2025年新高考数学复习专项训练：抽象函数七大题型（解析版）

专题4-1抽象函数七大题型汇总

。常考题型目录

题型1抽象函数的定义域........................................................................1

题型2抽象函数求值............................................................................3

题型3抽象函数解不等式........................................................................8

题型4抽象函数求解析式.......................................................................13

题型5抽象函数的值域.........................................................................18

题型6抽象函数的单调性.......................................................................24

题型7抽象函数的奇偶性.......................................................................32

U题型分类

题型1抽象函数的定义域

【方法总结】

对于抽象函数定义域原则为括号里范围相同。

【例题1】(2023上•甘肃白银•高一甘肃省靖远县第一中学校考期末)已知函数y=/(%)的定义域是[-1,3],

则y=/(2x-1)的定义域是()

A.[0,2]B.[-1,3]C.[0,4]D.[-j.o]

【答案】A

【分析】根据抽象函数定义域之间的关系即可得到结论.

【详解】因为函数y=/(x)的定义域是[-1,3],

所以—1<2x—1<3,解得0<x<2,

故函数y=f(2x-1)的定义域是[0,2].

故选：A.

【变式1-1】1.(2022上•北京•高一北京市第一六一中学校考阶段练习)已知“X)的定义域为[1,2],则f(|x|)

的定义域为

[^][-2,-1]U[1,2]

【分析】利用抽象函数的定义域求法，通过同一题中相同函数符号的括号内范围相同得出人田)中田e[1,2],

即可解出答案，注意定义域是自变量x的取值范围.

【详解】•."(>)的定义域为[1,2],

.•普(㈤)中|x|e[1,2],解得Xe[1,2]或[一2,-1],

f(团)的定义域为[―2,-1]U[1,2].

故答案为:[-2,-l]u[l,2].

【变式1-1]2.(2023上•安徽阜阳•高一阜阳市第三中学校考期中)若函数f(x)的定义域为[0,4],则函数

g(x)=f(.\x-1|)+浣邪勺定义域为.

【答案】(2,5]

【分析】根据/'(X)的定义域列出不等式，求解即可.

【详解】函数f(%)的定义域为[0,4],得『W比4,解得2<x<5,

所以函数9(%)=/(|x-1])+关邪勺定义域为(2,5].

故答案为：(2,5].

【变式1-1]3.(2023上河南•高一校联考期中)已知函数/⑺的定义域为[0,4],则函数y=人力)的定义

域为

【答案】[-2,2]

【分析】根据抽象函数定义域的求法计算即可.

【详解】令0W/w4,解得—2WxW2,即旷=/(/)的定义域为[―2,2].

故答案为：[-2,2].

【变式1-1J4.(2023上•山东潍坊•高一统考期中)已知函数y=f(x)的定义域为[-2,5],则函数y=四F

的定义域为

【答案】[-，l)u(l,3]

【分析】应用求解抽象函数的定义域的方法即可.

【详解】函数y=的定义域为[-2,5],

叫-2J2x-1^<5，则％<1或1<%s3

则函数y=0?的定义域为[一J,1)U(1,3].

X-1z

故答案为：[-：,1)U(1,3]

题型2抽象函数求值

【方法总结】

抽象函数大题，基本技巧是赋值，有如下规律技巧：

1.第一层次赋值：常常令字母取o,-1,1.

2.第二层次赋值：若题中有条件f(X。)=t,则再令字母取X。.

3.第三层次赋值：拆分赋值.根据抽象式子运算，把赋值数拆成某两个值对应的和与积(较

多)或者差与商(较少).如4=2X2,8=4X2;拆成和，3=1+2=1+1+2等等

【例题2](2021・全国•高一专题练习汜知函数/⑺满足八孙厂f(x)+/(y)且x,yeR，则胜)+/(|)+f

(1)+/(2)+/(3)=()

A.OB.lC.|D.5

【答案】A

【分析】令％=y=1,可得/'(1)=0,再令y=1,可得/■(x)+/(>=0,然后可求得结果

【详解】解：,•・函数/(x)满足/(xy)=/(x)+f(y)S.x,yeR,

令％=y=1,则/"(1)=y(1)+f(1)

f(1)—0

令y=?，则/(1)=/CO+〃》=o

.•./(l)+/(3)=0fi/(i)+/(2)=0

・••居)+吗+八1)+/(2)+八3)=0

故选：A.

【变式2-1]1.(2015上•上海徐汇•高一位育中学校考期中)对久ER,yeR，已知f(x+y)=/(%)•/(y),

且〃1)=2则0+®+阐+…+《。⑸+”2。16)的值为

以八J'人」/(1)/⑵/⑶7(2014)f(2015)qJia/J

【答案】4030

【分析】在已知等式f(X+y)=f。)"(y)中，取y=1,可得黑2=2,由此求得需+需+隽+…+

JJI17J\^)J

f(2015)/(2016)的彳4

/(2014)十/(2015)口」但.

【详解】令y=1,则/(%+1)=/(%)-/(1)=2/(%),

即需=2，

则福+瑞+第+…+磊+磊=2+2+…+2=2X2015=4030.

故答案为:4030.

【点睛】本题主要考查函数值的计算，利用赋值法是解决抽象函数的常用方法，是中档题.

【变式2-1]2.(2020上•安徽安庆•高一安徽省怀宁中学校考阶段练习)若对任意的居yeR,有f(x)+

/(y)一/(X+y)=3,函数g(x)=/+/(x),则g(2)+g(—2)的值为

【答案】6

【解析】先利用赋值法计算/O)+/(-%)=6，再根据奇偶性判断h(x)=/是奇函数彳导以-x)+h(x)=0,

再代入分组计算即可.

【详解】依题意,取x=y=0,则f(0)+/(0)-f(0)=3,SPf(O)=3,

取y=-%,则/'(x)+f(-x)-f(0)=3,即久久)+/(-x)=6,

令h(x)=,则g(x)=+f(x)=/i(x)+f(x),易见九(x)是奇函数即人(-%)+h(x)=0,故g(2)+

g(-2)=h(2)+f(2)+h(-2)+/(-2)=h(2)+/i(-2)+f(2)+f(-2)=0+6=6.

故答案为：6.

【点睛】本题考查了抽象函数的函数值求法，考查了奇函数的定义，属于中档题.

【变式2-1】3.(2018・重庆•高一重庆南开中学校考期中)已知函数对任意的实数x,y都满足“x+y)+

/(x-y)=2/(x)f(y)且f(1)=|,则”2)+/(-2)的值为

【答案】-1

【分析】可令x=y=0,计算可得f(0)=1,再令x=y=1,求得f(2);令x=0,y=l,求得f(-1),

再令x=y=-1,求得f(-2),即可得到所求和.

【详解】对任意的实数x,y都满足f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)且f(1)=]

令x=y=0,可得f(0)+f(0)=2f(0)f(0),

可得f(0)=0或f(0)=1,

若f(0)=0,可令y=0,则f(x)+f(x)=2f(x)f(0)=0,即f(x)=0,这与f(l)=济盾,

则f(0)=0不成立，则f(0)=1,

令x=y=l,可得f(2)+f(0)=2f(l)f(l),

可得f(2)=2xi-l=-|,

令x=0,y=l可得f(l)+f(-1)=2f(0)f(l),

即有f(-1)=2xlx|-|=|,

令x=y=-1可得f(-2)+f(0)=2f(-l)f(-1),

即有f(-2)=2xi-l=-i

则f(2)+f(-2)=-1.

故答案为-1.

【点睛】本题考查抽象函数的函数值的求法，注意运用赋值法，考查化简运算能力和推理能力，属于中档

题.

【变式2-1】4(2020・高一课时练习股偶函数f(x)满足:/(1)=2且当时孙丰0时/(尸了)=韶头,

八%)十7■(力

则/(一5)=

【答案】於

【解析】利用初始值和递推关系，逐渐求得f(鱼)，f(2),/(V5),/(V10),/(V20),最后求得f(5).再利

用偶函数的性质得出所求.

【详解】解：/(a)=/(VPTP)=怒缁=1,

/⑵=心可+(司=^^=詈=1

正)=肾推崂=1，

/(晌=f。同+(M)=磊篇=等*

4(时+(炳)=儒儡嚏=V，

f⑸=fQ(而+(佝)=腐牖喑/

•：f(x)是偶函数，

5)=/'⑸=卷

故答案为:可.

【点睛】本题考查利用抽象函数的解析式求函数值，涉及偶函数的性质，属中高档题，关键在于利用初始

值和递推关系，逐渐递推计算.

【变式2-1]5.(2020上•高一课时练习)已知定义在R上的函数/⑺，其值域也是R，并且对任意x,y&R,

都有f(xf(y))=%y,则|f(2017)|等于()

A.0B.1C.20172D.2017

【答案】D

【分析】由/■析(1)•/(a))=/(I)-a,/(/(a)"⑴)=/(a)-1得出f(a)=/(l)•a,令。=/(l)，结合题设

定义得出，(1)1=1,最后由，(a)|=|a|得出|"2017)|的值.

【详解】对aeR,由已知得f(/(l)"(a))=/(l)-a

f(f(a)"(1))=/(a)-1,两式比较，得f(a)=/(l)-a

令a=”1),得/(f(1))=/(l)"(1)•

又由题意可得TV⑴)=/(I-/(I))=1x1=1

于是/⑴"⑴=1,即，⑴1=1,

所以，(a)|=|a|,从而|f(2017)|=2017.

故选：D

【点睛】本题主要考查了求抽象函数的函数值，属于中档题.

【变式2-1】6.(2023上•山东济宁・高一嘉祥县第一中学校考阶段练习股函数y=/(x)的定义域为(0,+8),

f(孙)=/(x)+f(y),若/(8)=6，则/'(&)等于()

A.-iB.1C.-D.i

224

【答案】B

【分析】设/(应)=a,表示出f(2))(4)J(8),结合已知，即可得出答案.

【详解】设f(应)=a,

由已知可得，八2)=/(V2-VI)=2/(V2)-2a,

f(4)=f(22)=2/(2)=4a,

所以/1(8)=f(2x4)=/⑵+f(4)=6a=6,

所以,a=1,§Pf(V2)=1.

故选:B.

【变式2-1]7.(2023上安徽阜阳•高一阜阳市第三中学校考期中)已知函数fQ)满足：/(%)丰0,且对任

意的非零实数久,y,都有fO+y)=G+3/(x)/(y)成立，/'(D=2.若/'(n)="九+1),neZ,则

n=

【答案】-2

【分析】结合抽象函数的关系，应用赋值法令％=l,y=n得f(l+n)-(1+3/(l)/(n)=『x2/(n),

再与f(n)=/(n+l),neZ,联立即可求解.

【详解】由题意可得，/(I+n)=(l+i)/(l)/(n)=等x2/6),

又f(n)=f(n+l),f(x)丰0,所以fx2=1,而neZ,可得?i=-2.

故答案为：-2

题型3抽象函数解不等式

【方法总结】

简单概括为f的"穿"、"脱”问题。将函数符号加上即为"穿"、将函数符号去掉即为"脱"，

根据函数值相等…-先"穿"，根

据函数的单调性--后"脱、

【例题3］(2023上•湖南•高三湖南省祁东县第一中学校联考阶段练习)已知定义在R上的函数f(x)在［0,+8)

上是增函数，且对任意的x,y,都有f(xy)=/(x)/(y),若八-1)=1,则/(乃<1的解集为.

【答案】(-1,1)

【分析】利用赋值法可得/(比)是偶函数，然后根据单调性和定义域列不等式，解不等式即可.

【详解】令y=-1,则/■(一%)=/(%),所以/1(%)是偶函数,

则/⑺=/(1%1),/(I)=/(-I)=1,

又定义在R上的函数f(x)在［0,+8)上是增函数，

由"x)<1,得/(|久|)</(I),则|x|<1,解得—1<%<1,

故f(x)<1的解集为(T1).

故答案为：(-1,1).

【变式3-1]1.(2023•重庆统考一模)已知定义域为(0,+8)的减函数/⑺满足f(盯)=f(x)+/(y),且

/(2)=—1,则不等式/(%+2)+f(x+4)>—3的解集为

【答案】(-2,0)

【分析】根据题意可得-3=/(8),/(x+2)+/(%+4)=/(/+6X+8),进而将原不等式转换为不等式

组，解之即可.

【详解】由题意知，

-3=3/(2)=/(8),f(x+2)+f(x+4)=f(x2+6%+8),

/(X2+6x+8)>/(8)

y(x+2)+/(x+4)>-3X+2>0

.x+4>0

=卜2+6%+8<8=_2<%<0

Ix>-2

故答案为：(—2,0).

【变式3-1]2.(2022上•河北唐山•高一滦南县第一中学校考期中)定义在(0,+8)上的f(x)同时满足以下

三个条件:①外2)=2；②f(%)为单调函数；③对任意的£(0,+8),总有f(盯)=f(x)+f(y)-1,则

关于X的不等式f(乃>3的解的集合是

【答案】{x|x>4}

【分析】将x=2,y=2代入/Oy)=/(%)+/(y)-1可得/'(4)=3，结合题意可得/'(%)为(0,+8)上的单调

增函数，然后列不等式即可

【详解】将x=2,y=2代入f(xy)=/(%)+f(y)-1可得/(4)=2f(2)-1=3,

因为"4)>f(2),且f(x)为单调函数，

所以/0)为(0,+8)上的单调增函数，

所以由/'(X)>3=f(4)可得x>4,

所以尤的不等式f(x)>3的解的集合是{"x>4},

故答案为：｛XIX>4)

【变式3-1]3.(2023上•安徽•高一校联考期中)已知/(©是定义在R上的减函数，且对于任意乂yeR,

总有f(久)+/(y)=/(%+y)+2,若使f(/一ax)+/(%-a)>4成立的解集中恰有两个整数，则实数a的

取值范围为

【答案】[-4,-3)U(1,2]

【分析】抽象函数求出单调性，再利用已知条件，求出a取值范围

【详解】令g(x)=f(x)-2,510/(x)=g(x)+2,

又寸任意的x、yeR,有/(x)+/(y)=/(x+y)+2,贝!lg(x)+g(y)=g(x+y).

令y=0,得g(x)+g(0)=g(x),得g(0)=0,

令y=-x时，则g(X)+g(—x)=g(0)=0,即g(—x)=—g(x),

y(x)是定义在R上的减函数，;g(x)在R上单调递减.

已知对于任意的实数x，恒有-ax)+/(x-a)>4,

整理得：f(x2—ax')-2>—f(x-a)+2,

即一ax)>g(a-x),由于g(x)是减函数,

x2—ax<a—x,BP%2+(1—a)x—a<0.

当a=-1时，不等式/+(i_砌比一a<。的解集为0,不满足题意，舍去；

当a>-1时,不等式/+(1-a)x-a<0的解集为｛x|-1<久<a｝；

若使得解集中恰有两个整数，即两个整数只能为0,1,贝111<aW2.

当a<-1时，不等式/+(1-a)x-a<0的解集为｛x[a<%<-1].

若使得解集中恰有两个整数，即两个整数只能为-2,-3,则-4<a<-3.

综上所述，实数a的取值范围为：[-4,-3)U(1,2].

故答案为：[—4,—3)U(1,2]

【变式3-1J4.（2021上•四川•高一四川省峨眉第二中学校校考阶段练习）设人支）为定义在R上的增函数,

且/(X)丰0,对任意%1，尤26R都有+%2)=/(%1)/(%2)-

(1)求证：/(%)>0；

(2)求证：/(%1-X2)/(^2)=/(X1)；

(3)若f(l)=3,解不等式f(4x)>9/(%).

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3){久卜>|}.

【分析】(1)令/=冷=氨导汽X)=/g)/g)-f2(0,即证；

(2)根据X1=(%I-%2)+x2,应用抽象函数性质即可证明；

(3)由题得f(2)=9,可得f(4x)>/(%+2),再利用函数单调性可得.

【详解】(1)令久1=乂2=：

•••f⑺=f0+g=fO0=产(|)

1•1fM*o丰o

•••/(x)>0.

(2),"Qi+%2)=fODf3)

・"3)=f(,Xl+x2-x2)=/Ul-X2+x2)=/Ul-%2)f(%2)，

即—x2)f(x2)=即X。.

(3)Vf(l)=3,/■(%!+X2)=

"⑵=9,

-fC4x)>9f8=/(2)/(x)=f(x+2),

•・•«x)为定义在R上的增函数，

2

4%>%+2即%>-

..不等式的解集为{比卜>|}.

【变式3-1】512021上•宁夏中卫•高一中卫一中校考阶段练习定义在R上的函数f(行,当x>0时人久)>1,

且对任意的x,yGR,有/'(%+y)=f(x)-f(y),/(I)=2.

(1)求f(0)的值；

(2)求证：对任意久GR,都有>0;

(3)解不等式f(4一2%)>4.

【答案】(1)1；(2)证明见解析；(3)(-8,1).

【分析】(1)令％=1,y=0,结合/⑴=2即可求解；

(2)分别讨论x>0、x=0、x<。时/'(%)的范围即可求证；

(3)先令x=y=1可得八2)=4,再利用单调性的定义证明/(“)在R上单调递增，利用单调性去掉f解不等

式即可求解.

【详解】(1)令％=1,y=0,得/■⑴=/(1)-/(0),

因为/(1)=2,所以2=2"(0),可得外0)=1；

(2)当x>0时,/(x)>1>0,

当x=。时，/(0)=1,

当x<0时，一久>0,所以<(T)>1,因为f(0)=/(x-x)=f(x)-f(-x)=1,

所以/'(%)=万片e(0,1),

J\-Xj

综上所述：对任意无eR,都有f0)>0;

(3)令x=y=1,得"2)=/(1)-/(1)=2x2=4,

任取％1，刀2eR,且尤1<%2，则刀2-的>0，所以/'(%2-Xt)>1,

所以/'(不)=久2一久1+Xj)=f(X2-Xl)*/(%1)>所的),

所以/(%)在R上单调递增，

由f(4-2%)>4可得/(4-2%)>/(2),

可得：4-2x>2,解得：%<1,

所以原不等式的解集为(-8,1).

题型4抽象函数求解析式

【例题4】2021上•江苏南京・高一南京外国语学校校考期中匿函数“X)满足6R,f(xy)=,

写出一个符合要求的解析式f(x)=

【答案】x(答案不唯一)

【分析】由/'(%)满足v久,yeR,f(xy)=f(x)f(y)求解.

【详解】因为函娄好(久)满足eR,/(xy)=/(x)/(y),

所以f(x)=X,

故答案为：x,答案不唯一

【变式4-1]1.(2022上•江苏苏州•高一南京航空航天大学苏州附属中学校考阶段练习)请写出一个满足

/(孙)=/(x)+/(y)的增函数/'(%)=.

【答案】1g%(答案不唯一).

【分析】根据已知条件可结合对数函数的性质得答案.

【详解】由题意可知函数f(乃=1g久满足条件，

证明：因为f(%y)=1goy)=Igx+Igy=/(x)+/(y),

所以满足/'(xy)=/(%)+/(y),

函数f(x)=Igx在(0,+8)上为增函数，

所以f(久)=Igx符合条件，

故答案为：Igx(答案不唯一).

【变式4-1]2.(2023上•湖南衡阳•高三衡阳市田家炳实验中学校考阶段练习)Vx>0,Vy>OJ(xy)=

f(x)+f(y),当0cx<<o；x>l,/(x)>0,则/(x)=

【答案】Iog2x(答案不唯一)

【分析】根据对数函数的性质写出一个满足要求的函数即可.

【详解】对于/'(%)=logax(a>1)且定义域为(0,+8),

则/。y)=loga(xy)=logax+logay=f[x)+/(y),X、y为正数,

满足0<x<l,/(x)<0,%>l,/(x)>0,显然/'«=log2%满足条件.

故答案为：10g2%(答案不唯一)

【变式4-l】3.(2021上•全国•高三校联考阶段练习塔定义在R上的函数f(x)满足①对于任意的心yeR,

都有f(xy)=;②“久)为奇函数.则函数f(x)的一个解析式可以是

【答案】f(X)=-X

【分析】根据给定条件及-/(X)的运算特征，再结合f(x)为奇函数写出一个解析式,然后验证即得.

【详解】依题意，令/'(X)=-x,显然/■(%)定义域为R,

任意的X,yGR,f(xy)=-xy=,

又fD=-(-x)=x=-/(x),即/'(%)是奇函数,

因此，函数/■(x)=-x同时满足①和②，

所以函数f(x)的一个解析式可以是：/(%)=-%.

故答案为：/(X)=-X

【变式4-1】4.(2021•江苏南通统考模拟预测)已知f(久)在(0,+8)上是减函数，且f(x)+f(y)=f(孙)+1

对任意的xG(0,+8)都成立，写出一个满足以上特征的函数/(乃=

【答案】1一Iog3%(答案不唯一)

【分析】由/(%)+/(y)变形到外孙)可考虑对数函数，然后根据单调性以及"1"可考虑构造对数型函数y=

1-logax(0<a<1).

【详解】由题意可知，“X)+/(y)可变化为f(xy)的形式，由此可想到对数函数,

又因为f(X)在(0,+8)上是减函数且/■(%)+f(y)=/(xy)+1,

所以满足条件的一个函数可取/(x)=l-log3x,

故答案为：/(%)=1-10g3》(答案不唯一).

【变式4-1]5.(多选)(2023上•浙江•高一校联考期中)已知函数f(%)定义域为R，且〃久)=%3/(£)(xe

(-00,0)U(0,+oo)),f(x)+f(y)+xy=f(x+y),则下列说法正确的是()

A./(0)=0B./(3)=3

C./(x)-f(—x)=%D.f(x)=?

【答案】AC

【分析】根据条件，令x=y=0,可得/'(0)=0,A正确；再令y=-x,可得/'(久)+/(-%)=/,据此变

形/'0)=炉/(§),可得/'(无)-/(一刀)=%，故C正确；此时可解出/'(X)=三(xeR),求得/'(3)=6,故

BD错误.

【详解】对于A,/(x)+f(y)+xy=+y)中令x=y=0,

则f(0)=0,A正确；

对于BCD,再令y=-x,则/(x)+f(-x)-x2=/(0)=0,

即/'(x)+f(-x)=%?①

所以/'(%)=/fG)=/度-/■(-*]=x-x3f(-^)=x+f(-x)

即f(x)-/(-X)=x(x*0)②,

又因为/(O)=0也符合上式，C正确；

联立①②，解得/(x)=y(xeR),D错误

/(3)=6,B错误.

故选：AC.

【变式4-1]6.（2023•全国•高三专题练习）设/⑺是定义在实数集R上的函数，且对任意实数x,y满足

f(x-y)=f(x)+f(y)+xy-1恒成立.

⑴求f(0),/■⑴；

⑵求函数f(x)的解析式；

(3)若方程丹/(2幻]=k恰有两个实数根在(-2,2)内，求实数k的取值范围.

【答案】(1)/(0)=1)⑴=|

(2)/(%)=-|x2+l

(3)(-君u{l}

【分析】(1)利用赋值法计算即可；

(2)令、=x,化简即可;

(3)结合(2)得(2x)]=-2x4+2%2+|,利用导数研究函数的单调性与极最值及函数的奇偶性，数

形结合求范围即可.

【详解】(1)令％=y=0,得f(0)=/(0)+/(0)-1a/(0)=1,

令x=y=1,得〃0)=/⑴+/⑴+1-1,即1=2/(1),即/"⑴=|.

(2)令y=x，得f(0)=/(x)+/(%)+x2-1,

222

即1=2/(%)+%—1z贝(]2/(%)=—X+20/(x)=—|%+1.

(3)-//(%)=-j%2+1.

/./(2x)=-2x24-1,

42

=-2x+2x+1z

令g(%)=-2x4+2x2+1=>g'(x)——8x3+4%=—4x(%—(%+,

令g'(%)=0=>%=。或；r='或％=-y,

“⑴在(-2,-?),(0与上单调递增，在(_今0)右,2)上单调递减，

二当无=。时g(x)取得极小值g(0)=|,

当％=土产时g(x)取得极大值g(±y)=1,g(±2)=-y,

易知g(x)为偶函数,

当k=1时，-2x。+2x2+?=；=>*=士日满足条件，

••・方程f[/(2x)]=k恰有两个实数根在(-2,2)内，

•■•fee(-?)1]-

综上所述:k的取值范围为ke(-y,|]U{1}.

【变式4-1]7.(2022上•江苏淮安•高一江苏省洪泽中学校联考期中)某问题的题干如下："已知定义在R

上的函数f(%)满足:①对任意x、yeR，均有2/(久y)=f(%)■/(y)；②当x>0时,/(x)>0；③f(2)=16."

某同学提出一种解题思路，构造f(x)=a•/色40),使其满足题干所给条件.请按此同学的思路，解决以

下问题.

(1)求f(x)的解析式；

2

(2)若方程/(©=朕恰有3个实数根，求实数m的取值范围.

【答案】⑴/⑺=2x3；

⑵(-2,0)U(0,+8).

【分析】(1)利用待定系数法进行求解即可；

(2)根据一元二次方程根的判别式进行求解即可.

【详解】(1)因为/'(x)=a•”，a40,

代入①得，2a-(xy)b=a-xb-a-yb,

所以2a=a2,

故a=2,

又由③得，2・2万=16,

所以b=3；

因此/1(x)=2x3,

经检验，/(x)=2%3,%eR,满足题干所给条件，

所以/'(%)=2x3；

(2)因为方程2/=^^恰有3个实数根，

显然0为其一个实数根，

所以方程2X=与恰有2个非0实数根，

X—Z

即方程2/-4x-爪=。恰有2个实数根，且两根非0,2,

由4>0可得，TH>—2,

又由0,2均不是此方程的根，

则m丰0,

所以，m的取值范围为(一2,0)u(0,+8).

题型5抽象函数的值域

【例题5](2019上•河南•高一校联考阶段练习)定义在R上的函数八%)对一切实数x、y都满足f(%)中0,

且f(久+y)=f(K)"(y),已知f(x)在(0,+8)上的值域为(0,1),则f(久)在R上的值域是()

A.RB.(0,1)C.(0,+oo)D.(0,1)u(1,+8)

【答案】C

【分析】令久=y=0,可得/(0)=/(0)-/(0)/(0)=1,再令y=-x,可得/(0)=/(%)-/(-%)=1,得

到久支)在(-8,0)上的值域为(L+8),即得解.

【详解】因为定义在R上的函数/(X)对一切实数X、y都满足f(x)*0,且/(X+y)=,

令x=y=0,可得f(0)=/(0)/(0)f(0)=1,

再令y=-%,可得/"(0)=/(x)-/(-x)=1,

又〃久)在(0,+8)上的值域为(0,1),因此/(%)在(-8,0)上的值域为(1,+8)

则f(X)在R上的值域是(0,+8).

故选：c

【点睛】本题考查了抽象函数的值域问题，考查了学生综合分析，转化与划归，数学运算的能力，属于较

难题.

【变式5-1］1.(2019上•河北保定•高一统考期中)已知函数/(%)对于任意实数"GR总有/⑶+/(y)=

f(x+y),当x>。时/(*)<0,/(I)=-|.

Q)求/⑺在［-3,3］上的最大值和最小值

(2)若f(X)+/(%-2)<4有成立，求x的取值范围.

【答案】(1)/(x)在［-3,3］上的最大值和最小值分别为2和-2(2)［-2,+8)

【分析】⑴先判断函数/(久)在R上是减函数可知f(x)在［-3,3］上也是减函数，易求f(3)=-2，从而可求得

/(无)在［-3,3］上的最大值和最小值；

(2)由f(-3)=2可得/(-6)=4,再由f(x)+/(y)=f(x+y)可得f(x)+/(%-2)=/(x2-2x),利用函数的

单调性的定义可解得求久的取值范围.

【详解】解：(1)任取%1，刀2eR且久1<刀2,则%2—久1>0，

由X>。时,/(%)<-%1)<0,

由f(%)+/(y)=+y),

得/(>2)=/[(%2-^1)+Xl]=/(X2-%i)+f(%1)<

所以/'(%)在(-8,+8)上是减函数；

2

令久=y=1可得02)=/(1)+/(1)=2/⑴=-5

令X=l,y=2可得/"(3)=/(1)+/(2)=-2,

令x=y=0得f(0)+f(0)="0),解得/(0)=0,

令X=-3,y=3可得"-3)+f(3)=f(0)=0,：./(—3)=2

由单调性可得f。)在［-3,3］上的最大值和最小值分别为2和-2.

(2)令x=y=-3可得/(—6)=/(—3)+/(—3)=4,

/(%)+f(x-2)<4等价于f(2x-2)<f(一6),

由函数的单调性可得2x-2>-6,解得x>-2.

即%的取值范围是［-2,+8)

【点睛】本题考查抽象函数及其应用，突出考查函数的奇偶性、单调性与最值的综合应用，考查转化思想与方

程思想的综合应用,属于中档题.

【变式5-1］2.(2021・高一单元测试)函数〃久)的定义域为(0,+8),且对任意x>0,y>0都有f6)=

f⑸-f(y)+1,且f(2)=2,当x>1时,有〃久)>1.

(1)求/⑴，/⑷的值；

(2)判断f(x)的单调性并加以证明；

(3)求f(%)在［1,16］上的值域.

【答案】(1)f⑴=1,"4)=3；(2)f(x)在(0,+8)上为增函数，证明见解析；(3)［1,5］.

【分析】(1)可令x=y=1解得/⑴，再令％=4,y=2可得f(4);

(2)函数f⑺在(0,+8)上为增函数，可令0<%!<%2,运用条件和单调性的定义，即可得证；

(3)运用函数的单调性和赋值法，即可得到所求值域.

【详解】(1)可令X=y=1时，/(1)=/(1)-/(1)+1=1;

令x=4,y=2可得f(2)=f(4)-f(2)+1,即f(4)=3；

(2)函娄妤(x)在(0,+8)上为增函数.

证明：当%>1时,有/(%)>1,

可令0<<x2,即有三>1,则f(三)=/(x2)-可/)+1>1,

X1X1

可得/'(犯)>/(Xl)，

则/(X)在(0,+8)上递增；

(3)由/㈤在(0,+00)上为增函数，可得〃尤)在［1,16］递增，

可得f(l)=1为最小值，/'(16)为最大值，

由f(4)=f(16)-f(4)+1,可得f(16)=2/(4)-1=5,

则/(%)的值域为口5］.

【变式5-1］3.(2023上•广东东莞•高一校考期中)已知函娄好。)，对于任意的居yeR,都有fQ+y)=

f(x)+/(y),当%>0时,/(%)<0,且/⑴=-1.

Q)求/(0),f(3)的值；

(2)当-8<%<10时，求函数〃久)的最大值和最小值；

(3)设函数g(x)=/(x2-m)-2/(|x|),若方程g。)=0有4个不同的解，求m的取值范围.

【答案】(l)f(0)=0；f(3)=-1

(2)/(x)的最大值为4,最小值为-5

⑶(TO)

【分析】(1)根据题意，结合特殊值，进行合理赋值，即可求解；

(2)根据题意，结合函数单调性的定义和判定方法，求得函数/0)是R上的减函数，得到“X)在［-8,10］上

单调递减，进而求得函数的最值;

(3阱艮据题意彳导到函数g(x)为奇函数，求得g(x)=f(x2-2\x\-tri)，令g(x)=0得到/'(相-2|%|-m)=

0=/(O),转化为/一2|x|-m=0,令h(久)=x2-2\x\,结合二次函数的图象与性质，即可求解.

【详解】(1)解：因为"x+y)=f(x)+f(y),

令x=y=0,可得f(0)=f(0)+f(0),解得f(0)=0,

令x=y=1,可得/(2)=2/⑴=-1,

令％=2,y=1,可得f(3)=/(2)+/(I)=-|.

(2)解：任取比i，乂2eR,且久i<x2,x2-x1>0,

因为/'(X+y)-/(x)=/(y),BP/(x+y)-f(x)=f[(x+y)-%]=f(y),

令%2=X+y,Xi=X，贝Uy=%2-Xi,可得f(%2)-/(X1)=f(x2~%1),

又因为X>。时,f(x)<0,且久2-%1>o,所以/'(刀2-xj<0,

所以/'(>2)-/。1)<0,即/(%2)</(X1),所以函数fO)是R上的减函数，

所以/(X)在[-8,10]上单调递减，所以f(x)max=/(-8),“x)min=/(10),

又因为f(10)=2/(5)=2[f(2)+/(3)]=2(-1-|)=-5,

由f(0)=/(I-1)=/(l)+/(-l)=0,可得f(-1)=i,

所以f(—8)=2/(-4)=4/(-2)=8/(-1)=8x^=4,

所以，当-8W久W10时，f(x)的最大值为4,最小值为-5.

(3)解：令y=-x,代入/'(x+y)=/(%)+/(y),可得f(x)+/(-%)=/(0)=0,

所以f(-久)=-/(%),可得函数”无)为奇函数，

可得一“㈤)=/(—㈤)，BP-2/(|x|)=2/(-|x|)

所以所x)=所%2-m)-2f(|x|)=f(x2-in)+2f(-|x|)=/(x2-m)+/(-|x|)+=f(x2-

2\x\-m),

令g(%)=0,即f(——2\x\—m)=0=f(0),

因为函数/(%)是R上的减函数，所以%2-2\x\-m=0,即血=%2-2\x\,

令八(%)=X2-2|x|=『2二，

则函数八0)的图象，如图所示，

结合图象，可得：当巾e(-1,0)时，函数g(x)有4个零点，

即实数小的取值范围为(-1,0).

【变式5-1】4.(2018上•河北保定•高一校联考期中)已知函数f(久)的定义域为(0,+8)且对一切%>0,

y>0者隋"孙)=f(x)+f(y),当久>1时,有f(%)>0.

(1)判断f(x)的单调性并加以证明；

(2)若〃4)=2,求f(%)在[1,8]上的值域.

【答案】(1)见解析；(2)[0,3]

【分析】(1)/co在ro,+8)上为单调递增函数.利用增函数的定义证明结论即可.

(2)由题意结合函数的单调性和函数的定义域确定函数的值域即可.

【详解】(1)/(X)在4,+8J上为单调递增函数.

证明如下:任取<%26(0,+00),

贝好3)-心=/(%!•资)一/(%!)=/(%!)+70-/(%1)=,

人］4141

又因为当％>1时，有/(X)>0,而无1<Xe(0,+oo),所以①>1,

2X1

所以f02)-f01)=fe>0,所以f(%2)>,

所以在(0,+8J上为单调递增函数；

(2)令X=y=1代入“盯)=/(%)+/(y)得f(1)=/(I)+/⑴所以/⑴=0,

令久=y=2代入f(xy)=/(%)+f(y)得f(4)=f(2)+f(2)=2所以f(2)=1,

令X=2,y=4代入f(xy)=f(x)+f(y)得f(8)=f(2)+f(4)=3,

又由(1)知f(x)在［1,8］上为单调递增函数，所以f(x)在［1,8］的值域为［0,3］.

【点睛】抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数.由于抽

象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一抽象性较强，灵活性大，解抽象函数重要

的一点要抓住函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法(如化归法、

数形结合法等)，这样就能突破"抽象"带来的困难，做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、

分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题

的方法

题型6抽象函数的单调性

【方法总结】

在证明抽象函数的单调性时的方法时需要构造的数量关系是久2然后灵活运用题

X1

目的法则进行求解证明是关键，在证明过程中题目中的每一句都要进行灵活运用，类似单

调性定义证法作差，化简，定号.本题有难度，需要在平常学习过程中多积累，多思考，

多运用方法解题.

【例题6］(2022上福建厦门•高一厦门一中校考期中淀义在区间(-1,1)上的函数/(久)满足:/(%)-/(y)=

奇),x6(—1,0)时/⑺<0,若a=/停)+f0,b=/©),c="0),则。=,三个实数

a,b,c最大的为

【答案】0b

【分析】令X=y=0,可求出C=/(0)=0,

设一1<x<y<l，推导出一1(户<0，结合xe(一1,0)时，f(x)<0，得到f(x)—f(y)=f(户)<0,

i—xy\L-xy/

从而f(x)在(-1,1)上单调递增,取y=最奇=］贝卜=|,由0<|<，

结合函数的单调性得到"0)</(|)</(|),求出b最大.

【详解】令x=y=0得：/(0)-/(0)=/(0),解得：/(0)=0,故c=0,

设％<y,且满足一1<%VyV1,贝！］(X+l)(y-l)=xy-x+y-l<0,

所以一(1-xy)<x-y,因为1一%y>0,所以一1V，

±—xy

因为％—y<0,所以：-<。，综上：—1<y<0,

l-xy1-xy

因为%e(-1,0)时,f(x)<0,故/(奇)<0,

即f(x)-f(y)=f(急)<o，〃x)<〃y)，

故函数/(%)在(-1,1)上单调递增，

因为〃%)=/(奇)+/(y),

因为。<|<|,

所以"0)</(1)</(1),SPc<a<b,三个实数a,b,C最大的为b.

故答案为：0；b.

【点睛】抽象函数单调性求解或证明，通常使用赋值法，结合函数特点，对X,y赋值，结合函数定义法证明

出函数的单调性，证明本题难点有两个，一个是设出-1<X<y<1,推导出-1(户<0,从而证明出

i-xy

函数”X)在(-1,1)上单调递增，另一个是如何处理a=/©)+/(I).

【变式6-1]1.(2023上•北京•高一北京市十一学校校考期末)已知函娄好(无)的定义域为(0,+8),满足对

任意居y6(0,+oo),都有f(盯)=/(X)•f(y)-f(x)_f(y)+2,且％>1时，/(%)>2.则下列说法正确的

是

①f(l)=2；②Hl)=1;③当Xe(0,1)时，〃x)<2；④〃久)在(1,+8)上是减函数;⑤存在实数k使得函

数y=l/(x)+幻在(0,1)上是减函数.

【答案】①③⑤

【分