZBAC=45°,将△ABC绕点A逆时针旋转a(0°<

a<45°)得到△ADE,DE交AC于点?当a=30°时，点。恰好落在8C上，则()

8.(2023秋•上城区期末)如图，A3是。。的直径，弦CD垂直平分08,点E在会上，连接CE,

AE.若CE平分NOCD,则NA：ZE=()

A.2：3B.3：4C.4：5D.5：6

9.(2022秋•丰都县期末)二次函数y=a?+云+c(〃W0)的图象如图所示，下列结论:

①〃bc<0；

②2a+Z?=0；

③加为任意实数时，a+bWm(am+b)；

@a-b+c>0；

⑤若分/+"1=9X2+”X2,且％则Xl+%2=2.其中正确的有()

ClA|ClA2

A.1个B.2个C.3个D.4个

填空题（共8小题）

10.（2023秋•龙马潭区期末）若点A（3,-5）与点8关于原点对称，则点8的坐标为.

11.（2023秋•上城区期末）有10张卡片，每张卡片上分别写有不同的从1到10的一个自然数，从

中任意抽出一张卡片，卡片上的数是3的倍数的概率是.

12.（2023秋•盘山县期末）若关于尤的一元二次方程?-4尤+机=0没有实数根，则m的取值范围

是.

13.（2023秋•上城区期末）已知二次函数y=axL-4ox+4a+l（aWO）,则此函数的顶点坐标

是；若a<0,当1WXW4时，函数有最小值a-1,则°=.

14.（2019秋•汶上县期末）如图，A8是。。的直径，弦CD交于点尸，AP=2,BP=6,ZAPC

=30°,则CD的长为.

15.（2024•海淀区）“青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示

是一个竹筒水容器，图2为该竹筒水容器的截面.已知截面的半径为10cm,开口AB宽为12t7",

这个水容器所能装水的最大深度是cm.

16.（2023秋•北流市期末）如图，在边长为2的正方形ABC。中，点E是线段AC上异于A,C的

动点，将线段BE绕着点2顺时针旋转90°得到3凡连接CR则△CEF的最大面积为

DC

17.（2021秋•聊城期末）如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑

融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化.如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其

底部宽度为80米，高度为200米.则离地面150米处的水平宽度（即C。的长）为.

①②

三.解答题（共9小题）

18.（2022秋•环江县期末）解方程：/-4x+3=0.

19.（2023秋•齐河县期末）2023年9月23日，第19届亚运会在杭州开幕，电子竞技首次成为亚运

会正式比赛项目.小明和小张是电竞游戏的爱好者，他们相约一起去现场为中国队加油，现场的

观赛区分为A、B、C、。四个区域，购票以后系统随机分配观赛区域.

（1）小明购买门票在A区观赛的概率为；

（2）求小明和小张在同一区域观看比赛的概率.（请用画树状图或列表等方法说明理由）

20.（2024•海淀区）如图，在△ABC中，ZB=45°,将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C,使

点夕在的延长线上.求证：BB'±CB'.

21.（2023秋•江都区期末）已知关于尤的一元二次方程/+（4+3）x+2左+2=0.

（1）求证：方程有两个实数根；

（2）若方程的两个根都是负根，求左的取值范围.

22.(2023秋•东城区期末)在平面直角坐标系xOy中，点(2,c)在抛物线>="2+公+。(a>0)

上，设该抛物线的对称轴为直线x=r.

(1)求/的值；

(2)已知M(.xi,yi),N(X2,”)是该抛物线上的任意两点，对于m<xi<m+l,m+l<x2<

m+2,都有yi<y2,求相的取值范围.

23.(2023秋•荔城区校级期末)如图，为。。的直径，点C在。。外，/ABC的平分线与。。

交于点。，ZC=90°.

(1)C。与。。有怎样的位置关系？请说明理由；

(2)若/CA8=60°,AB=4,求益的长.

24.(2023秋•岳阳县期末)公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定.某

头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售

216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同.

(1)为求该品牌头盔销售量的月增长率，设增长率为。，依题意列方程为；

(2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，

若在此基础上售价每涨价1元/个，则月销售量将减少10个，若该品牌头盔涨价x元/个，销售总

利润为》列出y与x的函数关系式.

①当x为多少时？销售总利润达到10000元.

②当x为多少时？销售总利润达到最大，求最大总利润.

25.(2023秋•楚雄市校级期末)如图，A8为。。的直径，点。为。。上一点，E为前的中点，点

C在的延长线上，且

(1)求证：为。。的切线；

(2)若DE=2,NBDE=30°,求图中阴影部分的面积.

E/

B'

0AC

26.（2023秋•石景山区期末）投掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一.实

心球被投掷后的运动路线可以看作是抛物线的一部分.建立如图所示的平面直角坐标系，实心球

从出手（点A处）到落地的过程中，其竖直高度y（单位：加）与水平距离无（单位：相）近似满

小石进行了三次训练，每次实心球的出手点A的竖直高度为2m.记实心球运动路线的最高点为P,

训练成绩（实心球落地点的水平距离）为d（单位：.训练情况如下:

第一次训练第二次训练第三次训练

训练力=8.39相d2d3

成绩

最高Pl(3,2.9)P2(4,3.6)尸3(3,3.4)

点

满足2=2

¥1=-0.1(x-3)+2.9y2a(x-h)+k(。＜。)y3=-0.15(x-3)2+3.4

的函

数关

系式

根据以上信息,

（1）求第二次训练时满足的函数关系式;

（2）小石第二次训练的成绩必为m；

（3）直接写出训练成绩小，di,山的大小关系.

期末真题重组卷-2024-2025学年数学九年级上册人教版

参考答案与试题解析

选择题（共9小题）

1.（2023秋•上城区期末）下列事件是必然事件的是（）

A.圆内接四边形对角和是180°

B.九年级开展篮球赛，901班获得冠军

C.抛掷一枚硬币，正面朝上

D.打开电视，正好播放神舟十七号载人飞船发射实况

【解答】解：A、圆内接四边形对角和是180。是必然事件，符合题意；

3、九年级开展篮球赛，901班获得冠军是随机事件，不符合题意；

C、抛掷一枚硬币，正面朝上是随机事件，不符合题意；

打开电视，正好播放神舟十七号载人飞船发射实况是随机事件，不符合题意；

故选：A.

2.（2023秋•宁波期末）己知。。的半径为5,点尸在。。外，则OP的长可能是（）

A.3B.4C.5D.6

【解答】解：的半径为5,点尸在外，

：.OP>5,

故选：D.

3.（2023秋•江岸区期末）将一元二次方程2%-1=0配方后所得的方程是（）

A.（%-2）2=0B.（x-1）2=2C.（x-1）2=1D.（%-2）2=2

【解答】解：?-2x-1=0,

x2-2x=1,

x2-2x+l=l+l,

（X-1）2=2,

故选：B.

4.（2023秋•上城区期末）某商场进行抽奖活动，每名顾客购物满100元可以获得一次抽奖机会.抽

奖箱中只有两种卡片：“中奖”和“谢谢惠顾”（两种卡片形状大小相同、质地均匀）.下表是

活动进行中的一组统计数据：

抽奖次数n1001502008001000

抽到“中奖”卡片的次数相385669258299

中奖的频率工0.380.3730.3450.3230.299

n

根据频率的稳定性，估计抽奖一次就中奖的概率约是（）

A.0.40B.0.35C.0.30D.0.25

【解答】解：根据频率的稳定性，估计抽奖一次就中奖的概率约是0.30,

故选：C.

5.（2023秋•澧县期末）在平面直角坐标系中，将抛物线＞=/-4先向右平移2个单位，再向上平

移2个单位，得到的抛物线的解析式是（）

A.y=（x+2）2+2B.y=（x-2）2-2

C.尸（x-2）2+2D.尸（x+2）2-2

【解答】解：将抛物线y=7-4先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解

析式是y=（尤-2）2-4+2,即y=（尤-2）2-2.

故答案为：尸（x-2）2-2.

故选：B.

6.（2023秋•上城区期末）如图，△ABC内接于O。，是。。的直径，连接3D,ZDCA=39°,

A.39°B.45°C.49°D.51°

【解答】解：是。。的直径，

/.ZDBC=90°,

'：ZDBA=ZDCA=39°,

/.ZABC=ZDBC-ZDBA^90°-39°=51°,

故选：D.

7.(2023秋•上城区期末)如图，△ABC中，ZBAC=45°,将△ABC绕点A逆时针旋转a(0°<

a<45°)得到△ADE,DE交AC于点F.当a=30°时，点。恰好落在8c上，贝!]NAFE=()

A

【解答】解：・・,将△ABC逆时针旋转a(0°<a<45°),得到△ADE,

：.ZBAC=ZDAE,ZBAD=ZCAE=30°,AB^AD,/C=/E,

：.ZB=75°,

：.ZC=ZE=60°,

AZAFE=180°-60°-30°=90°,

故选：B.

8.(2023秋•上城区期末)如图，A5是。。的直径，弦CD垂直平分05,点E在会上，连接CE,

AE.若CE平分NOCD,则NA：ZE=()

A.2：3B.3：4C.4：5D.5：6

【解答】解：设CD垂直平分08于点尸，连接AD,

*：AB是。。的直径，弦CD垂直平分OB,

：.OF==^OB=1OC,

22

：.ZOCF=30°,

・・・NCO3=60°,

ZAOC=120°,ZBAD=30°,

：.ZE=60°,

TCE平分NOCD,

：.ZEAD=ZECD=15°,

AZEAB=ZBAD+ZEAD=45°,

AZBAE：ZE=45°：60°=3：4.

故选：B.

C

AB

9.（2022秋•丰都县期末）二次函数》=0?+云+。（〃wo）的图象如图所示，下列结论:

@abc<0；

②2。+/?=0；

③加为任意实数时，a+bWm（am+b）；

@a-Z?+c>0；

⑤若且则其中正确的有（）

a入［a入2Xl+X2=2.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【解答】解：①抛物线开口方向向上，则a>0.

抛物线对称轴位于y轴右侧，则。、b异号,即裙<0.

抛物线与y轴交于y轴负半轴，则c<0,

所以abc<0.

故①错误；

②•••抛物线对称轴为直线x=-2=1,

2a

:.b=-2a,即2a+b=0,

故②正确；

③V抛物线对称轴为直线x=l,

，函数的最小值为：a+b+c,

为任意实数时，a+bWm(am+b)；a+b+c<am2+bm+c,

故③正确；

④：抛物线与x轴的一个交点在(3,0)的左侧，而对称轴为直线尤=1,

.•.抛物线与x轴的另一个交点在(-1,0)的右侧，

当x=-1时，y>0,

工。-Z?+c>0,

故④正确；

⑤•.・?/+加2

aX।aX2

；・axf+ta-ax2-&2=0,

(xi+x2)(xi-X2)+b(xi-X2)=0,

(xi-X2)[a(xi+%2)+Z?]=0,

而X1WX2,

•\a(xi+x2)+Z?=0,即xi+x2=-上,

a

":b=-la,

/.Xl+X2=2,

故⑤正确.

综上所述，正确的有②③④⑤.

故选：D.

二.填空题(共8小题)

10.(2023秋•龙马潭区期末)若点A(3,-5)与点5关于原点对称，则点8的坐标为(-3,

【解答】解：・・•点A(3,-5),点A与点5关于原点对称，

・,•点8(-3,5).

故答案为：(-3,5).

11.(2023秋•上城区期末)有10张卡片，每张卡片上分别写有不同的从1到10的一个自然数，从

中任意抽出一张卡片，卡片上的数是3的倍数的概率是-3-.

—10―

【解答】解：•••有10张卡片，每张卡片上分别写有不同的从1到10的一个自然数，从中任意抽

出一张卡片，卡片上的数是3的倍数的有3,6,9,

•••卡片上的数是3的倍数的概率是：W-.

10

故答案为：A.

10

12.（2023秋•盘山县期末）若关于x的一元二次方程?-4x+优=0没有实数根，则m的取值范围是

m>4

【解答】解：由题意可知：A<0,

16-4m<0,

故答案为：m>4

13.（2023秋•上城区期末）已知二次函数QW0）,则此函数的顶点坐标是（2,

1）；若。<0,当1WXW4时，函数有最小值a-1,则a=--.

—3—

【解答】解:''y=aj?~4ax+4a+l—d（x~2）~+1,

此函数的顶点坐标是（2,1）,

若a<0,当1WXW4时，函数有最小值a-1,

；.x=4时，y=16a-16a+4a+l=a-1,

•,•Cal=-2—j

3

故答案为：（2,1）,-I.

3

14.（2019秋•汶上县期末）如图，A8是。。的直径，弦CD交于点P,AP=2,BP=6,ZAPC

=30°,则CD的长为2j器.

【解答］解：作CD于"，连接。C,如图,

'：OHLCD,

：.HC=HD,

"：AP=2,BP=6,

：.AB=S,

：.OA=4,

J.OP^OA-AP^2,

在RtZkOP”中，：/OPH=30°,

ZPOH=60°,

.•.OH=」OP=I,

2

在RtZkOHC中，'：OC=4,OH=\,

CH=Voc2-OH2=V15'

:.CD=2CH=2^r^>.

故答案为：2、压

15.（2024•海淀区）“青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示

是一个竹筒水容器，图2为该竹筒水容器的截面.已知截面的半径为10cm,开口48宽为12cd

这个水容器所能装水的最大深度是18cm.

【解答】解：连接AB,OB,过点。作OCLA8于点C,延长CO交。。于点

VOCLAB,

*.AC=CB=6cm,

由题意可知，10cm,

...在RtZXOBC中，OC=WOB2_BC2=V102-62=8(cm),

.*.CZ)=OC+Or>=8+10=18(C7〃)，

即这个水容器所能装水的最大深度是18cM.

16.（2023秋•北流市期末）如图，在边长为2的正方形ABC。中，点E是线段AC上异于A,C的

动点，将线段BE绕着点B顺时针旋转90°得到连接CR则△CEP的最大面积为1.

DC

【解答】解：：将线段BE绕着点B顺时针旋转90。得到BF,

：.BE=BF,/EBF=9Q°,

而四边形ABCD为正方形，

J.AB^BC,ZABC=90",

ZABE=ZCBF,

.♦.△AEB经ACFB（SAS）,

：.CF=AE,

.正方形的边长为2,

；.AC=2&,

设CE=JC,则AE=2&-x,

:.CF=AE=2如-x,

△C£77的面积=匕-x）――（-x2+2.y/2,x-2）+1=工（尤-*7^）2+1,

222

...当x=&时，的最大面积为1.

故答案为：1.

17.（2021秋•聊城期末）如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑

融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化.如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其

底部宽度为80米，高度为200米.则离地面150米处的水平宽度（即CD的长）为40米.

【解答】解：以底部所在的直线为x轴，以线段的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角

坐标系，如图：

设内侧抛物线的解析式为y=a(x+40)(x-40),

将(0,200)代入，得：200=a(0+40)(0-40),

解得：a=-―,

8

/.内侧抛物线的解析式为y=--1X2+200,

将y=150代入得：-■j/2+2oo=i5O,

解得：x=±20,

C(-20,150),D(20,150),

CD=40m,

故答案为：40米.

三.解答题(共9小题)

18.(2022秋•环江县期末)解方程：/-4x+3=0.

【解答】解：/-4尤+3=0

(x-1)(x-3)=0

x-1=0或x-3=0

XI=1,X2=3.

19.(2023秋•齐河县期末)2023年9月23日，第19届亚运会在杭州开幕，电子竞技首次成为亚运

会正式比赛项目.小明和小张是电竞游戏的爱好者，他们相约一起去现场为中国队加油，现场的

观赛区分为A、8、C、。四个区域，购票以后系统随机分配观赛区域.

(1)小明购买门票在A区观赛的概率为_」_；

(2)求小明和小张在同一区域观看比赛的概率.(请用画树状图或列表等方法说明理由)

【解答】解：（1）由题意得，小明购买门票在A区观赛的概率为工.

4

故答案为：1.

4

（2）画树状图如下：

开始

共有16种等可能的结果，其中小明和小张在同一区域观看比赛的结果有4种，

二小明和小张在同一区域观看比赛的概率为-£=」.

164

20.（2024•海淀区）如图，在△ABC中，ZB=45°,将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ABC,使

点B'在BC的延长线上.求证：BB'LCB'.

【解答】解：:△ABC绕点A逆时针旋转得到△A9C,

J.AB^AB',C=45°,

而点8'在的延长线上.ZB=45°,

/.ZAB'B=45°,

：.ZBB'C=ZAB'C+ZAB'8=90°,

：.BB'LCB\

21.（2023秋•江都区期末）已知关于x的一元二次方程/+（左+3）x+2左+2=0.

（1）求证：方程有两个实数根；

（2）若方程的两个根都是负根，求人的取值范围.

【解答】解：（1）射-4ac

=（上+3）2-4XlX（2左+2）

=法-2Z+1

=（k-1）2,

•..不论％为何值，（笈-1）220,

方程有两个实数根.

⑵x=-(k+3)±Wk-l)2,

2X1

XrlI-----k---3--+--k----l-__乙2,

2

x2=-k-3-k+l=_/_],

2

•••方程的两个根都是负根，

.*.~k~1<0,

：.k>-1.

22.(2023秋•东城区期末)在平面直角坐标系xOy中，点(2,c)在抛物线y=/+bx+c(a>0)

上，设该抛物线的对称轴为直线x=r.

(1)求r的值；

(2)已知M(xi,yi),N(X2,>2)是该抛物线上的任意两点，对于m<xi<m+l,m+l<x2<

m+2,都有yi<y2,求机的取值范围.

【解答】解：(1)由题意，,点(2,c)在抛物线y=ar2+bx+c(°>0)上，

/.4a+2b+c=c.

・・・4Q+2Z?=0,BPb=-2a.

・••抛物线的对称轴是直线x=/=--=-二包=1.

2a2a

故t=l.

(2)如图，若点A(m,yi)与点3(m+1,>2)关于抛物线对称轴直线x=1对称，

2

解得m=A,

2

•对于机Vxi〈机+1,m+l<x2<m+2,都有yiVy2,

2

故m的取值范围是m^—.

2

23.（2023秋•荔城区校级期末）如图，AB为。。的直径，点C在。。外，/ABC的平分线与。。

交于点D,NC=90°.

（1）CO与OO有怎样的位置关系？请说明理由；

（2）若/CO8=60°,AB=4,求益的长.

理由：连接。。，贝

；./ODB=NABD,

•.•8。平分/48(7,

/ABD=NCBD,

：.ZODB=ZCBD,

J.OD//BC,

VZC=90°,

AZODC=180°-NC=90°,

是。。的半径，且cn_L。。，

••.co与O。相切.

(2)TAB是。。的直径，且AB=4,

：.OA=^AB=2,ZADB=90Q,

2

VZC=90°,ZCDB=60°,

：.ZABD=ZCBD=90°-NCDB=30°,

ZAO£)=2ZABD=60°,

..—60兀X2_2几

,•—--------------,

AD1803

它的长为空.

3

24.(2023秋•岳阳县期末)公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定.某

头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售

216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同.

(1)为求该品牌头盔销售量的月增长率，设增长率为。，依题意列方程为150(1+^)2=216

(2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个,

若在此基础上售价每涨价1元/个，则月销售量将减少10个，若该品牌头盔涨价尤元/个，销售总

利润为y,列出y与x的函数关系式.

①当x为多少时？销售总利润达到10000元.

②当x为多少时？销售总利润达到最大，求最大总利润.

【解答】解:(1)150(1+a)2=216；

故答案为：150(1+a)2=216；

(2)①由题意可得：y—(40-30+x)(600-10.r),

令》=10000,即(40-30+X)(600-10x)=10000,

解得xi=10,X2=40.

.•.当x为10或者40时，销售总利润达到10000元;

@'：y=(40-30+x)(600-10x)=-ltt?+500x+6000,

当

~500=25时，取得最大总利润,

x=2X(-10)

此时y=12250.

25.(2023秋•楚雄市校级期末)如图，A2为O。的直径，点。为上一点，£为俞的中点，点

C在的延长线上，且

(1)求证：CD为。。的切线；

(2)