2025年苏科版九年级数学寒假专练：圆、圆心角、圆周角（原卷版）

专题02圆、圆心角、圆周角

嫌内容早知道

。巩固提升练（9大题型）

目录

题型一圆的相关概念............................................................................1

题型二圆的周长和面积问题...................................................................2

题型三圆心角概念辨析........................................................................3

题型四利用弦弧圆心角的关系求解...........................................................4

题型五利用弦弧圆心角的关系证明...........................................................5

题型六圆周角的概念及其定理.................................................................6

题型七同弧或等弧所对的圆周角相等...........................................................7

题型八直径所对圆周角的有关性质求解.........................................................8

题型九圆内接四边形的相关问题...............................................................9

。能力提升练

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题型一圆的相关概念

☆技巧积累与运用

圆的描述概念

如图，在一个平面内，线段。绕它固定的一个端点。旋转一周，另一个端点/随之旋转所形成的图形

叫

圆，固定的端点。叫做圆心，线段。/叫做半径.以点。为圆心的圆，记作，读作“圆

例题：（24-25九年级上•福建福州•阶段练习）下列说法，正确的是（）

A.优弧大于劣弧B.平分弦的直径垂直于弦

C.相等的圆心角所对的弧相等D.直径所对圆周角是直角

巩固训练

1.（23-24七年级下•山东荷泽•期末）下列说法中：

①两条直线被第三条直线所截，截得的同位角相等；

②同角或等角的余角相等；

③从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离;

④过圆内一点作出的最长弦只有一条；

⑤所有边的长度都相等的多边形叫做正多边形.

其中正确的个数是（）.

4.1个8.2个C.3个D4个

2.（23-24九年级上•湖南湘西•期末）如图，N8是。。的直径，C是A4延长线上一点，点。在。。上，且

CD=OA,CD的延长线交。。于点E,若/£=30。，那么/C=.

犀型二圆的周长和面积问题

☆技巧积累与运用

圆的周长「-二E?,圆的面积;；

例题：（22-23九年级上•河北保定・期末）"易有太极，始生两仪，两仪生四象，四象生八卦"，太极图是我

国古代文化关于太极思想的图示，内含表示一阴一阳的图形（一黑一白）.如图，在正方形/BCD的内切

圆中画出太极图，然后在正方形内随机取一点，则此点取自太极图中黑色部分的概率是（）

巩固训练

1.（23-24七年级上•山东潍坊•期末）已知8人围绕一个半径为80厘米的圆桌就坐，每人离圆桌的距离均

为10厘米，又加入两人后，每人向后挪动了相同的距离，再左右调整位置，使10人都坐下，并且10人之间

的距离与原来8人之间的距离（即在圆周上相邻两人之间的圆弧的长）相等.设每人向后挪动的距离为X厘

米，根据题意，可列方程为（）

A,2K（80+10）x8=2K（80+x）x10B.2兀（80+10—x）x10=2兀（80+10）x8

「2K（80+X）2KX802兀（80+10）2K（80+10+X）

C.---------------=-----------

108810

2.（23-24九年级上・河南•期末）如图，周长为16的正方形A8C。中，E、尸分别为40、8c的中点，连

接所，以和CO为直径的两个半圆分别与斯相切，则图中阴影部分的面积为（结果保留兀）.

犀型三圆心角概念皆析

☆技巧积累与运用

圆心角

顶点在圆心的角叫做圆心角.

例题：（2024七年级上•全国・专题练习）如图所示，表示圆心角的是（）

巩固训练

1.（23-24九年级上•广东惠州•期中）已知。。的直径为10,48是的弦，AB=5,那么在中弦N2

所对的圆心角度数为.

2.（22-23九年级上•福建福州•阶段练习）如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，且小量角器的中

心。2,恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为P,且点P在小量角器对应的刻度为63。，那么点

P在大量角器上对应的刻度为.（只考虑小于90。的角）

。102

题型四利用弦弧圆心角的关系求解

☆技巧积累与运用

弧、弦、圆心角的关系

1、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.

2、在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量

都分别相等.

例题：（24-25九年级上•河北邢台•阶段练习）如图，在。。中，满足荔D，若48=6,则CD长可能

巩固训练

1.（24-25九年级上•浙江湖州•阶段练习）如图，N8为。。的直径，点C是前的中点，过点。作

于点尸，交。。于点。，若BE=6,BF=\,则。。的半径长是（）

A.Vio

2.（24-25九年级上•辽宁大连•期中）如图，已知是。。的直径，点。是前的中点，ZAOC=70°,贝UN88

的度数为.

题型五利用弦弧圆心角的关系证日月

☆技巧积累与运用

利用弧、弦、圆心角的关系证明相关结论

例题：（24-25九年级上•云南玉溪•期中）如图，A,B,C,。是。。上的四点，且/O=3C,则与CD

的大小关系为（）

A.AB>CDB.AB=CDC.AB<CDD.不能确定

巩固训练

I.（23-24九年级上•江苏南京•期中）如图，在。。中，弦的长度是弦。长度的两倍，连接CM,OB,

OC,OD,则______2ACOD.（填"或"="）

2.（24-25九年级上,甘肃陇南•期中）如图，CD是。。的直径，AC,AB,AD是。。的弦，AB//CD.

⑴求证：AC=BD.

⑵如果弦N2的长为8,48与CD间的距离是3,求C£）的长.

题型六圆周角的概念及其定理

☆技巧积累与运用

1.圆周角定义：

像图中NNE8、ZADB./NC8这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.

2.圆周角定理：

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.

1、顶点在圆上,它们的两边在圆内的部分分别是圆的弦.

2、圆周角定理：

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

3、圆心角定理：

圆心角的度数等于它所对弧的度数。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径，高考物理。

3、圆周角的特点：（1）角的顶点在圆上；（2）角的两边在圆内的部分是圆的弦.

4、圆周角和圆心角相对于圆心与直径的位置关系有三种：解题规律：

5、解决圆周角和圆心角的计算和证明问题，要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角，然后再灵活运用圆周

角定理

例题：（24-25九年级上•云南红河•期中）下列语句中正确的是（）

A.相等的弧所对的圆周角也相等B.平分弦的直径垂直于弦

C.圆的对称轴是直径D.三点确定一个圆

巩固训练

1.（24-25九年级上•福建厦门•期中）如图，点在。。上，点。在。。外，CD与。。交于点E,AC,

BE于点、F.下列角中，弧NE所对的圆周角是（）

A.ZADEB.NABEC.ZAFED.NAOE

2.（21-22九年级上•江苏常州,期中）如图，CD是。。的直径，点/在DC的延长线上，乙4=18。，4E交

OO于点8,S.AB=OD.则N£OD=

题型七同弧或等弧所对的圆周角相等

☆技巧积累与运用

圆周角的特点：（1）角的顶点在圆上；（2）角的两边在圆内的部分是圆的弦.

圆周角和圆心角相对于圆心与直径的位置关系有三种：解题规律：

解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角，然后再灵活运用圆周角

定理

例题：（24-25九年级上•河北唐山•期中）如图，点4,B,C均在。。上，若NOBC=23°,则//=

()

c

C.62°D.72°

巩固训练

1.（24-25九年级上•吉林松原•阶段练习）如图，点4,B,C,。都在上，OBLOC,若44=65。，则

C.40°D.45°

2.（2025・甘肃•模拟预测）如图，△4BC内接于。。，48是。。的直径，。是。。上一点，若C是访的

中点，连接。C,/O8C=50。，则44CD=_.

题型八直径所对圆周角的有关性质求解

☆技巧积累与运用

圆心角的度数等于它所对弧的度数。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

例题：（24-25九年级上•江苏宿迁•阶段练习）如图为直径，448=30。，则/840为（）

C.60°D.55°

巩固训练

1.（24-25九年级上•陕西西安•阶段练习）如图，42是。。的直径，C、。是。。上的两点，AC=AD＞若

乙4。。=50。，则//的度数为（）

C.55°D.50°

2.（24-25九年级上•北京•阶段练习）如图，点4B,C,。在圆上，/C=90。，点。为懿的中点,

AC=1,DB=2,8c的值为.

D

题型九圆内接四边形的相关问题

☆技巧积累与运用

如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的

外接圆.如图中的四边形叫做。。的内接四边形，而。。叫做四边形4BCD的外接圆.

定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任意一个外角等于它的内对角.

例题：（2025•甘肃兰州•模拟预测）如图，四边形/8CZ）内接于CDO,连接NO,DO,已知是等边

三角形，。。是Z4DC的平分线，则（）

B

rr-----

A.30°B.40°C.60°D.80°

巩固训练

1.（2021九年级•安徽•专题练习）如图，四边形48co内接于O。，为直径，NC=120。.若40=2,则

川9的长为（）

A.V3B.2

2.（24-25九年级上•福建厦门•期中）如图，四边形是。。的内接四边形，AB=AD.若NC=70。,

则ZABD的度数为

\/°\/

一、单选题

1.（24-25九年级上•江苏常州•期中）如图，N8是。。的弦，0。，43交。。于点。，点。是。。上一点,

连接2D,CD.若NCDB=25。,则//C2的度数为（）

D

C

A.100°B.155°C.130°D.125°

2.（24-25九年级上•全国・期末）如图，四边形4BCD是。。的内接四边形，/D与2C的延长线交于点E,

氏4与的延长线交于点RNDCE=85°,/尸=28。，则NE的度数为（）

3.（24-25九年级上•广东广州•期中）如图，ZUBC中，44c8=90。，ZA=25°,以。为圆心、C2为半径

的圆交/8于点。，则乙（）

4.（2025•甘肃兰州•模拟预测）如图，是。。的直径，C,。是。。上两点，BA平分NCBD,若

ZAOD=5Q°,则//的度数为（）

A.50°B.55°C.65°D.75°

5.（24-25八年级上•吉林长春•阶段练习）如图，在△/2C中/8=75。，OE2NC于点E,交AB于点、M,

AE=CE,以点C为圆心C4长为半径作弧，交DE千点F,连结CF交43于点G.若CG=FG=2,贝U42

长为（）

C.2V3D.4V3

二、填空题

6.（24-25九年级上•全国•期末）如图，点A、B、C在。。上，NACB=43。,plljZAOB='

Ju

B

7.（24-25九年级上•浙江•期中）如图，是。。的弦，C是优弧益上一动点，连接/C,BC,M,N分别

是4B,8c的中点，连接跖V.若48=8,ZACB=45°,则MV的最大值为.

8.（23-24九年级上•浙江杭州•期中）已知，如图N2,AD是。。的弦，NB=30。，点C在弦48上，连结

CO并延长交。。于点。，ZD=35°,则的度数是.

9.（24-25九年级上•山东泰安•阶段练习）如图，是。。的直径，点C,。都在。。上，且

ZBAD=30°,ZCOD=60°,若4C=5,则N2的长为.

10.（24-25九年级上•黑龙江哈尔滨•阶段练习）在。。中，42为直径，45