2025年上海市静安区中考数学一模试卷（含答案）

2025年上海市静安区中考数学一模试卷

一，选择题：本题共6小题,每小题4分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

L下列代数式中，不是单项式的是（）

A.3mnB.^-C.0D.字

27r2

2.下列各组数中，不相等的一组是（）

A.（-2）3和—23B.（-2）2和—22C.|-2户和23D.2和一彩取

3.泰勒斯是古希腊时期的思想家,科学家,哲学家,他曾通过测量同一时刻标杆的影长,标杆的高度,金字塔

的影长,推算出金字塔的高度,这种测量原理,就是我们所学的（）

A.图形的相似B.图形的平移C.图形的旋转D.图形的翻折

4.已知日b,m都是非零向量,下列条件中不能判定石〃而勺是（）

A.a//c,a//bB.c=3b

C.\b\=\c\D.a=3b,c=-2a

5.如果锐角A的余弦值为宗下列关于锐角A的取值范围的说法中，正确的是（）

A.0°<^A<30°B,30°〈乙4V45°C.45°〈乙4V60°D.60°<<90°

6.如果一次函数yi=mx-6（mH0）,y2=nx-2（nH0）的图象都经过C（l,一3）,那么函数y=y1-力的大

致图象是（）

二，填空题：本题共12小题,每小题4分，共48分。

7.函数y=六的定义域是.

8.计算：（―小）3+a2=.

9.如果2%=3y,那么'的值是

y

10.把一个三角形放大为与它相似的三角形,如果它的面积扩大为原来的9倍,那么它的周长扩大为原来的

______倍.

11.抛物线y=（a+l）x2-x在对称轴左侧的部分是上升的,那么a的取值范围是.

12.已知一坡面的坡度i=1:，耳,那么这个坡角等于°.

13.如图，点O,E分别在边AB,AC上,且器=DE〃8C.设同=a,EC^b,

那么用向量丘石表示向量能为

14.我们把常用的A4纸的短边与长边的比叫作“白银比”，把这样的矩形称为AE

“白银矩形”.如图,一张规格为A4的矩形纸片ABCD,将其长边对折（EF为折

痕）,得到两个全等的A5矩形纸片,且A4,A5这两种规格的矩形纸片相似,那么

这个“白银比”为.B'--------------J

15.如图，己知ANBC的三个顶点均在小正方形的方格顶点上，那么sinC的值是「一：一：

16.在两条直角边长分别是20和15的直角三角形的内部作矩形ABCD,如果

分别在两条直角边上（如图所示）,AZ）：AB=1：2,那么矩形ABC。

的面积是.

20

17.如图，点。在四边形ABC。的内部,NC。。=AABC=90°,AB=BC,OD=OC,如A

果B。=a,那么AD的长为.(用含字母a的式子表示)

18.如图，在AaBC中,是AABC的中线=2BD,AC=tanA=9那么AB的长为

三，解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

19.(本小题10分)

计算：sin2300-?「小—(当嘉)t.

2-tan60vcot30'

20.(本小题10分)

二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，已知它与x轴的一个交点坐标是(6,0),且对称轴是直线x=

2.

(1)填空：

①a与6的数量关系为：b=.

②图象与x轴的另一个交点坐标为.

(2)如果该函数图象经过点(0,-3),求它的顶点坐标.

21.（本小题10分）

如图，在Rt△ABC与RtADEF中，NC=NF=90",求证：^DEF^AABC.

以下是小明同学证明本题的过程：

证明：如图，在AC,2C上分别截取CG=FD,C”=FE,联结G”.

在△GHC与△DEF中，

CG=FD,

-ZC=ZF=90°

CH=FE,

.•.△GH&ADEF.

7.GH=DE.........................

..匹=型乂CG=FD

ABAC

".GH'^CG

'~AB~~AC"

S.GH//AB.

\\KGHC^XABC7

...△DEFSAABC.

（1）有同学认为小明的证明过程不正确，那么你认为他是从第部分开始出现问题（填①或②或③或④）.

请简述小明出错的原因.

（2）小红认为：本题可以用添加辅助线一一平行线,构造熟悉的基本图形解决.

请你用小红的思路完成本题的证明过程.

22.（本小题10分）

舞狮文化源远流长,其中高桩舞狮是一项集体育与艺术于一体的竞技活动,也被广泛应用于各种庆典活动,

成为传承中国传统文化的重要载体（如图①所示）.在舞狮表演中,梅花桩AB,CD,£尸垂直于地面,且民。，尸

在一直线上（如图②所示）.如果在桩顶C处测得桩顶A和桩顶E的仰角分别为35。和47。,且AB桩与EF桩的

高度差为1米,两桩的距离BE为2米.

（1）舞狮人从A跳跃到C,随后再跳跃至E,所成的角N2CE=

（2）求桩AB与桩CD的距离BD的长.（结果精确到0.01米）

E

图①图②

23.（本小题12分）

己知：如图,在梯形A8CZ）中,AB//CD,联结AC,BD,△ABC是等边三角形,DE//BC,与AC交于点E.

N力DB=2NDBC.Q)求证：4ADES&DBC.

（2）求证：点E是线段AC的黄金分割点.

24.（本小题12分）

已知抛物线y=ax2+bx+c（aH0）上,其y与x部分对应值如表:

x-3-1023

V0220

（1）求此抛物线的表达式.

（2）设此抛物线的顶点为尸，将此抛物线沿着平行于x轴的直线/翻折,翻折后得新抛物线.

①设此抛物线与x轴的交点为A,B（点A在点8的左侧）,且4ABP的重心G恰好落在直线/上,求此时新抛

物线的表达式.

②如果新抛物线恰好经过原点,求新抛物线在直线/上所截得的线段长.

25.（本小题14分）

如图，在aABC中,2B=力。=5,BC=8,。是3c中点,E在2A延长线上，尸在AC边上（F不与点A,C重合

).

乙EDF=乙B.(1)求证：ABDEs&CFD.

(2)求证：ED平分乙BEF.

(3)设CF=x,EF=y,求y关于x的函数解析式,并写出定义域.

(4)联结AD,CE,如果四边形AOCE有两个内角互补,求CE的长.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解:43nm,是单项式.

B.；是单项式.

C.0,是单项式.

是多项式.

故选：D.

数与字母的积的形式的代数式是单项式,单独的一个数或一个字母也是单项式,分母中含字母的不是单项

式.

本题考查单项式的定义,较为简单,要准确掌握定义.

2.【答案】B

【解析】解：(―2尸=—23=—8,则A不符合题意.

(-2)2=4,-22=—4,则B符合题意.

|—2户=23=8,则C不符合题意.

2=-切矛,则。不符合题意.

故选：B.

将各组数计算后进行判断即可.

本题考查立方根,熟练掌握其定义是解题的关键.

3.【答案】A

【解析】解：这种测量原理，就是我们所学的图形的相似.

故选：A.

根据相似三角形的性质即可得到结论.

本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键.

4.【答案】C

【解析】解：选项C中,石与？的模相等，但方向不一定相同.

故不能判定3//巳符合题意.

选项4,5。中能判定石〃

故选：c.

根据平行向量的定义逐一判断即可.

本题考查了平面向量,熟记平行向量的定义是解题的关键.

5.【答案】C

【解析】解：cos30。=Wcos45。=苧>|,cos600=|<1cos4=|,

■­.45°<Z4<60°.

故选：C.

根据特殊角的三角函数值判断即可.

本题考查了特殊角的三角函数值,熟记特殊角的三角函数值是关键.

6.【答案】B

【解析】解：・一•次函数%,=mx-6(m丰0),y2=nx-2(n丰0)的图象都经过C(l,-3).

m—6=—3,n—2——3.

m=3,n=—1.

yr=3x—6,y2=—x—2.

二函数y=yi-y2=(3*-6)(—x-2)=—3/+12.该抛物线对称轴为y轴,顶点坐标(0,12),开口向下,只有

选项3符合条件.

故选：B.

先求出两个函数解析式,再代入y=比•求出此函数的解析式,根据解析式确定图象特征即可.

本题考查了一次函数图象上点的坐标特征,二次函数的图象与系数的关系,熟练掌握以上知识点是关键.

7.【答案】x1

【解析】解：由题意得，龙—1大0.

解得x丰1.

故答案为：X*1.

根据分母不等于0列式计算即可得解.

本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：

(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数.

(2)当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为0.

(3)当函数表达式是二次根式时,被开方数非负.

8.【答案】-a4

【解析】解：(—a2)3+a?=-a6-?a2=—a4.

故答案为：-。汽

直接利用累的乘方运算法则以及同底数募的乘除运算法则计算得出答案.

此题主要考查了同底数幕的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键.

9.【答案】|

【解析】解：:2x=3y.

%3

厂7

故答案为：|.

根据比例的性质即可得到答案.

本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键.

10.【答案】3

【解析】解：•••两个相似三角形的面积比为1：9.

.••这两个相似三角形的相似比为1：3.

;这两个相似三角形的周长比为1：3.

••・周长扩大为原来的3倍.

故答案为：3.

根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比，根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可.

本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平

方.

11.【答案】a<—1

【解析】解：•••抛物线y=(a+l)x2-x在对称轴左侧的部分是上升的.

抛物线开口向下.

a+1<0,解得a<—1.

故答案为：a<—l.

利用二次函数的性质得到抛物线开口向下,则a+K0,然后解不等式即可.

本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数。决定抛物线的开口方向和大小.当a>0时,抛物线

向上开口，当a<。时,抛物线向下开口，一次项系数6和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当。与b同

号时,对称轴在y轴左，当a与b异号时,对称轴在y轴右.

12.【答案】30

【解析】解：设坡角为a.

••・斜坡的坡度i=1：YW

%1^3

•■-tana=7^=T-

•••a=30°.

故答案为：30.

利用坡度是坡角的正切,特殊角的三角函数值解答.

本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟记坡度与坡角的关系是解题的关键.

13.【答案】|K-3a

【解析】解:•••

DE//BC,DUZ

.丝_工丝—工

：.AE=^EC=|K.

：.~DE=AE-AD=^b-a.

：.~BC=3DE=|b-3a.

故答案为：|b—3a.

根据平行线分线段成比例得出臂=再根据平面向量三角形运算法则求出而即可推出结果.

CE2BC3

本题主要考查了平面向量,熟记平面向量的三角形运算法则是解题的关键.

14.【答案】苧

【解析】解：设原来矩形的长为x,宽为y.

则对折后的矩形的长为y,宽为拉

•••得到的两个矩形都和原矩形相似.

1

・•・X：y=y：2X-

解得y：x=1：彘=苧.

・•・这个“白银比”为争

故答案为：告.

先表示出对折后的矩形的长和宽,再根据相似矩形对应边成比例列出比例式,然后求解.

此题主要考查了相似多边形的性质，关键是掌握相似多边形对应边成比例.

15.【答案】嚼

【解析】解：过点A作BC的垂线，垂足为

I---------1---------T---------F---------1---------1

令小正方形网格的边长为a.

则由勾股定理得.

BC=J(3a)2+(4a)2=5a.

AC—yja2+(3a)2=V10a.

由面积法可知.

11

-x5axAM=-x3ax3a.

所以AM=1.

在RtAACM中.

9,_

AM针g^fio

sinC=A>—/—=—=7?—.

AC<ioa50

故答案为：察.

过点A作BC的垂线,结合面积法及正弦的定义即可解决问题.

本题主要考查了解直角三角形，巧用面积法就熟知正弦的定义是解题的关键.

16.【答案】72

【解析】解：••・四边形A8CD是矩形,AD：AB=1：2.

.・.AB=DC=2AD,DC//AF.

20

EDCs^EAB.

DC__ED_

AF~~EA'

AF=20,AE=15.

ED=15-AD.

.2AD_15—40

-20~=15,

解得AD=6.

AB=12.

矩形ABCD的面积=AD-AB=72.

故答案为：72.

由矩形的性质可知：DC//AF,所以△EDCs^EAF,根据相似三角形的性质结合已知条件求出AD,BC,即可

求出答案.

本题考查了相似三角形的性质与判定,矩形的性质等知识,解题的关键是证明△EDCSAEAB.

17.【答案】72a

【解析】解：连接AC

•••乙COD=乙ABC=90°,AB=BC,0D=OC,

Z.ACB=Z.CAB=Z-DCO—Z.CDO=45°,AC=VAB2+BC2=yT2BC,DC=

yjOD2+OC2=y[20C.

：.AACD=NBC。=45°-AACO,铝=g=71.

ACDsxBCO.

AD^_AC_

・•.AD=y[~2B0.

BO—a.

•••AD=V_2a.

故答案为：72a.

连接AC,由NC。。=/.ABC=90°,AB=BC,OD=OC,得=Z.DCO=45°,AC=yH.BC,DC=/2OC,

所以乙4CD=NBC。=45°-/.ACO,斯=第=讶,则AACD^LBCO,所以铁=熬=/I,则4。=

DCUCDUDC

y/~2BO—y/~2a,于是得到问题的答案.

此题重点考查等腰直角三角形的性质，勾股定理,相似三角形的判定与性质等知识,正确地作出辅助线是解

题的关键.

18.【答案】8

【解析】解：过点。作DE148于点E,过点C作CF1AB^AB的延长线于F,如图所示：

BD是公A8C的中线,AC=675.

•••AD=CD=jxC=3AA5.

np-1

在RtAADE中，tanX=笑=3

AE2

AE=2DE.

由勾股定理得：AD=<AE2+DE2=<5D£.

3<5=ADE.

DE=3.

AE=2DE=6.

•••DE1AB,CF1AB.

・•.DE//CF.

又；BD是△ABC的中线.

.­.DE是△ACF的中位线.

CF=2DE=6,2E=EF=6.

设BE=a,贝=EF-BE=6-a,AB=AE+BE=6+a.

在RtABDE中，由勾股定理得：BD2=DE2+BE2=32+a2.

在RtACBF中，由勾股定理得：BC2=BF2+CF2=(6-a)2+62.

BC=2BD.

.­■4(32+a2)=(6-a)2+62.

整理得：a2+4a-12=0.

解得：a=2,a=-6(不合题意，舍去).

AB=6+a=8.

故答案为：8.

过点D作DE14B于点E,过点C作CF1AB交AB的延长线于F,解直角三角形求出DE=3,AE=6,证明

是AACF的中位线得CF=2DE=6,4E==6,设BE=a,贝=EF-BE6-a,AB=AE+

BE=6+a,在RtABDE^RtAC8F中，利用勾股定理构造方程求出a=2,进而可得A8的长.

此题主要考查了解直角三角形,正确地添加辅助线构造直角三角形,灵活运用锐角三角函数的定义及勾股定

理进行运算是解决问题的关键.

19.【答案】解：原式=&2一』一(表广】

1厂L

=7一2一门一6

4

=-

【解析】利用特殊锐角三角函数值计算即可.

本题考查特殊锐角三角函数值,实数的运算,负整数指数幕,熟练掌握相关运算法则是解题的关键.

20.【答案】-4a(-2,0)

【解析】解：(1)①二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线第=2.

b

・一五=2Q.

.・.b=—4a.

②二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴的一个交点坐标是(6,0),对称轴是直线％=2.

.・二次函数图象与x轴的另一个交点坐标为(-2,0).

故答案为：①一4a,②(一2,0).

(2)•・・二次函数y=ax2+bx+c图象与入轴交点坐标为(一2,0)(6,0).

・••设二次函数解析式为y=a(x+2)(%-6).

,・,函数图象经过点(0,—3).

-3=a(0+2)(0-6).

1

•••。

4

11

••・y=4(x+2)Q_6)=,(x-2)2—4.

•,・顶点坐标为(2,-4).

(1)根据二次函数的对称轴可知6之间的关系,根据函数的对称轴，与x轴的一个交点坐标,可得到其图象

与x轴的另一个交点坐标.

(2)根据题意,设出二次函数的解析式,代入相应的点坐标,再把解析式化为顶点式,得到顶点坐标.

本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键.

21.【答案】③

【解析】(1)解：他是从第③部分开始出现问题.彳

喘.不一定推出\

故答案为：③.///

(2)证明：在AC上截取=过M作MN〃/8.//I/

:.^CMNs^CAB.N

CM_MN

•'~AC=~AB'

・・竺_竺

'AB~AC'

.MN_DE

•'~AB=AB'

・•.MN=DE.

•••CM=DF,=Z.F=90°.

・•・Rt△CMN=RtAFDE(HL).

DEFSAABC.

⑴由察=啜不一定推出GH〃48,即可得到答案.

ADAL

(2)在AC上截取MC=。凡过M作MN〃A8,判定△CMN^ACAB,推出器=驾,而瞿=/得到MN=

ACADADAC

DE,判定RtACMNmRt△FDE(HL),即可证明△DEFs^ABc.

本题考查相似三角形的判定和性质,直角三角形全等的判定,关键是判定△CMNsxCAB.

RtACMN=RtAFDE(W22.【答案】98

【解析】解：（1）过C作MN〃BF交AB于M交EF于N.

由题意得，乙4cM=35°,AECN=47°.

.­./.ACE=180°-/.ACM-乙ECN=98°.

故答案为：98.

（2）MN//BF,AB//CD//EF,AB1BF,CD1BF,EF1BF.

四边形MBFN,四边形BDCM是矩形.

CM=BD,MN=BF=2米,BM=CD=FN.

图②

设力M=久米.

EN=（x+1）米.

在Rt△4MC中，CM=〜焉（米）.

在出AENC中混=品"需（米）.

.：CM+CN=^+^=2.

解得x«0.734.

•••BD=CM=1.05（米）.

答：桩AB与桩C。的距离2。的长约为1.05米.

⑴过C作MN〃BF交AB千M,交EF千N,由题意得到N&CM=35。,NECN=47°,根据平角的定义即可得

到结论.

(2)根据矩形的性质得到CM=BD,MN=BF=2米,BM=CD=FN,设4M=x米得到EN=(x+1)米,解

直角三角形即可得到结论.

本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题,矩形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键.

23.【答案】证明：(1)「△ABC是等边三角形.

.­.AACB=^CAB=60°.

•••CDHAB,DE/IBC.

.­•乙DCB=乙CAB=6。。，4DEC=^ACB=60°.

.­.ADCE是等边三角形.

DE=DC.

■：DEIIBC.

Z.EDB=Z.DBC.

•••^ADB=2乙DBC.

Z.ADE=乙EDB=Z-DBC.

•・•/.AED=乙DCB=120°.

•••△ADEs^DBC.

(2),.，△ADEs匕DBC.

.竺_竺

~DC=~BC'

•■•ADEC,AABC都是等边三角形.

DE=EC=DC,AC=BC.

：.EC2=AE-AC.

.••点E是线段AC的黄金分割点.

【解析】(1)证明乙4DE=Z-DBC,/.AED=乙DCB=120。可得结论.

(2)利用等边三角形的性质以及相似三角形的性质证明即可.

本题考查相似三角形的判定和性质,等边三角形的判定和性质,黄金分割,解题的关键是正确寻找相似三角

形解决问题.

24.【答案】解：(1)方法一：由题意得：

a—b+c=0

c—2.

Aa+2b+c=2

卜=-1

解得J-

L=2

・,・此抛物线的表达式为y=-|x2+^x+2.

方法二：根据题意,设抛物线的表达式为y=a(x+1)(%-3).

把％=0,y=2代入,解得a=-|.

・•・此抛物线的表达式为y=-1%2+^%+2.

248

222

-%+-%++-

(2)①••・y=333

.••点P的坐标为(11).

过点P作巴/垂直x轴于点H,则PH=|.

•••G是△48P的重心.

GH=|PH=1.

・••G在直线/上,且新抛物线与原抛物线的图象关于直线/对称.

••・新抛物线的顶点坐标为(1,-令.

••・根据题意可知,这两条抛物线的形状不变，开口方向相反.

••・新抛物线的表达式为y=|(x—1)2—1.

②设直线/与y轴的交点为(0,6).

P(l,|)关于直线/的对称点为(1,2m-1).

••・新抛物线的表达式为y=|(x-l)2+2m-1.

,•,它经过原点.

•••0=|+2m-

解得m=1.

令y=1,代入y=-|(x-I)2+1.

4Sd,/101/IO

倚