2025年新高考数学复习专项训练：动点轨迹方程五种题型（解析版）

专题2-8动点轨迹方程五种题型汇总

。常考题型目录

题型1直接法........................................................................2

题型2定义法........................................................................5

题型3相关点法.....................................................................10

题型4交轨法.......................................................................17

题型5参数法.......................................................................23

但知识梳理

知识点一.直接法求动点的轨迹方程

定义：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的

技巧，易于表述成含x,y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法.

知识点二.定义法求轨迹方程

若某动点的轨迹符合某一基本轨迹如直线、圆、圆锥曲线的定义，则可以利用所学过的圆的

定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义等直接写出所求的动点的轨迹方程，这种

方法叫做定义法.这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件,

或利用平面几何知识分析得出这些条件.

知识点三.相关点法求轨迹方程

若动点P（x,y）的变动依赖于另一动点Q（x°,y0）,而Q在某已知曲线F（x,y）=0（或具有某种

规律的图形）上（这时把从动点P叫做轨迹动点，主动点Q叫做点P的相关点），求出关系式

『°："：’、）、’（*）,并代入方程尸（久,丫）=0,得所求轨迹（或轨迹所在曲线）方程

f[/（x,y），5（x,y）]=o,这种求轨迹方程的方法叫做相关点法，又叫代入法、代换法或转

移法.这是求轨迹方程的一种常用的重要方法.此法的关键是，构建用轨迹动点P的坐标

O,y）表示其相关点Q的坐标（而，y0）（即P向Q的转移）的关系式（*）.

知识点四.交轨法求轨迹方程

定义：如果一个动点是两条动曲线的交点，那么选取参数并把参数看成已知数，写出这两条

动曲线的方程，再联立两动曲线的方程消去参数或者动曲线的方程与定曲线的方程联立，

消去X或y,转化为一元二次方程，再消去参数，便得到动点的轨迹方程.这种求动点的轨

迹方程的方法，我们称之为交轨法.

知识点二.参数法求动点的轨迹方程

有时不容易得出动点应满足的几何条件，也无明显的相关点，但却较容易发现（或经分析可

发现）该动点常常受到另一个变量（角度，斜率，比值，解距或时间等）的制约，即动点坐

标（久,y）中的分别随另一变量的变化而变化，我们称这个变量为参数，由此建立轨迹的

参数方程，这种方法叫参数法（或设参消参法），如果需要得到轨迹的普通方程，只要消去

参数即可，在选择参数时，选用的参变量可以具有某种物理或几何性质，如时间，速度，距

离，角度，有向线段的数量，直线的斜率及点的横纵坐标等，也可以没有具体的意义，还要

特别注意选定的参变量的取值范围对动点坐标取值范围的影响.

但题型分类_________________________________________________

题型1直接法

【方法总结】

直接法求动点轨迹方程的一般步骤为：

第一步，根据已知条件及一些基本公式（两点间距离公式、点到直线的距离公式、直线斜率

公式等.）

第二步，根据公式直接列出动点满足的等量关系式，从而得到轨迹方程.

【例题1]（23-24上•大兴期中）已知等腰三角形4BC的顶点为4（4,2）,底边的一个端

点为B（5,3）,则底边的另一个端点C的轨迹方程为

【答案】x2+y2-8%-4y+18=0(x-y-20或除去点(3,1),(5,3))

【分析】根据题意，设另一个端点C的坐标为0,y),由|AB|=\AC\,列出方程，化简即可

得到结果.

【详解】设底边的另一个端点C的坐标为⑶y),则1(4一1)2+底一y)2=

7(4-5)2+(2-3)2,

化简可彳导久2+y2—8x—4y+18—0,

因为48,C三点构成三角形，所以三点不共线且不重合，

当4B,C三点共线时，%B=三=1，

5—4

由直线的点斜式可得y-2=1x(X-4),化简可得％-y-2=0,

所以点C的轨迹方程为/+于一8%—4y+18=0(%-y-2片0或除去点

(3,1),(5,3)).

故答案为：/+V-8x-4y+18=0(x—y—27。或除去点(3,1),(5,3)).

【变式1-1]1.(23-24上・北京•期中)古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：

平面内到两定点距离之比为常数＞Q,k手1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗

尼斯圆.在平面直角坐标系xOy中，4(-4,0),B(2,0),点M满足震=2,则点M的轨迹方程

\MD\

为

【答案】(x—4)2+y2=16

【分析】根据点点距离即可列方程化简求解.

【详解】设贝喘=^g=2，

化简得%2+y2—8%=0,即(x—4)2+y2—16,

故答案为：(X-4尸+y2=16

【变式1-1]2.(23-24上•全国•课时练习)如图，已知点A,B的坐标分别为(-2,0),(2,0),

求点P的轨迹方程.

【答案】]―必=1（X力±2）

q

【分析】根据两点间的斜率公式列方程求解即可.

【详解】设点P的坐标为@y）,

由点A,B的坐标可得直线AP,BP的斜率分别为%p=20力-2）,k=t（x72）.

X+ZBPX—Z

由已知得益•六=*久#±2）,

化简得点P的轨迹方程为?-必=1（%片±2）.

【变式1-1]3.（23-24上•全国•课时练习）已知两条直线4：y-fxJ2：y=V3x,求到这

两条直线距离相等的所有的点组成的轨迹方程.

【答案】y=%或y=-x

【分析】根据点到直线的距离公式表示出两个距离，整理即可.

【详解】直线方程整理为人：x-V3y=0,Z2：V3X-y-0,

设满足条件的点坐标为⑶y）,

则根据题意得：弓型二塔二1,

即有％—V3y=—V3x+y或支—V3y=V3x—y,即y=%或丫=—x.

故所求轨迹方程为：y=%或、=一x.

【变式1-1】4.（23-24上•昆明・期中）若圆％2+y2—ax+2y+1=0与圆％2+y2=1关

于直线y=%-1对称,过点（一见a）的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为（）

A.y2—4%+4y+8=0B.y2—2%+2y+2=0

C.y2+4x—4y+8=0D.y2—2x—y—1—0

【答案】C

【分析】出两个圆的圆心坐标，两个半径，利用两个圆关于直线的对称知识，求出a的值，

然后设出圆心P的坐标为(x,y),圆心到点(-a,a)的距离等于圆心到y轴的距离，列出方程求

出圆心P的轨迹方程.

【详解】如图所示：

圆/+y2_a%+2y+1=。的圆心为46,-1),圆/+y2=I的圆心为B(0,0),

因为圆/+y2—ax+2y+1=0与圆%2+y2=1关于直线y=x—1对称,

所以4B的中点G，-£)满足直线方程y=x-l,解得a=2,

过点C(-2,2)的圆P与y轴相切，设圆心P的坐标为(x,y),

所以J(x+2)2+(y-2)2=|x|,解得：y2+4久-4y+8=0.

故选：C.

题型2定义法

【方法总结】

常见情形

1.到线段两端点相等的点的轨迹是该线段的垂直平分线.

2.到角的两边相等的点的轨迹是该角的平分线及外角平分线.

3.平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，定点为圆心，定长为圆的半径.

4.平面内一个动点P到两个定点&,尸2的距离之和等于常数(|P0|+\PF2\=2a>I&F2I,a

为常数)的动点P的轨迹是以&,尸2为焦点，2a为长轴长的椭圆.

5.平面内一个动点P到两个定点&,尸2的距离之差的绝对值等于常数(\\PFI\-\PF2\\=

2a<I&F2I，a为常数)的动点P的轨迹是以0,6为焦点，2a为实轴长的双曲线.

6.平面内与一定点F和一条定直线1(1不经过点F)距离之比对于常数e(e>0)的动点的轨

迹是圆锥曲线.当0<e<1时为椭圆；当e>1时为双曲线；当e=1时为抛物线.其中，

定点F叫做圆锥曲线的焦点，定直线1叫做圆锥曲线的准线.

【例题2](23-24上•全国•课时练习)已知△2BC的三边a,b,c成等差数列，且a>b>c,

A、C两点的坐标分别为(-1,0),(1,0),则顶点B的轨迹方程为

22

【答案】—+^-=1(-2<x<0)

4J

【分析】由AABC的三边a,b,c成等差数列，可得点B的轨迹满足椭圆的定义，可求出

椭圆方程，再结合a>b>c和B、A、C三点构成4ABC,可得顶点B的轨迹是此椭圆的部

分，可得其轨迹方程.

【详解】因为△ABC的三边a,b,C成等差数列，A、C两点的坐标分别为(-1,0),(1,0),

所以a+c=2b,即|BC|+\BA\=2\AC\=4>2,

所以点B的轨迹满足椭圆的定义，此椭圆是以A、C为焦点，长轴长为4的椭圆，

22

故椭圆方程为彳++=1,

43

因为a>b>c,所以>\BA\,所以x<0,

又因为B、A、C三点构成^ABC,所以B、A、C三点不能在一条直线上，所以久丰-2,

所以顶点B的轨迹方程为1+4=1(-2<x<0).

故答案为：？+彳=1(-2<%<0)

【变式2-1]1.(23.24上•上海•课时练习)已知过抛物线y2=4x焦点F的直线交抛物线于

人B两点，过原点。作而，使丽1AB,垂足为点M,求点M的轨迹方程.

【答案】丁+川=：

【分析】根据条件可得点M的轨迹是以。尸为直径的圆，从而可得其轨迹方程.

【详解】依题意F(0,1),

因为前1AB,所以ZOMF=90°,

所以点M的轨迹是以。F为直径的圆，则其圆心为《,0),半径为[,

故可得点M的轨迹方程为1-|)2+y2-i

【变式2-1]2.(22.23上•全国•课时练习)求下列动圆的圆心M的轨迹方程：

(1)与圆Cl：X2+(y-2)2=1和圆。2：+(y+2)2=4都内切；

(2)与圆G：(x+3)2+y2=9内切,且与圆。2：(X-3)2+y2-1外切；

【答案】⑴"-卷=l(yw-J

44

⑵2)

【分析】(1)依题意可得IM。/-IMQI=1<|C£I，根据双曲线的定义可知圆心M的轨迹

是以点G、心分别为上、下焦点的双曲线的下支，即可求出其轨迹方程；

(2脓题意可得|MGI-IMGI=4<IGQI，根据双曲线的定义可知圆心M的轨迹是以点心、

金分别为左、右焦点的双曲线的左支，即可求出其轨迹方程；

【详解】(1)圆G：%2+(y-2)2=1的圆心为G(0,2),半径为q=1,

圆。2：/+(y+2)2=4的圆心为。2(。,一2),半径为七=2,

因为IC1C2I=4>q+上，则圆Q与圆。2外离，

设圆M的半径为R,由题意可得猾%=：一：，所以|MCi|-IMC2I=1<\^2\,

所以圆心M的轨迹是以点G、心分别为上、下焦点的双曲线的下支，

22

设圆心M的轨迹方程为会-^=l(y<-a,a>0,b>0),

由题意可得2a=1,贝!ja=Jb=V22-a2=乎,

因此圆心”的轨迹方程为空

4~4

(2)圆G：(%+3尸+y2=9的圆心为G(-3,0),半径为q=3,

圆C2：(%-3)2+y2=1的圆心为心⑶。)，半径为上=1，

因为IC1C2I=6>『1+上，则圆G与圆。2外离，

设圆”的半径为R,由题意可得[[,所以|MCzl-|MC]|=4<|QC2|,

7c12I=H十J-

所以圆心M的轨迹是以点C】、心分别为左、右焦点的双曲线的左支，

设圆心M的轨迹方程为9-^=l(x<-a,a>0,b>0),

由题意可得2a=4,贝!]a=2,b=V32—a2=V5,

因此圆心M的轨迹方程为9-^=l(x<-2).

2222

【变式2-l】3.(2L22•全国•专题练习)已知两圆Q：(%+4)+y=9,C2：(%-4)+y=

9,动圆C与圆Ci外切，且和圆。2内切，则动圆C的圆心C的轨迹方程为()

A.二—立=I(%23)B.g—日=1

79、797

c.立—优=1D.立—艺=1023)

【答案】D

【分析】通过动圆c与圆G外切，且和圆。2内切列出关于圆心距的式子，通过变形可得双曲

线的方程.

【详解】如图，

设动圆C的半径为R,则ICC1I=3+R,ICC2I=R—3,

则ICGI-ICGI=6<8=IGQI，

所以动圆圆心。的轨迹是以G,3为焦点，以6为实轴长的双曲线的右支.

因为2a=6,2c=8,

所以a=3,c=4,b2=c2—a2=7.

22

故动圆圆心c的轨迹方程为篙-？=1(X23).

故选：D.

【变式2-1]4.(22-23上•广州•期末)已知4(0,7),5(0,-7),C(12,2),以C为焦点的椭

圆过A、B两点，则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程为()

A.y2—■=l(yw—1)B.y2-^=l(y>1)

C.5-=l(yW-4V3)D.=l(y>4值)

【答案】A

【分析】由两点间距离公式可得|4C|=13,|BC|=15,|XB|=14,根据题中条件，得到

\AF\-\BF\^2<14,结合双曲线的定义，即可得出结果.

【详解】因为4(0,7),8(0,—7),“12,2),

所以=,122+(7-2)2=13,\BC\=J122+(—7—2尸=15,\AB\=14,

因为4B都在椭圆上，

所以|4F|+\AC\=\BF\+\BC\,\AF\-\BF\=\BC\-\AC\=2<14,

故尸的轨迹是以a,B为焦点的双曲线的下支，

又2c=\AB\=14,2cz=\AF\-\BF\=2,即c=7,a=1,所以62=48,

因此产的轨迹方程是y2-刍=1(y0-1).

故选：A.

题型3相关点法

【方法总结】

相关点法解题步骤

用殳分为三步：

第一步，设所求轨迹的点MO,y）,曲线上的动点QOo，%）；

第二步，找出M@,y）与Q（*o，y。）的关系，由右y表示x°,y。,即已[案,1）'；

第三步，Q（久o，y°）满足已知的曲线方程，将殉，出代人，消去参数.对于不符合条件的点

要注意取舍.

而从动点的坐标（x,y）来表达主动点的坐标（比，出）的方法较多，一般采用以下几种方法进

行转移：

①利用定义；②利用参数；③利用向量；④利用相关公式；⑤利用对称知识等.下面举例

说明.

【例题3]（23-24上•南阳•阶段练习）已知点P是圆。:/+外=4上的动点，作PH1y轴

于点H,则线段PH的中点M的轨迹方程为（）

2222

A.—4+Jy-1B.—16+y-1C.x+—16—1D.x+—4=1

【答案】D

【分析】设出中点M（x,y）,利用几何关系建立与点P坐标的关系，代入圆方程即可整理出

轨迹方程.

【详解】如下图所示：

不妨设时（居、）,。0：0，丫0）,则满足以+据=4；

易知H（0,y。），

又线段PH的中点为“，可得久=段,y=;

即Xo=2x,Vo=y，代入方程据+羽=4可得4/+y2=4,

整理得/+及=1.

4

故选：D

【变式3-111.(23-24上•临夏・期中)已知圆C：/+y2=3,直线I过点4(-2,0).线段48的

端点B在圆C上运动，则线段4B的中点M的轨迹方程为()

A.(%—I)2+y2=|B.(x+l)2+y2=|

C.x2+(y—l)2=|D.(x+I)2+y2=1

【答案】B

【分析】建立点M和点4之间的关系式，再利用点4的坐标满足的关系式得到点M的坐标满足

的条件，即可求出.

【详解】设M(”),BQxg.yo'),

X

由点M是AB的中点，得“二京，可得/°】^2y2,

2

又点B在圆C上运动，所以x()2+y0=3,

将上式代入可得，(2x+2)2+(2y¥=3,

化简整理得点M的轨迹方程为：(%+I)2+*=*

故选：B

2

【变式3-1]2.(22-23上•全国•课时练习)设圆/+y-2x+2y-2=。的圆心为A，点

P在圆上，则PA的中点M的轨迹方程是

【答案】/+y2_2%+2y+1=0

【分析】设也“)，P(x0,y0),利用中点坐标公式得出(°二免二;，然后结合点P在圆

Uo—/y十工

上即可求解.

【详解】圆%之+y2_2%+2y—2=0可化为园—I)2+(y+I)2=4,

1+%0_V

{2-y

整理得匕°;因；:，即P(2x-l,2y+1),

将点P代入圆的方程得(2x-I)2+(2y+I)2-2(2x-1)+2(2y+1)-2=0,

即为+y2-2x+2y+1=0.

故答案为：/+y2—2x+2y+1=0.

【变式3-1]3.(2324・全国•竞赛)平面直角坐标系xOy中，抛物线=4x,F为r的焦

点，4,B为「上的两个不重合的动点，使得线段4B的一个三等分点P位于线段OF上(含端

点)，记Q为线段4B的另一个三等分点.求点Q的轨迹方程.

【答案】y2—|x(0<x-1)

【分析】设以卬为)，8(赴,火)，由三等分点关系可得P(刍产，型产)，根据P的位置特征

可设%=t,%=-21,从而可得Q的坐标(用t表示)，故可求点Q的轨迹方程.

解：设46,%),BO?,月)•不妨设存=而=而，贝加(刍产，驾坦

易知产(1,0).由于点P位于线段OF上，故刍产e[0,1],型产=0.

可设Vi=t，%=-2t,则Xi==,%2=产.止匕时有=Le[0,1],

且由4,B不重合知t*0,所以产e(0,2].

设、(和,％),贝[1和==|严，％==-t,有诳=:和.

注意到和=e(o,|],故点Q的轨迹方程为必=i%(o<x<|).

【变式3-1]4.(23-24上•上海•课时练习)已知曲线C:y2=x+1和定点4(3,1)，点B为曲

线C上任意一点，若方=2而，当点B在曲线C上运动时，求点P的轨迹方程.

【答案】3y2—2y—2x+1=0

【分析】设出点P(x,y)和点8(a,6),由前=2PB，得到这两个坐标的关系，再根据8点在

抛物线上，满足抛物线方程，即可得比，y的关系，亦即轨迹方程.

【详解】设点B的坐标(a,b),点P的坐标为(x,y),又2(3,1),

所以»=0-3,y-1),而=(a-x,b-y),

AP=2PB,,

・•・(%—3,y—1)=2(a—x,b—y),

(x—3=2a—2x

[y-1=2b-2y1

a=|(x-1)

Z?=-(3y-1)

•・•点B在抛物线上，.・・垓=a+i,...久3y一1尸=|(%一1)+i,

整理得3y2-2y-2x+1=0,

所以点P的轨迹方程为3y2—2y-2x+1=。.

2

【变式3-1]5.(2223•全国•课堂例题)椭圆器+外=1上有动点P,点后,4分别是椭圆

的左、右焦点，求4PF/2的重心M的轨迹方程.

2

【答案】x2+4-=l(y*0).

9

【分析】根据重心坐标公式以及相关点代入法求出M的轨迹方程.

【详解】设点P,M的坐标分别为％%),(x,y),

在已知椭圆的方程中，a=3,b=1,

:.c=V9-1=2-/2,

则已知椭圆的两焦点为6(-2VX0),F2(272,0).

PF/2存在，•寸i*0.

'_%1+(-2旬+2鱼

由三角形重心坐标公式有"=’即以二3x,

Iy=~T~'

\y1W0,.,.yW0.

••点p在椭圆上，.丹+资=1,

.•.等+(3y)2=l(y丰0),

2

故4P&B的重心M的轨迹方程为/+卷=l(y70).

9

【变式3-1]6.(23-24上•全国•课时练习)过点4(0,-2)的直线与抛物线必=4x相交于两

点P,Q,求以OP,OQ为邻边的平行四边形的第四个顶点M的轨迹方程.

【答案】y2+4y-4%=0(y<-8或y>0)

【分析】设「3，乃),QOw?),M(x,y),设直线AB的方程为y=kx-2(fc力0),与抛物

线方程联立利用韦达定理可得当+'2、xi+小和卜的范围，根据平行四边形对角线互相平分

和消参法可得答案.

【详解】设P(X1，V1),Q(%2，y2)，M(x,y),

由题意过点力(0,-2)的直线的斜率存在，设直线4B的方程为y=kx-2(fc丰0),

与抛物线方程联立,j二2,可得32一”—8=0,%+乃=,

且△=16+32k>。可得k>-jHfc力0,

所以由yi+%=k®+x2)-4可得/+%2=表+，

因为四边形OPMQ是平行四边形，所以(弱)=(詈，也产)，

即&5=(高+沈)，可得*+W-4久=0，

因为擀=,而k>-阻k*0,可得y<-8或y>0,

所以M的轨迹方程为必+4y-4久=0(y<—8或y>0).

【变式3-1]7.（2223•全国专题练习）一种作图工具如图1所示.。是滑槽4B的中点，短

杆ON可绕0转动，长杆MN通过N处钱链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB

滑动，目DN=ON=1,MN=3.当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕。转动

一周（D不动时，N也不动），M处的笔尖画出的曲线记为C.以。为原点，AB所在的直线

为无轴建立如图2所示的平面直角坐标系.求曲线C的轨迹方程；

图1图2

【答案】

【分析】利用相关点法，由点M、N的关系及N的轨迹建立方程消元化简计算即可.

【详解】

设点0（七,0）（田<2）,N（%0,yo）,M（%y）,依题意,

跖^=2DN,且|布|=\0N\=1=>（t-%,-y）=2（%°-匕y°）,｛（"。产?；

t—x=2x0—2t

即y=-2y0,由于当点。不动时，点N也不动，所以t不恒等于0,

、—2%0）=0

22

于是t=2x,故xo=；,y()=代入诏+诏=1,可得高+T=1»

04Z1O4

即所求的曲线C的方程为1+1=1.

164

题型4交轨法

【方法总结】

交轨法一般用于求两动曲线交点的轨迹方程.若动点P是由两动曲线相交所得，其过程是

选出一个适当的参数，求出两动曲线的方程或动点P坐标适合的含参数的等式，再消去参

数，即得所求动点轨迹的方程.

【例题4](2021•全国•课时练习)求两动直线y=依+1与y=-拄-1的交点P的轨迹方

程.

【答案】"+V=小不0)

2

【分析】设点P(x,y),利用两直线所过的定点，以及两直线的斜率关系，建立等式，即可求

轨迹方程.

【详解】令=-+1,%：y=-於一1,

则直线。的斜率七=k,直线%的斜率B=-，所以七•6=-2.

易知4过定点4(0,1)过定点8(0,T).

令，1与心的交点为P(%,y)，因为七，6存在,所以x丰0,

所以心=?，电=岑,

所以心•0=?•§1=—2,整理得2/+y2=1,

所以交点P的轨迹方程为苧+V=l(x丰0).

2

故答案为：卷+必=片0)

2

【变式4-1】1.(2L22・全国专题练习)如图，垂直于x轴的直线交双曲线提-5=1于M、

N两点,4为双曲线的左、右顶点，求直线公"与&N的交点P的轨迹方程，并指出轨迹

的形状.

【答案】答案见解析

【分析】根据题意设0。,丫）及用。1，丫1）,70：1，->1）,4（-a,0）,4（a,0）,进而得直线,

22222

&N的方程，并得到y2='（/_。2）,再结合书一卷=1整理即可得今+£=1,再分

%］一aciDciu

a=b和a丰b讨论求解即可.

【详解】解:设P（x,y）及M（Xi，yi）,N（%i，-%）,又4（—a,0）,42（a,。），

所以，直线的方程为y=+a）①；直线/N的方程为y=二"（久—a）②.

+aX-1—CL

由①②得*=jph（x2-。2）③、

又因为写一第=1,

azbz

所以—无=白。2一就），代入③得必=-g（x2-a2），化简得《+g=l,

所以，点P的轨迹方程为马+g=l.

azoz

所以，当a=6时，点P的轨迹是以原点为圆心、a为半径的圆；当a力b时，点P的轨迹是椭

圆.

【变式4-1］2.（2122•全国专题练习）设双曲线C］的方程为《-5=l（a>0,6〉0）,人

8为其左、右两个顶点,P是双曲线Ci上的任意一点，弓|Q81PB.QA1PA,4Q与BQ交于点

Q,求Q点的轨迹方程.

(除点(-a,O),(a,O)外).

【分析】，设P（Xo，yo），Q（x，y），进而结合LQB-kpB=-1,%4•kpA=-1建立方程并整理即可

得-62y2=a",(X。±a),最后检验点(一a,0),(a,0)即可.

【详解】解：根据题意,设「（＞0,%）,（2（工,'）,

■.A(-a,0),B(a,0),QB1PB,QA1PA,

-1,

y。y_含•£=T（久力士a），两式相乘得卷•七=1①

x0+a'x+a

••通_琏=1

•7一记一

=代入①得/工=1,

%Q-azazazxz-az

.,.b2y2=x2a2—a4,即a?/_b2y2=,(万力士0)

经检验点(-a,0),(a,0)不满足QB1PB,QALPA,不合题意,

••.Q点的轨迹方程为a?/—所必=a4（除点（_口,0）,（a,0）外）.

【变式4-1]3.（2122•全国・专题练习）已知抛物线必=4x,过顶点的两弦OA,。8互相

垂直，求以。4,。8为直径的两圆的另一交点的轨迹方程.

【答案】x2+y2—4x-0(x*0)

【分析】可以先设。4,0B的直线方程分别为y=kx,y=啖,再和抛物线联立解出力的坐

标，然后可以得出以。4为直径的圆的方程，同理可得以。8为直径的圆的方程，两个方程消

参后即可得出所求轨迹方程

【详解】解：易得直线。4,。3的斜率存在，设。4,。8的直线方程分别为y=kx,y=

一莹也于0),

(__4_

直线。力和抛物线联立得磔:匕，解得"或，所以4G，乡，

以。a为直径的圆的圆心为偿，目,半径为Jo?+(丁,

所以以。力为直径的圆的方程为(％-*)2+(y-£)2=(高)2+(£)2，

所以[G-卷)2-信升+[(y-92-®2]=o整理得%(D+y(y-9=0-

所以1(*2_1_y2)-4x—4ky=0①,

同理，以-代替上可得以0B为直径的圆的方程为/+y2—轨2久+4ky=0②，

①+②得(1+fc2)(x2+y2-4%)=0,

1+k20,x2+y2-4x=0,

所以以。力，0B为直径的两圆的另一交点的轨迹方程/+y2一4%=0(%*0)

【变式4-1】4.(16-17上通州•期中)已知正方形的四个顶点分别为。(0,0)4(1,0)凤1,1),

C(0,l),点D,E分别在线段0C,48上运动，且。。=BE,设力。与。E交于点G,则点G的轨

迹方程是().

A.y=x(l—x)(0<x<1)B.x=y(l—y)(0<y<1)

C.y=x2(0<x<l)D.y=l—x2(0<x<l)

【答案】A

【详解】设D(0,m)(0<m<1),则E(l,l-m),

所以直线力。的方程为x+5=l,

直线DE的方程为：y=(1-m)x,设G(x,y),

则由("+5=1可得(2=小、

[y=(1-m)x1=(1一m)小，

消去但可得y-(1—x)x(O<x<1).

本题选择A选项.

【变式4-1】5.(2021•全国专题练习)已知点P(-2,2)、Q(0,2)以及直线1：y=x，设长为鱼

的线段AB在直线I上移动(如图所示)，求直线24和QB的交点M的轨迹方程.

【分析】由题设条件P、A、M三点共线，Q、B、M三点共线.若设A、B两点的坐标依

次为3,a),(b,6),利用三点共线导出相应的关系式后，若从中解出a和b，再由=V2,

可求得x和y满足的方程，即交点M的轨迹方程.

【详解】解:如图所示二点A、B在直线y=x±，设点A、B、M的坐标分别为(a,a),(瓦6),

(x,y),其中)>a.

当yH2时，由P(-2,2)、2(a,a)、M(x,y)三点共线，

得合=辎解出a,得。=迎也①，

y-2a-1'x-y+4^

由Q(0,2)、B(b,b)、M(x,y)三点共线,

得舌=£，解出b，得小弟・②

由条件=V2，得夜(b—a)=V2.「.b=a+1.③，

由①、②、③式得=迎鳌+1.

x-y+2x-y+4

整理得①/—y2+2%—2y+8=0.④，

当y=2时，两直线24和QB的交点M与点P(-2,2)或点Q(0,2)重合，得点P和点Q的坐标

都满足方程④.

总之，④式就是点M的轨迹方程.

④式可改写成出学-攵署=1.

,轨迹的图形是双曲线，它的中心是点(-1,-1),焦点在直线比=-1±.

22

【变式4-1】6.(2L22・全国专题练习)如图，P为椭圆Q:高+《=1上的动点，过P作椭

OO

圆Q的切线交圆C2：x2+y2=24于M、N,过河、N作C2切线交于Q,求Q的轨迹方程.

【分析】设点P(x°，如)，可证得椭圆Q在点P处的切线方程为等+等=1，设点M值,%),

可证得圆Q在点M处的切线方程为*6+yry=24,圆在点N处的切线方程为切无+y2y=

24,则可得直线MN的方程为mx+ny=24,此直线与直线3与%+4yoy=24重合，从而可

表示出久o，y°，代入椭圆方程中化简可得结果.

【详解】设点P（x0,y0）,先证明椭圆G在点P处的切线方程为等+等=1.

产+维=1

联立［：22,可得/一2xox+%0=0,A=4%o-4XQ=0,

上+匕=1

I86

故椭圆G在点P处的切线方程为等+券=1.

设点M&,yj,再证圆。2在点M处的切线方程为%I%+yiy=24.

当直线0M的斜率存在且不为零时，岫M=左，圆Q在点”处的切线斜率为七=--z

xiyi

二圆。2在点”处的切线方程为y-yi=~—-Xi）,即尤+yvy=xf+yf=24,

yi

当直线OM的斜率不存在且为零时，在点M处的切线满足上式.

设点N12，丫2）7则圆。2在点N处的切线方程为%2%+y2y=24,

设点Qg力贝喘O

.,.点M、N的坐标满足方程mx+ny=24,

故直线MN的方程为znx+ny=24,

由于直线m比+ny=24与直线等+货=1重合，

o6

即直线血％+ny=24与直线3%o%+4y0y=24重合，

.pn=3%0日口产-3

由于点P在椭圆Cl上，则胃+4=I,即5+5=I,

oO/ZVo

因此，点Q的轨迹方程为2+g=l.

/Zyo

题型5参数法

【方法总结】

参数法求动点的轨迹方程一般步骤

第一步，选择坐标系，设动点坐标PQ,y）；

第二步，分析轨迹的已知条件，选定参数(选择参数时要考虑，既要有利于建立方程又要

便于消去参数)；

第三步，建立参数方程；

第四步，消去参数得到普通方程；

第五步，讨论并判断轨迹.

常用的消参方法有：代人消参，加减消参，整体代换法，三角消参法(sin2e+cos20=1)

等.要特别注意：消参前后变量％,y的取值范围不能改变.

【例题5-11(17-18上•湖北•期中)已知过点(0,1)的直线与圆/+y2=4相交于4B两点，

—>—>—>

若。A+OB=OP,则点P的轨迹方程是

A.%2+(y—|)2=1B.%2+(y—l)2=1

C.x2+(y—|)2=2D.x2+(y—l)2=2

【答案】B

【详解】设P(x,y),401,/y2)，过点(。,1)的直线为y=kx+i,

2

由CM+=OP得(x,y)=Qi+x2/yi+%)，直线y=kx+1代入/+y=4得

(1+1)/+2fcx-3=0则*1+*2=一言,月+先=磊

即X=_器，y=备，所以/+(y_1)2=1

故选B

【变式5-1]1.(2122•全国•专题练习)已知抛物线*=%+1,定点2(3,1),B为抛物线上

任意一点，点P在线段AB上,且有BP:PA=1:2,当点8在抛物线上变动时，求点P的轨迹

方程.

【答案】尤=”—y+1

【分析】设B(X,y)、P(x,y),利用定比分点公式求点B坐标与点P坐标间数量关系，根据

点B在抛物线上求P的轨迹方程.

_।X+-X32X4-3Y+-X12Y+A

【详解】区B(X,丫)、P(x,y),贝!k=-A-=――,y=—p-=——,

H■-31+—3

22

q-1

AX=|(x-l)®,y=i(3y-l)®

B在抛物线y2=%+l_t,

丫2=X+1,把①②代入得(等)2=|(X-1)+1,化简得3y2一2y-2x+1=0,

即久=|y2-y+］轨迹为抛物线.

【变式5-1］2.(2L22•全国专题练习)当。在［。，］内变动时，求抛物线y-%2-4xsin0-

cos28顶点P的轨迹.

【答案】y=-|x2-1(0<%<2)

【分析】将原式配方，得顶点坐标，将参数方程化为普通方程，最后再注明久的范围即可.

【详解】将原式配方得，y=(%-2sin6)2-(1+2sin20),

设P点的坐标为(x,y),则［，［2s黑,

(y——1—zsin(7

消去参数。,得/=-2(y+1),即y=-|x2-1.

由于原参数方程中》的取值范围是0<%<2，而普通方程y=-jx2-1中x的取值范围是xG

R,两者范围不一致，所以对于原参数方程的普通方程应为y=-|%2-1(0<%<2).

【变式5-1］3.(2L22・全国专题练习)已知定点P(l,1)和抛物线y=