2025年新高考数学复习突破讲义：掌握直线方程的基本类型（含解析）

专题34掌握直线方程的基本类型

【考点预测】

一、基本概念

斜率与倾斜角

我们把直线了=履+6中A的系数叫做这条直线的斜率，垂直于x轴的直线，其斜率不存在.x

轴正方向与直线向上的方向所成的角叫这条直线的倾斜角.倾斜角ae[0〃），规定与x轴平行或重合的直

线的倾斜角为0,倾斜角不是由的直线的倾斜角的正切值叫该直线的斜率，常用"表示，即4=匕11£.

2

当彳=0时，直线平行于轴或与轴重合；

当">0时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随衣的增大而增大；

当A<0时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角A随的增大而减小；

二、基本公式

1、4仇,匕）,ga2,y2）两点间的距离公式|产产2E+1_/）2

2、尸]■%）/包，/）的直线斜率公式4=2~—=tanaG]24,aw—）

4一42

3、直线方程的几种形式

（1）点斜式：直线的斜率A存在且过（^，几），y-%=«（¥-%）

注：①当a=0时，y=y0；②当A不存在时，x=x0

（2）斜截式：直线的斜率A存在且过（0,6）,y=kx+b

（3）两点式：』二工=二』，不能表示垂直于坐标轴的直线.

石一王巧一公

注：依-4）①-“）=&-占）仇-不）可表示经过两点/&1，兀），0&2/）的所有直线

（4）截距式：三+2=1不能表示垂直于坐标轴及过原点的直线.

ab

（5）一般式：Ax+By+C=0C42+52^0）,能表示平面上任何一条直线（其中，向量〃=3,8）是这

条直线的一个法向量）

三、两直线平行与垂直的判定

两条直线平行与垂直的判定.

两直线方程平行垂直

/：4产+夕［+。］=o44-44=0且

/乩+4约=0

1：2+切+%=0纥『约「0

了=?+\（斜率存在）

kx+b4=勾,々地或

4-y=22A乳=-1或4与4中有一个

/：'=五（斜率不存在）X—X—W/为0,另一个不存在.

4：矛=々

四、三种距离

1、两点间的距离

平面上两点尸1^,y^,P2U2,y2）的距离公式为"凡E小优_工2）2+8_%）2-

特别地，原点。（0,.0）与任一点P（x,y）的距离|。尸卜次+力

2、点到直线的距离

点纥&，无）到直线L/x+8y+C=0的距离d="五十乃+'l

siA2+B2

特别地，若直线为/：x=m,则点?。怎,又）到/的距离d=M-七|；若直线为/：y=n,则点纥，，墟到

I的距离d=|〃-y0

3、两条平行线间的距离

己知4U是两条平行线，求4U间距离的方法：

（1）转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离.

\c-CI

（2）设/:/x+8y+C;=0,4:/x+8y+C.=0,贝！][与力之间的距离d=

ylA2+B2

注：两平行直线方程中，x,y前面对应系数要相等.

【典型例题】

例1.（2024•高二・湖南衡阳•期末）已知直线/的倾斜角々满足120°<aW135°,贝脚的斜率上的取值范围是（）

A.-1,--B.[-A-1]

C.（-V3-1]D.u（-1,+<»）

【答案】C

【解析】函数左=tana在（120。,135。]上单调递增，

又tanl20°=-G，tanl35°=-l,

故上的取值范围是（-百,-1.

故选：c

例2.（2024・安徽合肥•三模）已知直线/的一个方向向量为力=卜吊1,cos],则直线/的倾斜角为（

71兀「2兀47i

A.-B.一C.—D.—

6333

【答案】A

71

cos-n

【解析】由题意可得:直线/的斜率上=-^=¥=tanj即直线/的倾斜角为2.

sin71366

3

故选：A

例3.（2024•高三・山东青岛・期末）对于直线/:x-®-6=0,下列选项正确的为（）

A.直线/倾斜角为]

B.直线/在V轴上的截距为2班

C.直线/的一个方向向量为（3,6）

D.直线/经过第二象限

【答案】C

【解析】因为直线/的斜率为e，所以直线/倾斜角为B，故A错误；

36

在-岛-6=0中，令x=0,解得了=-26，即直线/在了轴上的截距为-26，故B错误;

在-岛一6=0中，令＞=0,解得x=6,即直线/过/（0,-2百）,2（6,0）两点，

刀=（6,26）=2（3,6）,所以直线/的一个方向向量为（3,6）,故C正确；

画出直线/:尤-伤-6=0的图象如图所示，

所以直线/不经过第二象限，故D错误.

故选：C.

例4.（2024・高二・浙江丽水•期末）直线x+（/+l）y-l=0（aeR）的倾斜角的取值范围是（）

【答案】B

【解析】直线x+Ql）”=MR）的斜率为一门

由于。>-看"1，设倾斜角为a，

则04戊<兀，-1<tana<0,

所以

故选：B.

例5.（2024・高三・全国・专题练习）设点/（-2,3）,3（3,2）,若直线办+了+2=0与线段小?有交点，则。的取

值范围是（）

4545

A.—00,----U---一,+8B.

32352

5454

C.D.—00,----D---—,+oo

25323

【答案】A

【解析】由直线〃x+>+2=0,可得y=—ax—2,

54

可得直线的斜率为左=-a，且恒过定点P（0,-2）,则左口=一］，kpB=—,

54

如图所示，要使得直线办+>+2=0与线段45有交点，则-aV-5或-

454

可得§或〃25,即实数左的取值范围为—8,--0亚•

3

故选：A.

例6.（2024•全国•模拟预测）平行直线4：2x+>-5=0与3％-勿+5=0之间的距离为（）

B.275C.3石D.5A/5

【答案】C

21-5

【解析】因为所以bwo,厂工T，

解得b=――,所以/2：2X+>+10=0,

故两平行直线间的距离d=叱±21=3石

V4+1

故选：C.

例7.（2024・高二•四川泸州•阶段练习）若直线y=x+2左+1与直线＞=-+2的交点在第一象限，则实

2

数上的取值范围（）

5j.5J.

C.D.

2，-2252

【答案】A

2—4k

y=x+2k+1x=

3,,..,,、r，2—4k2k+5

【解析】联立1。，解得<，故两直线的父点为[二一，二一

y=—x+22k+5

I2y=

3

因为交点在第一象限，所以“3;，解得-[5＜左1

2k+522

--------＞0A

I3

故选：A

例8.（2024・全国•模拟预测）若正方形一边对角线所在直线的斜率为2,则两条邻边所在直线斜率分别

为,.

【答案】|-3

【解析】正方形CU2C中，对角线。2所在直线的斜率为2,建立如图直角坐标系，

设对角线。8所在直线的倾斜角为。，则tan6=2,

由正方形性质可知，直线04的倾斜角为6-45。，直线OC的倾斜角为6+45。,

tantan45°2-1_1

故左ON=tan(<9-45°)=

1+tan0tan45°1+2-3

tan0+tan45°

k=tan(6+45°)=%7

oc1一tan。tan45°1-2

故答案为：—；—3.

例9.（2024・陕西西安•二模）已知直线）过点（2,4）和点（3,7）,直线a3x+勿+2=0,若〃〃2，则6=

【答案】-1

7-4

【解析】直线乙的斜率左=—=3,所以直线方程为y-4=3（x-2）,即3x-广2=0,

因为〃4，所以36-3'（T）=0Pb=~l,

故答案为：-1.

例10.（2024・高三・浙江•阶段练习）直线y=+l与直线了=（3-2亚）尤+2所成夹角大小为

【答案】45。

【解析】设直线y=J5x+l的倾斜角为a,直线了=（3-2亚）x+2的倾斜角为广，两条直线夹角为。，

则tana=42，tan/3=3-2A/2,

V2-（3-2V2）

贝！|tan0=|tan（a-6*）|==1,0<0<90°,

1+V2（3-2A/2）

所以（9=45°.

故答案为：45°.

例11.（2024•高三•重庆九龙坡•阶段练习）已知直线（1+左）x+y-"2=0恒过定点尸，则点P关于直线

x-y-2=G的对称点的坐标是.

【答案】（3,-1）

【解析】由直线（1+左）x+y—左一2=0化为左（x-l）+（x+y-2）=0,

fx—1=0[x=1

令r0，解得「于是此直线恒过点尸.

[x+y-2=0[y=1

设点P关于直线x-y-2=0的对称点为Q（m,n）,

冽+1n+1

22-z[m=3/、

n-\,,\n=-l

------xl=-li

.m-1

故答案为：（3,-1）

例12.（2024・高三•黑龙江哈尔滨•开学考试）在数学史上，平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹

称为卡西尼卵形线.在平面直角坐标系xQv中，动点尸（x,y）到两个定点片（-1,0）,外（1,0）的距离之积等于1,

化简得曲线f+/+1=74x2+l.则OP的最大值为.

【答案】V2

【解析】因为何+丁+1="d+l,所以丁=

A/4X2+1>X2+1,两边平方得4/+12/+2/+1，即/一2/40,

解得04一a,

故|OP1=x2+y2=V4x2+l-le[0,2],

则|OP|e[0,亚],|0尸|的最大值为&.

故答案为：41

例13.（2024高二・全国•课时练习）过直线4：x-2y+3=0与直线321+3y-8=0的交点,且到点尸（0,4）的

距离为1的直线/的方程为.

【答案】3x+4），-ll=0或x=l

fx-2>+3=0\x=\

【解析】解析：由C1。八解得C

[2x+3y-6=0[>=2

所以//,/2的交点为（1,2）.

显然，直线X=1满足条件；

当直线斜率存在时，设直线方程为y-2=Mx-l）,

即kx—y+2—左=0,

_1-2-Ari3

依题意有^^=1，解得后=-~

J1+左24

所以所求直线方程为3x+4y-ll=0或x=l.

故答案为：3x+4y-ll=0或x=l.

例14.（2024•高二•江西新余•开学考试）若点尸（3,1）到直线/:3x+4y+a=0（a>0）的距离为3,则。=.

【答案】2

【解析】因为点尸（31）到直线/：3x+4y+a=0的距离为3,

.|3x3+4xl+a|.,.,4

可得---/—=3,ip\a+13=15,解得a=2或a=-28,

V32+42

又因为。>0，所以。=2.

故答案为：2.

例15.（2024・高二・山东•阶段练习）如图，在等腰直角三角形48C中，AB=AC=2,点尸是边N8上异于4台

的一点，光线从点尸出发，经8C,C4发射后又回到原点尸，若光线QR经过小3C的重心，则3P长为.

4

【答案】|

【解析】以A为坐标原点，以/8,/C所在的直线分别为x轴、＞轴，建立平面直角坐标系,

如图所示，则次0,0）,3（2,0）,。（0,2）,

22

所以直线的方程为x+y-2=0,且的重心G（§，H）,

设M,N分别是点P关于直线BC和y轴的对称点，设p（a,0）,

设可得/一“，解得%=2,%=2-a,即M（2,2-a）,

^±£+丛一2=0

[22

又由N（-a,0）,根据光的反射原理，可知M,。,凡N四点共线，

2

2—ciQ2?4

所以*=“G，即^—=片，解得。=；，即NP长为一所以8尸长为三.

2+a2+fl333

3

例16.（2024・高二•全国・单元测试）直线2》-了+3=0关于点4（5,3）的对称直线方程是.

【答案】2厂广17=0

【解析】设对称直线为/'：2x-y+g=0,

|2x5-3+C0||5x2-3+3]

则有则7+品口。

解这个方程得G=3（舍）或G=-17.

所以对称直线/'的方程中2x-y-17=o.

故答案为：2x-j-17=0.

例17.（2024・高二・上海浦东新•阶段练习）当点（0,-1）到直线工-加歹+1=0。"€&）距离最大时，加值

为.

【答案】1

【解析】由题可知：直线x-wy+1=0（加e尺）过定点

当点(0,-1)与点所成直线与题干已知直线垂直时,

点(0,-1)到直线x-my+\=0(加6R)距离最大

所以2_(^1.J_=_1nzM=1

-1-0m

故答案为：1

例18.(2024・高二・江西南昌•阶段练习)过点P(3,0)有一条直线/,它夹在两条直线〃：2x—y—2=0与/?：

x+y+3=0之间的线段恰被点P平分，则直线I的方程为.

【答案】8x—y—24=0

【解析】设出A与B两点的坐标，因为尸为线段48的中点，利用中点坐标公式即可列出两点坐标的两个关

系式，然后把A的坐标代入直线4,把B的坐标代入直线4,又得到两点坐标的两个关系式，把四个关系式

联立即可求出A的坐标，然后由A和尸的坐标，利用两点式即可写出直线/的方程.设直线/夹在直线44之

间的线段是/8(A在4上，5在4上)，

A,B的坐标分别是(再,必),(马,%).

因为48被点P平分，所以

=6,必+%=0，

于是无2=6-尤］,了2=_%•

f2X1—K—2=0

由于A在/上B在4上，所以］(6.力(-“)+3=。,

解得再=:,弘=^,即A的坐标是

y-0_x-3

直线PA的方程是16_11_,

UJ

3-----3

即8x-y-24=0.

所以直线/的方程是8x-y-24=0.

例19.(2024・高三・全国・专题练习)已知直线4：x->+3=0,直线/:x-1=0,若直线、关于直线/的对

称直线为12,则直线12的方程为.

【答案】x-y-5=0.

【解析】由题意知〃〃2,设直线/2：x-y+〃?=0(〃?w3,7MW-l),在直线4上取点河(0,3),

设点M关于直线I的对称点为“(a,b),

解得。=41=-1,即"（4,-1）,

。+06+3

-----------1=0

22

将“（4,-1）代入12的方程得4+1+%=0,加=一5,

所以直线4的方程为x—-5=0.

故答案为：x-y-5=0

【过关测试】

一、单选题

1.（2024・高二・福建漳州•期末）已知直线4：Gx-3了+1=0,若直线乙与4垂直，则4的倾斜角是（

A.150°B.120°C.60°D.30°

【答案】B

【解析】:直线4：瓜-3y+i=o,.•.勺=，，直线4与4垂直，

:卡廿「1,解得"=一百，

4的倾斜角为120。.

故选：B.

2.（2024•全国•模拟预测）“直线/的倾斜角为锐角”是“直线/的斜率不小于0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】若直线/的斜率不小于0,则该直线的倾斜角为锐角或0。，

“直线/的倾斜角为锐角”是“直线/的斜率不小于0”的充分不必要条件.

故选：A.

3.（2024・高三•全国・专题练习）已知直线x-2y+3=0的倾斜角为则cos26的值是（）

【答案】B

【解析】因为tan*；,

所以32』。力―"黑二；岑1-匕/夕

1+tan20

二二

4

故选：B.

4.(2024・高三•山东聊城•期末)直线x+Gy-7=0的倾斜角为()

7T5兀7T27r

A.—B.—C.—D.—

6633

【答案】B

【解析】设直线的倾斜角为a（ae[O,兀）），由题得直线的斜率为左=tana=,

所以a=”，

0

故选：B.

5.（2024・高三广东深圳•期末）双曲线[-5=1（。>0力>0）的一条渐近线的倾斜角为110。，则离心率为（

)

ab

------B.----C.2sin70°D.2cos20°

cos70°------------sin70°

【答案】A

【解析】由题意双曲线=-1=1（。>0/>0）的一条渐近线的倾斜角为110。,

ab

所以tanll00=-L

a

cyja2+b2sin2110。[1

而离心率为e

aa"Jcos2110°-cosllO0cos7)°

故选：A.

6.（2024・高二・安徽阜阳•阶段练习）图中的直线/144的斜率分别为匕&&，则（）

A.k1<k2<k3B.k3<ki<k2

C.k3<k2<kxD.kx<k3<k2

【答案】D

【解析】设直线4，A，4的倾斜角分别为4，%，%,

由图像可得名>90。>%〉%〉0°，由倾斜角与斜率的关系可得,

4<0<左3<k2.

故选：D.

7.（2024・高二・四川遂宁•期末）直线xsina+y+2=0的倾斜角的取值范围是（）

A.[0,71）B.0,—u彳'"）

【答案】B

【解析】设直线的倾斜角为夕

因为，—l«sina«l,k=-sina,所以，一1«左W1.

又后二tan9,则一1Wtan。<1.

当Me°，5）时，/M）=tane单调递增，^-l<tan0<l,可得OVOW：；

当公惇兀［时，〃e）=tand单调递增，解-lWtan"l,可得,“<71.

综上所述，［。卓唁，］

故选：B.

8.（2024•高二•河北邯郸•阶段练习）设点P是函数/（x）=e，-岳图象上的任意一点，点尸处切线的倾斜角

为a,则角a的取值范围是（）

A.［。八E2兀、B.（匕712童兀、—修「八兀\马/2兀口）.隹「八兀）「2兀、

【答案】C

【解析】r（x）=e^-V3>-V3,

•.•点P是曲线上的任意一点，点尸处切线的倾斜角为a,

tana>-s/3■

'：ae［0,7i）,

9.（2024•高二•山东临沂・期末）设直线/的方程为cosex7+b=0（6€R）,则/的倾斜角。的取值范围是（）

713兀

A.B.

吟5'彳

713兀了兀兀，1卜（，万兀彳3兀

C.4'~4~D.

【答案】A

【解析】直线/的斜率cose«-1』，

7T37r

所以直线/的倾斜角a的取值范围是0,-o—,7t

L4jL4

故选：A

10.（2024・高三•河南周口•阶段练习）下列说法正确的是（）

A.“直线办-y+3=0与直线x-ay=0互相平行”是“a=-1”的充分不必要条件

jr

B.直线2cosax-2y+3=0的倾斜角6的取值范围是0,-

C.过点(1,2)的直线分别与x轴，V轴的正半轴交于43两点，若邑取最小值时，直线的方程为

y=-2x+4

一33-

D.已知2(-1,2),8(3,2),若直线/：履+y-左+1=0与线段”有公共点，则壮

【答案】C

【解析】对于A中，若两直线平行，可得ax(-0=7x1,解得。=±1,经检验满足题意，

所以“直线依7+3=0与直线》-“广0互相平行”是“0=一1”的必要不充分条件，

所以A错误；

3

对于B中，由直线2cosax—2y+3=0,可得y=cosa-x+],所以斜率左=cosa£[—l,l],

设倾斜角为。，可得tan6e[-l,l],因为6«0,冷，所以。e0,：u

所以B不正确；

对于C中，根据题意设直线了一2=可》-1),伏<0),可得｛1一jo1,8(0,2-左)，

所以凡.=[(2-")卜一口=3(2+24-卜+8>3>4，

当且仅当左=-2时成立，此时直线的方程为了=-2》+4,所以C正确；

对于D中，由直线/:Ax+y—左+1=0可化为y+1=—k(x—1),

3a

所以直线恒过定点C(l,-1),因为幻°=-卞旗c=(，

结合图象可知，直线的斜率左e[-叫-|v|+8)，故D不正确.

11.(2024•高三・上海浦东新•期中)“。=1”是“直线办-2了-2=0与直线x-(a+l)y+l=0平行”的()

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

【答案】C

【解析】设4:办-2〉-2=0,4：%-（Q+1）V+1=。，

直线乙方程可化为y=]尤-1,且直线4的斜率为

若〃〃2，则直线4斜率存在，°+1x0,

故直线4：x—(a+l)y+l=0方程可化为y=-----xH--------,

Q+1Q+1

1_a

2

由＜一1I,解得“=1,故/，〃2=>4=1,

---'一］

、a+1

当a=l时，直线4的方程为％—2y—2=0,直线4的方程为1-2丁+1=。,

此时/i〃，2，即Quin/，/4.

因此，。=1是〃〃2的充要条件.

故选：C.

12.（2024•海南省直辖县级单位•一模）已知直线/：2x+3厂1=0的倾斜角为。，则cos（0+7i）・sin]-。

（）

996

A.——B.——D.

1313B

【答案】B

【解析】由题意可知，tan*-：,

・A2A/13.a2M

sin。_2sine=-------

1313

则,cos。3，解得或＜（舍）,

〃3VBA35

sin2^+cos20=\cose=---------

1313

9

所以cos(e+兀).sin?-。cos20

13,

故选：B

13.（2024・高二・河北邢台・期末）已知经过点（3,1）的直线/的一个方向向量为（3,2）,贝心的方程为（）

A.3x+2jp—11=0B.2x-3y-3=0

C.2x+3y-9=0D.3x-2y-l=0

【答案】B

【解析】设直线/上任意与点。（3』）不重合的一点为尸（xj）,由题意有中与（3,2）共线,

所以g=|,整理得/的方程为2x-3y-3=0（xw3）,

又点。（3,1）在直线/上，且点。（3,1）满足方程2x-3y-3=0,

综上所述，/的方程为2x-3y-3=0.

故选：B.

14.（2024・高二・全国•课后作业）若直线小依+〉-4=0与直线/2：》-〉-2=0的交点位于第一象限，则实数

a的取值范围是（）

A.（-1,2）B.（-1,+℃）C.（-<»,2）D.（一8,-1）U（2,+8）

【答案】A

【解析】当。=-1时，4：x-y+4=0,此时4/4,不满足题意;

当"T时,解方程组［xax二+y-24==00得苫=64-2a

。+1

由题知匕,解得一/<a<2,

口>0

、4+1

即实数。的取值范围为卜1,2）.

故选：A

15.（2024•高二•福建南平•阶段练习）两直线3x+>-3=0与6x+磔+1=0平行，则它们之间的距离为（）

AAa2V13r5V13八7>/10

A.4D.C.D.

132620

【答案】D

【解析】因为两直线平行，所以3x加=6x1,解得加=2,将6x+2y+l=0化为3x+y+〈=0,

由两条平行线间的距离公式得，/㈠）7V10.

故选：D.

二、多选题

16.（2024・高三•全国・专题练习）下列说法是错误的为（）

A.直线的倾斜角越大，其斜率就越大

B.直线的斜率为tana,则其倾斜角为a

C.斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等

D.经过任意两个不同的点耳（国,％）,£（x2,y2）的直线都可以用方程5-凶）（Z-%）=（x-xj（%-乂）表

不.

【答案】ABC

【解析】当直线的倾斜角为直角时，该直线不存在斜率，故选项A不正确;

57rjr

当直线的斜率为tan丁=1,倾斜角为:，故选项B不正确；

44

当两条直线的斜率相等，显然这两条直线的倾斜角相等，故选项选项C不正确；

根据直线的两点式方程可知选项D正确，

故选：ABC

17.（2024•高三・全国•专题练习）已知点/（2,-3）,8（-3,-2）,斜率为左的直线/过点尸（1,1）,则下列斜率左

的取值范围能使直线/与线段43相交的有（）

A.j+jB.（-¥,-4uc.（-4,0）D.O,：

【答案】AB

【解析】根据题意，在平面直角坐标系中，作出4B,尸三点，如图所示.

当直线/与线段相交时,k>kPB=三号=:或kMkpA==-4,

所以斜率k的取值范围是（-巴-4］口|,+^或斜率不存在，

结合选项，选项A、B符合题意.

18.（2024・高二・江苏•专题练习）已知直线八x-y-l=O和直线/（左+1）龙+0+左=0（左©R）,则下列结

论正确的是（）

A.存在实数上使得直线4的倾斜角为1

B.对任意的实数上直线4与直线4都有公共点

c.对任意的实数左，直线4与直线4都不重合

D.对任意的实数后，直线4与直线4都不垂直

【答案】ABD

【解析】对于A项，当左=0时，直线4的方程为尤=0,此时直线4的倾斜角为：，故A项正确；

对于B项，当上=-;时，直线4的方程为x-y-i=o,与4重合，此时两直线有公共点；

当上w-g时，有左+1)=2左+1W0,即44一定相交.

综上所述，对任意的实数左，直线4与直线4都有公共点，故B项正确；

对于C项，由B可知，当左=-3时，直线4与4重合，故C项错误；

对于D项，要使直线4与直线4垂直，则应有左+1-左=0,该方程无解，

所以对任意的实数匕直线4与直线4都不垂直，故D项正确.

故选：ABD.

三、填空题_

19.(2024・安徽滁州•二模)在平面直角坐标系xQv中，将点N(百,1)绕原点。逆时针旋转90。到点3,那么

点B坐标为,若直线03的倾斜角为1，则其斜率为.

【答案】卜1,6)-V3

【解析】设点/(8,1)为角e终边上一点，如图所示，|O/|=2.

由三角函数的定义可知：sin8=2，cos0=@,

贝ljd=笈SGOo+BO。,依eZ),则直线CM的倾斜角为30。，

将点/(百,1)绕原点。逆时针旋转90。到点8,

得直线08的倾斜角为120。，

且点B在:120。角的终边上，由三角函数定义可得点3的坐标为(2cosl20o,2sinl20。)，

即且a=120。，则/=tana=一百.

故答案为：(-LA/3);-V3.

20.(2024・高二・四川遂宁•阶段练习)已知/,8两点的坐标分别是(T0),(1,0),直线NM,8河相交于点跖

且直线的斜率与直线5M的斜率的商是2,点M的轨迹是

【答案】直线尤=-3去掉点(TO)

【解析】由题意不妨设M(尤/),贝味.+0.=4十4=2,整理得x=-3,(y/0),

x+1x-1

所以点M的轨迹是直线尤=-3去掉点(-3,0).

故答案为：直线》=-3去掉点（-3,0）.

21.（2024・广东•模拟预测）在平面直角坐标系中，等边三角形/8C的边所在直线斜率为26，则边/C

所在直线斜率的一个可能值为

【答案】考或日

【解析】设直线⑷5的倾斜角为a,由已知得左液=tana=26，设直线/C的倾斜角为

则向c=tan。，因为在等边三角形4BC中，ABAC=600-所以e=a±60°，

“八八/…、tana+tan602y/3+枢3M

当6=a+60°,tan6=tan(a+60)=-------------------

l-tanciftan60o1-2痒6—5

所以k』c-tan0=~~~~

、1,八八//〜、tana-tan60

当夕二戊一60，tan6=tan(a—6(T)=--------------------

1+tanatan60°-l+2V3xV3-7'

所以kAc-tan0=

综上，右c二-/^或3c=f

故答案为：—豆1或必

57

22.（2024・高三・上海浦东新•期末）直线》-7^+2=0与直线6》+2歹=1所成夹角的余弦值等于.

【答案】叵

14

【解析】直线x-Cy+2=0,即y=Ylx+毡，贝U其斜率为勺=且，倾斜角为3；

33136

直线6x+2y=l,即y=—则其斜率左2=-＜0，

设直线+2y=1的倾斜角为。，则tan8=-曰＞-G=tang,

2兀

又04。＜兀，所以-〈兀，

匕LI、IC/I兀兀八兀兀-，・兀/!兀57r

所以0＜兀一夕＜一，一＜兀一。+—＜一,而一＜8——＜——,

3662266

TT

所以两直线的夹角为兀-e+二,

6

又因为黑=一字‘sm七+。。^=1，

则.=一3一河sm”<=些

布7"7'

福zf也叫（〃叫a兀.A.兀（2々］V3V211721

所以cos兀一〃+—=-cos〃——=-cosc/cos——sinc/sin—=-----------x---------------x—=------,

（6J［6）66［1）27214

故所求夹角的余弦值为叵.

14

故答案为：—.

14

23.（2024・高二・全国•课后作业）等腰三角形两腰所在直线的方程分别为x+y-2=0与x-7y-4=0,原点

在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为.

【答案】3

［解析］4：x+y_2=0,《=一1,4：尤一7了_4=0,左2=3，设底边为4：了=6

K—kk—左+17k—1

由题意，。到4所成的角等于4到4所成的角于是有:7二=力1二匚7=力=，解得％=3，

1I/C|/C1IK2K/C1/IJ

故答案为：3.

24.（2024•高二・上海长宁•期末）直线5x-y+2=0和直线3x+2y-7=0的夹角的大小为.

【答案】：

【解析】直线5x-y+2=0的方向向量为五=（1,5）,直线3x+2y-7=0的方向向量为加

所以直线5x-y+2=0和直线3x+2y-7=0的夹角的余弦值为:

jr7r

因为两直线的夹角0,-,所以直线5x-y+2=0和直线3x+2y-7=0的夹角为%

故答案为：2

4

25.（2024・高三・上海•阶段练习）直线3x+4y-3=0与直线6x+2叩+加=0平行，贝！］用=.

【答案】4

【解析】由题意知24=6优=>机=4,当切=4时，直线3尤+47-3=0与直线3x+4y+2=0平行，故〃?=4满

足题意.

故答案为：4.

26.（2024•天津河东，一模）已知过点尸（4,-3）的直线（不过原点）与圆C:x?+（了+5丫=。相切，且在x轴、

了轴上的截距相等，则。的值为.

【答案】18

【解析】由题意知过点尸（4,-3）的直线（不过原点）在X轴、y轴上的截距相等，

设该直线方程为无+了=6,将尸（4,-3）代入得6=1,即直线方程为x+y=l,

由于该直线与。：/+5+5）2=°,（°>0）相切，圆心为（0,-5）,半径为五,

1-5-11

—~^=—4=18,

故答案为：18

27.（2024・高三•河北衡水•阶段练习）已知斜率均为负的直线/:乐+即=0与直线