2025年新高考数学复习专项训练：圆锥曲线章末重点题型十九大题型（原卷版）

专题2-13圆锥曲线章末重点题型十九大题型汇总

。常考题型目录

题型1圆锥曲线的定义...............................................................7

题型2圆锥曲线的标准方程...........................................................8

题型3圆锥曲线定义的应用...........................................................9

题型4圆锥曲线的离心率............................................................11

题型5和差最值.....................................................................12

题型6直线与圆锥曲线的位置关系...................................................13

题型7中点弦问题..................................................................15

题型8弦长问题.....................................................................16

题型9面积问题.....................................................................17

题型10定点问题...................................................................19

题型11定值问题...................................................................20

题型12定直线问题.................................................................22

题型13角度问题...................................................................23

题型14点共线问题.................................................................25

题型15取值范围问题...............................................................26

题型16最值问题...................................................................28

题型17向量问题...................................................................29

题型18存在性问题.................................................................31

题型19解答题综合.................................................................33

口知识梳理

知识点一.椭圆的定义

1.定义：平面内与两个定点R,£的距离的和等于赏数（大于［6£|）的点的轨迹.

2.焦点：两个定点R,£.

3.焦距：两焦点间的距离内向.

4、半焦距：焦距的一半.

知识点二.椭圆的几何性质汇总

焦点的位置焦点在X轴上焦点在P轴上

图形Jh

必解

标准方程-+-=l(a>d>0)-+-=l(a>d>0)

范围-a<x<aS.-b<y<b-b<x<bS.-a<y<a

4(-a,0),，2(a,0),员(0,-Z?),&(0,

顶点4(0a),4(0,a),&(-b,0)B(b,0)

b)

轴长长轴长=2a,短轴长=26

焦点6(-CO),£(c0)6(0,-0,£(0,0

焦距五句=2c

对称性对称轴X轴和y轴,对称中心(0,0)

c

离心率e="(0<e<1)

知识点三.点与椭圆的位置关系

*y

点F[x,用与椭圆三+&=l(a>6>0)的位置关系：

0CTL/

___兄M

1点唯椭圆上。]+/1；

2点唯椭圆内部—+厂；

_此必

3.点。在椭圆外部QQ+R>L

a2-®

知识点四直线与椭圆的位置关系

直线y=取+m与椭圆£+<=1(»。>0)的位置关系，判断方法：

［y-kx+m,

1.联立＜解炉消y得一元二次方程.

［一尹+--勿=1’

2.当/＞0时，方程有两解,直线与椭圆相交；

3.当/=0时，方程有一解,直线与椭圆相切；

4.当/＜0时，方程无解,直线与椭圆相离.

知识点五.求椭圆中焦点三角形面积的方法：

1根据椭圆的定义求出|防|+所|=2a;

2.利用余弦定理表示出|所|,|阴|,|后£|之间满足的关系式；

11

3利用公式=5、|防|.但£回11/6所求得面积.利用公式储=5义|月£冈族］(^

为2点的纵坐标)求得面积

4.结论：S^pprp2-b^tcin—

知识点六.求解直线被椭圆截得弦长的方法：

1.当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解.

2.当直线的斜率存在时，斜率为k的直线I与椭圆C相交于A(xi,yi),B(X2,y2)两个不同

2221+

的点，则弦长|AB|=yj(xi-x2)+(yi-y2)=^/l+k-|xi-x2|='

y2|(k/0).

知识点七.双曲线的定义

1.定义：在平面内，到两个定点耳、尸2的距离之差的绝对值等于常数2a(〃大于0且

2a＜闺鸟|)的动点P的轨迹叫作双曲线.

2.焦距：这两个定点片、F2叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.

注意：1.若去掉定义中的“绝对值"，常数”满足约束条件：户国-归闻=2。＜闺闾

(a>Q),则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点F2的一支；若忸闾-归周=2a<闺闾

(a>0),则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点工的一支；

2.若常数a满足约束条件：归用-归司=2a=|片闾，则动点轨迹是以臼、F2为端点的

两条射线(包括端点)；

3.若常数a满足约束条件：归用-归q=2a>闺闾,则动点轨迹不存在；

4.若常数。=0,则动点轨迹为线段FF2的垂直平分线。

知识点八.双曲线的几何性质

A2/yA2

标准方程---=1(5>0,Z7>0)---=l(a>0,Z?>0)

图形K

性质

焦点F1(-c0),£(q0)月(0,-。，£(0,。

焦距\FI/=2\=2C

范围x<-a或x>a,yeRy<-8或y>a,xeR

对称轴：坐标轴；对称中心：原

对称性

点

顶点4(-a,O),力2(切0)4(0,-a),4(0,a)

性质

实轴：线段44，长：2a;虚轴：线段B退，长：2b;半实轴长：

轴

a,半虚轴长：b

C

离心率e=_e(l,+00)

a

知识点九.直线与双曲线的位置关系

22

将直线的方程y=-+爪与双曲线的方程京-a=1,a>0,6>。联立成方程组，消元转化

为关于x或y的一元二次方程，其判别式为△.

若〃-/无2=0,即k=±2,直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；

a

若。2-4A/0,即人片±2,

a

①A>0o直线和双曲线相交o直线和双曲线相交，有两个交点；

②A=0o直线和双曲线相切o直线和双曲线相切，有一个公共点；

③AvOo直线和双曲线相离o直线和双曲线相离，无公共点

知识点十.双曲线中焦点三角形面积的方法：

1根据双曲线的定义求出||M|-1所||=2a;

2利用余弦定理表示出|M|,|阴|,历书之间满足的关系式；

11

3利用公式g=]x|所HM|sinN&M求得面积.利用公式=于|后向、|同3户

为2点的纵坐标）求得面积

4.结论：S^ppF=-^—g

1ztan-

2

知识点十一.双曲线的弦长公式

22

已知直线y=丘+爪与双曲线E+=l（a>0,b>0）交于4（久“i）,B（X2，y2）两点，则

2

\AB\=Vl+k\x1—x2\

知识点十二.抛物线的定义

定义：平面内与一个定点厂和一条定直线”不经过点月距离相等的点的轨迹叫做抛物线.

点尸叫做抛物线的焦点，直线/叫做抛物线的准线.

注意：1.定点厂不在定直线/上，否则动点例的轨迹不是抛物线，而是过点尸垂直于直线/

的一条直线.

2.抛物线的定义用集合语言表示为：。=｛例||雨=亦4为例到直线/的距离）.

3.定义的实质可归纳为“一动三定"：一个动点，设为M点；一个定点片抛物线的焦点）；

一条定直线［抛物线的准线）；一个定值（即点例到点尸的距离与它到定直线/的距离之比等

于1）.

4.抛物线的定义中指明了抛物线上的点至憔点的距离与到准线的距离的等价性，故二者可相

互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质.

知识点十三.抛物线的几何性质

y^=2pxy=-2px*=2pyM二-2py

类型

(夕>0)(P>0)(P>0)(P>0)

y

图象UL疗Ni

rp){°-

焦点F

Pppp

准线

X=2片wy=2

性

范围x>0,yeRx<0,yeRxeR,y>0XGR,y<0

质

对称轴X轴，轴

顶点Q0,0)

离心率e=1

开口方向向右向左向上向下

知识点十四.解决直线与抛物线位置关系问题的方法

1.直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的

关系.

2.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可

直接使用公式M同=|刈+%|+夕，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.

4.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用"设而不

求""整体代入”等解法.

知识点十四.抛物线的弦长公式

1.已知直线y=fcr+zn与抛物线y2=2px（p>0）交于4（%1，丫1）,8（久2，、2）两点，则=

2

V1+fcki-x2\；

2.若直线1过抛物线必=2Px（p>0）的焦点且与抛物线交于401，%）,8（久2/2）两点，则

\AB\=xr+x2+p=（。为直线的倾斜角）.

u题型分类

题型1圆锥曲线的定义

【例题D2122•全国专题练习）已知动点P（x,y）满足2j（x—3尸+（y+2尸=田+y-5|,

则点P的轨迹是（）

A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线

【变式1-1】1.（2L22•全国专题练习）点M与定点F（4,0）的距离和它到定直线x=与的距

离之比是常数g,则M的轨迹方程为（）

A.^+”=iB.^+”=l

4993

C.^+^=lD.狂+加=1

2592516

【变式1-1]2.（1516・成都•期中）已知动点P到点M（-2,0）和到直线x=-2的距离相等，

则动点P的轨迹是

A.抛物线B.双曲线左支

C.一条直线D.圆

【变式1-1]3.（22-23下•黔西•一模）在正方体AG中，点M为平面ABB14内的一动点，四

是点M到平面4DD1&的距离，弓2是点M到直线BC的距离，且虑=Ad2（2>0）（2为常数）,

则点M的轨迹不可能是（）

A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线

【变式1-1]4.（多选）（21-22上浙江•期末）若椭圆的焦点为6（-c,0）,490）（O0）,

长轴长为2a,则椭圆上的点（x,y）满足（）

__________________________________22

A.y/（x+c）2+y2+J（%—c）2+y2=2。B.黄八=^—1

c.=（D.飞（x-c）2+y2=a-^x

|--x|

【变式1-1]5.（2L22・全国•课时练习）已知PQ,y）满足J（l+x）2+y2=仁+y一川，则

点P的轨迹为

【变式1-1]6.（2122•全国专题练习）确定曲线|x+训=21（%—3尸+（y+6尸的类型.

题型2圆锥曲线的标准方程

【例题2]（22-23上淄博•阶段练习）已知双曲线C：*5=l（a>0/>0）的一条渐近

线方程是y=-y%,且焦点到渐近线的距离为1,则双曲线C的标准方程为（）

A.-——y2=1B.-——y2=1

3/2）

C.£_乃=1D.E—乃=1

3223

【变式2-1]1.（23-24上•洛阳・期中）已知椭圆C过点（3,0）,且离心率为手,则椭圆C的

标准方程为（）

【变式2-1]2.（23-24上长沙•期中）双曲线C与椭圆9+9=1有相同的焦点，一条渐

近线的方程为x-2y=0,则双曲线C的标准方程为（）

【变式2-1]3.（23-24上•邢台・期中）已知抛物线C的顶点为坐标原点。，对称轴为坐标

轴，且C的准线与圆0:/+f=6相切，请写出C的一个标准方程：

【变式2-1】4.（浙江省衢州、丽水、湖州三地市2023-2024学年高三上学期11月教学

质量检测数学试题）已知双曲线C:捺-2=1的左右焦点分别为6,F2,。为坐标原点,A,

B为C上位于左轴上方的两点，且40〃3尸2,N4F/2=60°.记AF2，BFI交点为P,过点P作

PQ//AF.,交久轴于点Q.若|OQ|=2|PQ|,则双曲线C的离心率是

22

【变式2-1】5.（2324上开封期中）已知双曲线前:云―左=IS>0,b>0）的焦距为10,

G上一点P与两焦点的距离差的绝对值等于6.

（1）求G的标准方程；

22

⑵若双曲线。2：%-a=1（爪>0，几>。）与双曲线C1有共同的渐近线，且经过点

M（3,4V2）,求C2的标准方程.

题型3圆锥曲线定义的应用

【例题3]（21-22上・沈阳•期中）古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线

的共性,并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明.经过了

500年，到了3世纪，希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关

于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明.他指出，到定点的距离与到定直线的距

离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线；当0<e<1时，轨迹为椭圆；当e=1时，轨迹

为抛物线；当e>1时，轨迹为双曲线.现有方程+必+2y+1）=（2%-2y+3y表

示的曲线是双曲线，则m的取值范围为（）

A.（0,8）B,（8,+00）C.（0,5）D.（5,+00）

【变式3-1]1.（14-15上•湖北•期末）在平面直角坐标系中，若方程次尤2+y2+2y+1）=

（x-2y+3）2表示的曲线为椭圆，则小的取值范围是

A.（0,1）B.（1,+oo）C.（0,5）D,（5,+oo）

【变式3-1]2.（2223・云南•三模）在3世纪，古希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇

编》中完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义.他指出，到定点的距离与到定直线的距离

的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线；当0<e<1是地，轨迹为椭圆；当e=1时，轨迹

为抛物线；当e>1时，轨迹为双曲线.现有方程k（x+2y+l）2=尤2+/_+4表示的曲

线是双曲线，贝心的取值范围为（）

A.（0,|）B.&+8）C.（5,+8）D.（0,5）

22

【变式3-1]3.（多选）（23-24上浙江期中）已知曲线C的方程为三+七=1,则下列

m+5m+1

说法正确的是（）

A.VmeR,曲线C都不表示圆

B.3meR,曲线C表示焦点在y轴上的椭圆

C.VmeR,曲线C都不表示焦点在y轴上的双曲线

D.当me（-5,-1）时,曲线C的焦距为定值

【变式3-1]4.（多选）（2324上•盐城•期中）已知方程三+3=1表示的曲线为。，则

5—LU—1

下列四个结论中正确的是（）

A.当1<t<5且t丰3时,曲线C是椭圆；

B.当t>5或土<1时,曲线C是双曲线；

C.若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则3Vt<5；

D.若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则1<1.

【变式3-1]5.（多选）（23-24上河南期中）若关于的方程/+Ay2+（1-A2）xy+x-

y-2=0表示的曲线为C，则（）

A.当4=—1时，C表示双曲线

B.当2=0时，C表示两条直线

C.当4=1时，C表示圆

D.当2=2时，C表示关于坐标轴对称的椭圆

题型4圆锥曲线的离心率

2222

【例题4]（23-24上.沙坪坝.期中）椭圆6邑+-=1@>2）与双曲线。2邑--=

44

l（a2>2）有相同的焦点6、尸2，记椭圆G的离心率为e1,双曲线C2的离心率为02,则下列关

系式一定正确的是（）

A.e1e2=1B.e2=2etC.餐—e1=1D.黄+多=2e£多

【变式4-1J1.（23-24上•浙江•阶段练习）已知椭圆盘+2=1的左顶点为A，右焦点为尸2,

过右焦点作x轴垂线交椭圆于B、C两点，连结B0并延长交AC于点M,若M为AC的

中点，则椭圆的离心率为（）

A.iB.遮C.-D.3

2232

【变式4-1]2.（23-24上台州•期中）如图，已知6,尸2是双曲线C：《-《=1的左、右

焦点，P,Q为双曲线C上两点，满足F1P//F2Q,且吗<?|=2|F2Pl=5|6P|,则双曲线C

的离心率为（）

【变式4-1】3.（2324上•嘉兴期中）已知椭圆《+《=l（a>b>0）的右焦点为F（c,O）,

点P,Q在直线久=手上，FP1FQ,。为坐标原点，若而-0Q=3OF2,则该椭圆的离心率

为（）

A.-B.渔C.-D.恒

3322

【变式4-1]4.（多选）（23-24上衡水•阶段练习）已知双曲线M：g-g=l（a>b>0）的

焦距为4,两条渐近线的夹角为60。，则下列说法正确的是（）

A.M的离心率为言B.M的标准方程为9-*=1

C.M的渐近线方程为y=±V3xD.直线x+y-2=。经过M的一个焦点

22

【变式4-1】5.（多选）（2324上河北期中）已知双曲线C*―尢=1（口>0,6>0）的

右焦点为尸，过点F作C的一条渐近线的垂线，垂足为4，该垂线与另一条渐近线的交点为B,

若|FB|=川F4|（4>1）,则C的离心率可能为（）

A.忌B.忌C.招D.后

题型5和差最值

【例题5]（23-24上•无锡期中）设F是椭圆f+[=1上的右焦点小是椭圆上的动点，4是

43

直线x+Ey-12=。上的动点，则|P川-IPFI的最小值为（）

A.-B.3C.-D.-

522

【变式5-1]1.（22.23上镇江期中）已知F是椭圆9+9=1的左焦点，P是椭圆上一动

点，若4（1,1）,则IP川+|PF|的最小值为（）

A.6—V3B.6—V5C.6—V2D.6—V6

【变式5-1]2.（23-24上株洲•阶段练习）设实数”满足卷+?=l，V%2+y2-2y+l+

+y2-2、+1的最小值为（）

A.2V5-V2B.1+V5C.V2D.前三个答案都不对

2

【变式5-1]3.（2223・南通•三模）已知F为椭圆C:亍+必=1的右焦点，P为C上一点,

4

Q为圆M：x2+（y-3）2=1上一点,则|PQ|+|PF|的最大值为（）

A.5B.6C.4+2V3D.5+2旧

【变式5-1]4.（23-24上大庆•开学考试）已知定点4（-2,8），点心为椭圆+3=1的

右焦点，点M在椭圆上移动，求|AM|+IMF21的最大值和最小值为（）

A.12,2V7B.10+V5,10-V5

C.12,8D.9,2V7

【变式5-1]5.（多选）（2324上衡水•阶段练习）已知椭圆C：?+9=1的左、右焦点分

别为6,4，上顶点为B,直线Z:y=kx（k*0）与椭圆C交于M,N两点，点7（4,4）,则（）

A.四边形M&NF2的周长为8B.焉+高的最小值为9

C.直线BM,BN的斜率之积为-1D.若点P为椭圆C上的一个动点，则|PT|-IPF1I的最

小值为1

题型6直线与圆锥曲线的位置关系

【例题6]（23-24上温州•期中）已知直线Z：y=x+爪与椭圆C：=+?=1有公共点，则小

的取值范围是（）

A.[-V7,V7]B.[-V6）V7]

C.[-V6,V6]D.[-2A/2,2V2]

【变式多选）（2324上•淮安•阶段练习）已知直线/的方程为ax-y+l=0,aGR,

则下列说法正确的是（）

A.I一定经过（0,1）

B.1与椭圆三+y2=i一定有两个交点

C./与圆0-1）2+y2=4一定有两个交点

D.（3,4）到/的距离可能为5

22

【变式6-1]2.（多选）（2324上•连云港•期中）已知双曲线E:亍-卷=1,贝M）

A.E的焦距为6

B.E的虚轴长为有

C.E上任意一点到E的两条渐近线的距离之积为定值

D.过点（2,1）与E有且只有一个公共点的直线共有3条

【变式6-1]3.（多选X22-23上•省直辖县级单位•阶段练习）直线y=x—2与抛物线C"=

2x相交于4B两点，下列说法正确的是（）

A.抛物线C的准线方程为y=-|B.抛物线C的焦点为C，0）

C.若。为原点，则乙4OB=90°D.若a（Xi，yi）,B（%2，y2），则|AB|=/+右+1

【变式6-1]4.（多选）（23-24上・广州•阶段练习）已知过点网0,1）,倾斜角为60。的直线，与

抛物线C：/=4y相交于4B两点（点4在第一象限）.过线段AB的中点P作平行于y轴的直

线，分别与抛物线C和其准线相交于点M、N.则下列说法正确的是（）

A.\PM\=\MN\B.WF-AB=0

C.\FA\=3|FB|D.直线AN与抛物线C相切

【变式6-1】5（多选I2324上长沙阶段练习）已知。为坐标原点点4（1,1）在抛物线C：/=

2py（p>0）±,过点8（0,-1）的直线交C于P,Q两个不同的点，则（）

A.C的准线为y=-JB.直线4B与C相交

C.\OP\-\OQ\>\OA\2D.\BP\■\BQ\>\BA\2

【变式6-1]6.（2324上杨浦开学考试）已知曲线C:加|—4y|y|=4.

①曲线C的图像不经过第二象限；

②若PQo,Vo）为曲线。上一点，则比o-2y（）>。；

③存在mGR,x-2y+m=0与曲线C有四个交点；

④直线x-2y+m=0与曲线C无公共点当且仅当znG（-oo,-V2）U[0,+co）.

其中所有正确结论的序号是

【变式6-1]7.（23-24上•南昌•阶段练习）已知直线y=依-1与双曲线/-f=4,若

直线与双曲线左支交于两点，求实数k的取值范围.

题型7中点弦问题

【例题7123.24上・常州•期中圮知椭圆/+?=i过点P&1）的直线叫椭圆相交于4B

两点，且P是线段的中点，则直线4B的斜率k为（）

A.-1B.—工C.1D.4

4

【变式7-1]1.（23-24上•广州•期中）在椭圆C:1+1=1内，通过点,且被这

164

点平分的弦所在直线的方程为（）

A.x+4y—5=0B.x—4y+3=0C.4%+y—5=0D.4x—y—3=0

【变式7-1]2.（24.25上•宝鸡一模）设4,8为双曲线久2一卷=1上两点，下列四个点中，

可为线段力B中点的是（）

A.（1,1）B.（-1,2）

C.（1,4）D.（1,3）

【变式7-1]3.（2223•成都•二模）已知直线/：y=kx（k>0）与双曲线C：《—5=l（a>

0,b>0）相交于A,B两点，点4在第一象限，经过点4且与直线]垂直的直线与双曲线C的另

外一个交点为M，点N在y轴上，BN//NM，点。为坐标原点，且赤？=7次•而，则双曲线

C的渐近线方程为（）

A.y=±A/3XB.y=+V5xC.y—+V6xD.y=±V7x

【变式7-1J4.（23-24上•全国•课时练习）直线y=kx-2交抛物线y2=式于A,B两点,

若AB中点的横坐标为2,则k=（）

A.2或-28.2或-1

C.2D.3

【变式7-1]5.（23-24上•石家庄•阶段练习）已知椭圆条+g=l（a>fo>0）的一条弦所

在的直线方程是x-y+5=0,弦的中点坐标是M（-4,1）,则椭圆的离心率是.

【变式7-1]6.（22-23下•长宁•期中）已知抛物线y2=4久与过焦点的一条直线相交于A,

B两点，若弦的中点M的横坐标为弓，则弦的长|2B|=

题型8弦长问题

【例题8]（23-24上•南京•阶段练习）已知椭圆C：《+《=l（a>0,6>0）,C的上顶点为4,

两个焦点为&,尸2，离心率为也过后目垂直于人?2的直线与C交于2E两点,\DE\=6JIJAXDE

的周长是（）

A.11B.12C.13D.14

2

【变式8-1]1.（22-23下•遂宁•阶段练习）已知双曲线E:氤-*=1,若抛物线f=

2PMp>0）的焦点到双曲线E的渐近线的距离为次,过焦点倾斜角为;的直线与抛物线交于

A,B两点，则|4引的值为（）

A.16V3B.8A/3C.8D.4百

【变式8-1]2.（22-23上•唐山・期末）已知抛物线C：/=4y的焦点为F,直线/与抛物线C

交于4B两点，连接AF并延长，交抛物线C于点。，若2B中点的纵坐标为|48|-1，则当乙4F8

最大时,\AD\=

【变式8-1]3.（2223•全国专题练习）已知双曲线C的焦点在y轴上,对称中心。为坐

标原点，焦距为2遍，且过点4（5,乃）,则C的标准方程为；若斜率

为2的直线I与C交于P,Q两点.且灰•丽=-晶，则|PQ|=.

【变式8-l】4.（2324上红桥•期中）已知椭圆的长轴长为2a，焦点是&（-百,0）、尸2（百，。），

点a到直线％=-得的距离为白，过点尸2且倾斜角为45。的直线（与椭圆交于4B两点.

Q）求椭圆的方程；

⑵求线段48的长.

【变式8-1]5.（23-24上•石家庄•阶段练习）给定椭圆E：9+5=l（a>b>0）,我们称

圆/+/=口2+炉为椭圆E的"伴随圆".已知椭圆E中b=1,离心率为手.

（1）求椭圆E的方程；

⑵若直线2：y=kx+爪与椭圆E交于A、B两点，与其"伴随圆"交于C、D两点，|CD|=

V13.求弦长0的最大值.

【变式8-1]6.（23-24上•南京•阶段练习）已知双曲线C：/—5=l（a>0,b>0）,焦点

到渐近线的距离为百，且离心率为，.

（1）求双曲线C的方程；

⑵直线l：y-kx+3与双曲线交于M,N两点，若|MN|=16V3,求k的值.

题型9面积问题

【例题9]（21-22上•深圳•期中）若椭圆9+?=1（小〉1>0）与双曲线9—9=

有相同的焦点是两曲线的一个交点，则的面积是（）

l（n>0,t>0）6,F2,P46PF2

A.-B.tC.2tD.4t

2

22

【变式9-1]1.（23-24上•全国•课时练习）如图所示，已知椭圆的方程为亍+5=1,若

4D

点P为椭圆上的点，且NP&B=120°,则4PF/2的面积是

【变式9-1]2.(23.24上•南京•阶段练习)已知椭圆C:《+《=1的离心率为当,上顶点

为M,下顶点为N,\MN\=2,设点7(t,2)(t中0)在直线y=2上，过点T的直线TM,TN分别

交椭圆C于点E和点F,直线EF与y轴的交点为P.

(1)求椭圆C的标准方程；

⑵若△NFP的面积为4MEP的面积的2倍，求t的值

22

【变式9-1]3.(23-24上广东•阶段练习)已知双曲线会—左=1,(a>0,6>0)的离心率

为2,右焦点F到渐近线的距离为旧.

(1)求双曲线的标准方程；

(2)若点P为双曲线右支上一动点，过点P与双曲线相切的直线2,直线I与双曲线的渐近线分

别交于M,N两点，求小FMN的面积的最小值.

【变式9-1]4.(22-23上安徽期中)设抛物线C：y2=2PMp>0)的焦点为F,2是抛物

线上横坐标为4的点，|4F|=5.

(1)求抛物线C的方程；

(2)设过点尸且斜率为1的直线/交抛物线C于M,N两点，。为坐标原点，求小OMN的面积.

【变式9-1]5.(22-23下•常德•阶段练习)在平面直角坐标系中，已知点力&0),点B在

直线Lx=-j上运动，过点B与1垂直的直线和力B的中垂线相交于点

(1)求动点M的轨迹E的方程；

⑵设点P是轨迹E上的动点，点R,N在y轴上，圆C:(x-I)2+必=1内切于△PRN，求△PRN

的面积的最小值.

【变式9-1]6.（23.24上・泰安•阶段练习）在直角坐标系xOy中，动圆P过定点F（0,》,

且与定直线1：y=-[相切，记动点P的轨迹为勿.

⑴求班的方程；

（2）已知正方形4BCD有三个顶点在加上,求正方形ABCD面积的最小值.

题型10定点问题

【例题10]（多选）（2324•大理一模）过抛物线C:V=2P比上一点2（1,-4）作两条相互

垂直的直线，与C的另外两个交点分别为M、N,则（）

A.C的准线方程是x=-4

B.过C的焦点的最短弦长为12

C.直线MN过定点（4,4）

D.当点A到直线MN的距离最大时，直线MN的方程为2x+y-38=0

【变式10-1】1.（多选）（23-24上•长沙•阶段练习）已知F是抛物线C"=久的焦点,

4（尤1，%）,8（尤2，%）是。上的两点，。为原点，则（）

A.若BB■直C的准线于点次，且由夕|=2\OF\,则四边形OFBM的周长为竽

4

B.若MFI=J,贝UANOF的面积为:

4o

C.若直线过点F，贝您1+久2的最小值为日

D.若瓦？-0B=-\,则直线4B恒过定点（|,0）

【变式10-1]2.（多选）（23-24上长春阶段练习）下列说法错误的是（）

A.直线x+2y+2=0的倾斜角是与

B.过点（1,2）,且在两坐标轴上截距互为相反数的直线/的方程为x-y+l=0

C.圆C:/+（4-2）x+y?+2Ay+1—A=01S定点（1,0）

D.椭圆。的方程为冬+1=1,它的焦距为6,短轴长为4

Zb16

【变式10-1]3.（多选）（2324上•济南・开学考试）已知抛物线C:*=4%,。为坐标原

点，直线/交抛物线于4（*1，%），B（%2,%）两点，若布,丽=一4,贝！]（）

A.=-8B.直线/过定点（2,0）

C.S®B的最小值为2&D《+洒最小值为2

【变式10-1]4.（23-24上福州•期中）已知圆E:（x+9+y2=8,F（l,0）为圆E内一个

定点，P是圆E上任意一点，线段FP的垂直平分线/交EP于点Q,当点P在圆E上运动时.

（1）求点Q的轨迹C的方程；

（2）已知圆。：/+*=|在c的内部，4B是C上不同的两点，且直线4B与圆。相切.求证：

以力B为直径的圆过定点.

【变式10-1】5.（23-24上•湖南期中）已知抛物线C：*=2Px（p>0）经过点M（2,—2a）,

直线/与抛物线相交于不同的4B两点.

⑴求抛物线C的方程；

（2）如果-05=-4,直线/是否过一定点，若过一定点，求出该定点；若不过一定点，试

说明理由.

题型11定值问题

【例题11]（22-23上•南阳•阶段练习）已知椭圆C：[+[=1的左，右焦点分别为6,尸2，

A,B两点都在C上,且4,B关于坐标原点对称，下列说法错误的是（）

A.|AB|的最大值为2遍

尸为定值

B.\AFr\+|Bi|

C.C的焦距是短轴长的2倍

.存在点，使得

DA261AF2

【变式11-1】1.（2223•郑州•模拟预测）已知A,B分别为双曲线9-y2=1的左、右顶

点，P为该曲线上不同于A,B的任意一点，设NPAB=a,/-PBA=£,△P4B的面积为S,

则（）

A.tana+tan/?为定值B.tan|•tang为定值

C.S-tan（a+£）为定值D.赢|丽为定值

【变式11-1]2.（22-23下・河南・二模）已知动点P在双曲线C:1=1上，双曲线C

的左、右焦点分别为6,F2,则下列结论：

①C的离心率为2;

②C的焦点弦最短为6;

③动点P到两条渐近线的距离之积为定值；

④当动点P在双曲线C的左支上时,号的最大值为[.

其中正确的个数是（）

A.ljB.2jC.3jD.”

【变式11-1]3.（多选）（23-24上•江苏•开学考试）已知椭圆C:9+9=1的左右焦点为

a,尸2,若P为椭圆C上一动点，记“64的内心为/，外心为M,重心为G,且内

切圆/的半径为r,APF/2外接圆M的半径为R，则（）

A.NF/%的最大值为:B.r的最大值为百

C.PI-而为定值D.您最小值为2

【变式11-1】4.（多选）（2324上浙江•阶段练习）已知抛物线E"=4x上的两个不同

的点/（%1，%）,5（%2/2）关于直线％=ky+4对称，直线48与%轴交于点C（%（）,0）,下列说法正

确的是（）

A.E的焦点坐标为（1,0）B.%]+g是定值

G

C./无2是定值D.x0(-2,2)

题型12定直线问题

【例题12]（22-23下・嘉定•阶段练习）已知0为坐标原点，M为抛物线C：y2=4x上一

点，直线I:久=my+3与C交于A,B两点，过A,B作C的切线交于点P,则下列结论

中正确结论的个数是（）

（l）01.0B=-3;（2）若点M（9,-6）,且直线AM与BM倾斜角互补，则爪=3;

（3）点P在定直线x=-3上;（4）设点Q（3,0）,则|MQ|的最小值为3.

A.1B.2C.3D.4

22

【变式12-1]1.（多选）（2223・沧州・模拟预测）已知双曲线-左=l（a>0,b>0）的

左、右焦点分别为6、4，离心率为2,焦点到渐近线的距离为伤.过尸2作直线/交双曲线C的

右支于4B两点，若H、G分别为△4尸#2与4BF/2的内心，则（）

A.C的渐近线方程为y=±V3x

B.点H与点G均在同一条定直线上

C.直线不可能与/平行

D.|”G|的取值范围为12vx竽）

【变式12-1J2.（多选I2122•江苏・单元测试在平面直角坐标系x