2025年数学九年级上册苏科版期末测试卷（含解析）

期末真题重组卷-2024-2025学年数学九年级上册苏科版

选择题（共10小题）

1.（2023秋•泉州期末）如图，在一个不透明的纸箱中，装有4张标有数字的卡片，卡片除所标数

字不同外无其他差别，现从中任取一张卡片，将其数字记为左，则使一元二次方程依2=3x+l有实

数根的概率是（）

0E3EJ0

A.1B.1C.3D.A

442

2.（2023秋•南京期末）若一组数据1、3、5、7、尤的方差比另一组数据11、13、15、17、19的方

差小，则x不可以是（）

A.10B.8C.6D.4

3.（2023秋•船山区期末）若关于x的方程（3-a）/-尤=0是一元二次方程，则a的取值范围（）

A.qWOB.a#3C.a<3D.a>3

4.（2021秋•义乌市期末）为调查某班学生每天使用零花钱的情况，小明随机调查了30名同学，结

果如表：

每天使用零花钱（单位：元）510152025

人数25896

则这30名同学每天使用的零花钱的众数和中位数分别是（）

A.20,15B.20,17.5C.20,20D.15,15

5.（2023秋•华安县校级期末）用配方法解一元二次方程x2-4x+l=0,下列变形正确的是（）

A.（x-2）2-3=0B.（x+4）2=15

C.G+2）2=3D.（%-2）2=-3

6.（2023秋•滁州期末）高速公路的隧道和桥梁最多，如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以。

为圆心的圆的一部分，路面AB=8米，净高C£）=8米，则此圆的半径。4=（）

22

7.（2023秋•大兴区期末）如图，菱形OA8C的顶点A,B,C在上，过点8作。。的切线交

OA的延长线于点D.若。。的半径为2,则BD的长为（）

C.2A/3D.4

8.（2023秋•富锦市校级期末）某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要

比赛36场，共有多少个球队参加比赛？设有x个球队参加比赛，则可列方程为（）

A.x（x+1）=36B.无（x-1）=36

Cyx（x+1）=36D.yX（x-1）=36

9.（2023秋•大兴区期末）如图，点A,8在。。上，且点A,O,8不在同一条直线上，点尸是。。

上一个动点（点尸不与点A,3重合），在点P运动的过程中，有如下四个结论：

①恰好存在一点P,使得/融8=90°；

②若直线OP垂直于AB,则NOAP=ZOBP；

③/AP8的大小始终不变.

上述结论中，所有正确结论的序号是（）

B.①③C.②③D.①②③

10.（2023秋•潍城区期末）中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志.如图是高铁

线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为A,曲线终点为8,过

点A,2的两条切线相交于点C,列车在从A到2行驶的过程中转角a为60°.若圆曲线的半径

。4=1.8千米，则这段圆曲线篇的长为（）

圆心O

A.—B.c.12LD.

2458

二.填空题（共8小题）

11.（2023秋•青龙县期末）若一组数据3,4,尤，6,7的众数是3,则这组数据的中位数为.

12.（2023秋•新吴区期末）甲、乙、丙三名运动员在5次射击训练中，平均成绩都是8.5环，方差

分别是S甲2=0.7,S乙2=0.2,S丙2=1.2,则这三名运动员中5次训练成绩最稳定的是（填

“甲”或“乙”或“丙”）.

13.（2023秋•建邺区期末）如图，一块飞镖游戏板由除颜色外都相同的9个小正方形构成.假设飞

镖击中每1块小正方形是等可能的（击中小正方形的边界或没有击中游戏板，则重投一次）.任

意投掷飞镖一次，击中黑色区域的概率是.

14.（2023秋•彰武县期末）若关于尤的一元二次方程/-3尤+2=0的一个实数根是a,则4a2-12a

-3的值为.

15.（2022秋•双牌县期末）等腰三角形的边长是方程/-6无+8=0的解，则这个三角形的周长

是.

16.（2023秋•道县期末）如图所示，在宽为20米、长为32米的矩形地面上，修筑同样宽的道路（图

中阴影部分），余下部分种植草坪.要使草坪的面积为540平方米，则道路的宽为米.

17.（2023秋•楚雄市校级期末）如图，点0是正六边形ABCDEF的中心，以AB为边在正六边形

ABC。所的内部作正方形ABMN,连接0。，ON,则°.

18.（2023秋•富锦市校级期末）如图，尸是外一点，出、分别和。。相切于点A、B,C是

弧AB上任意一点，过C作。。的切线分别交B4、PB于点。、E,若%=12,则的周长

19.(2023秋•玄武区期末)解下列一元二次方程：

(1)37-2元-1=0；

(2)(2x-1)2=(尤+1)2.

20.(2024春•汉中期末)如图，转盘被分成六个相同的扇形，并在上面依次写上数字：2,3,4,5,

6,7.指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止.

(1)当转盘停止时，指针指向奇数区域的概率是多少？

(2)当转盘停止时，指针指向的数小于或等于5的概率是多少？

21.(2023秋•赣榆区期末)方程%2-2尤5=0是关于尤的一元二次方程，该方程的两个实数根

分别为XI,XI.

(1)求机的取值范围.

(2)若(X1+X2)2+xl,X2+10=0,求机的值.

22.(2023秋•安庆期末)已知8C是。。的直径，点。是延长线上一点，AB=AD,AE是。。

的弦，ZAEC=30°.

(1)求证：直线是。。的切线；

(2)若垂足为M,的半径为10,求AE的长.

23.(2023秋•盘州市期末)配方法不仅可以解一元二次方程，还可以求最值.

例如：求代数式2X2+4X+5的最值.

解：2f+4x+5

=(2X2+4X)+5(分离常数项)

=2(W+2尤)+5(提二次项系数)

=2(X2+2X+1-1)+5,

=2[6+1产-1]+5(配方)

=2(X+1)2+3,

V2(x+1)2>0

.,.2(x+1)2+323

当x=-1时，代数式2/+4x+5取得最小值是3

运用以上方法，解答下列问题：

(1)求代数式-/+6a-4的最值；

(2)关于x的方程/nr?-3。〃+2)犬+2加+7=0(”zWO).求证：无论相取何值，方程总有两个不

相等的实数根.

24.(2023秋•上城区期末)如图，正六边形A8CDEP内接于连接A。、CE交于点G,DG=2.

(1)求正六边形ABC。所的边长；

(2)求阴影部分的面积.

25.(2023秋•东坡区期末)某区各街道居民积极响应“创文明社区”活动，据了解，某街道居民人

口共有7.5万人，街道划分为A,8两个社区，B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的

2倍.

(1)求A社区居民人口至少有多少万人？

(2)街道工作人员调查A,2两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A社区有

1.2万人知晓，B社区有1万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传,

A社区的知晓人数平均月增长率为a％,2社区的知晓人数第一个月增长了加％,第二个月增长了

2m%,两个月后，街道居民的知晓率达到76%,求机的值.

26.(2023秋•苏州期末)大数据监测显示，我国中学生的总体近视率达71.1%.为了了解学生的视

力健康情况，某校从八、九年级各随机抽取20名学生进行视力检查，并对其视力情况的数据进行

整理和分析.视力情况共分4组：A.视力25.0,视力正常；B.视力=4.9,轻度视力不良；C.4.6

W视力W4.8,中度视力不良；D.视力W4.5,重度视力不良.下面给出了部分信息:

抽取的八年级学生视力抽取的九年级学生视

数据频数分布直方图力数据扇形统计图

抽取的八年级学生的视力在C组的数据是：4.6,4,6,4.7,4.7,4.8,4.8；

抽取的九年级学生的视力在C组的数据是：4.6,4.7,4.8,4.7,4.7,4.8,4.7,4.7；

被抽取的八、九年级学生视力的平均数、中位数、众数如下表：

平均数中位数众数

八年级4.82a4.9

九年级4.824.84.7

(1)填空：a—,m—

（2）根据以上数据分析，你认为该校八年级和九年级学生的视力情况谁更健康，请说明理由（写

出一条理由即可）；

（3）该校八年级共有学生500人，请估计八年级学生视力正常的人数.

27.（2023秋•南开区期末）在△ABC中，NC=90°,以边AB上一点。为圆心，为半径的圆与

8C相切于点。，分别交AS,AC于点E,F.

（1）如图①，连接A。，若NC4O=25°,求NB的大小;

（2）如图②，若点尸为俞的中点，。。的半径为2,求A8的长.

图1图2

期末真题重组卷-2024-2025学年数学九年级上册苏科版

参考答案与试题解析

选择题（共10小题）

1.（2023秋•泉州期末）如图，在一个不透明的纸箱中，装有4张标有数字的卡片，卡片除所标数

字不同外无其他差别，现从中任取一张卡片，将其数字记为七则使一元二次方程依2=3x+l有实

数根的概率是（）

0EHH0

A.1B.1C.3D.A

442

【解答】解：一元二次方程日2=3了+1化为一般式为爪2-3尤-1=0,

•..方程有实数根，

.^.左W0且A=（-3）2-4kX（-1）20,

解得kN-9且k#0,

4

...任取一张卡片，将其数字记为七则使一元二次方程依2=3x+l有实数根的概率=2=上.

42

故选：D.

2.（2023秋•南京期末）若一组数据1、3、5、7、尤的方差比另一组数据11、13、15、17、19的方

差小，则x不可以是（）

A.10B.8C.6D.4

【解答】解：数据11、13、15、17、19中，相邻两个数相差为2,一组数据1,3,5,7,元前4

个数据也是相差2,

若尤=9或x=-l时，两组数据方差相等，

数据1、3、5、7、尤的方差比另一组数据11、13、15、17、19的方差小，

则x的值不可能是10.

故选:A,

3.（2023秋•船山区期末）若关于x的方程（35）/-尸0是一元二次方程，则a的取值范围（）

A.B.C.a<3D.。>3

【解答】解：..•关于X的方程（3-«）X2-尤=0是一元二次方程，

.*.3-qWO,

解得〃W3.

故选：B.

4.（2021秋•义乌市期末）为调查某班学生每天使用零花钱的情况，小明随机调查了30名同学，结

果如表:

每天使用零花钱（单位：元）510152025

人数25896

则这30名同学每天使用的零花钱的众数和中位数分别是（）

A.20,15B.20,17.5C.20,20D.15,15

【解答】解：20出现了9次，出现的次数最多，所以这30名同学每天使用的零花钱的众数为20

元；

30个数据中，第15个和第16个数分别为15、20,它们的平均数为17.5,所以这30名同学每天

使用的零花钱的中位数为17.5元.

故选：B.

5.（2023秋•华安县校级期末）用配方法解一元二次方程/-4x+l=0,下列变形正确的是（）

A.（x-2）2-3=0B.（尤+4）2=15

C.G+2）2=3D.（%-2）2=-3

【解答】解：X2-4X+1=0,

x2-4x=-1,

x2-4x+4=-1+4,

（x-2）2-3=0,

故选：A.

6.（2023秋•滁州期末）高速公路的隧道和桥梁最多，如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以。

为圆心的圆的一部分，路面AB=8米，净高CD=8米，则此圆的半径OA=（）

22

【解答】解：设O。的半径是r米，

VCD±AB,

.'.AD=—AB=4(米)，

2

'：OA2=OD1+AD2,

(8-r)2+42,

'・r=5

的半径0A是5米.

故选：A.

7.(2023秋•大兴区期末)如图，菱形0ABe的顶点A,B,C在OO上，过点8作。。的切线交

OA的延长线于点D.若。。的半径为2,则BD的长为()

2&C.273D.4

【解答】解：如图：连接。8,

•「BO是。0的切线,

：.ZOBD^90°,

•・,四边形045。为菱形,

：.OA=ABf

•：0A=0B,

.\OA=OB=AB,

为等边三角形,

ZAOB=60°,

：.ZODB^30°,

：.OD=2OB=4,

由勾股定理得，BD=YOD2-OB2=2E，

8.(2023秋•富锦市校级期末)某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要

比赛36场，共有多少个球队参加比赛？设有尤个球队参加比赛，则可列方程为()

A.x(x+1)=36B.x(x-1)=36

C・-^-x(x+1)=36D.-^-x(x-1)=36

【解答】解：设有X个球队参加比赛，根据题意得:

yx（x-1）=36-

故选：D.

9.（2023秋•大兴区期末）如图，点A,2在上，且点A,O,8不在同一条直线上，点尸是O。

上一个动点（点尸不与点A,8重合），在点P运动的过程中，有如下四个结论：

①恰好存在一点P，使得NB4B=90°；

②若直线OP垂直于AB,则/。4尸=ZOBP-,

③NAPB的大小始终不变.

上述结论中，所有正确结论的序号是（）

B.①③C.②③D.①②③

【解答】解：①当点8,O,P三点在同一条直线上时，8P为。。的直径，

/.ZE4B=90°,故正确，符合题意；

②垂直于AB,OA=OB,

；./OAP=NOBP；故正确，符合题意；

③如图，当点P在优弧AP8上时，

2

当点P在劣弧上时，

NAP2=180°-ZAPB=180°-

：/APB与NAP8不一定相等，

...NAPB的大小会变化，故③错误，不符合题意，

故选：A.

10.（2023秋•潍城区期末）中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志.如图是高铁

线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为A,曲线终点为8,过

点A,8的两条切线相交于点C,列车在从A到8行驶的过程中转角a为60°.若圆曲线的半径

04=1.8千米，则这段圆曲线篇的长为（）

【解答】解：：CA,C8是切线,

：.OA±AC,OBLCB,

...NOAC=NOBC=90°,

ZA0B+ZACB=180°,

VZACB+a=180°,

ZAOB=a=60°,

病的长=60兀XL8—3兀

180~5~

故选：c.

二.填空题（共8小题）

11.（2023秋•青龙县期末）若一组数据3,4,%,6,7的众数是3,则这组数据的中位数为4.

【解答】解：数据3,4,x,6,7的众数是3,因此x=3,

将数据3,4,3,6,7排序后处在第3位的数是4,因此中位数是4.

故答案为：4.

12.（2023秋•新吴区期末）甲、乙、丙三名运动员在5次射击训练中，平均成绩都是8.5环，方差

分别是S甲2=0.7,S乙2=0.2,S丙2=1.2,则这三名运动员中5次训练成绩最稳定的是乙（填

“甲”或“乙”或“丙”）.

【解答】解：甲2=0.7,S乙2=0.2,S丙2=1.2,

•••S乙2cs甲2Vs丙2,

这三名运动员中5次训练成绩最稳定的是乙.

故答案为：乙.

13.（2023秋•建邺区期末）如图，一块飞镖游戏板由除颜色外都相同的9个小正方形构成.假设飞

镖击中每1块小正方形是等可能的(击中小正方形的边界或没有击中游戏板，则重投一次).任

意投掷飞镖一次，击中黑色区域的概率是

【解答】解：..•共有9种小正方形，其中黑色正方形的有3个，

小刚任意投掷飞镖一次，刚好击中黑色区域的概率是旦=工，

93

故答案为：1.

3

14.(2023秋•彰武县期末)若关于尤的一元二次方程尤2-3X+2=0的一个实数根是a,则4a2-12a

-3的值为-11.

【解答】解：把x=a代入方程x2-3x+2=0得a?-3。+2=0,

c?-3。=-2,

/.4a~-12a-3

=4-3a)-3

=4X(-2)-3

=-11.

故答案为：-11.

方法二：x2-3x+2=0,

(x-2)(x-1)=0,

.,.尤=2或x=l,

.,.a=2或1,

：.4cr-1267-3=-11.

故答案为：-11.

15.(2022秋•双牌县期末)等腰三角形的边长是方程/-6尤+8=0的解，则这个三角形的周长是10

或6或或.

【解答】解：：)-6犬+8=0,

(尤-2)(x-4)=0,

解得：x=2或尤=4,

,••等腰三角形的边长是方程/-6x+8=0的解,

...当2是等腰三角形的腰时，2+2=4,不能组成三角形，舍去;

当4是等腰三角形的腰时，2+4>4,则这个三角形的周长为2+4+4=10.

当边长为2的等边三角形，得出这个三角形的周长为2+2+2=6.

当边长为4的等边三角形，得出这个三角形的周长为4+4+4=12.

这个三角形的周长为10或6或12.

故答案为：10或6或12.

16.（2023秋•道县期末）如图所示，在宽为20米、长为32米的矩形地面上，修筑同样宽的道路（图

中阴影部分），余下部分种植草坪.要使草坪的面积为540平方米，则道路的宽为2米.

【解答】解：•••道路的宽为x米,

.•.种植草坪的部分可合成长为（32-x）米，宽为（20-x）米的矩形.

依题意得：(32-%)(20-x)=540,

解得：xi=2,X2=50（舍去）.

故答案为：2.

17.（2023秋•楚雄市校级期末）如图，点。是正六边形ABCDE万的中心，以为边在正六边形

A8COEF的内部作正方形ABMN,连接Of),ON,则/£>ON=105

【解答】解：连接04,OB,OE,OF,如图,

:点。是正六边形ABCDEF的中心,

OA=OB=OF=OE=OD,ZAOB=ZAOF=ZFOE=ZEOD=60°,

为等边三角形，ZAOF+ZFOE+ZEOD^180°,

：.D,O,A在一条直线上，ZOAB=60°,OA=AB.

,/以AB为边在正六边形ABCDEF的内部作正方形ABMN,

：.ZNAB=90°,AB=AN,

ZNAO=30°，OA=AN,

：./AON=/ANO=1*°°TO。=75°,

2

；.NNOD=180°-NAON=105°.

故答案为：105.

18.（2023秋•富锦市校级期末）如图，尸是。。外一点，B4、分别和。。相切于点A、B,C是

弧A8上任意一点，过C作。O的切线分别交必、PB于点D、E,若B4=12,则△2口£的周长为

【解答】解：：朋、尸8分别和O。相切于点A、B,且9=12.

；.E4=PB=12,

:过C作。。的切线分别交出、P8于点。、E,

：.DC^DA,EC=EB,

：.PD+DE+PE=PD+DC+EC+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=12+12=24,

.♦.△PDE的周长为24,

故答案为：24.

三.解答题(共9小题)

19.(2023秋•玄武区期末)解下列一元二次方程：

(1)3x2-2x-1=0；

(2)(2x-1)2=(尤+1)2.

【解答】解：(1)3/-2x-1=0,

(3尤+1)(x-1)=0,

.,・3%+1=0或％-1=0,

._1一

••XI--—,X2—1；

3

(2)(2x-1)2=(x+1)2,

(2x-1)2-(x+1)2=0,

(2尤-l+x+l)(2x-1-x-1)=0,

3x(x-2)=0,

，3尤=0或尤-2=0,

♦・无i=0,x2~2.

20.(2024春•汉中期末)如图，转盘被分成六个相同的扇形，并在上面依次写上数字：2,3,4,5,

6,7.指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止.

(1)当转盘停止时，指针指向奇数区域的概率是多少？

(2)当转盘停止时，指针指向的数小于或等于5的概率是多少？

【解答】解：(1)当转盘停止转动时，指针指向数字区域2,3,4,5,6,7的机会是均等的，

故共有6种均等的结果，其中指针指向奇数区域3,5,7有3种结果，

所以指针指向奇数区域的概率是3」；

62

(2)当转盘停止转动时，指针指向数字区域2,3,4,5,6,7的机会是均等的，故共有6种均

等的结果，其中指针指向的数小于或等于5区域2,3,4,5有4种结果，

所以指针指向的数小于或等于5的概率是生上.

63

21.(2023秋•赣榆区期末)方程?-2x+m-5=0是关于尤的一元二次方程，该方程的两个实数根

分别为XI,XI.

(1)求相的取值范围.

(2)若(X1+X2)2+XleX2+10=0,求相的值.

【解答】解：(1)根据题意得△=(-2)2-4(m-5)20,

解得

(2)根据题意得％I+X2=2,xix2=m-5,

(X1+X2)2+Xl*X2+10=0,

.*.22+m-5+10=0,

.\m=-9.

22.(2023秋•安庆期末)已知是OO的直径，点。是5C延长线上一点，AB=ADfAE是

的弦，ZAEC=30°.

(1)求证：直线A。是。。的切线；

(2)若AELBC,垂足为M,O。的半径为10,求AE的长.

【解答】(1)证明：如图，连接04,

VZA£C=30°,

.*.ZB=ZAEC=30°,ZAOC=2ZAEC=60a,

"：AB=AD,

.*.ZD=ZB=30o,

：.ZOAD^1SO°-ZAOC-ZD=90°,

是。。的半径，且AD_LOA,

直线AD是O。的切线.

(2)解：如图，YBC是。。的直径，且AE_LBC于点M,

：.AM=EM,

'：ZAMO=90°,ZAOM=60°,

.♦.NO4M=30°,

：.OM=loA=lx10=5,

22

AM=VOA2-OM2=V102-52=5«，

AE=2AM=2X5百=10A/3.

23.(2023秋•盘州市期末)配方法不仅可以解一元二次方程，还可以求最值.

例如：求代数式2X2+4X+5的最值.

解：2?+4%+5

=(2X2+4X)+5(分离常数项)

=2(/+2%)+5(提二次项系数)

=2(X2+2X+1-1)+5

=2[(X+1)2-1]+5(配方)

=2(X+1)2+3,

V2(x+1)22o

：.2(x+1)2+3》3

当x=-1时，代数式2/+4x+5取得最小值是3

运用以上方法，解答下列问题：

(1)求代数式-cr+6a-4的最值；

(2)关于x的方程mx2-?(m+2)x+2m+l=0(："W0).求证：无论小取何值，方程总有两个不

相等的实数根.

【解答】(1)解：-a2+6a-4

=-(a2-6a)-4

=-(a2-6a+9-9)-4

=-[(a-3)2-9]-4

=-(a-3)2+5,

：-(o-3)2W0,

-(«-3)2+5<5,

...当a=3时，代数式-『+6。-4取得最大值是5；

(2)证明：：A=62-4ac

=[-3(m+2)]2-4m(2m+7)

=9(W2+4/TJ+4)-8Mz2-28加

=9nr+36m+36-8m2-28m

=nr+Sm+36

—(m+4)2+20,

'：Gw+4)2》O,

A=b2-4ac=(m+4)2+20^20>0,

无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根.

24.(2023秋•上城区期末)如图，正六边形ABCDEE内接于OO,连接A。、CE交于点G,DG=2.

(1)求正六边形尸的边长；

(2)求阴影部分的面积.

【解答】解：（1）如图，连接OC,贝

,/正六边形ABCDEF内接于O。，

.♦.△CO。是正三角形，

.\ZCOD=60°,

*.•CGLOD,

：.OG=DG=^OD=2,

2

二OC=2OG=4,

即正六边形的边长为4；

(2)在RtZ\COZ)中，OG=2,NCOG=60°,

：.CG=«OG=2日，

:・S阴影部分=S扇形COO-S/\COD

o

=6°冗＞4.AX4X2-73

3602

="-4亚

3

25.（2023秋•东坡区期末）某区各街道居民积极响应“创文明社区”活动，据了解，某街道居民人

口共有7.5万人，街道划分为A,B两个社区，B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的

2倍.

（1）求A社区居民人口至少有多少万人？

（2）街道工作人员调查A,8两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A社区有

L2万人知晓，B社区有1万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传,

A社区的知晓人数平均月增长率为机％,B社区的知晓人数第一个月增长了机％,第二个月增长了

2m%,两个月后，街道居民的知晓率达到76%,求修的值.

【解答】解：(1)设A社区居民人口有x万人，则2社区有(7.5-%)万人,

依题意得：7.5-x<2x,

解得了225

即A社区居民人口至少有2.5万人；

(2)依题意得：1.2(1+m%)2+1X(1+m%)X(1+2/M%)=7.5X76%

设机％=a,方程可化为：

1